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Autor Tema: Demostraciones correctas?  (Leído 734 veces)
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Rashed
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« : 16/12/2017, 06:12:23 pm »

Hola les venia a solicitar ayuda, ya que publique en un apartado incorrecto.
Me enviaron para realizar 5 demostraciones para la presentacion de un final en mi carrera. Queria saber si las que realize ya estan bien o si necesitan algun cambio desde ya muchas gracias.

Con respecto a los enunciados serian los siguientes:

1.   Sea ABCD un paralelogramo, E y F los puntos medios de los lados opuestos AB y C. Demostrar que DE y FB dividen en tres partes iguales a las diagonal AC.

2.   En el paralelogramo ABCD se traza la bisectríz del ángulo obtuso A. Esta bisectríz corta a DC en el punto E y a la prolongación de BC en el punto F. Demostrar que los triángulos ADE y ECF son isósceles
3.   Demostrar que la recta que une un vértice A de un triángulo ABC, con el incentro I, corta a la circunferencia circunscripta en el punto P, que equidista de B,I y C.
4.   Probar que los cuatro segmentos determinados en las diagonales de un trapecio al cortarse mutuamente son proporcionales.
5.   Dado un romboide ABCD en el que, M, N, P y Q son los puntos medios de sus lados, demostrar que el cuadrilátero MNPQ es un rectángulo.




* demostracion_2_y_4_por_mi.jpg (61.19 KB - descargado 17 veces.)
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« Respuesta #1 : 16/12/2017, 07:04:53 pm »

Hola, bienvenido al foro.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)
Esta prohibido sustituir texto y matemáticas que se puedan escribir tecleando , las imágenes ( como figuras semejantes en posición de Thales en tu caso) si se pueden subir

Te enlazo a las normas del foro y a un tutorial de latex, para las matemáticas.

Saludos.

P.D.: No se entiende bien lo que hay escrito. Te pido que lo corrijas y teclees el texto de la imagen adjunta. Gracias
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sugata
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« Respuesta #2 : 17/12/2017, 03:50:18 am »

Para el primero, si te he entendido, te complicas muchísimo.
Los dos triángulos azules son iguales, luego [texx]AP=CO[/texx].
Luego por Thales coges el ángulo [texx]ACD[/texx] y viendo el corte con las paralelas, resuelves.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

En mi dibujo he cambiado la O y la P de tu dibujo.


* Screenshot_2017-12-17-07-34-51.png (37.44 KB - descargado 110 veces.)
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #3 : 17/12/2017, 04:30:37 pm »

Hola les venia a solicitar ayuda, ya que publique en un apartado incorrecto.
Me enviaron para realizar 5 demostraciones para la presentacion de un final en mi carrera. Queria saber si las que realize ya estan bien o si necesitan algun cambio desde ya muchas gracias.

Con respecto a los enunciados serian los siguientes:

1.   Sea ABCD un paralelogramo, E y F los puntos medios de los lados opuestos AB y C. Demostrar que DE y FB dividen en tres partes iguales a las diagonal AC.

2.   En el paralelogramo ABCD se traza la bisectríz del ángulo obtuso A. Esta bisectríz corta a DC en el punto E y a la prolongación de BC en el punto F. Demostrar que los triángulos ADE y ECF son isósceles
3.   Demostrar que la recta que une un vértice A de un triángulo ABC, con el incentro I, corta a la circunferencia circunscripta en el punto P, que equidista de B,I y C.
4.   Probar que los cuatro segmentos determinados en las diagonales de un trapecio al cortarse mutuamente son proporcionales.
5.   Dado un romboide ABCD en el que, M, N, P y Q son los puntos medios de sus lados, demostrar que el cuadrilátero MNPQ es un rectángulo.



Para el 1 creo que el razonamiento más directo es aplicar el teorema de Thales en la figura, donde E' mes el simétrico de E respecto de D:



El 2 esta bien.

Para el 3 puedes mirar Círculo incentro-excentro.

El 4 es inmediato, basta ver que los triángulos determinados por las base y el punto de corte de las diagonales son semejantes, al tener los tres ángulos iguales.

Respecto al 5, entiendo que llamas romboide a un rombo, o en su defecto a un cuadrilátero ortodiagonal. En ambos casos la demostración es la misma: los lados de MNPQ son paralelos a las diagonales correspondientes y miden la mitad que ellas, por lo que en general, para cualquier cuadrilátero, MNPQ será un paralelogramo. Si además las diagonales de ABCD son perpendiculares, como ocurre en un rombo, o en general en un cuadrilátero ortodiagonal, MNPQ tiene sus lados perpendiculares, por lo que se trata de un rectángulo.

Saludos,




* DiagonalParalelogramoTrisecada.PNG (11.84 KB - descargado 96 veces.)
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« Respuesta #4 : 17/12/2017, 04:35:34 pm »

Hola Ignacio Larrosa.
Creo que no hace falta el [texx]E'[/texx], si ves mi spoiler no lo necesitas.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #5 : 17/12/2017, 04:40:08 pm »

Hola Ignacio Larrosa.
Creo que no hace falta el [texx]E'[/texx], si ves mi spoiler no lo necesitas.


Si, tu demostración está bien, pero me parece más directa la mía. Digamos que es una demostración visual que no necesita más argumentación, es evidente por si misma.

Saludos,
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« Respuesta #6 : 17/12/2017, 04:42:14 pm »

Con respecto al 5, llego a demostrar en un romboide (el ejercicio es asi) que se forma un paralelogramo (no rectangulo) pero si lo trabajo como rombo, si puedo demostrar que es un rectangulo debido a que las diagonales se intersecan de forma perpendicular.
 Lo tengo que defender mañana, antes de entrar le voy a preguntar si era un romboide o un rombo, ya que pudo ser el corrector o algo de eso.
 Y el 3 lo demostre con un triangulo equilatero. Muchas gracias a todos!
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« Respuesta #7 : 17/12/2017, 04:47:29 pm »

Hola Ignacio Larrosa.
Creo que no hace falta el [texx]E'[/texx], si ves mi spoiler no lo necesitas.


Si, tu demostración está bien, pero me parece más directa la mía. Digamos que es una demostración visual que no necesita más argumentación, es evidente por si misma.

Saludos,

Visualmente es más rápida, pero si hay que argumentar matemáticamente, me parece más rápida mi demostración.
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« Respuesta #8 : 17/12/2017, 05:26:34 pm »

Con respecto al 5, llego a demostrar en un romboide (el ejercicio es asi) que se forma un paralelogramo (no rectangulo) pero si lo trabajo como rombo, si puedo demostrar que es un rectangulo debido a que las diagonales se intersecan de forma perpendicular.
 Lo tengo que defender mañana, antes de entrar le voy a preguntar si era un romboide o un rombo, ya que pudo ser el corrector o algo de eso.
 Y el 3 lo demostre con un triangulo equilatero. Muchas gracias a todos!

Es que no se muy bien lo que entiendes por romboide, si un paralelogramo que no es rombo ni rectángulo o un cuadrilátero con un eje de simetría que une vértices opuestos (J. Rey Pastor).

De cualquier manera, el cuadrilátero formado por los puntos medios de otro cuadrilátero es siempre un paralelogramo, incluso aunque el primero no sea convexo o sea alabeado, por la razón que te contaba en el otro mensaje. De hecho hasta tiene nombre: Teorema de Varignon.

En el caso de que las diagonales del ABCD sean perpendiculares, porque es un rombo, un romboide en el sentido de J. Rey Pastor o en general es ortodiagonal, el paralelogramo de los puntos medios es un rectángulo.

Visualmente es más rápida, pero si hay que argumentar matemáticamente, me parece más rápida mi demostración.

Bueno, a mi al añadirle E' me parece inmediato: basta una aplicación de Tales para ver que las tres partes son iguales. De la otra forma se requieren dos aplicaciones del teorema o aplicar una simetría, y razonar que si de tres cosas hay dos pares iguales es que cada una de ellas es la tercera parte del total. Pero supongo que es cuestión de gustos, y para esto hay colores ...

Saludos,
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« Respuesta #9 : 18/12/2017, 09:16:53 pm »

Hola, aca les dejo las imagenes de las demostraciones ya finalizadas. Creo que por hay me salieron con "un paso mas" . Me gustaria ver si por empezar, estan bien y por segundo que se puede simplificar.
 Con respecto al 5 de la unica forma que lo pude demostrar es si es un rombo como dijo ignacio creo, ya que todo queda perpendicular y paralelos es mas facil, si realmente llega a ser un romboide (paralelogramo 2 a 2) la figura que se forma dentro me queda otro paralelogramo no recto. Saludos y disculpen por insistir, pero la fecha de final se corrio al miercoles y la profe no las puede ver ya que forma parte del final. Un abrazo y espero con ansias las devoluciones :sonrisa:






Pd: Las imagenes me aparecen bien y el codigo que le puse con el programa LATEX como me dijo el moderador soy capas de visualizarlo sin ningun tipo de problema cualquier cosa dejo las imagenes. O corrijo algun error

* Demostracion_1.png (277.9 KB - descargado 12 veces.)
* Demostracion_2.png (238.66 KB - descargado 14 veces.)
* Demostracion_3.png (49.44 KB - descargado 12 veces.)
* Demostracion_4.png (297.22 KB - descargado 11 veces.)
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« Respuesta #10 : 18/12/2017, 09:34:22 pm »

Hola, aca les dejo las imagenes de las demostraciones ya finalizadas. Creo que por hay me salieron con "un paso mas" . Me gustaria ver si por empezar, estan bien y por segundo que se puede simplificar.

A mi en el primero me sigue pareciendo más directo y claro prolongar el lado AB en su mitad. pero como decía, es cuestión de gustos.

En cuanto al tercero, tu lo resuelves para un triángulo equilátero, pero en el enunciado no dice nada de eso y el resultado es cierto para cualquier triángulo. En el enlace que te dí puedes ver una demostración.

En el 5, el resultado efectivamente solo es cierto si se trata de un rombo u otro cuadrilátero con las diagonales perpendiculares. El cuadrilátero de los puntos medios tiene sus lados paralelos a las diagonales del cuadrilátero de partida, sea como sea este, por lo que siempre será un paralelogramo y solo será un rectángulo si las diagonales son perpendiculares.

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« Respuesta #11 : 18/12/2017, 09:45:48 pm »

Con respecto al 3 no lo piedo legar a resolver con otro y eso que me mandaste no lo entendi mi y bien. Por cierto lo hice en geogebra y me da q no son equidistante si o es equioatero. Que habré hecho mal?.
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« Respuesta #12 : 18/12/2017, 10:12:13 pm »

Con respecto al 3 no lo piedo legar a resolver con otro y eso que me mandaste no lo entendi mi y bien. Por cierto lo hice en geogebra y me da q no son equidistante si o es equioatero. Que habré hecho mal?.


¿Leiste las explicaciones debajo de la figura? ¿Qué punto concreto no entiendes? El resultado es cierto para cualquier triángulo, como puedes ver en ese applet, pero es difícil adivinar en que te pudiste equivocar.

Saludos,
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« Respuesta #13 : 19/12/2017, 01:24:49 pm »

Sisi la lei, pero eso de cociclicos y excentro todabia no lo vi, y al buscar en internet me termino confundiendo demasiado. Te agradeceria si podes usar otra forma, por ejemplo con las tangentes se podra?. La idea es demostrarlo para uno noequilatero como decias vos.
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« Respuesta #14 : 19/12/2017, 04:56:46 pm »

Sisi la lei, pero eso de cociclicos y excentro todabia no lo vi, y al buscar en internet me termino confundiendo demasiado. Te agradeceria si podes usar otra forma, por ejemplo con las tangentes se podra?. La idea es demostrarlo para uno noequilatero como decias vos.

Un par de rectas que se cortan en un punto tienen un par de bisectrices, que son el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambas rectas. Es inmediato ver que deben ser perpendiculares y evidentemente pasan por el mismo punto en que se cortan las rectas. Cada una de ellas se corresponde con la bisectriz usual de un par  de ángulos opuestos por el vértice. Respecto a cada uno de estos ángulos, una es interior al ángulo y otra exterior al ángulo.

La bisectriz [texx]b_{C}[/texx] del ángulo [texx]C[/texx] y las bisectrices exteriores de los ángulos [texx]A\textrm{ y }B, b'_{A}\textrm{ y }b'_{B}[/texx], se cortan en un único punto. En efecto, el punto de corte de [texx]b'_{A}\textrm{ y }b'_{B}[/texx] equidista de las rectas [texx]AB\textrm{ y }AC[/texx] por estar en [texx]b'_A[/texx], y de las rectas [texx]AB\textrm{ y }BC\textrm{ por estar en }b'_B[/texx], por lo que equidista de las rectas [texx]AC\textrm{ y }BC[/texx] y está en [texx]b_C[/texx]. Es el punto que en la figura se rótula com [texx]I_C[/texx]. Se suele llamar excentro correspondiente al lado [texx]c[/texx], pues es el centro de la circunferencia ex-incrita, tengente al lado [texx]c[/texx] y a las prolongaciones de [texx]a\textrm{ y }b[/texx], aunque ahora eso no nos importa mucho.

Por tanto, los ángulos [texx]\angle IAI_C\textrm{ y }\angle IBI_C[/texx] son rectos, por lo que los puntos [texx]A y B[/texx] están sobre una circunferencia de diámetro [texx]II_C[/texx]. Es decir, los cuatro puntos están en la misma circunferencia, son conciclícos. Para completar tu problema, nos falta ver que el centro de esta circunferencia es el punto en que la bisectriz [texx]b_C[/texx] corta a la circunferencia circunscrita, [texx]F[/texx] en la figura.

Como deconocemos cual es exactamente el centro de la circunferencia AIB, llamemosle F' y tratemos de ver que F' = F.

En el [texx]\triangle AIB[/texx], tenemos que:

[texx]\angle AIB = 180^\circ{} - \angle IAB - \angle IBA= 180^\circ{} -\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = 180^\circ{} -(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}+
 \frac{\gamma}{2}) + \frac{\gamma}{2}  = 180^\circ{} - 90^\circ{} +\frac{\gamma}{2} = 90^\circ{} +\frac{\gamma}{2}  [/texx]

Como el cuadrilátero [texx]AIBI_C[/texx] está inscrito, tenemos que

[texx]\angle BI_CA = 180^\circ{}- \angle AIB = 90^\circ{} -\frac{\gamma}{2}[/texx]

Por tanto, como el ángulo central mide el doble que el inscrito, el centro de la circunferencia AIB debe estar en el arco desde el que se ve el segmento AB con un ángulo doble que ese: [texx]180^\circ{} -\gamma[/texx]. Como este es el suplementario de [texx]\angle ACB[/texx], resulta que F' debe estar en la circunferencia circunscrita al [texx]\triangle ABC[/texx].  Pero además, debe estar en la mediatriz de su cuerda AB. Que también lo es de la circunferencia circunscrita, por lo que corta a al arco AB de la circunferencia circunscrita que no contiene a [texx]C[/texx] en su punto medio.

Pero este es justamente el punto [texx]F[/texx], pues los dos ángulos iguales en que [texx]b_C[/texx] divide a [texx]\angle ACB[/texx] determinan cuerdas y arcos iguales  en la circunferencia circunscrita. Por tanto, [texx]F[/texx] es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos [texx]A, I\textrm{ y }B[/texx], y equidista de los tres.




No se si puede hacerse de forma más sencilla, pero me encantaría saberlo.

Saludos,



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