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Autor Tema: Ejercicios de Combinatoria  (Leído 89 veces)
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ronaldblanco
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« : 06/12/2017, 06:25:52 pm »

Buenas Tardes,

Necesito ayuda con los siguientes ejercicios, si alguien me puede apoyar con la resolución de alguno se los agradecería.

1. De cuantas formas se pueden acomodar en fila las 26 letras del alfabeto, si:
(a) No hay restricciones
(b) Las vocales deben permanecer juntas


2. Se define una función [texx]f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}[/texx] , de la forma siguiente:
[texx]f(1) = 25[/texx], y,
[texx]f(x+1) = f(x) + 4[/texx]

a) Examinando algunos valores de [texx]f[/texx], construya [texx]f(x)[/texx] para cualquier [texx]x[/texx] .
b) Demuestre la definición que propone.


4. Si vamos a alinear un equipo de futbol de 11 personas y contamos con 18 posibles
jugadores, ¿De cuántas formas podemos hacer el equipo si :
(a) No hay restricciones
(b) El portero debe ser elegido entre los tres porteros incluidos en los 18 jugadores.


5. ¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en un campeonato en el que participan 16 equipos?

Saludos,
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ingmarov
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« Respuesta #1 : 06/12/2017, 07:02:27 pm »

Hola

A ver el segundo

[texx]f(1)=25[/texx]

[texx]f(2)=f(1+1)=f(1)+4=29[/texx]

[texx]f(3)=f(2+1)=f(2)+4=(f(1)+4)+4=f(1)+2(4)[/texx]

[texx]f(4)=f(3+1)=f(3)+4=f(1)+3(4)[/texx]


Entonces debe ser: [texx]f(x)=25+4(x-1)[/texx]



Saludos
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
statistic_man
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« Respuesta #2 : 06/12/2017, 07:09:47 pm »

Hola:

1.a) Para el primero simplemente debes cambiar el orden de 26 letras. Nos importa el orden ya que las letras son distintas. Sería como formar "palabras" de 26 letras. Se puede hacer de [texx]P_{26}=26![/texx]

1.b Yo Cogería el bloque de las vocales y las consonantes por separado. Para las vocales hay [texx]P_5=5![/texx] maneras de ordenarlas. El de las consonantes [texx]P_{21}=21![/texx]. Bien ahora debes pensar cuántos huecos posibles entre consonantes puedes poner el bloque de las vocales. Hay 22 huecos. Luego en total serían [texx]22\cdot 5! \cdot 21![/texx].

Piensa tú un poco los otros que puedes hacerlos con combinaciones sin repetición. Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 06/12/2017, 07:20:53 pm »

Hola

 ronaldblanco:  Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular:

 - Debes de preguntar por un problema distinto en cada hilo.
 - Debes de indicar que dificultades concretas encuentras o que has intentado hacer para resolverlo.
 - No debes de poner frases como "ayuda" o "urgente" en el enunciado; éste simplemente debe de ser descriptivo del contenido matemático del mensaje.

 Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

Saludos.
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delmar
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« Respuesta #4 : 06/12/2017, 07:25:57 pm »

Hola

Te ayudo con la 4 y 5

4)

a) El problema equivale a responder cuantos grupos distintos de 11 se puede formar con 18 : [texx]\displaystyle\binom{18}{11}[/texx]

b) Cada equipo es la reunión de un conjunto A de 10  extraido de 15 personas y otro B de uno extraido de 3 personas. El número de equipos distintos n será igual al número de conjuntos distintos de  10 personas extraidas de un grupo de 15, multiplicado por el número de conjuntos de 1 distintos, extraidos de un grupo de 3 es decir :  [texx]n=\displaystyle\binom{15}{10} \ \displaystyle\binom{3}{1}[/texx]

5)

Enumerando a los equipos del 1 al 16, los partido jugados se pueden escribir de la siguiente manera, el primero juega con 15, el segundo jugará con 14 (ya no se toma en cuenta el partido que jugó con el primero) y así sucesivamente hasta que el  15avo jugará con 1. Luego el total de partidos es :   [texx]15+14+13+…+3+2+1=\displaystyle\frac{15(15+1)}{2}[/texx]

Saludos
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #5 : 06/12/2017, 07:30:37 pm »

Hola

5)

Enumerando a los equipos del 1 al 16, los partido jugados se pueden escribir de la siguiente manera, el primero juega con 15, el segundo jugará con 14 (ya no se toma en cuenta el partido que jugó con el primero) y así sucesivamente hasta que el  15avo jugará con 1. Luego el total de partidos es :   [texx]15+14+13+…+3+2+1=\displaystyle\frac{15(15+1)}{2}[/texx]

El enunciado debería de aclarar el sistema de competición; delmar ha supuesto que todos juegan contra todos una sola vez. En la mayoría de las ligas todos juegan contra todos pero dos veces, una en el campo de cada uno de los contendientes. En ese caso el resultado sería el doble del indicado por él.

Saludos.
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ronaldblanco
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« Respuesta #6 : 06/12/2017, 08:01:28 pm »

Gracias a todos por la pronta respuesta, pero tengo una duda con la pregunta 4 ya que lo habia realizado de la siguiente manera.

Tomaremos “espacios para jugado”donde en el primer espacio tenemos 18 posibles jugadores,
para el siguiente tendriamos 17, para el siguiente 16, etc. Por lo que tendriamos
18 ∗ 17 ∗ 16 ∗ · · · ∗ 8 =
18!
7!
Pero aqui se repiten casos, ya que si el jugador a esta en la primera posicion y el jugador b
en la segunda, es el mismo equipo que si el jugador b estuviera en la primera y el jugador
a en la segunda.
Por lo que falta quitar las permutaciones, para esto sabemos que teniendo 11 jugadores,
hay 11! formas de ponerlos en una linea, por lo que obtendr´ıamos que el resultado es
18!
7!
11! =
18!
7! ∗ 11! = C(18,11) = 31824.

Le agradezco me indiquen si lo realice mal.
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delmar
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« Respuesta #7 : 07/12/2017, 01:36:22 am »

El desarrollo que haces corresponde a la pregunta 4, parte a, entiendo que es correcto; pero también estoy completamente seguro, que estas de acuerdo conmigo, en que la escritura de las fórmulas no es clara, es por eso que es conveniente escribir las fórmulas en LATEX, por favor trata de hacerlo de esa manera en el futuro.

Saludos
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