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Autor Tema: La unión con intersección vacía es numerable  (Leído 50 veces)
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statistic_man
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« : 06/12/2017, 09:50:15 am »

Quiero probar:
1) [texx]\textrm{Si X es numerable, Y finito y} X\cap{Y}= \emptyset[/texx], entonces [texx]X\cup{Y}[/texx] es numerable.

2) Si [texx] X\subset{I_n}=\{1,..,n\} [/texx]entonces X es finito.

Para el primero:

Sea [texx]f: X\longrightarrow{\mathbb N}[/texx] y [texx]g: Y \longrightarrow{I_n}[/texx] biyectivas por ser X numerable e Y finito.

Consideramos la aplicación [texx]h:X\cup{Y} \longrightarrow{\mathbb N} [/texx] [texx]h(x)=\left\{ \begin{array}{lcc}
             f(x)+n+1 &   si  & x \in X \\
             \\ g(x) &  si & x \in Y \\
             \end{array}
   \right.[/texx]

Pasos a probar:

1.1 [texx]h(x) \in \mathbb N[/texx] lo cual es sencillo. Tomamos [texx]x \in X \cap{Y^c}[/texx] entonces [texx]h(x)= f(x)+n+1 \in  \mathbb N[/texx] porque [texx]f(x) \in  \mathbb N[/texx]. Inmediato si [texx]x \in Y \cap{X^c}[/texx].

1.2 Inyectividad

- Sean [texx]a,b \in X \cap{Y^c}[/texx] con [texx]h(a)=h(b)[/texx], luego [texx]f(a)=f(b)[/texx] y a=b por ser f inyectiva.
- Sean  [texx]a,b \in Y \cap{X^c}[/texx] con [texx]h(a)=h(b)[/texx],luego [texx]g(a)=g(b)[/texx] y a=b por ser g inyectiva.
- Si tomo un [texx]a \in X \cap{Y^c}[/texx] y un [texx]b \in Y \cap{X^c} [/texx] con [texx]h(a)=h(b)[/texx] nunca puede ser que a=b ya que [texx]X\cap{Y}= \emptyset[/texx].

1.3 Sobreyectividad
Sea [texx]m\in \mathbb N \cap{I_n^c}[/texx] luego necesariamente [texx]m \geq n+1[/texx] y [texx]m=f(a)+n+1[/texx] luego [texx]a=f^{-1}(m-n-1) \in X[/texx] por ser definición de [texx]f^{-1}[/texx] la cual existe por ser f biyectiva.
Sea [texx]m\in I_n[/texx] es inmediato por la biyectividad de g
1.4 Biyectividad
Se tiene por 1.1 y 1.2

Concluimos que h es biyectiva y que [texx]X\cup{Y}[/texx] es numerable. ¿Es correcto?

2) Se hace por inducción pero no sé hacerlo para n+1.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 06/12/2017, 07:12:16 pm »

Hola

 El primero está bien.

 Para el segundo, ¿qué definición de conjunto finito manejas?.

Saludos.
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statistic_man
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« Respuesta #2 : 06/12/2017, 07:29:57 pm »

Pues la de equipotencia con un conjunto del tipo [texx]\{1,...,n\}[/texx].

En realidad el profesor nos facilitó como ayuda el siguiente resultado:

Sean A,B,C,D  conjuntos no vacíos tales que [texx]A\sim{C}[/texx] y [texx]B\sim{D}[/texx] entonces [texx]A\cup{B} \sim{C\cup{D}}[/texx].

Para n=1 es trivial.

Supongamos cierto para [texx]n >1[/texx], es decir todo [texx]X \subset{I_n}[/texx] es finito.

Veamos para n+1. Puede suceder que:

- Si [texx]X=\emptyset[/texx] ya es finito.
- Si [texx]n+1 \not\in{X}[/texx] entonces [texx]X \subseteq{I_n}[/texx] y si [texx]X= I_n[/texx] ya es finito mientras que si [texx]X\subset{I_n}[/texx] por hipótesis de inducción ya se tendría.
- Si [texx]n+1 \in{X}[/texx] entonces [texx]X \subset{I_{n+1}}[/texx] y podemos escribir nuestro X como [texx]X=X'\cup{\{n+1\}}[/texx] con [texx]X'\subset{I_n}[/texx]. Se me ocurre que para aplicar el resultado podría emplear los siguiente:

[texx]A=X'[/texx], [texx]B=\{n+1\}[/texx], [texx]C=I_m[/texx] para algún [texx]m \in \mathbb N[/texx] y [texx]m<n[/texx]; [texx]D=\{n+1\}[/texx]. Las hipótesis se cumplen luego [texx]X=A\cup{B}\sim{I_m\cup{\{n+1\}}}\sim{I_{m+1}}[/texx] que es finito por definición.
El caso es que estoy asumiendo que si a un conjunto finito le añado otro finito, este sigue siendo finito, cosa que no sé si es trivial demostrar.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 06/12/2017, 07:39:20 pm »

Hola

Pues la de equipotencia con un conjunto del tipo [texx]\{1,...,n\}[/texx].

En realidad el profesor nos facilitó como ayuda el siguiente resultado:

Sean A,B,C,D  conjuntos no vacíos tales que [texx]A\sim{C}[/texx] y [texx]B\sim{D}[/texx] entonces [texx]A\cup{B} \sim{C\cup{D}}[/texx].

Para n=1 es trivial.

Supongamos cierto para [texx]n >1[/texx], es decir todo [texx]X \subset{I_n}[/texx] es finito.

Veamos para n+1. Puede suceder que:

- Si [texx]X=\emptyset[/texx] ya es finito.
- Si [texx]n+1 \not\in{X}[/texx] entonces [texx]X \subseteq{I_n}[/texx] y si [texx]X= I_n[/texx] ya es finito mientras que si [texx]X\subset{I_n}[/texx] por hipótesis de inducción ya se tendría.
- Si [texx]n+1 \in{X}[/texx] entonces [texx]X \subset{I_{n+1}}[/texx] y podemos escribir nuestro X como [texx]X=X'\cup{\{n+1\}}[/texx] con [texx]X'\subset{I_n}[/texx]. Se me ocurre que para aplicar el resultado podría emplear los siguiente:

[texx]A=X'[/texx], [texx]B=\{n+1\}[/texx], [texx]C=I_m[/texx] para algún [texx]m \in \mathbb N[/texx] y [texx]m<n[/texx]; [texx]D=\{n+1\}[/texx]. Las hipótesis se cumplen luego [texx]X=A\cup{B}\sim{I_m\cup{\{n+1\}}}\sim{I_{m+1}}[/texx] que es finito por definición.
El caso es que estoy asumiendo que si a un conjunto finito le añado otro finito, este sigue siendo finito, cosa que no sé si es trivial demostrar.

 En realidad todos estos resultados son muy obvios inuitivamente y simplemente a veces es latoso formalizar. Es esencial ceñirse a los resultados previos y/o a las definiciones dadas.

 No he leído en detalle tu última respuesta pero de todas formas creo que tu problema (2) está esencialmente resuelto aquí, de manera razonablemente autocontenida:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=99527.msg398195#msg398195

Saludos.
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