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Autor Tema: Limite de sucesión de funciones  (Leído 1217 veces)
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Iziro
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« : 12/12/2017, 07:47:30 pm »

Calcular [texx]lim_{n\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty}(1+x/n)^{-n}sen x/n[/texx]

Tenemos que para cada n [texx]\left |f_n=\left(1+\displaystyle\frac{x}{n}\right)^{-n}sen \displaystyle\frac{x}{n}\right |\leq{e^{-x}}[/texx]  y [texx]f_n[/texx] converge puntualmente a cero
por el teorema de convergencia dominada la integral es cero.

Es correcto??

Muchas gracias.
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mario
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« Respuesta #1 : 12/12/2017, 08:33:23 pm »

Por favor, corrige el título.
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« Respuesta #2 : 13/12/2017, 02:09:48 am »

No, no es correcto. Observa que [texx]\left(1+\frac{x}n\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}k\left(\frac{x}n\right)^k\le\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\le e^x[/texx], por tanto [texx]\left(1+\frac{x}n\right)^{-n}\ge e^{-x}[/texx].
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Iziro
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« Respuesta #3 : 12/12/2017, 04:13:24 pm »

Es verdad
Alguna sugerencia de como podria salir?
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« Respuesta #4 : 13/12/2017, 02:20:44 am »

Es verdad
Alguna sugerencia de como podria salir?

Ni idea amigo. Lo que se puede observar es que cuando [texx]\require{cancel}\cancel{|\sin(x/n)|<\frac{n!}{n^n}}[/texx] entonces se cumple la desigualdad [texx]\cancel{\left|\left(1+\frac{x}n\right)^{-n}\sin(x/n)\right|\le e^{-x}}[/texx]. Otra cosa que se puede hacer es estimar el valor de la integral impropia tanto por arriba como por abajo y hacer un sándwich.

Edición: no, lo tachado no es correcto, había olvidado la cola de la serie de [texx]e^x[/texx].
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Iziro
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« Respuesta #5 : 13/12/2017, 02:22:56 am »

Y no se podria usar esa desigualdad y usar el teorema de convergencia dominada de Lebesgue??

Para n suficientemente grande?


Estoy pensando como haber, es que es del curso de medida
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Gustavo
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« Respuesta #6 : 12/12/2017, 05:55:24 pm »

La sucesión [texx](1+\frac{x}{n})^{-n}[/texx] es decreciente en [texx]n[/texx] y la función para [texx]n=2[/texx] es integrable en [texx][0,\infty)[/texx].
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mario
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« Respuesta #7 : 17/12/2017, 09:55:52 pm »

Por favor, corrige el título.
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