Foros de matemática
18/12/2017, 05:57:00 am *
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Autor Tema: Formas de indeterminación (el infinito y más allá)  (Leído 354 veces)
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LuisYanesBello
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« : 07/12/2017, 05:54:49 pm »

Busco buenos enlaces webs o recomendación bibliografía del tema (mejor accesible y gratuita) sobre las formas de indeterminación en límites de sucesiones y de funciones.
me refiero a :
\infty-\infty
1 elevado a infinito
0/0 etc.
pero no en el sentido de resolverlas , sino en su por qué.
Que yo vea de forma clara y definitoria por qué son indeterminaciones. Con explicaciones intuitivas y luego formales.

por qué 1 elevado al infinito está indefinido ? (quise decir indeterminado)

por qué 0 por infinito está indefinido ?  (quise decir indeterminado)

etc.

Miguel de Guzmán tiene algo de este tema explicado ?

Perelman ?

Gracias
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Fernando Revilla
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« Respuesta #1 : 07/12/2017, 06:03:57 pm »

Puede ser útil: Concepto de indeterminación | Fernando Revilla.
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« Respuesta #2 : 07/12/2017, 06:52:24 pm »


Voy para allá como un tiro. Si algo me gusta es la ayuda en "carne y huesos". Bueno, yo me entiendo. Quiero decir que me gusta leer a las personas que defienden lo que escriben.
Gracias
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« Respuesta #3 : 07/12/2017, 06:56:58 pm »

Vale empiezo a ver más claro.

Especialmente porque el razonamiento implícito está en el mundo de los límites.

Así que te quiero preguntar, por favor, si las expresiones indeterminadas son expresiones "algebraicas" o simplemente expresiones en el contexto de los límites. Lo digo para aclararme, porque mis dudas vienen de cuando hago un discurso "operativo algebraico" . En cambio las dudas se disipan cuando veo tu disertación en el campo de los límites.

¿ es correcto establecer igualdades utilizando formas indeterminadas ? ¿ En qué contexto son admitidas y con qué significado simbólico ?

Gracias

P.D. Me lío como tengo por costumbre.....

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« Respuesta #4 : 07/12/2017, 11:48:59 pm »

Una forma indeterminada de un límite es una expresión algebraica la cual se puede demostrar que puede representar diferentes valores y por tanto no posee un valor determinado a priori.

Es decir, existen límites [texx]\lim_{x\to c}f(x)[/texx] que al intentar evaluarlos como composición de límites adquieren una forma del tipo [texx]0\cdot\infty, \frac00,\frac\infty\infty,1^\infty,\infty^0,0^0,\infty-\infty[/texx] o similares, las cuales no poseen valor per se en el modelo algebraico que generalmente se utiliza para representar los números reales (es decir, son formas indefinidas en el álgebra usual), y sin embargo tales límites se pueden evaluar por otros métodos tomando diferentes valores, por lo cual a esas formas no se les puede adjudicar un valor predeterminado, de ahí lo de formas indeterminadas.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Es más: se puede demostrar, también a través de ejemplos, que una forma indeterminada puede representar cualquier valor[1]. Un ejemplo: tomemos el límite [texx]\lim_{x\to 0}\frac{c\sin x}x[/texx] para un [texx]c\in\Bbb R[/texx]. Existe un teorema que dice que si el límite [texx]\frac{\lim_{x\to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}[/texx] existe entonces su valor es igual al límite [texx]\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}[/texx].

Entonces aplicando este teorema para tratar de evaluar [texx]\lim_{x\to 0}\frac{c\sin x}x[/texx] nos quedaría la expresión [texx]\frac00[/texx], que no nos dice nada sobre el valor de dicho límite, ya que de por sí la expresión [texx]\frac00[/texx] carece de valor en el álgebra estándar que usamos para los números reales. Sin embargo de la definición analítica del seno podemos constatar que

[texx]\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{c\sin x}x=c\lim_{x\to 0}\frac1x\sum_{k\ge 0}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=c\sum_{k\ge 0}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\lim_{x\to 0}x^{2k}=c\cdot (1+0+0+0+\ldots)=c[/texx]

(otras demostraciones más elementales del valor de este límite se pueden consultar aquí. La demostración de arriba utiliza algunos teoremas quizá demasiado avanzados.)

Con esto hemos demostrado que una forma del tipo [texx]\frac00[/texx] puede representar cualquier valor. Lo mismo se puede demostrar para el resto de formas indeterminadas.

[1]: ahora que lo pienso los valores reales de la indeterminación del tipo [texx]0^0[/texx] podrían estar limitados al conjunto de reales positivos. En cualquier caso cada indeterminación puede representar incontables valores diferentes.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #5 : 08/12/2017, 04:22:16 am »

Así que te quiero preguntar, por favor, si las expresiones indeterminadas son expresiones "algebraicas" o simplemente expresiones en el contexto de los límites. Lo digo para aclararme, porque mis dudas vienen de cuando hago un discurso "operativo algebraico" . En cambio las dudas se disipan cuando veo tu disertación en el campo de los límites.

Lo más importamte es saber exactamernte la procedencia y/o contexto del simbolismo. Por ejemplo, si estamos trabajando en límites de funciones (contexto) y aparece la expresión [texx]0\cdot \infty[/texx] significa que tenemos que hallar el límite del producto de dos funciones, que una tiende a [texx]0[/texx], otra a [texx]\infty[/texx] (procedencia) y que con ese único conocimiento no podemos asegurar el valor del límite del producto.

Sin embargo, si estamos en el contexto de la teoría de la medida (en Bachillerato no la estudiáis) entonces [texx]0\cdot \infty=0[/texx] refleja simbólicamente una propiedad de la integral de una función nula sobre un conjunto de medida infinita (procedencia).

¿es correcto establecer igualdades utilizando formas indeterminadas ? ¿ En qué contexto son admitidas y con qué significado simbólico ?

Sí, por ejemplo la [texx]0\cdot \infty=0[/texx] que ya te indiqué en teoría de la medida y la [texx]0^0=1[/texx] en teoría de cardinales (tampoco la estudiáis).
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« Respuesta #6 : 08/12/2017, 07:26:52 am »


Que yo vea de forma clara y definitoria por qué son indeterminaciones. Con explicaciones intuitivas y luego formales.

Hola, LuisYanesBello. En el terreno de lo intuitivo quizá pueda aportar algo.

Supongamos que “x” es un número racional o que se puede redondear a un valor racional distinto de cero. Así, podemos tener

[texx]\dfrac{2x}{x}
 [/texx] y [texx]\dfrac{3x}{x}
 [/texx]. En primer lugar tenemos que [texx]\dfrac{x}{x}=1
 [/texx] y, por tanto, las soluciones son 2 y 3; en segundo lugar tendremos que [texx]2x\neq3x
 [/texx]; y, por otra parte más, [texx]2x+3x=5x
 [/texx] siendo los tres elemntos de la igualdad distintos.

Supongamos lo mismo con un “x” que tiene a cero.

[texx]\lim_{x\to0}\frac{2x}{x}\;,\quad\lim_{x\to0}\frac{3x}{x}.
 [/texx]

En cuanto a lo primero, seguimos teniendo la misma operación algebraica, [texx]\dfrac{x}{x}=1
 [/texx] y, por tanto, las soluciones son 2 y 3.

Pero en cuanto a lo segundo la cosa cambia, tenemos que [texx]2x=3x
 [/texx] y no [texx]2x\neq3x
 [/texx], y también [texx]2x+3x=x=2x=3x...
 [/texx] puesto que [texx]0=2\cdot0=3\cdot0...
 [/texx].

Desde este punto de vista, podemos decir [texx]\dfrac{2x}{x}=\dfrac{0}{0}
 [/texx] y [texx]\dfrac{3x}{x}=\dfrac{0}{0}
 [/texx], pero no podemos decir [texx]\dfrac{3x}{x}=\dfrac{2x}{x}
 [/texx]; entonces tampoco podemos decir [texx]\dfrac{0}{0}=\dfrac{0}{0}
 [/texx], pues tenemos que [texx]\dfrac{0}{0}
 [/texx] puede ser 2, puede ser 3... sin más datos no podemos determinar qué es. Puede ser lo que sea, principalmente porque esos ceros están representando números infinitesimales; y hay infinitos números infinitesimales distintos, aunque al sumarlos con números corrientes sean sólo un número, el neutro.

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Saludos.
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« Respuesta #7 : 08/12/2017, 07:53:39 am »

Así que te quiero preguntar, por favor, si las expresiones indeterminadas son expresiones "algebraicas" o simplemente expresiones en el contexto de los límites. Lo digo para aclararme, porque mis dudas vienen de cuando hago un discurso "operativo algebraico" . En cambio las dudas se disipan cuando veo tu disertación en el campo de los límites.

Lo más importamte es saber exactamernte la procedencia y/o contexto del simbolismo. Por ejemplo, si estamos trabajando en límites de funciones (contexto) y aparece la expresión [texx]0\cdot \infty[/texx] significa que tenemos que hallar el límite del producto de dos funciones, que una tiende a [texx]0[/texx], otra a [texx]\infty[/texx] (procedencia) y que con ese único conocimiento no podemos asegurar el valor del límite del producto.

Sin embargo, si estamos en el contexto de la teoría de la medida (en Bachillerato no la estudiáis) entonces [texx]0\cdot \infty=0[/texx] refleja simbólicamente una propiedad de la integral de una función nula sobre un conjunto de medida infinita (procedencia).

¿es correcto establecer igualdades utilizando formas indeterminadas ? ¿ En qué contexto son admitidas y con qué significado simbólico ?

Sí, por ejemplo la [texx]0\cdot \infty=0[/texx] que ya te indiqué en teoría de la medida y la [texx]0^0=1[/texx] en teoría de cardinales (tampoco la estudiáis).

Esto me está gustando cada vez más. Ponme, por favor, algún enlace o bibliografía descargable sobre estos temas.
Gracias
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« Respuesta #8 : 08/12/2017, 08:00:19 am »

Bueno una cosa que observo es la necesidad demostrativa.
Que en este caso parece estar a dos niveles.
Forma indeterminada demostrando simplemente que hay dos casos que conducen a resultados distintos.
Forma indeterminada demostrando de forma más ambiciosa que hay infinitos casos que conducen a resultados distintos.

Algún buen enlace a un esquema de métodos de demostración matemáticos ?

Otra cosa que estoy buscando como un loco son esquemas (vulgarmente conocidas como chuletas) de límites. Tanto a nivel de segundo bachillerato como de futuro. El libro que tengo, y no usamos, es el de SM. Está bastante bien pero me gustaría algo más depurado y concentrado. Y si es posible que sea editable de futuro. Ideal un "chuletario" en formato word, pero creo que me podría aviar también con un pdf si no estuviera muy protegido.

Gracias

En general me gustaría conseguir buenos enlaces o descargas de esquemas de fórmulas matemáticas.
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« Respuesta #9 : 08/12/2017, 02:16:19 pm »

meriva , masacroso, muchas gracias a los dos.
Me voy a la página de revilla.
Me ha tocado el fin de semana largo y tendré que  buscar por mi cuenta
A por la teoría de la medida, la teoría de cardinales y más allá .....  :BangHead:
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« Respuesta #10 : 08/12/2017, 02:30:04 pm »

meriva , masacroso, muchas gracias a los dos.
Me voy a la página de revilla.
Me ha tocado el fin de semana largo y tendré que  buscar por mi cuenta
A por la teoría de la medida, la teoría de cardinales y más allá .....  :BangHead:

Si vas a emprender tan valiente viaje te recomiendo también los libros de Carlos Ivorra; que son libros que hablan y siempre te enterarás un poco mejor; además Carlos es administrador del foro.

Éste es el de Cardinales, pero es continuación del de Teoría de Conjuntos; deberías empezar antes por él:


https://www.uv.es/ivorra/Libros/Cardinales.pdf

Saludos.

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« Respuesta #11 : 08/12/2017, 02:58:51 pm »

Vuelvo de la mano de Revilla.
Me creo que he pescado lo de cero por infinito en probabilidades como si fuera un mundo reducido.
y que siendo toda la historia del cero al uno el 0 x \infty = 0 me parece inteligible intuitivamente.
el cero elevado a cero en cardinales no lo pillo.
porque eso de los alefs se me escapa bastante. En principio pensé que cobraría sentido siendo números naturales, pero al cambiar de orden de Alef me perdí como un beduino.
 :BangHead:

me voy a ver el enlace que me has puesto.
Gracias
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« Respuesta #12 : 08/12/2017, 03:13:59 pm »

Bueno, pues no se si tengo mis muelas preparadas para tanto filatex (por filete), pero me he bajado lo que he podido de la página de Ivorra que es sorprendente por sus aficiones variadas. Incluso creo que leí un soneto.......

 :rodando_los_ojos:
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« Respuesta #13 : 08/12/2017, 03:17:32 pm »

meriva , masacroso, muchas gracias a los dos.
Me voy a la página de revilla.
Me ha tocado el fin de semana largo y tendré que  buscar por mi cuenta
A por la teoría de la medida, la teoría de cardinales y más allá .....  :BangHead:

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« Respuesta #14 : 09/12/2017, 06:23:47 am »

Carlos Ivorra Castillo, ahí es nada.
Un laboratorio matemático armado de bolígrafo y papel con sensibilidad literaria.

Parece que la cultura se ha vuelto loca. Ayer viernes festivo todavía compré papel. Hoy con este estupendo enlace http://www.rinconmatematico.com/libros.htm me reoriento.

Lo que compré el viernes fueron cuatro libros de texto de segundo de bachillerato. Me los ofrecieron a tres euros unidad, pero regateando y alegando compra por cantidad me los llevé a un euro la unidad. Cuatro euros que es obvio que han sido aprovechados.

Entre tanta baratura uno se pregunta por la maravilla real de poder estar en contacto (más o menos) con personas de gran calibre científico. Ya hace unos días agradecía la ayuda recibida en este foro. Pero es que ahora estoy a punto de emocionarme de forma rematadamente cibernética. En fin gracias porque aunque creo que la sociedad necesita muchos cambios yo estoy muy a gusto en este foro.

 :lengua_afuera:
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« Respuesta #15 : 09/12/2017, 07:39:51 am »

Hola, querias un chuletario sobre límites , te enlazo este a ver que te parece.

https://www.studocu.com/es/document/universidad-de-las-palmas-de-gran-canaria/informatica/resumenes/resumen-tabla-de-infinitos-e-infinitesimos-equivalentes/390180/view?has_flashcards=0

Saludos.
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Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

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« Respuesta #16 : 09/12/2017, 07:47:00 am »

A por la teoría de la medida, la teoría de cardinales y más allá .....  :BangHead:

Con respecto al [texx]0^0=1[/texx] en el contexto de la cardinalidad: para todo conjunto [texx]A[/texx] existe la función vacía [texx]f:\emptyset \to A[/texx] pues si [texx]x\in \emptyset[/texx] existe único [texx]y\in Y[/texx] tal que [texx]f(x)=y[/texx] (porque [texx]p\to q[/texx] es cierto si [texx]p[/texx] es falso). Por otra parte, si [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] son conjuntos finitos no vacíos y [texx]Y^X[/texx] representa el conjunto de las funciones de [texx]X[/texx] en [texx]Y[/texx] y [texx]\left |{M}\right |[/texx] el cardinal de un conjunto [texx]M[/texx], es fácil verificar que [texx]\left |{Y^X}\right |=\left |{Y}\right |^{\left |{X}\right |}[/texx]. Sólo hay una función [texx]f:\emptyset\to \emptyset[/texx], por tanto si queremos generalizar la fórmula: [texx]1=\left |{\emptyset}^{\emptyset}\right |=\left |{\emptyset}\right |^\left |{\emptyset}\right |=0^0.[/texx]
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« Respuesta #17 : 12/12/2017, 12:36:24 am »


No me deja descargarlo. Me pide que me registre en premium.
Algún enlace sin complicaciones ?
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« Respuesta #18 : 12/12/2017, 12:41:27 am »

A por la teoría de la medida, la teoría de cardinales y más allá .....  :BangHead:

Con respecto al [texx]0^0=1[/texx] en el contexto de la cardinalidad: para todo conjunto [texx]A[/texx] existe la función vacía [texx]f:\emptyset \to A[/texx] pues si [texx]x\in \emptyset[/texx] existe único [texx]y\in Y[/texx] tal que [texx]f(x)=y[/texx] (porque [texx]p\to q[/texx] es cierto si [texx]p[/texx] es falso). Por otra parte, si [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] son conjuntos finitos no vacíos y [texx]Y^X[/texx] representa el conjunto de las funciones de [texx]X[/texx] en [texx]Y[/texx] y [texx]\left |{M}\right |[/texx] el cardinal de un conjunto [texx]M[/texx], es fácil verificar que [texx]\left |{Y^X}\right |=\left |{Y}\right |^{\left |{X}\right |}[/texx]. Sólo hay una función [texx]f:\emptyset\to \emptyset[/texx], por tanto si queremos generalizar la fórmula: [texx]1=\left |{\emptyset}^{\emptyset}\right |=\left |{\emptyset}\right |^\left |{\emptyset}\right |=0^0.[/texx]

Pues bueno. Yo con maestros no discuto.
De todas formas me parece muy bien que alguien tenga claros los cuatro puntos cardinales. En caso de duda siempre me quedará la brújula.
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« Respuesta #19 : 12/12/2017, 01:39:35 am »

Un merecido hola a todas las personas que participan en este hilo.


Estaba siguiendo la lectura de este hilo cuando Fernando hace mención a algo que todavía no logro entenderlo... y espero que alguien esté en mis mismas condiciones para no sentirme mal :lengua_afuera:. No se trata del título de este espacio... tiene que ver con algo que pregunté hace unos 4 meses y que ahora me surgió otra duda. Originalmente se trataba sobre una función cuyo dominio es vacío, y la discusión se puede seguir acá. Al dueño del hilo o cualquier otro puede continuar con el título original, y pido disculpas si me entrometí con algo que no debía.


Saludos!
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