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Autor Tema: Aplicación lineal cumpliendo condiciones (1)  (Leído 301 veces)
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ytrusx
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« : 10/12/2017, 03:34:21 pm »

¡Hola! Hace poco inicié un hilo pidiendo ayuda sobre cierto tipo de ejercicios que involucran la creación de aplicaciones lineales que cumplan una serie de condiciones que relacionan los subespacios dados y los que participaron en aquel hilo me ayudaron muchísimo. Aquí lo dejo por si acaso alguien se siente perdido en este tema ya que las respuestas de los participantes son muy buenas y claras:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=99985.0

El caso es que aquellas condiciones que daba el enunciado eran fáciles de imaginar puesto que, dados los subespacios, la aplicación los relacionaba entre sí y era sencillo ver cuál era el punto de partida y cuál era el punto de llegada en cada relación. Sin embargo, ahora puede complicarse un poco más la cosa si introducimos relaciones más abstractas que contengan algunos elementos del álgebra lineal como el Ker(f) o el Im(f). Voy a poner un ejemplo que creo haber resuelto más o menos satisfactoriamente (por favor, díganme en qué fallan mis razonamientos) , y otros en los que me gustaría que alguien me diera el empujón inicial puesto que no tengo claro de dónde obtener las relaciones necesarias para montar mi aplicación lineal en cada caso:
(A y B representan subespacios):

1. Dados
[texx]A = \{ (x,y,z) \in\mathbb{Q^3} \,|\,  y-z=0 \}\\
       B = \{ (x,y,z) \in\mathbb{Q^3} \, |\,  x-y=2y-3z=0 \}\\
[/texx]
hallar una aplicación lineal [texx]\mathbb{Q^3}\rightarrow{}\mathbb{Q^3}[/texx] en su forma [texx]f(x,y,z)=(...)[/texx] tal que se cumpla que
[texx]B\subseteq{}f(A)[/texx]
[texx]B=f(B)[/texx]
[texx]Kerf=\mathbb{Q}((1,2,3))[/texx]

Mi planteamiento: He pensado que esa última condición quizá nos esté dando ya directamente el dato de que f(1,2,3)=(0,0,0) ¿no?
Para sacar otras dos condiciones, he sacado una base B, que es (3,3,2) y he planteado que se lleva a sí misma tal que f(3,3,2)=(3,3,2) como dice la segunda condición del enunciado. Para hallar otra relación, me fijo en la primera condición del enunciado y deduzco que de ahí podría extraerse que f(A)=B (creo). La base de A es (1,0,0),(0,1,1) así que he planteado simplemente f(0,1,1)=(3,3,2)
Mi aplicación final sería f(x,y,z)=( -3x+6y-3z , -3x+6y-3z , -2x+4y-2z )
Probablemente alguna de esas asunciones está mal, por favor corríjanme.

He abierto un par de problemas más del mismo estilo en hilos diferentes ya que realmente necesito saber cómo ha de procederse con seguridad para garantizar la exactitud en la solución de los ejercicios.
Muchas gracias a cualquiera que preste su ayuda.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #1 : 10/12/2017, 04:26:27 pm »

1. Dados
[texx]A = \{ (x,y,z) \in\mathbb{Q^3} \,|\,  y-z=0 \}\\
       B = \{ (x,y,z) \in\mathbb{Q^3} \, |\,  x-y=2y-3z=0 \}\\
[/texx]
hallar una aplicación lineal [texx]\mathbb{Q^3}\rightarrow{}\mathbb{Q^3}[/texx] en su forma [texx]f(x,y,z)=(...)[/texx] tal que se cumpla que
[texx]B\subseteq{}f(A)[/texx]
[texx]B=f(B)[/texx]
[texx]Kerf=\mathbb{Q}((1,2,3))[/texx]
Mi planteamiento: He pensado que esa última condición quizá nos esté dando ya directamente el dato de que f(1,2,3)=(0,0,0) ¿no?
Para sacar otras dos condiciones, he sacado una base B, que es (3,3,2) y he planteado que se lleva a sí misma tal que f(3,3,2)=(3,3,2) como dice la segunda condición del enunciado. Para hallar otra relación, me fijo en la primera condición del enunciado y deduzco que de ahí podría extraerse que f(A)=B (creo). La base de A es (1,0,0),(0,1,1) así que he planteado simplemente f(0,1,1)=(3,3,2)
Mi aplicación final sería f(x,y,z)=( -3x+6y-3z , -3x+6y-3z , -2x+4y-2z )
Probablemente alguna de esas asunciones está mal, por favor corríjanme.

Es correcto. También el resultado final, lo he comprobado.

Ya sé que son muchos ejercicios y mucha ayuda la que pido pero realmente necesito saber cómo ha de procederse con seguridad para garantizar la exactitud en la solución de los ejercicios.
Muchas gracias a cualquiera que preste su ayuda.

Por favor, en el futuro y en aras a la claridad (y reglas del foro) abre un hilo por cada problema. Sugiero que pongas (1), (2), ... etc. tras el título, si es el mismo.
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« Respuesta #2 : 10/12/2017, 04:38:44 pm »

Por favor, en el futuro y en aras a la claridad (y reglas del foro) abre un hilo por cada problema. Sugiero que pongas (1), (2), ... etc. tras el título, si es el mismo.

¡De acuerdo! Mis disculpas, no había pensado en que así quedaría más claro y sería mejor para el foro. Los publicaré en hilos sueltos enseguida. ¿Es necesario borrar este hilo?
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« Respuesta #3 : 10/12/2017, 04:47:44 pm »

¡De acuerdo! Mis disculpas, no había pensado en que así quedaría más claro y sería mejor para el foro. Los publicaré en hilos sueltos enseguida. ¿Es necesario borrar este hilo?

No te preocupes. Elimina si quieres sólo los problemas 2 y 3 de éste hilo y los pones en otros hilos con ... (2) y  ... (3).
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« Respuesta #4 : 10/12/2017, 04:57:37 pm »

No te preocupes. Elimina si quieres sólo los problemas 2 y 3 de éste hilo y los pones en otros hilos con ... (2) y  ... (3).

Ya he hecho la modificación y los he puesto en hilos separados. Muchísimas gracias por tu colaboración todos estos días. La verdad es que me gusta este tema pero siempre es frustrante encontrarse con obstáculos que son difíciles de superar incluso echándoles muchas horas.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #5 : 10/12/2017, 05:15:06 pm »

Ya he hecho la modificación y los he puesto en hilos separados. Muchísimas gracias por tu colaboración todos estos días. La verdad es que me gusta este tema pero siempre es frustrante encontrarse con obstáculos que son difíciles de superar incluso echándoles muchas horas.

Bien, también he modificado yo todos los mensajes de este hilo.
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