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Autor Tema: Demuestre que los cuerpos son isomorfismo  (Leído 171 veces)
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cristianoceli
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« : 08/12/2017, 12:46:15 pm »

Hola tengo dificultades con esta demostración donde debo demostrar que [texx]Q(i)[/texx] y [texx]Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))[/texx] son isoorfismo

Tenemos que:

[texx]Q(i)= \{ a+bi | a,b\in{\mathbb{Q}} \} [/texx]

[texx]Q(1/2(1+i)) = \{a+b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) | a.b \in{\mathbb{Q}}  [/texx]


[texx]Q(I) \longrightarrow{Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))}[/texx]
[texx]a+bi \longmapsto a +(b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)))[/texx]


Debo demostrar que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva pero no resulta

De antemano gracias
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robinlambada
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« Respuesta #1 : 08/12/2017, 01:29:10 pm »

Hola.
Hola tengo dificultades con esta demostración donde debo demostrar que [texx]Q(i)[/texx] y [texx]Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))[/texx] son isoorfismo

Tenemos que:

[texx]Q(i)= \{ a+bi | a,b\in{\mathbb{Q}} \} [/texx]

[texx]Q(1/2(1+i)) = \{a+b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) | a.b \in{\mathbb{Q}}  [/texx]


[texx]Q(I) \longrightarrow{Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))}[/texx]
[texx]a+bi \longmapsto a +(b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)))[/texx]


Debo demostrar que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva pero no resulta

De antemano gracias

No estoy muy puesto en isomorfismos, pero si "i" es la unidad imaginaria, el cuerpo [texx]Q(i)= \{ a+bi | a,b\in{\mathbb{Q}} \} [/texx] es el de los complejos restringido a coeficientes binómicos racionales.

Para la biyectividad basta ver que existe la función inversa para todo [texx]a, b\in{\mathbb{Q}} [/texx],

Es decir si tenemos que:
[texx]Q(I) \longrightarrow{Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))}[/texx]
[texx]a+bi \longmapsto a +(b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)))=(a'+b'i)[/texx]

A mi juicio solo debes despejar a y b, como [texx]a=f(a',b')[/texx] y [texx]b=f(a',b')[/texx], pero no se si realmente es así de simple.

Por otro lado que sea isomorfismo además de la biyectividad debes probar que es homomorfismo, es decir conserva las operaciones.

[texx]f(p+q)=f(p)+f(q)[/texx]  y

[texx]f(p\cdot{}q)=f(p)\cdot{}f(q)[/texx]

Pero mejor que revise mi respuesta otro compañero.

Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 08/12/2017, 06:02:00 pm »

Hola

Hola tengo dificultades con esta demostración donde debo demostrar que [texx]Q(i)[/texx] y [texx]Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))[/texx] son isoorfismo

Tenemos que:

[texx]Q(i)= \{ a+bi | a,b\in{\mathbb{Q}} \} [/texx]

[texx]Q(1/2(1+i)) = \{a+b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) | a.b \in{\mathbb{Q}}  [/texx]


[texx]Q(I) \longrightarrow{Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))}[/texx]
[texx]a+bi \longmapsto a +(b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)))[/texx]

Debo demostrar que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva pero no resulta

Que esa aplicación es inyectiva y sobreyectiva es evidente. Lo que no resultará así definida es que sea homomorfismo de cuerpos.

Simplemente define:

[texx]f:Q(\dfrac{1}{2}(1+i))\to Q(i)[/texx]

[texx]f(a+b(\dfrac{1}{2}(1+i))=(a+\dfrac{1}{2}b)+\dfrac{1}{2}bi[/texx]

(que en el fondo es la inclusión natural si tenemos en cuenta que [texx]Q(i)=\mathbb{C}[/texx])

y comprueba que cumple todo lo que quieres: biyectiva y homomorfismo de cuerpos.

Saludos.

P.D. Otra forma es notar que por definición [texx]Q(\alpha)[/texx] con [texx]\alpha\in \mathbb{C}[/texx] es el menor subcuerpo de [texx]\mathbb{C}[/texx] que contiene a [texx]\alpha[/texx] .Es bastante inmediato ver que en los dos casos del ejercicio tal subcuerpo es todo [texx]\mathbb{C}[/texx].
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