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Autor Tema: Subvariedad 2-dimensional  (Leído 987 veces)
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alexis-gauss
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« : 19 Diciembre, 2017, 15:23 »

Sea [texx]f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}[/texx] un polinomio complejo dado por [texx]f=\displaystyle \sum_{i=0}^3a_iz^i[/texx] sin raíces dobles. Considere para [texx]l=2: M=\lbrace (z,w)\in \mathbb{C}^2: w^l-f(z)=0 \rbrace[/texx]. Probar que [texx]M[/texx] es una subvariedad 2-dimensional de [texx]\mathbb{C}^2\cong \mathbb{R}^4[/texx].

Hola, he intentado lo siguiente:
Consideremos [texx]z=(x+yi)\in \mathbb{C}[/texx] y [texx]w=(r+ti)\in \mathbb{C}[/texx]. Entonces, se tiene lo siguiente:
[texx]w^2=(r+ti)^2=r^2-t^2+2rti\ ;\ \ \ (x+yi)^3=x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3i[/texx]
[texx]f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3=a_0+a_1(x+yi)+a_2(x^2-y^2+2xyi)+a_3(x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3i)[/texx]
[texx]\therefore f(z)=(a_0+a_1x+a_2(x^2-y^2)+a_3(x^3-3xy^2))+(a_1y+2xya_2+(3x^2y-y^3)a_3)i[/texx]
[texx]\Rightarrow w^2-f(z)=(r^2-t^2-a_0-a_1x-a_2(x^2-y^2)-a_3(x^3-3xy^2))+(2rt-a_1y-2xya_2-(3x^2y-y^3)a_3)i=0[/texx]
[texx]\Rightarrow r^2-t^2-a_0-a_1x-a_2(x^2-y^2)-a_3(x^3-3xy^2)=0 \ \wedge \ 2rt-a_1y-2xya_2-(3x^2y-y^3)a_3=0[/texx]
[texx]\Rightarrow M=\lbrace (x,y,r,t)\in \mathbb{R}^4:r^2-t^2-a_0-a_1x-a_2(x^2-y^2)-a_3(x^3-3xy^2)=0 \ , \ 2rt-a_1y-2xya_2-(3x^2y-y^3)a_3=0 \rbrace[/texx]
Sea [texx]F:\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2[/texx] función definida por [texx]F(x,y,r,t)=\begin{pmatrix}
r^2-t^2-a_0-a_1x-a_2(x^2-y^2)-a_3(x^3-3xy^2)\\
2rt-a_1y-2xya_2-(3x^2y-y^3)a_3
\end{pmatrix}[/texx], entonces [texx]M=F^{-1}(0)[/texx], luego [texx]DF(x,y,r,t)=\begin{pmatrix}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 & 2a_2y+6a_3xy & 2r & -2t\\
-2a_2y-6a_3xy & -a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 & 2t & 2r\\
\end{pmatrix}[/texx]
Notar además que [texx]DF(x,y,r,t)[/texx] tiene rango 2 para todo [texx](x,y,r,t)\in M[/texx], por lo que [texx]M[/texx] es una subvariedad 2-dimensional de [texx]\mathbb{C}^2\cong \mathbb{R}^4[/texx].

¿Alguna observación?
Gracias de antemano,
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« Respuesta #1 : 19 Diciembre, 2017, 17:11 »

El planteamiento bien pero creo que falta lo más importante de todo: demostrar que para todo punto de la preimagen del cero de F la matriz jacobiana tiene rango 2, o dicho de otro modo, demostrar que si tiene rango 1 ó 0 entonces el punto no forma parte de la preimagen del cero.
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alexis-gauss
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« Respuesta #2 : 21 Diciembre, 2017, 03:22 »

El planteamiento bien pero creo que falta lo más importante de todo: demostrar que para todo punto de la preimagen del cero de F la matriz jacobiana tiene rango 2, o dicho de otro modo, demostrar que si tiene rango 1 ó 0 entonces el punto no forma parte de la preimagen del cero.
Hola, gracias por responder.
A ver,  he entendido lo siguiente:
se tiene que la matriz jacobiana [texx]DF(x,y,r,t)=\begin{pmatrix}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 & 2a_2y+6a_3xy & 2r & -2t\\
-2a_2y-6a_3xy & -a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 & 2t & 2r\\
\end{pmatrix}[/texx].
Aquí debería suponer que [texx]a_i\neq{0}, i=0,1,2,3[/texx] (*)? ya que si:
[texx]\begin{align*}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 &= 0 \\
2y(a_2+3a_3x) &= 0\\
-a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 &= 0\\
r=t &= 0
\end{align*} \Rightarrow x\neq{0},y\neq{0}[/texx] y la matriz DF tiene rango 2, ya que por (*) [texx](0,0,0,0)\not\in{M}[/texx].
Luego [texx]M[/texx] es una variedad 2-dimensional de [texx]\mathbb{C}^2\cong \mathbb{R}^4[/texx]. (??)
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 21 Diciembre, 2017, 07:58 »

Hola

El planteamiento bien pero creo que falta lo más importante de todo: demostrar que para todo punto de la preimagen del cero de F la matriz jacobiana tiene rango 2, o dicho de otro modo, demostrar que si tiene rango 1 ó 0 entonces el punto no forma parte de la preimagen del cero.
Hola, gracias por responder.
A ver,  he entendido lo siguiente:
se tiene que la matriz jacobiana [texx]DF(x,y,r,t)=\begin{pmatrix}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 & 2a_2y+6a_3xy & 2r & -2t\\
-2a_2y-6a_3xy & -a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 & 2t & 2r\\
\end{pmatrix}[/texx].
Aquí debería suponer que [texx]a_i\neq{0}, i=0,1,2,3[/texx] (*)? ya que si:
[texx]\begin{align*}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 &= 0 \\
2y(a_2+3a_3x) &= 0\\
-a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 &= 0\\
r=t &= 0
\end{align*} \Rightarrow x\neq{0},y\neq{0}[/texx] y la matriz DF tiene rango 2, ya que por (*) [texx](0,0,0,0)\not\in{M}[/texx].
Luego [texx]M[/texx] es una variedad 2-dimensional de [texx]\mathbb{C}^2\cong \mathbb{R}^4[/texx]. (??)

Pero ahí simplemente compruebas que cada término es no nulo; es decir demuestras que tiene rango [texx]1[/texx] o [texx]2[/texx]. Pero no has probado que tenga rango [texx]2[/texx].

De hecho no usas que el polinomio dado no tiene raíces dobles y esa condición es decisiva.

Lo más cómodo es trabajar directamente en los complejos. La diferencial (como variedades complejas) de la aplicación indicada es:

[texx]\begin{pmatrix}{2w}&{f'(z)}\end{pmatrix}[/texx]

Tenemos que ver que tiene rango [texx]1[/texx] en los puntos tales que [texx]w^2-f(z)=0[/texx].

- Si [texx]w\neq 0[/texx] oviamente el rango es 1.
- Si [texx]w=0[/texx] el rango sería cero sólo si [texx]f'(z)=0[/texx]. Pero como además [texx]0=w^2-f(z)=f(z)[/texx] tendríamos que [texx]z[/texx] es una raíz doble del polinomio porque no anula a él y a su derivada. Pero por hipótesis no tiene raíces dobles.

Por tanto el rango es 1, así la variedad indicada es una variedad compleja de dimensión 1 y por tanto una variedad real de dimensión 2.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 01 Enero, 2018, 15:00 »

Hola

El planteamiento bien pero creo que falta lo más importante de todo: demostrar que para todo punto de la preimagen del cero de F la matriz jacobiana tiene rango 2, o dicho de otro modo, demostrar que si tiene rango 1 ó 0 entonces el punto no forma parte de la preimagen del cero.
Hola, gracias por responder.
A ver,  he entendido lo siguiente:
se tiene que la matriz jacobiana [texx]DF(x,y,r,t)=\begin{pmatrix}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 & 2a_2y+6a_3xy & 2r & -2t\\
-2a_2y-6a_3xy & -a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 & 2t & 2r\\
\end{pmatrix}[/texx].
Aquí debería suponer que [texx]a_i\neq{0}, i=0,1,2,3[/texx] (*)? ya que si:
[texx]\begin{align*}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 &= 0 \\
2y(a_2+3a_3x) &= 0\\
-a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 &= 0\\
r=t &= 0
\end{align*} \Rightarrow x\neq{0},y\neq{0}[/texx] y la matriz DF tiene rango 2, ya que por (*) [texx](0,0,0,0)\not\in{M}[/texx].
Luego [texx]M[/texx] es una variedad 2-dimensional de [texx]\mathbb{C}^2\cong \mathbb{R}^4[/texx]. (??)

Pero ahí simplemente compruebas que cada término es no nulo; es decir demuestras que tiene rango [texx]1[/texx] o [texx]2[/texx]. Pero no has probado que tenga rango [texx]2[/texx].

De hecho no usas que el polinomio dado no tiene raíces dobles y esa condición es decisiva.

Lo más cómodo es trabajar directamente en los complejos. La diferencial (como variedades complejas) de la aplicación indicada es:

[texx]\begin{pmatrix}{2w}&{f'(z)}\end{pmatrix}[/texx]

Tenemos que ver que tiene rango [texx]1[/texx] en los puntos tales que [texx]w^2-f(z)=0[/texx].

- Si [texx]w\neq 0[/texx] oviamente el rango es 1.
- Si [texx]w=0[/texx] el rango sería cero sólo si [texx]f'(z)=0[/texx]. Pero como además [texx]0=w^2-f(z)=f(z)[/texx] tendríamos que [texx]z[/texx] es una raíz doble del polinomio porque no anula a él y a su derivada. Pero por hipótesis no tiene raíces dobles.

Por tanto el rango es 1, así la variedad indicada es una variedad compleja de dimensión 1 y por tanto una variedad real de dimensión 2.

Saludos.
Hola, tengo una pequeña duda con la diferencial.
Como la variedad [texx]M=\left\{{(z,w)\in \mathbb{C}^2:w^2-f(z)=0}\right\}[/texx], ¿la matriz [texx]\begin{pmatrix}
2w & f'(z)
\end{pmatrix}[/texx] debería ser, estrictamente hablando,
[texx]\begin{pmatrix}
-f'(z) & 2w
\end{pmatrix}[/texx]?, ya que en vez de la función [texx]F(x,y,r,t)[/texx] se puede considerar una función (ahora trabajando en los complejos) [texx]g:\mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{C}[/texx] definida por [texx]g(z,w)=w^2-f(z) \Rightarrow M=g^{-1}(0)[/texx], entonces la matriz jacobiana [texx]Dg(z,w)=\begin{pmatrix}
\dfrac{{\partial g}}{{\partial z}} & \dfrac{{\partial g}}{{\partial w}}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-f'(z) & 2w
\end{pmatrix}[/texx]

¿Es correcto?
Saludos
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« Respuesta #5 : 02 Enero, 2018, 06:36 »

Hola

Hola, tengo una pequeña duda con la diferencial.
Como la variedad [texx]M=\left\{{(z,w)\in \mathbb{C}^2:w^2-f(z)=0}\right\}[/texx], ¿la matriz [texx]\begin{pmatrix}
2w & f'(z)
\end{pmatrix}[/texx] debería ser, estrictamente hablando,
[texx]\begin{pmatrix}
-f'(z) & 2w
\end{pmatrix}[/texx]?, ya que en vez de la función [texx]F(x,y,r,t)[/texx] se puede considerar una función (ahora trabajando en los complejos) [texx]g:\mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{C}[/texx] definida por [texx]g(z,w)=w^2-f(z) \Rightarrow M=g^{-1}(0)[/texx], entonces la matriz jacobiana [texx]Dg(z,w)=\begin{pmatrix}
\dfrac{{\partial g}}{{\partial z}} & \dfrac{{\partial g}}{{\partial w}}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-f'(z) & 2w
\end{pmatrix}[/texx]

¿Es correcto?

Si, aunque no tiene trascendencia en las conclusiones apuntadas.

Saludos.
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