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Autor Tema: Aplicación lineal cumpliendo condiciones (3)  (Leído 296 veces)
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ytrusx
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« : 10/12/2017, 04:48:39 pm »

Les pongo otro ejercicio más que me resulta confuso porque aquí ni siquiera dan subespacios de los que extraer bases y la condición principal es bastante abstracta:

3. Hallar una aplicación lineal [texx]\mathbb{Q^3}\rightarrow{}\mathbb{Q^3}[/texx] en su forma [texx]f(x,y,z)=(...)[/texx] tal que se cumpla que
[texx]f(Imf)=Kerf[/texx]
[texx]f(1,1,1)=(2,1,1)[/texx]

Probablemente la idea detrás de este ejercicio sea realmente sencilla pero indudablemente me confunde esa primera condición que se nos exige cumplir. A ver si alguien me puede ayudar, por favor.

Muchísimas gracias de antemano.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 10/12/2017, 07:18:23 pm »

Hola

Les pongo otro ejercicio más que me resulta confuso porque aquí ni siquiera dan subespacios de los que extraer bases y la condición principal es bastante abstracta:

3. Hallar una aplicación lineal [texx]\mathbb{Q^3}\rightarrow{}\mathbb{Q^3}[/texx] en su forma [texx]f(x,y,z)=(...)[/texx] tal que se cumpla que
[texx]f(Imf)=Kerf[/texx]
[texx]f(1,1,1)=(2,1,1)[/texx]

Probablemente la idea detrás de este ejercicio sea realmente sencilla pero indudablemente me confunde esa primera condición que se nos exige cumplir. A ver si alguien me puede ayudar, por favor.

Muchísimas gracias de antemano.

Veamos primero la dimensión de núcleo e imagen.

Como [texx]f(1,1,1)=(2,1,1)[/texx] se tiene que [texx]dim(Im(f))\geq 1[/texx]. Además como f(Im(f))=ker(F) se tiene que [texx]ker(f)\subset Im(f)[/texx] y así [texx]dim(ker(f))\leq dim(Im(f)).[/texx]

Además [texx]dim(Im(f))+dim(ker(f))=dim(Q^3)=3[/texx].

Todo esto descarta inmediatamente que [texx]dim(Im(f))=1[/texx]. Además si [texx]dim(Im(f))=3[/texx] entonces [texx]Im(f)=\mathbb{Q}^3[/texx] e [texx]f(Im(F))=Im(f)\neq Ker(f)[/texx]. Imposible.

Por tanto necesariamente [texx]dim(Im(f))=2[/texx] y [texx]dim(ker(f))=1[/texx].

Ahora como [texx](2,1,1)\in Im(f)[/texx], se tiene que [texx]f(2,1,1)\in ker(f).[/texx]

Escogemos [texx](0,1,0)[/texx] independiente [texx](1,1,1)[/texx] y [texx](2,1,1)[/texx] para generar el núcleo y definiendo:

[texx]f(0,1,0)=(0,0,0)[/texx]
[texx]f(2,1,1)=(0,1,0)[/texx]
[texx]f(1,1,1)=(2,1,1)[/texx]

tenemos lo que queríamos.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 11/12/2017, 12:30:36 pm »

Hola

Les pongo otro ejercicio más que me resulta confuso porque aquí ni siquiera dan subespacios de los que extraer bases y la condición principal es bastante abstracta:

3. Hallar una aplicación lineal [texx]\mathbb{Q^3}\rightarrow{}\mathbb{Q^3}[/texx] en su forma [texx]f(x,y,z)=(...)[/texx] tal que se cumpla que
[texx]f(Imf)=Kerf[/texx]
[texx]f(1,1,1)=(2,1,1)[/texx]

Probablemente la idea detrás de este ejercicio sea realmente sencilla pero indudablemente me confunde esa primera condición que se nos exige cumplir. A ver si alguien me puede ayudar, por favor.

Muchísimas gracias de antemano.

Veamos primero la dimensión de núcleo e imagen.

Como [texx]f(1,1,1)=(2,1,1)[/texx] se tiene que [texx]dim(Im(f))\geq 1[/texx]. Además como f(Im(f))=ker(F) se tiene que [texx]ker(f)\subset Im(f)[/texx] y así [texx]dim(ker(f))\leq dim(Im(f)).[/texx]

Además [texx]dim(Im(f))+dim(ker(f))=dim(Q^3)=3[/texx].

Todo esto descarta inmediatamente que [texx]dim(Im(f))=1[/texx]. Además si [texx]dim(Im(f))=3[/texx] entonces [texx]Im(f)=\mathbb{Q}^3[/texx] e [texx]f(Im(F))=Im(f)\neq Ker(f)[/texx]. Imposible.

Por tanto necesariamente [texx]dim(Im(f))=2[/texx] y [texx]dim(ker(f))=1[/texx].

Ahora como [texx](2,1,1)\in Im(f)[/texx], se tiene que [texx]f(2,1,1)\in ker(f).[/texx]

Escogemos [texx](0,1,0)[/texx] independiente [texx](1,1,1)[/texx] y [texx](2,1,1)[/texx] para generar el núcleo y definiendo:

[texx]f(0,1,0)=(0,0,0)[/texx]
[texx]f(2,1,1)=(0,1,0)[/texx]
[texx]f(1,1,1)=(2,1,1)[/texx]

tenemos lo que queríamos.

Saludos.

¡Excelente! Todo muy claro. ¡Mil gracias!
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