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Autor Tema: Campo como derivación  (Leído 48 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
conchivgr
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« : 06/12/2017, 04:16:51 pm »

Hola.

Sea el campo [texx]D=y\frac{{\partial}}{{\partial x}}-a^2x\frac{{\partial}}{{\partial y}}[/texx] y sea la familia de elipses de la forma [texx]C_k=\displaystyle\frac{x^2}{\lambda^2}+\displaystyle\frac{y^2}{\mu^2}=k[/texx], para las que [texx]D[/texx] es un campo de vectores tangentes. Esto es equivalente a decir que [texx]D(\displaystyle\frac{x^2}{\lambda^2}+\displaystyle\frac{y^2}{\mu^2})=0[/texx], donde ahora el campo [texx]D[/texx] actúa como una derivación.

El resultado es:  [texx]D(\displaystyle\frac{x^2}{\lambda^2}+\displaystyle\frac{y^2}{\mu^2})= 0 \rightarrow{\displaystyle\frac{1}{\lambda^2}=\displaystyle\frac{a^2}{\mu^2}}[/texx]. Cómo se llega a esta conclusión?. Sería de la siguiente forma?.

[texx]D(\displaystyle\frac{x^2}{\lambda^2}+\displaystyle\frac{y^2}{\mu^2})= \displaystyle\frac{2xy}{\lambda^2}-\displaystyle\frac{2xya^2}{\mu^2}=0\longrightarrow{\displaystyle\frac{2xy}{\lambda^2}=\displaystyle\frac{2xya^2}{\mu^2}}\rightarrow{\displaystyle\frac{1}{\lambda^2}=\displaystyle\frac{a^2}{\mu^2}}[/texx]?.

Por otro lado, me dicen que el campo [texx]E=y\frac{{\partial}}{{\partial x}}-x\frac{{\partial}}{{\partial y}}[/texx] es tangente en cada punto a la familia de circunferencias [texx]x^2+y^2=k[/texx].

Cómo compruebo esto?. Tratando a la circunferencia como un vector y calculando el producto escalar?. Es decir,

[texx]yx^2 + (-xy^2) = 0[/texx]?.

Besos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 06/12/2017, 07:52:00 pm »

Hola

Hola.

Sea el campo [texx]D=y\frac{{\partial}}{{\partial x}}-a^2x\frac{{\partial}}{{\partial y}}[/texx] y sea la familia de elipses de la forma [texx]C_k=\displaystyle\frac{x^2}{\lambda^2}+\displaystyle\frac{y^2}{\mu^2}=k[/texx], para las que [texx]D[/texx] es un campo de vectores tangentes. Esto es equivalente a decir que [texx]D(\displaystyle\frac{x^2}{\lambda^2}+\displaystyle\frac{y^2}{\mu^2})=0[/texx], donde ahora el campo [texx]D[/texx] actúa como una derivación.

El resultado es:  [texx]D(\displaystyle\frac{x^2}{\lambda^2}+\displaystyle\frac{y^2}{\mu^2})= 0 \rightarrow{\displaystyle\frac{1}{\lambda^2}=\displaystyle\frac{a^2}{\mu^2}}[/texx]. Cómo se llega a esta conclusión?. Sería de la siguiente forma?.

[texx]D(\displaystyle\frac{x^2}{\lambda^2}+\displaystyle\frac{y^2}{\mu^2})= \displaystyle\frac{2xy}{\lambda^2}-\displaystyle\frac{2xya^2}{\mu^2}=0\longrightarrow{\displaystyle\frac{2xy}{\lambda^2}=\displaystyle\frac{2xya^2}{\mu^2}}\rightarrow{\displaystyle\frac{1}{\lambda^2}=\displaystyle\frac{a^2}{\mu^2}}[/texx]?.

Por otro lado, me dicen que el campo [texx]E=y\frac{{\partial}}{{\partial x}}-x\frac{{\partial}}{{\partial y}}[/texx] es tangente en cada punto a la familia de circunferencias [texx]x^2+y^2=k[/texx].

Cómo compruebo esto?. Tratando a la circunferencia como un vector y calculando el producto escalar?. Es decir,

[texx]yx^2 + (-xy^2) = 0[/texx]?.

En general si tienes el campo [texx]D=f_1(x,y)\dfrac{\partial}{\partial y}+f_2(x,y)\dfrac{\partial}{\partial x}[/texx] para probar que es tangente a la curvas de la familia [texx]F(x,y)=k[/texx] tienes que probar que:

[texx]D(F)=0[/texx]

es decir:

[texx]f_1(x,y)\dfrac{\partial F}{\partial y}+f_2(x,y)\dfrac{\partial F}{\partial x}[/texx]

Saludos.
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conchivgr
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« Respuesta #2 : 08/12/2017, 07:30:32 am »

Muchas gracias.

Besos.
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