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Autor Tema: Campo vectorial en esfera  (Leído 376 veces)
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alexis-gauss
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« : 17 Diciembre, 2017, 00:44 »

Hola, quisiera saber si lo que hago es correcto.
El problema consiste en construir un campo vectorial de longitud igual a 1 en cada esfera de dimension impar.

Nosé a que se refieren con ''construir'', pero he intentado lo siguiente:
Veamos, para que el campo buscado tenga longitud 1, podemos considerar la esfera impar (unitaria) como el conjunto [texx]S^{2n-1}= \left\{{X=(x_1,y_1,...,x_n,y_n)\in \mathbb{R}^{2n}: x_1^2+y_1^2+...+x_n^2+y_n^2=1}\right\} [/texx]. Por tanto, si considero el campo vectorial en coordenadas locales [texx]X=\displaystyle \sum_{i=1}^n\left(x_i\dfrac{\partial}{\partial y^{2i-1}}+y_i\dfrac{\partial}{\partial y^{2i}}\right)[/texx] tendrá longitud uno, ya que está en la esfera impar.

Es correcto mi planteamiento?
Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 19 Diciembre, 2017, 07:22 »

Hola

Hola, quisiera saber si lo que hago es correcto.
El problema consiste en construir un campo vectorial de longitud igual a 1 en cada esfera de dimension impar.

Nosé a que se refieren con ''construir'', pero he intentado lo siguiente:

Construir se refiere simplemente a dar, a mostrar, a exhibir,...

Cita
Veamos, para que el campo buscado tenga longitud 1, podemos considerar la esfera impar (unitaria) como el conjunto [texx]S^{2n-1}= \left\{{X=(x_1,y_1,...,x_n,y_n)\in \mathbb{R}^{2n}: x_1^2+y_1^2+...+x_n^2+y_n^2=1}\right\} [/texx]. Por tanto, si considero el campo vectorial en coordenadas locales [texx]X=\displaystyle \sum_{i=1}^n\left(x_i\dfrac{\partial}{\partial y^{2i-1}}+y_i\dfrac{\partial}{\partial y^{2i}}\right)[/texx] tendrá longitud uno, ya que está en la esfera impar.

No sé si has querido escribir exactamente eso. No hay ninguna coordenada [texx]y^{2i}[/texx] para [texx]i=n[/texx] por ejemplo, así que esa parcial es poco clara.

Además creo que aun corrigiendo esas parciales (entiendo que el superíndice de [texx]y[/texx] es el número de coordendada) el campo dado no es tangente a la esfera. Te valdría algo parecido:

[texx]X=\displaystyle \sum_{i=1}^n\left(y_i\dfrac{\partial}{\partial x^{i}}-x_i\dfrac{\partial}{\partial y^{i}}\right)[/texx]

Saludos.
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alexis-gauss
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« Respuesta #2 : 19 Diciembre, 2017, 14:53 »

Gracias por responder Luis, he intentado nuevamente lo siguiente:

Sean [texx]x^1,y^1,x^2,y^2,...,x^n,y^n[/texx] las coordenadas estándar de [texx]\mathbb{R}^{2n}[/texx]. Para cada [texx]n\in \mathbb{N}[/texx] la esfera impar (unitaria) [texx]S^{2n-1}[/texx] es definida por la ecuación [texx]\displaystyle \sum_{i=1}^n(x^i)^2+(y^i)^2=1[/texx], es decir, [texx]S^{2n-1}=\left \lbrace (x^1,y^1,x^2,y^2,...,x^n,y^n)\in \mathbb{R}^{2n}:\displaystyle \sum_{i=1}^n(x^i)^2+(y^i)^2=1 \right \rbrace[/texx].
Sea [texx]p=(x^1,...,x^n,y^1,...,y^n)\in \mathbb{R}^{2n}[/texx] un punto sobre [texx]S^{2n-1}[/texx], entonces [texx]\Vert p \Vert = (x^1)^2+...+(x^n)^2+(y^1)^2+...+(y^n)^2=1[/texx]. Consideremos el campo vectorial [texx]X=\displaystyle \sum_{i=1}^n-y^i\dfrac{\partial}{\partial x^i}+x^i\dfrac{\partial}{\partial y^i}[/texx]. La notación [texx]X(p)=\displaystyle \sum_{i=1}^n-y^i\dfrac{\partial}{\partial x^i}+x^i\dfrac{\partial}{\partial y^i}[/texx] define al vector [texx](-y^1,-y^2,...,-y^n,x^1,x^2,...,x^n)\in \mathbb{R}^{2n}[/texx] (situado en [texx]p[/texx]). Notar que, como [texx]\left \langle \dfrac{\partial}{\partial x^i},\dfrac{\partial}{\partial x^i} \right \rangle = \left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^i},\dfrac{\partial}{\partial y^i} \right \rangle = 1[/texx] se tiene que:
[texx]\langle X(p),p \rangle = -x^1y^1-x^2y^2-...-x^ny^n+x^1y^1+x^2y^2+...+x^ny^n=0[/texx], es decir, se cumple que [texx]X(p)\bot p[/texx].
Además [texx]\Vert X(p) \Vert^2 = (y^1)^2+(y^2)^2+...+(y^n)^2+(x^1)^2+(x^2)^2+...+(x^n)^2=1 \Rightarrow \Vert X(p)\Vert=1[/texx]. Por lo tanto, [texx]X(p)[/texx] es el campo vectorial que cumple lo pedido.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 19 Diciembre, 2017, 15:11 »

Hola
 
 Bien.

Saludos.
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