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Autor Tema: Demostrar orden elementos del grupo simétrico  (Leído 57 veces)
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Javiskat
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« : 06/12/2017, 04:40:49 am »

Hola buenas estoy teniendo muchos problemas con este ejercicio
1) Decidir que órdenes pueden tener los elementos de [texx]S_7[/texx] y [texx]S_8[/texx]
2) ¿ Cuántos elementos de orden 10 hay en [texx]S_9[/texx]
Os dejo lo que tengo pensado:
1) cómo el orden de [texx]S_n[/texx] es [texx]n![/texx] tenemos que los posibles órdenes serán los divisores de [texx]n![/texx]
2)No lo sé con certeza porque los posibles órdenes por 1) son los divisores de 9! (Entre los que se encuentra 2×5 )
Pero creo que no es posible asegurar la existencia de todos los divisores y por tanto tendría mal el apartado 1)
(Ya que habrá algunos órdenes que no existan)
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 06/12/2017, 07:08:33 pm »

Hola

Hola buenas estoy teniendo muchos problemas con este ejercicio
1) Decidir que órdenes pueden tener los elementos de [texx]S_7[/texx] y [texx]S_8[/texx]
2) ¿ Cuántos elementos de orden 10 hay en [texx]S_9[/texx]
Os dejo lo que tengo pensado:
1) cómo el orden de [texx]S_n[/texx] es [texx]n![/texx] tenemos que los posibles órdenes serán los divisores de [texx]n![/texx]
2)No lo sé con certeza porque los posibles órdenes por 1) son los divisores de 9! (Entre los que se encuentra 2×5 )
Pero creo que no es posible asegurar la existencia de todos los divisores y por tanto tendría mal el apartado 1)
(Ya que habrá algunos órdenes que no existan)

Si, está mal.

No es cierto que existan elementos de cualquier orden divisor de [texx]n![/texx]. Como caso extremo desde luego no existen elementos de orden [texx]n![/texx] porque entonces el grupo sería cíclico y los grupos de permutaciones para [texx]n>2[/texx] no lo son.

Lo que tienes que tener en cuenta es que toda permutación se descompone en ciclos disjuntos. El orden de un producto de ciclos disjuntos el mínimo común múltiplo del orden de cada ciclo.

Por ejemplo:

[texx]ord((1,2),(3,4,5))=mcm(2,3)=6[/texx]

Entonces por ejemplo [texx]S_7[/texx] tiene:

- Elementos que se descomponen en un sólo ciclo: de orden [texx]2,3,4,5,6,7[/texx].
- Elementos que se descomponen en dos ciclos (sólo anoto los que dan órdenes diferentes a los anteriores): de orden [texx]10[/texx] ([texx](12)(34567)[/texx]), de orden [texx]12[/texx] ([texx](123)(4567)[/texx]).
- Los que se descomponen en más de dos ciclos ya no dan ningún orden nuevo.

Inténtalo tu para [texx]S_8[/texx].

Para la segunda pregunta ten en cuenta que los elementos de orden [texx]10[/texx] en [texx]S_9[/texx] son aquellos que se descomponen: o bien en un ciclo de orden cinco y otro de orden dos, o bien en uno de orden 5 y otros dos de orden dos. ¡Cuenta las posiblidades!.

Saludos.
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Javiskat
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« Respuesta #2 : 07/12/2017, 04:47:50 am »

Muchísimas gracias !!
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