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Autor Tema: Proposición sobre extremos relativos  (Leído 81 veces)
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Eparoh
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« : 07/12/2017, 02:22:10 pm »

Hola, tengo planteada la siguiente proposición sobre extremos relativos:

Sea [texx]f[/texx] una función real continua en [texx](a,b)[/texx] y sea [texx]x_0 \in (a,b)[/texx] tal que en [texx]f(x_0)[/texx] la función tiene un extremo relativo (mínimo o máximo relativo), entonces existe un entorno de [texx]x_0[/texx], sea [texx](x_0-\delta, x_0+\delta)[/texx] con [texx]\delta >0[/texx] tal que dado [texx]0<\varepsilon \leq \delta[/texx] existen [texx]x_0-\varepsilon < x < x_0[/texx] e [texx]x_0<y<x_0+\varepsilon[/texx] con [texx]f(x)=f(y)[/texx].

Por intuición creo que es cierta, pero no consigo dar con la forma de demostrarla. ¿Alguna idea?
Un saludo, y muchas gracias por su tiempo.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 08/12/2017, 06:33:19 pm »

Hola

Hola, tengo planteada la siguiente proposición sobre extremos relativos:

Sea [texx]f[/texx] una función real continua en [texx](a,b)[/texx] y sea [texx]x_0 \in (a,b)[/texx] tal que en [texx]f(x_0)[/texx] la función tiene un extremo relativo (mínimo o máximo relativo), entonces existe un entorno de [texx]x_0[/texx], sea [texx](x_0-\delta, x_0+\delta)[/texx] con [texx]\delta >0[/texx] tal que dado [texx]0<\varepsilon \leq \delta[/texx] existen [texx]x_0-\varepsilon < x < x_0[/texx] e [texx]x_0<y<x_0+\varepsilon[/texx] con [texx]f(x)=f(y)[/texx].

Por intuición creo que es cierta, pero no consigo dar con la forma de demostrarla. ¿Alguna idea?
Un saludo, y muchas gracias por su tiempo.

Tiene que ser un extremo relativo estricto, en otro caso no es cierto el resultado.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Supón que es un máximo (sería análogo para un mínimo). Entonces existe un entorno [texx](x_0-\delta,x_0+\delta)[/texx] tal que [texx]f(x_0)> f(x)[/texx] para todo [texx]x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)[/texx].

Ahora dado [texx]\varepsilon<\delta[/texx] se tiene que [texx]f(x_0-\varepsilon/2)<f(x_0)[/texx] y [texx]f(x_0+\varepsilon/2)<f(x_0)[/texx].

Por el teorema de los valores intermedios para funciones continuas [texx]f[/texx] toma todos los valores en [texx][f(x_0-\varepsilon/2),f(x_0))[/texx] en [texx][x_0-\varepsilon/2,x_0)[/texx] y también todos los valores en [texx][f(x_0+\varepsilon/2),f(x_0))[/texx] en [texx](x_0,x_0+\varepsilon/2][/texx]

Concluye...

Saludos.
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Eparoh
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« Respuesta #2 : 09/12/2017, 05:45:44 pm »

Tiene que ser un extremo relativo estricto, en otro caso no es cierto el resultado.
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Si, es lo que quería decir, gracias por la rectificación.


Supón que es un máximo (sería análogo para un mínimo). Entonces existe un entorno [texx](x_0-\delta,x_0+\delta)[/texx] tal que [texx]f(x_0)> f(x)[/texx] para todo [texx]x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)[/texx].

Ahora dado [texx]\varepsilon<\delta[/texx] se tiene que [texx]f(x_0-\varepsilon/2)<f(x_0)[/texx] y [texx]f(x_0+\varepsilon/2)<f(x_0)[/texx].

Por el teorema de los valores intermedios para funciones continuas [texx]f[/texx] toma todos los valores en [texx][f(x_0-\varepsilon/2),f(x_0))[/texx] en [texx][x_0-\varepsilon/2,x_0)[/texx] y también todos los valores en [texx][f(x_0+\varepsilon/2),f(x_0))[/texx] en [texx](x_0,x_0+\varepsilon/2][/texx]

Concluiría tomando [texx]t=\max\{f(x_0-\varepsilon/2), f(x_0+\varepsilon/2)\}[/texx] y ahora, sabemos que para cada valor [texx]z[/texx] en el intervalo [texx][t,f(x_0))[/texx] existe un [texx]x \in [x_0-\varepsilon/2,x_0)[/texx] e [texx]y \in (x_0,x_0+\varepsilon/2][/texx] tal que [texx]f(x)=z=f(y)[/texx].

Estoy un poco espeso estos días, pero si lo que he propuesto es cierto, ¿entonces porque has considerado [texx]\varepsilon/2[/texx] en lugar de directamente [texx]\varepsilon[/texx]?

También, he pensado antes en una demostración por reducción al absurdo, que en resumen sería teniendo en cuenta que al ser [texx]f[/texx] continua, si consideramos que la función es inyectiva, entonces será estrictamente monótona, y [texx]x_0[/texx] no podría ser un extremo relativo estricto. ¿Podría desarrollarse así también una demostración matizándola un poco, no?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 10/12/2017, 06:42:17 pm »

Hola

Tiene que ser un extremo relativo estricto, en otro caso no es cierto el resultado.
Spoiler (click para mostrar u ocultar)
Si, es lo que quería decir, gracias por la rectificación.


Supón que es un máximo (sería análogo para un mínimo). Entonces existe un entorno [texx](x_0-\delta,x_0+\delta)[/texx] tal que [texx]f(x_0)> f(x)[/texx] para todo [texx]x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)[/texx].

Ahora dado [texx]\varepsilon<\delta[/texx] se tiene que [texx]f(x_0-\varepsilon/2)<f(x_0)[/texx] y [texx]f(x_0+\varepsilon/2)<f(x_0)[/texx].

Por el teorema de los valores intermedios para funciones continuas [texx]f[/texx] toma todos los valores en [texx][f(x_0-\varepsilon/2),f(x_0))[/texx] en [texx][x_0-\varepsilon/2,x_0)[/texx] y también todos los valores en [texx][f(x_0+\varepsilon/2),f(x_0))[/texx] en [texx](x_0,x_0+\varepsilon/2][/texx]

Concluiría tomando [texx]t=\max\{f(x_0-\varepsilon/2), f(x_0+\varepsilon/2)\}[/texx] y ahora, sabemos que para cada valor [texx]z[/texx] en el intervalo [texx][t,f(x_0))[/texx] existe un [texx]x \in [x_0-\varepsilon/2,x_0)[/texx] e [texx]y \in (x_0,x_0+\varepsilon/2][/texx] tal que [texx]f(x)=z=f(y)[/texx].

Estoy un poco espeso estos días, pero si lo que he propuesto es cierto, ¿entonces porque has considerado [texx]\varepsilon/2[/texx] en lugar de directamente [texx]\varepsilon[/texx]?

Si; valdría con [texx]\varepsilon[/texx]. Fui escribiendo al mismo tiempo que pensaba y en un primer momento tomé [texx]\varepsilon/[/texx]2 para "cubrirme las espaldas".

Cita
También, he pensado antes en una demostración por reducción al absurdo, que en resumen sería teniendo en cuenta que al ser [texx]f[/texx] continua, si consideramos que la función es inyectiva, entonces será estrictamente monótona, y [texx]x_0[/texx] no podría ser un extremo relativo estricto. ¿Podría desarrollarse así también una demostración matizándola un poco, no?

Pues no te digo que no se pueda, pero no lo veo cómodo o claro.

Como primer inconveniente que no se cumpla la tesis no quiere decir (en principio) que la función sea inyectiva; por ejemplo el caso que te puse de extremo no estricto no cumple la tesis y no es inyectiva en ningún entorno del mínimo.

Saludos.
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