Foros de matemática
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Autor Tema: Cuantificadores: Universal y Existencial  (Leído 74 veces)
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Dorphin
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« : 06/12/2017, 02:47:32 pm »

Hola, buenas tardes, quisiera pedir una ayudita al que pueda explicarme un poco como se debe expresar mediante operadores y el símbolo de implicación, las proposiciones: "Todos los hombres son mortales" y "Hay algun numero que no es primo". Mi duda mas que nada es como definir el Universo. Gracias!
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mathtruco
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« Respuesta #1 : 06/12/2017, 03:24:57 pm »

Hola Dorphin. El objetivo de estos ejercicios no es rebuscarse qué es el conjunto universo. Como no dicen nada, puedes elegirlo como te parezca más natural, a menos que tu profesor diga otra otra cosa.

- Cuando dice "todos los hombres" puedes elegir como conjunto universo al conjunto de "todos los hombres". No veo necesario discutir si incluye a las mujeres, aunque se entiende que sí las incluye.

- Cuando dice "algún número" puedes considerar como conjunto universo al conjunto de "todos los números naturales".
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Dorphin
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« Respuesta #2 : 06/12/2017, 03:28:38 pm »

Hola Dorphin. El objetivo de estos ejercicios no es rebuscarse qué es el conjunto universo. Como no dicen nada, puedes elegirlo como te parezca más natural, a menos que tu profesor diga otra otra cosa.

- Cuando dice "todos los hombres" puedes elegir como conjunto universo al conjunto de "todos los hombres". No veo necesario discutir si incluye a las mujeres, aunque se entiende que sí las incluye.

- Cuando dice "algún número" puedes considerar como conjunto universo al conjunto de "todos los números naturales".

Y si  tomara esos valores como universo, para simbolizarlo se escribiría U(x)=(x: x es hombres)  ? Gracias
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manooooh
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« Respuesta #3 : 06/12/2017, 03:29:19 pm »

Hola,

Hola, buenas tardes, quisiera pedir una ayudita al que pueda explicarme un poco como se debe expresar mediante operadores y el símbolo de implicación, las proposiciones: "Todos los hombres son mortales" y "Hay algun numero que no es primo". Mi duda mas que nada es como definir el Universo. Gracias!

Para el primero podríamos decir que el universo son los hombres, es decir, [texx]A = \{\textrm{los hombres}\}[/texx], y para el segundo podría ser [texx]B = \{\textrm{los números}\}[/texx].

Si lo que querés es armar la función proposicional de cada uno, debés definir:
1) Cuantificador/es
2) Predicado

Ejemplo:
Sean los conjuntos [texx]A = \{10, 15, 20\}[/texx] y [texx]B = \{3, 6, 9, 12\}[/texx] y los predicados:
[texx]P(x): \textrm{"x es múltiplo de 5"}, Q(x): \textrm{"x es par"}[/texx].
Para decir que todos los elementos del conjunto [texx]A[/texx] son múltiplos de [texx]5[/texx] escribimos: [texx]\forall x \in A: P(x)[/texx]
Para decir que algunos elementos del conjunto [texx]B[/texx] son pares escribimos: [texx]\exists x \in B: Q(x)[/texx]
Para decir que algunos elementos del conjunto [texx]A[/texx] son pares y múltiplos de [texx]5[/texx] escribimos: [texx]\exists x \in A: (P(x) \wedge Q(x))[/texx]



Si tenés dudas volvé a preguntar!

Saludos
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mathtruco
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« Respuesta #4 : 06/12/2017, 03:33:23 pm »

Y si  tomara esos valores como universo, para simbolizarlo se escribiría U(x)=(x: x es hombres)  ? Gracias

Si escribes [texx]U(x)[/texx] quieres decir que depende de un [texx]x[/texx] específico, es decir, que para cada hombre [texx]x[/texx] tienes un conjunto universo [texx]U(x)[/texx] que depende de él,

En tu problema lo correcto es escribir:  [texx]U=\{x:x \textrm{ es hombre}\}[/texx].

Con eso,

    [texx]\textrm{Pedro}\in U[/texx]

    [texx]\textrm{Juan}\in U[/texx]

    [texx]\{\textrm{Juan,Pedro}\}\subset U[/texx]

    Si [texx]y\in U[/texx], entonces [texx]y[/texx] es un hombre.

Podemos discutir si "Pedro" es un hombre o un perro, porque yo conozco un perro que le pusieron ese nombre, pero no es el objetivo del problema.
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Dorphin
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« Respuesta #5 : 06/12/2017, 03:45:33 pm »

Ahi entendi mejor, gracias a ambos!!
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Fernando Revilla
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« Respuesta #6 : 06/12/2017, 04:53:04 pm »

"Todos los hombres son mortales"

En calculo de predicados, ese aserto corresponde a la forma [texx](\forall x)\left(\mathcal{H}(x)\to \mathcal{M}(x)\right)[/texx], y que  en nuestro caso corresponde a la interpretación de dominio los hombres con los predicados distinguidos :

          [texx]\overline{\mathcal{H}}(x)[/texx]: "[texx]x[/texx] es hombre".
          [texx]\overline{\mathcal{M}}(x)[/texx]: "[texx]x[/texx] es mortal".

"Hay algun numero que no es primo".

Sería de la forma [texx](\exists x)\left(\sim \mathcal{P}(x)\right)[/texx] que en nuestro caso corresponde a la interpretación de dominio los números naturales con el predicado distinguido: [texx]\overline{\mathcal{P}}(x)[/texx]: "[texx]x[/texx] es primo".
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