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Autor Tema: Resolución de límite en función de una constante  (Leído 68 veces)
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Eparoh
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« : 05/12/2017, 05:17:22 pm »

Hola, tengo planteado el siguiente limite:

[texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to (a,a)}{\dfrac{(x - y)a^n + (a - x)y^n - (a - y)x^n}{(x - y)(a - x)(a - y)}}[/texx] con [texx]a>0, n \geq 2[/texx] natural

He conseguido ver, a través de la recta [texx]y=mx+(a-ma)[/texx] que de existir el límite valdrá [texx]\dfrac{1}{2}n(n-1)a^{n-2}[/texx] pero, no se como podría demostrar si dicho límite existe, pues intente acotarlo de alguna forma, pero no vi nada en claro.
¿Alguna idea?

Un saludo, y muchas gracias por su tiempo
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 05/12/2017, 07:25:41 pm »

Hola

Hola, tengo planteado el siguiente limite:

[texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to (a,a)}{\dfrac{(x - y)a^n + (a - x)y^n - (a - y)x^n}{(x - y)(a - x)(a - y)}}[/texx] con [texx]a>0, n \geq 2[/texx] natural

He conseguido ver, a través de la recta [texx]y=mx+(a-ma)[/texx] que de existir el límite valdrá [texx]\dfrac{1}{2}n(n-1)a^{n-2}[/texx] pero, no se como podría demostrar si dicho límite existe, pues intente acotarlo de alguna forma, pero no vi nada en claro.
¿Alguna idea?

Un saludo, y muchas gracias por su tiempo

Observa que:

[texx](x - y)a^n + (a - x)y^n - (a - y)x^n=(x-y)a^n-a(x^n-y^n)+xy(x^{n-1}-y^{n-1})[/texx]

Si divides por [texx](x-y)[/texx] te queda:

[texx]a^n-a\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^k+xy\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}x^{n-2-k}y^k=
a^n-a\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^k+y\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}x^{n-1-k}y^k=
a^n-a\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^k+y\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^k-y^n=
a^n-y^n-(a-y)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^k[/texx]

Si divides por [texx](a-y)[/texx] te queda:

[texx]\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{}a^{n-1-k}y^k-\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^k=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}y^k(a^{n-1-k}-x^{n-1-k})[/texx]

y finalmente nota que:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to a}{}\dfrac{a^m-x^m}{a-x}=ma^{m-1}[/texx]

Termina...

Saludos.
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Eparoh
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« Respuesta #2 : 07/12/2017, 02:11:20 pm »

No había pensado en dividir los polinomios como lo haces pues no tenía claro como se dividen polinomios con varias variables, pero creo que ya lo entendí, y terminar desde donde lo dejaste es ya claro.
Muchas gracias por todo 
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