20/08/2019, 02:23:41 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Demuestre que no son isomorfismo  (Leído 218 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 666


Ver Perfil
« : 08/12/2017, 01:12:22 pm »

Hola tengo dudas con esta demostración

Demuestre que los siguientes cuerpos no son isomorfismo

a) [texx]Q(i)[/texx] y [texx]Q(\sqrt[ ]{2})[/texx]

b) [texx]Q\sqrt[ ]{2}[/texx] y [texx]Q\sqrt[ ]{3}[/texx]


Lo que he hecho:

a) [texx]Q(i)[/texx] y [texx]Q(\sqrt[ ]{2})[/texx]

Supongamos que [texx]Q(i)[/texx] y [texx]Q(\sqrt[ ]{2})[/texx] son isomorfos.
Entonces [texx]\phi : Q (i) \longrightarrow{Q (\sqrt[ ]{2})} [/texx].
Tenemos que:
[texx]\phi(1)=1 \Longrightarrow{-\phi(1)} =\phi(-1)=-1 [/texx]

Luego:
[texx](\phi(i))^2=\phi(i^2)=\phi(-1)=-1[/texx]

Debe haber un elemento [texx]x=\phi(i)[/texx] en [texx]\phi(\sqrt[ ]{2})[/texx], con [texx]x^2=-1[/texx]

Esto no puede ser cierto ya que [texx]x^2\geq{0} \forall{x\in{Q(\sqrt[ ]{2}})}[/texx]

Acá el profesor me dijo que buscara otro argumento sin usar orden y no el que di por ejemplo que [texx]x^2+1[/texx] es irreducible en Q[texx]\sqrt[ ]{2}[/texx]

¿Que argumento puedo usar para no usar que [texx]x^2\geq{0} \forall{x\in{Q(\sqrt[ ]{2}})}[/texx]


Para el (b)

b) [texx]Q\sqrt[ ]{2}[/texx] y [texx]Q\sqrt[ ]{3}[/texx]

Supongamos que existe un isomorfismo [texx]\phi : Q\sqrt[ ]{2} \longrightarrow{Q(\sqrt[ ]{3})}[/texx]
Entonces tenemos que [texx]\phi(1)=1[/texx]. Por lo tanto

[texx]2=1+1=\phi(1) +\phi(1)=\phi(1+1) =\phi(2) =\phi(\sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{2}) =\phi(\sqrt[ ]{2}) \phi(\sqrt[ ]{2}) = (\phi(\sqrt[ ]{2}))^2 [/texx]

[texx]\phi(\sqrt[ ]{2}) = \pm{\sqrt[ ]{2}}[/texx]

Es decir [texx]\pm{\sqrt[ ]{2}} \not\in{Q\sqrt[ ]{3}}[/texx] ¿Como demuestro esto?


De antemano gracias.
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.569


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 08/12/2017, 05:55:41 pm »

Hola

Hola tengo dudas con esta demostración

Demuestre que los siguientes cuerpos no son isomorfismo

a) [texx]Q(i)[/texx] y [texx]Q(\sqrt[ ]{2})[/texx]

b) [texx]Q\sqrt[ ]{2}[/texx] y [texx]Q\sqrt[ ]{3}[/texx]


Lo que he hecho:

a) [texx]Q(i)[/texx] y [texx]Q(\sqrt[ ]{2})[/texx]

Supongamos que [texx]Q(i)[/texx] y [texx]Q(\sqrt[ ]{2})[/texx] son isomorfos.
Entonces [texx]\phi : Q (i) \longrightarrow{Q (\sqrt[ ]{2})} [/texx].
Tenemos que:
[texx]\phi(1)=1 \Longrightarrow{-\phi(1)} =\phi(-1)=-1 [/texx]

Luego:
[texx](\phi(i))^2=\phi(i^2)=\phi(-1)=-1[/texx]

Debe haber un elemento [texx]x=\phi(i)[/texx] en [texx]\phi(\sqrt[ ]{2})[/texx], con [texx]x^2=-1[/texx]

Esto no puede ser cierto ya que [texx]x^2\geq{0} \forall{x\in{Q(\sqrt[ ]{2}})}[/texx]

Acá el profesor me dijo que buscara otro argumento sin usar orden y no el que di por ejemplo que [texx]x^2+1[/texx] es irreducible en Q[texx]\sqrt[ ]{2}[/texx]

¿Que argumento puedo usar para no usar que [texx]x^2\geq{0} \forall{x\in{Q(\sqrt[ ]{2}})}[/texx]

A mi me parece un detalle menor. La clave está en lo que apuntas, no existe en [texx]Q(\sqrt{2})[/texx] ningún elemento [texx]x[/texx] verificando [texx]x^2+1=0[/texx]. Esto es equivalente a que el polinomio [texx]x^2+1[/texx] sea irreducible. Esa equivalencia es inmediata.

¿El argumento concreto para concluir? Psss... Por ejemplo todo número en [texx]Q(\sqrt{2})[/texx] es real y todo número real al cuadrado es positivo: no puede ser [texx]-1[/texx]. Pero esto es esencialmente lo que has hecho y no quiere tu profesor.

Otro: [texx]Q(\sqrt{2})[/texx] es subcuerpo de [texx]\mathbb{C}[/texx]; en los complejos las únicas raíces de [texx]x^2+1[/texx] son [texx]i [/texx]y [texx]-i[/texx], y éstas no pertencen a [texx]Q(\sqrt{2})[/texx] porque es un subcuerpo de los reales.

Cita
Para el (b)

b) [texx]Q\sqrt[ ]{2}[/texx] y [texx]Q\sqrt[ ]{3}[/texx]

Supongamos que existe un isomorfismo [texx]\phi : Q\sqrt[ ]{2} \longrightarrow{Q(\sqrt[ ]{3})}[/texx]
Entonces tenemos que [texx]\phi(1)=1[/texx]. Por lo tanto

[texx]2=1+1=\phi(1) +\phi(1)=\phi(1+1) =\phi(2) =\phi(\sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{2}) =\phi(\sqrt[ ]{2}) \phi(\sqrt[ ]{2}) = (\phi(\sqrt[ ]{2}))^2 [/texx]

[texx]\phi(\sqrt[ ]{2}) = \pm{\sqrt[ ]{2}}[/texx]

Es decir [texx]\pm{\sqrt[ ]{2}} \not\in{Q\sqrt[ ]{3}}[/texx] ¿Como demuestro esto?

Tienes que probar que en [texx]Q(\sqrt{3}))[/texx] no hay ningún elemento [texx]x[/texx] cumpliendo [texx]x^2=2.[/texx] Si lo hubiese existirían [texx]p,q[/texx] racionales tales que:

[texx](p+q\sqrt{3})^2=2[/texx]

Equivalentemente:

[texx](p^2+3q^2)+2pq\sqrt{3}=2[/texx]

Pero dado que [texx]\sqrt{3}[/texx] es irracional se deduce que [texx]q=0[/texx] o [texx]p=0[/texx] y de ahí que [texx]p^2=2[/texx] ó [texx]3q^2=2.[/texx] Ambas cosas son imposibles si [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] son racionales.

Saludos.
En línea
cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 666


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 08/12/2017, 06:52:58 pm »

Hola

Hola tengo dudas con esta demostración

Demuestre que los siguientes cuerpos no son isomorfismo

a) [texx]Q(i)[/texx] y [texx]Q(\sqrt[ ]{2})[/texx]

b) [texx]Q\sqrt[ ]{2}[/texx] y [texx]Q\sqrt[ ]{3}[/texx]


Lo que he hecho:

a) [texx]Q(i)[/texx] y [texx]Q(\sqrt[ ]{2})[/texx]

Supongamos que [texx]Q(i)[/texx] y [texx]Q(\sqrt[ ]{2})[/texx] son isomorfos.
Entonces [texx]\phi : Q (i) \longrightarrow{Q (\sqrt[ ]{2})} [/texx].
Tenemos que:
[texx]\phi(1)=1 \Longrightarrow{-\phi(1)} =\phi(-1)=-1 [/texx]

Luego:
[texx](\phi(i))^2=\phi(i^2)=\phi(-1)=-1[/texx]

Debe haber un elemento [texx]x=\phi(i)[/texx] en [texx]\phi(\sqrt[ ]{2})[/texx], con [texx]x^2=-1[/texx]

Esto no puede ser cierto ya que [texx]x^2\geq{0} \forall{x\in{Q(\sqrt[ ]{2}})}[/texx]

Acá el profesor me dijo que buscara otro argumento sin usar orden y no el que di por ejemplo que [texx]x^2+1[/texx] es irreducible en Q[texx]\sqrt[ ]{2}[/texx]

¿Que argumento puedo usar para no usar que [texx]x^2\geq{0} \forall{x\in{Q(\sqrt[ ]{2}})}[/texx]

A mi me parece un detalle menor. La clave está en lo que apuntas, no existe en [texx]Q(\sqrt{2})[/texx] ningún elemento [texx]x[/texx] verificando [texx]x^2+1=0[/texx]. Esto es equivalente a que el polinomio [texx]x^2+1[/texx] sea irreducible. Esa equivalencia es inmediata.

¿El argumento concreto para concluir? Psss... Por ejemplo todo número en [texx]Q(\sqrt{2})[/texx] es real y todo número real al cuadrado es positivo: no puede ser [texx]-1[/texx]. Pero esto es esencialmente lo que has hecho y no quiere tu profesor.

Otro: [texx]Q(\sqrt{2})[/texx] es subcuerpo de [texx]\mathbb{C}[/texx]; en los complejos las únicas raíces de [texx]x^2+1[/texx] son [texx]i [/texx]y [texx]-i[/texx], y éstas no pertencen a [texx]Q(\sqrt{2})[/texx] porque es un subcuerpo de los reales.

Cita
Para el (b)

b) [texx]Q\sqrt[ ]{2}[/texx] y [texx]Q\sqrt[ ]{3}[/texx]

Supongamos que existe un isomorfismo [texx]\phi : Q\sqrt[ ]{2} \longrightarrow{Q(\sqrt[ ]{3})}[/texx]
Entonces tenemos que [texx]\phi(1)=1[/texx]. Por lo tanto

[texx]2=1+1=\phi(1) +\phi(1)=\phi(1+1) =\phi(2) =\phi(\sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{2}) =\phi(\sqrt[ ]{2}) \phi(\sqrt[ ]{2}) = (\phi(\sqrt[ ]{2}))^2 [/texx]

[texx]\phi(\sqrt[ ]{2}) = \pm{\sqrt[ ]{2}}[/texx]

Es decir [texx]\pm{\sqrt[ ]{2}} \not\in{Q\sqrt[ ]{3}}[/texx] ¿Como demuestro esto?

Tienes que probar que en [texx]Q(\sqrt{3}))[/texx] no hay ningún elemento [texx]x[/texx] cumpliendo [texx]x^2=2.[/texx] Si lo hubiese existirían [texx]p,q[/texx] racionales tales que:

[texx](p+q\sqrt{3})^2=2[/texx]

Equivalentemente:

[texx](p^2+3q^2)+2pq\sqrt{3}=2[/texx]

Pero dado que [texx]\sqrt{3}[/texx] es irracional se deduce que [texx]q=0[/texx] o [texx]p=0[/texx] y de ahí que [texx]p^2=2[/texx] ó [texx]3q^2=2.[/texx] Ambas cosas son imposibles si [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] son racionales.

Saludos.


Entiendo me has sacado de mucha dudas.

Muchas gracias Luis Fuentes

Saludos
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!