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Autor Tema: Topología producto  (Leído 522 veces)
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toppo
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« : 08/12/2017, 11:52:41 pm »

Hola , tengo dudas si estoy pensando bien el siguiente ejercicio:

En [texx]\mathbb{R}[/texx] se considera la topologia [texx]T[/texx] que tiene por base [texx]B=\left\{{[a,\infty)}\right\}[/texx].

Luego se considera la topologia producto [texx]T^*[/texx], donde en cada coordenada se tiene la topología [texx]T[/texx].

1-Analizar si [texx](\mathbb{R}\times \mathbb{R}, T^*)[/texx] es metrizable

2- Sea [texx]S=\left\{{(x,y):x+y=0}\right\}[/texx] . Considera [texx]S[/texx] con la relativa a [texx]T^*[/texx]

a) Analizar si ([texx]\mathbb{R}\times \mathbb{R},T*)[/texx] es conexo y si también [texx](S, T*/S)[/texx] lo es

b) Analizar convergencia de  las sucesiones [texx]x_n=(n,-n)[/texx] , [texx]y_n=(-n,n)[/texx]

c)Analizar si [texx](S, T^*/S)[/texx] es N2

Para la parte a) pensé que el espacio no es metrizable ya que no es T2(ya que no es el producto de dos espacios T2)

Para la parte a) [texx]\mathbb{R}\times \mathbb{R}[/texx] con [texx]T^*[/texx] creo que si es conexo, por ser producto de espacios conexos

y [texx]S[/texx] con la relativa a [texx]T^*[/texx] creo que es conexo también

las partes b) y c) no tengo mucha idea cómo trabajarlas...

Agradezco ayuda para resolverlo

Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 09/12/2017, 05:06:36 am »

Hola

Hola , tengo dudas si estoy pensando bien el siguiente ejercicio:

En [texx]\mathbb{R}[/texx] se considera la topologia [texx]T[/texx] que tiene por base [texx]B=\left\{{[a,\infty)}\right\}[/texx].

Luego se considera la topologia producto [texx]T^*[/texx], donde en cada coordenada se tiene la topología [texx]T[/texx].

1-Analizar si [texx](\mathbb{R}\times \mathbb{R}, T^*)[/texx] es metrizable

2- Sea [texx]S=\left\{{(x,y):x+y=0}\right\}[/texx] . Considera [texx]S[/texx] con la relativa a [texx]T^*[/texx]

a) Analizar si ([texx]\mathbb{R}\times \mathbb{R},T*)[/texx] es conexo y si también [texx](S, T*/S)[/texx] lo es

b) Analizar convergencia de  las sucesiones [texx]x_n=(n,-n)[/texx] , [texx]y_n=(-n,n)[/texx]

c)Analizar si [texx](S, T^*/S)[/texx] es N2

Para la parte a) pensé que el espacio no es metrizable ya que no es T2(ya que no es el producto de dos espacios T2)

Bien.

Cita
Para la parte a) [texx]\mathbb{R}\times \mathbb{R}[/texx] con [texx]T^*[/texx] creo que si es conexo, por ser producto de espacios conexos

Bien. Previamente tiene que haber probado que [texx](\mathbb{R},T^*)[/texx] si es conexo. Para ello basta notar que cualquier par de abiertos se cortan.

Cita
y [texx]S[/texx] con la relativa a [texx]T^*[/texx] creo que es conexo también

No, no es conexo. De hecho [texx]S[/texx] tiene la topología discreta. Para cualquier [texx](x,y)\in S[/texx] se tiene [texx](x,y)=(a,-a)[/texx], pero:

[texx](a,-a)=[a,+\infty)\times [-a,+\infty)\cap S[/texx]

Cita
las partes b) y c) no tengo mucha idea cómo trabajarlas...

Con la topología discreta las únicas sucesiones convergentes son las constantes.

En cuanto al (c), ¿a qué llamas N2?.

Saludos.

P.D. Cuando uses LaTeX para las fórmulas mete cada fórmula completa entre [tex]...[/tex] y no sólo trozos de ella.

Por ejemplo:

B=[tex]\{[a,+\infty]\}[/tex]    B=[texx]\{[a,+\infty]\}[/texx]    ¡MAL!

[tex]B=\{[a,+\infty]\}[/tex]    [texx]B=\{[a,+\infty]\}[/texx]    ¡BIEN!
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« Respuesta #2 : 09/12/2017, 01:10:56 pm »


Hola, un espacio es N2 si tiene una base numerable y bueno ,si la topologia relativa al conjunto S es la discreta, entonces el espacio (S,T*/S) no seria N2, ya que la topologia discreta (definida en un conjunto no numerable) no tiene una base numerable,no?

Muchas gracias por la ayuda
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 10/12/2017, 06:34:17 pm »

Hola

Hola, un espacio es N2 si tiene una base numerable y bueno ,si la topologia relativa al conjunto S es la discreta, entonces el espacio (S,T*/S) no seria N2, ya que la topologia discreta (definida en un conjunto no numerable) no tiene una base numerable,no?

Correcto.

Saludos.
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