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Autor Tema: Sucesiones definidas por recurrencia  (Leído 66 veces)
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Jambo
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« : 05/12/2017, 07:06:27 pm »

Hola! Me ayudan con el siguiente ejercicio?

Sean [texx]\left\{{a_n}\right\}[/texx] y [texx]\left\{{b_n}\right\}[/texx] las sucesiones definidas por recurrencia [texx]a_{n+1}=\sqrt[ ]{a_nb_n}[/texx] y [texx]b_{n+1}=\displaystyle\frac{b_0}{a_0}\sqrt[ ]{a_nb_n}[/texx] con [texx]a_0>b_0>0[/texx] fijos. Y debo de indicar cual de las siguientes afirmaciones es verdadera: A) Ambas sucesiones son decrecientes B) Ambas sucesiones son acotadas inferiormente C) Ambas sucesiones convergen a 0.

Solo puedo asegurar que están acotadas inferiormente por las condiciones iniciales dadas, las otras dos las intenté demostrar o refutar y no llego a nada  :indeciso:

Agradezco su ayuda de antemano!
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 05/12/2017, 07:52:33 pm »

Hola

Hola! Me ayudan con el siguiente ejercicio?

Sean [texx]\left\{{a_n}\right\}[/texx] y [texx]\left\{{b_n}\right\}[/texx] las sucesiones definidas por recurrencia [texx]a_{n+1}=\sqrt[ ]{a_nb_n}[/texx] y [texx]b_{n+1}=\displaystyle\frac{b_0}{a_0}\sqrt[ ]{a_nb_n}[/texx] con [texx]a_0>b_0>0[/texx] fijos. Y debo de indicar cual de las siguientes afirmaciones es verdadera: A) Ambas sucesiones son decrecientes B) Ambas sucesiones son acotadas inferiormente C) Ambas sucesiones convergen a 0.

Solo puedo asegurar que están acotadas inferiormente por las condiciones iniciales dadas, las otras dos las intenté demostrar o refutar y no llego a nada  :indeciso:

Agradezco su ayuda de antemano!

Fíjate que:

[texx]b_{n+1}=\dfrac{b_0}{a_0}a_{n+1}<a_{n+1}[/texx]

Por tanto se puede probar por inducción que ambas son decrecientes ya que:

[texx]a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}<\sqrt{a_na_n}=a_n[/texx]

Y como [texx]b_{n+1}=\dfrac{b_0}{a_0}a_{n+1}[/texx], también decrece.

Ahora por ser decrecientes y acotadas convergen. Si llamas [texx]A [/texx]y [texx]B[/texx] a sus límites, aplicando límites a las ecuaciones de recurrencia obtienes:

[texx]A=\sqrt{AB}[/texx]
[texx]B=\dfrac{b_0}{a_0}\sqrt{AB}[/texx]

Dado que [texx]b_0<a_0[/texx] de ahí se deduce que necesariamente [texx]A=B=0[/texx].

Saludos.
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delmar
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« Respuesta #2 : 05/12/2017, 08:09:47 pm »

Hola

Otra forma, redefiniendo las sucesiones :

En general se puede poner : [texx]b_{n+1}=\displaystyle\frac{b_0}{a_0}a_{n+1}, \ n=0,1...[/texx] Ec. 1

Observa los diversos valores de a


[texx]a_0=a_0[/texx]

[texx]a_1=a_0^{1/2}b_0^{1/2}[/texx]

[texx]a_2=b_0[/texx]

[texx]a_3=a_0^{-1/2}b_0^{3/2}[/texx]

[texx]a_4=a_0^{-1}b_0^{2}[/texx]


Se induce : [texx]a_n=a_0^{1-\displaystyle\frac{n}{2}} \ b_0^{\displaystyle\frac{n}{2}}[/texx] Ec. 2

Con las ecuaciones 1 y 2 puedes averiguar si convergen o no  y a que valores y también si son decrecientes.


Saludos
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Jambo
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« Respuesta #3 : 06/12/2017, 11:15:37 am »

Gracias a ambos por las respuestas  :sonrisa:
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