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Autor Tema: Circunferencias  (Leído 952 veces)
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mrsaturn
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« : 01/01/2018, 04:00:28 pm »

¡Hola! Feliz año 2018

¿Me explicarían cómo resolver este problema sin usar la fórmula distancia de un punto a una recta?

''Hallar las ecuaciones de las circunferencias cuyo centro está sobre la recta [texx]6x+7y−16=0[/texx], y es tangente a las rectas
[texx]8x+15y+7=0[/texx] y [texx]3x−4y−18=0[/texx].''

Gracias.
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ingmarov
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« Respuesta #1 : 01/01/2018, 04:12:42 pm »

Hola mrsaturn    Corrección, quise decir bisectriz

El centro es el punto de intersección de la recta bisectriz del ángulo formado por de las rectas tangentes y la recta que contiene el centro.


¿Entiendes?   haz un dibujo


La bisectriz a mi me da     [texx]91x+7y=271[/texx]
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mrsaturn
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« Respuesta #2 : 01/01/2018, 07:46:03 pm »

¿Me dirías cómo calculaste la bisectriz? Mi intención es calcular la recta sin la fórmula de distancia de un punto a una recta, pues no me dejan aplicarla en mi examen. 
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ingmarov
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« Respuesta #3 : 01/01/2018, 10:16:09 pm »

¿Me dirías cómo calculaste la bisectriz? Mi intención es calcular la recta sin la fórmula de distancia de un punto a una recta, pues no me dejan aplicarla en mi examen. 

Sí, lo hice así

Un vector director de la primera recta tangente es    u=(-15,8), el vector de la segunda recta tangente es   v=(4,3)    con magnitudes  17, 5 respectivamente.

El coseno del ángulo entre esta rectas es   [texx]cos(\theta)=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\dfrac{-36}{85}[/texx]

Necesitamos un recta forme la mitad de ese ángulo con una de las rectas tangentes, y por identidades trigonométricas sabemos que

[texx]cos(\frac{\theta}{2})=\sqrt{\dfrac{1+cos(\theta)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-36/85}{2}}=\dfrac{7}{\sqrt{170}}[/texx]      (Aquí tenemos una raíz negativa pero escogemos solo la positiva porque queremos un ángulo entre cero y pi 0 y pi/2)


Entonces el coseno del ángulo entre una de las rectas tangentes y la bisectríz es [texx]\bf\color{blue}\dfrac{7}{\sqrt{170}}[/texx]

Suponemos que el vector director de la recta bisectríz es    t=(a,b)  definimos [texx]|t|=\sqrt{170}[/texx] , entonces al calcular el coseno del ángulo entre esta y la segunda recta tangente nos queda

[texx]cos(\theta')=\dfrac{\vec{t}\cdot\vec{v}}{|\vec{t}||\vec{v}|}=\dfrac{4a+3b}{5\sqrt{170}}=\bf\color{blue}\dfrac{7}{\sqrt{170}}[/texx]

por lo que  [texx]4a+3b=\bf 35[/texx]  (35=7*5 así quedará un 7 en el numerador eliminando el cinco con el del denominador)

y  [texx]a^2+b^2=170[/texx]

Resolviendo, en la primera despejamos b y sustituímos en la segunda, obtenemos dos valores de "a" -1, 61/5 por facilidad escogemos -1  por lo que b=13

Tenemos al vector director de la bisectríz    (-1,13)  , entonces podemos plantear la ecuación de la recta

13x+y=k    debemos encontrar k evaluando un punto de la mediatríz ¿Cuál punto? pues la intersección de las rectas tangentes (22/7, -15/7)

Nos queda   13x+y=271/7      multiplicando toda la ecuación por 7 para eliminar las fracciones nos queda

91x+7y=271


Seguro hay otro método, mantente revisando este hilo.


Saludos


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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #4 : 02/01/2018, 03:41:42 am »

¿Me dirías cómo calculaste la bisectriz? Mi intención es calcular la recta sin la fórmula de distancia de un punto a una recta, pues no me dejan aplicarla en mi examen. 

Tambien puedes sumar y restar vectores del mismo módulo que tengan la dirección de las rectas, a partir de los hallados por Ingmarov. Obtienes asi vectores de dirección de las dos bisectrices, cuyas interseccines con la otra recta te daran los centros de las dos soluciones.

Saludos,
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Abdulai
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« Respuesta #5 : 02/01/2018, 09:18:10 am »

Tal como dijo Ignacio, sumando y restando vectores del mismo módulo con la dirección de las rectas obtenés la dirección de las bisectrices.

Podés extender este criterio en la aplicación de "haz de rectas".

Normalizando los vectores normales
[texx]\Gamma_1:\;\; \dfrac{8x + 15y + 7}{\sqrt{8^2+15^2}} = \frac{1}{17}\;(8x + 15y + 7)[/texx]

[texx]\Gamma_2:\;\; \dfrac{3x - 4y - 18}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1}{5}\;(3x - 4y - 18)[/texx]


Sumando y restando ambas ecuaciones se obtiene rectas que pasan por la intersección de las anteriores:

[texx]\Gamma_1+\Gamma_2:\;\; \frac{1}{17}\;(8x + 15y + 7)+\frac{1}{5}\;(3x - 4y - 18) = \frac{1}{85}(91x + 7y - 271)[/texx]

[texx]\Gamma_1-\Gamma_2:\;\; \frac{1}{17}\;(8x + 15y + 7)-\frac{1}{5}\;(3x - 4y - 18) = \frac{-11}{85}(x - 13y - 31)[/texx]


[texx]\therefore\quad B_1: \;\;91x + 7y - 271=0 \quad,\quad B_2:\;\;x - 13y - 31=0[/texx]     son las ecuaciones de las bisectrices.
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ingmarov
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« Respuesta #6 : 02/01/2018, 09:39:04 am »

...
Tambien puedes sumar y restar vectores del mismo módulo que tengan la dirección de las rectas, a partir de los hallados por Ingmarov. Obtienes asi vectores de dirección de las dos bisectrices, cuyas interseccines con la otra recta te daran los centros de las dos soluciones.
...


¿Por quééé? no se me ocurrió esta forma sencilla.  :BangHead: En principio había pensado en otra más complicada  :labios_sellados:  :labios_sellados: :labios_sellados:.

Y solo calculé una bisectriz. La segunda se puede calcular sabiendo que debe ser normal a la primera.


¡Que tengan un excelente año 2018!

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« Respuesta #7 : 02/01/2018, 10:20:57 am »

Otra cuestión es hallar el radio sin utilizar la distancia de un punto a una recta. Tendrás que hallar las intersecciones de las perpendiculares a una de las rectas por los centros de las circunferencias y hallar edtad distancias entre pintos
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« Respuesta #8 : 02/01/2018, 03:12:59 pm »

Otra cuestión es hallar el radio sin utilizar la distancia de un punto a una recta. Tendrás que hallar las intersecciones de las perpendiculares a una de las rectas por los centros de las circunferencias y hallar edtad distancias entre pintos

Eso lo escribí desde el móvil y me quedo fatal. Si las bisectrices son [texx]b_1\textrm{ y }b_2[/texx] y la recta enque están los centros es [texx]r[/texx], hay que hallar las intersecciones de [texx]b_1\textrm{ y }r[/texx], que sera un centro [texx]C_1,\textrm{ de }b_2\textrm{ y }r[/texx] que será el otro centro [texx]C_2[/texx]. A continuación, las perpendiculares [texx]p_1\textrm{ y }p_2\textrm{ a }r[/texx] que pasan por [texx]C_1\textrm{ y }C_2[/texx], que cortarán a [texx]R\textrm{ en }D_1\textrm{ y }D_2[/texx]. Entonces las distancias [texx]\overline{C_1D_1}\textrm{ y }\overline{C_2D_2}[/texx] serán los correspondientes radios.

Claro que  más sencillo sería poder utilizar la fórmula de la distancia de un punto a una recta.

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« Respuesta #9 : 09/01/2018, 11:21:04 pm »

¡Gracias por su ayuda! He iniciado las clases y la profesora está considerando permitir el uso de esta fórmula.

^_^
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