Foros de matemática
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lcdeoro
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« : 06/12/2017, 01:40:57 am »

Sea [texx]f : (X; \tau)\longrightarrow{} (\mathbb{R}; \tau_u)[/texx] continua. Muestre que, para todo r > 0 y todo
[texx]k\in{\mathbb{R}}[/texx] se tiene que [texx]A =\left\{{x\in{X}:r<\left |{f(x)-k}\right |}\right\}[/texx] es abierto.
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 06/12/2017, 08:17:30 am »

Sea [texx]f : (X; \tau)\longrightarrow{} (\mathbb{R}; \tau_u)[/texx] continua. Muestre que, para todo r > 0 y todo [texx]k\in{\mathbb{R}}[/texx] se tiene que [texx]A =\left\{{x\in{X}:r<\left |{f(x)-k}\right |}\right\}[/texx] es abierto.

Denota [texx]F=\left\{{y\in\mathbb{R}:\left |{y-k}\right |\le r}\right\}\subset \mathbb{R}[/texx]. Este conjunto es cerrado en [texx]\mathbb{R}[/texx] (intervalo cerrado). Comprueba que [texx]A=f^{-1}(F^c)[/texx] y al ser [texx]F^c[/texx] abierto y [texx]f[/texx] continua, [texx]A[/texx] es abierto.
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