Foros de matemática
27/02/2017, 12:56:59 pm *
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 1 
 : Hoy a las 12:53:01 pm 
Iniciado por nktclau - Último mensaje por el_manco
Hola

EDITADO
La otra forma , creo yo sería plantear que [texx]D_uf(1,1)=0[/texx] lo que quiere decir que el siguiente límite sea cero.

[texx]D_uf(1,1)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{(1+hu_1)^2-(1+hu_2)^2}{(1+hu_1)^2+(1+hu_2)^2}}:h[/texx]

Operando sobre esta expresión queda [texx]\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{2u_1+hu_1^2-2u_2-u_2^2h}{(1+hu_1)^2+(1+hu_2)^2}}= u_1-u_2[/texx]

Para que este límite se anule entonces se debe verificar que [texx]\vec{u}=(u_1,u_1)[/texx]

Luego [texx]D_uf(1,1)=0[/texx] en la dirección de [texx]\vec{u}=(u_1,u_2)[/texx] tal que [texx]u_1=u_2[/texx] y [texx] \left\|{\vec{u}}\right\|=1[/texx]

Está bien; pero lo puedes hacer de otra manera. La función es diferenciable en [texx](1,1)[/texx] por ser suma, cociente, composición de funciones diferenciables. Entonces:

[texx]D_uf(1,1)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1)\cdot u_1+\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1)\cdot u_2[/texx]

Ahora para hallar esas parciales puedes aplicar las reglas usuales de derivación. Por ejemplo:

[texx]\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{2x(x^2+y^2)-2x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}=\dfrac{4xy^2}{(x^2+y^2)^2}[/texx]

Saludos.

 2 
 : Hoy a las 12:49:40 pm 
Iniciado por rafamatemático - Último mensaje por el_manco
Hola

Consideremos sobre el espacio  [texx]\mathbb{R}^n[/texx] las métricas definidas por:

i)  [texx]d(x,y)=\left [\displaystyle\sum_{i=1}^n{|x_i-y_i|^2}\right ]^{1/2}=\left \| x-y\right \|[/texx]
ii)  [texx]d_1(x,y)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{|x_i-y_i|}[/texx]
iii)  [texx]d_{\infty}=\displaystyle\max{|x_i-y_i|}, 1\leq{i}\leq{n}[/texx]

Probar:

1) [texx]d_{\infty}\leq{d(x,y)}\leq{d_1(x,y)}[/texx]

Para [texx]d_\infty\leq d[/texx], ten en en cuenta que:

[texx]|x_i-y_i|^2\leq \displaystyle\sum_{j=1}^n{|x_j-y_j|^2}[/texx] para cualquier [texx]j[/texx], con [texx]1\leq j \leq n[/texx]


Para [texx]d\leq d_\infty[/texx], usa que para [texx]a_i\geq 0[/texx]:

[texx](a_1+a_2+\ldots+a_n)^2=a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2+2\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq n} a_ia_j\geq a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2[/texx]

Cita
2) [texx]\left \| x+y\right \|^2+\left \| x-y\right \|^2=2\left \| x\right \|+2\left \|y\right \|[/texx]

Simplmente haz las cuentas. Observa que:

[texx]|x_i+y_i|^2+|x_i-y_i|^2=(x_i+y_i)^2+(x_i-y_i)^2=\ldots=2x_i^2+2y_i^2[/texx]

Saludos.

 3 
 : Hoy a las 12:43:18 pm 
Iniciado por Buscón - Último mensaje por el_manco
Hola

Sinceramente no entiendo a donde quieres llegar a parar con tu último mensaje.

Pero la función    [texx]g:\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2},\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\longrightarrow{[-1,1]}[/texx]    dada por    [texx]g(x)=\cos x[/texx]    no da lugar a confusión.

¿Pero de qué confusión estás hablando?.

Cita
Ahora la función    [texx]f:[-1,1]\longrightarrow{\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2},\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]}[/texx]    dada por    [texx]f(x)=\arcsen\big(g(x)\big)=\arcsen\big(\cos(x)\big)[/texx]    será

[texx]f\circ{g}:\underbrace{\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2},\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]}_{A}\xrightarrow{\,\,\,g\,\,\,}{\underbrace{[-1,1]}_{B}}\xrightarrow{\,\,\,f\,\,\,}{\underbrace{\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2},\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]}_{A}}[/texx].

En este caso    [texx]A=C[/texx].

Bien.

Cita
Primero se evalúa el dominio de    [texx]g[/texx]    por    [texx]g[/texx]    para obtener su imagen y luego se toma esa imagen como dominio

de     [texx]f[/texx]    para obtener la imagen de     [texx]f[/texx].

Me parece que estás confundiendo la imagen de una aplicación con el codominio de una aplicación. Si tienes la función:

[texx]f:\mathbb{R}\rightarrow{}\mathbb{R},\quad f(x)=sin(x)[/texx]

su codominio es [texx]\mathbb{R}[/texx] y su imagen [texx][-1,1].[/texx]

Por otra parte lo único que estoy tratando de decirte que es para componer dos funciones es suficiente que la imagen de la primera esté contenida (no necesariamente ser igual) en el dominio de la segunda.

Por ejemplo puedes tener [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{}[-1,1][/texx], definida como [texx]f(x)=sin(x)[/texx] y componer con [texx]g:\mathbb{R}\longrightarrow{}\mathbb{R}[/texx], [texx]g(x)^2[/texx]:

[texx](g\circ f)(x)=g(f(x))=g(sin(x))=sin^2(x)[/texx]

Saludos.

 4 
 : Hoy a las 12:11:50 pm 
Iniciado por nktclau - Último mensaje por Juan Pablo
Creo que debes buscar los vectores [texx]\vec{u} [/texx] tal que [texx]\nabla f (1,1) \cdot u = 0 [/texx]

Como [texx]\nabla f(1,1)=  (2,-2)  [/texx] entonces [texx] \vec{u} = \delta \cdot (1,1) [/texx].

Espera a una revisión más tranquila tengo un poco  de prisa no me he parado a revisar tus cuentas.

Editado


Operando sobre esta expresión queda [texx]\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{2u_1+hu_1^2-2u_2-u_2^2h}{(1+hu_1)^2+(1+hu_2)^2}}= u_1-u_2[/texx]

Para que este límite se anule entonces se debe verificar que [texx]\vec{u}=(u_1,u_1)[/texx]

Luego [texx]D_uf(1,1)=0[/texx] en la dirección de [texx]\vec{u}=(u_1,u_2)[/texx] tal que [texx]u_1=u_2[/texx] y [texx] \left\|{\vec{u}}\right\|=1[/texx]


Nos sale lo mismo Aunque yo no lo tomé unitario (mea culpa).

 5 
 : Hoy a las 12:10:55 pm 
Iniciado por Buscón - Último mensaje por Buscón

Por ejemplo podemos hablar de la función seno definida como [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{}\mathbb{R}[/texx], [texx]f(x)=sin(x)[/texx]. En ese caso [texx]f(\mathbb{R})=[-1,1]\neq \mathbb{R}[/texx].


Pero la función    [texx]g:\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2},\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\longrightarrow{[-1,1]}[/texx]    dada por    [texx]g(x)=\cos x[/texx]    no da lugar a confusión.

Ahora la función    [texx]f:[-1,1]\longrightarrow{\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2},\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]}[/texx]    dada por    [texx]f(x)=\arcsen\big(g(x)\big)=\arcsen\big(\cos(x)\big)[/texx]    será


[texx]f\circ{g}:\underbrace{\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2},\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]}_{A}\xrightarrow{\,\,\,g\,\,\,}{\underbrace{[-1,1]}_{B}}\xrightarrow{\,\,\,f\,\,\,}{\underbrace{\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2},\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]}_{A}}[/texx].

En este caso    [texx]A=C[/texx].

Primero se evalúa el dominio de    [texx]g[/texx]    por    [texx]g[/texx]    para obtener su imagen y luego se toma esa imagen como dominio

de     [texx]f[/texx]    para obtener la imagen de     [texx]f[/texx].


Saludos.

 6 
 : Hoy a las 11:30:30 am 
Iniciado por nktclau - Último mensaje por nktclau
Hola GENTE!! Necesito de vuestra gran ayuda, por favor. Me preguntan ¿En qué dirección es nula la derivada de [texx]f(x,y)=\displaystyle\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/texx] en el punto [texx](1,1)[/texx]?

¿Puedo usar la propiedad del gradiente.? Si [texx]\nabla f(x_0,y_0) =0 \Longrightarrow{D_uf(x_0,y_0)=0}[/texx] en cualquier dirección de [texx]\vec{u}[/texx]. O se hace de otra forma?

EDITADO
La otra forma , creo yo sería plantear que [texx]D_uf(1,1)=0[/texx] lo que quiere decir que el siguiente límite sea cero.

[texx]D_uf(1,1)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{(1+hu_1)^2-(1+hu_2)^2}{(1+hu_1)^2+(1+hu_2)^2}}:h[/texx]

Operando sobre esta expresión queda [texx]\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{2u_1+hu_1^2-2u_2-u_2^2h}{(1+hu_1)^2+(1+hu_2)^2}}= u_1-u_2[/texx]

Para que este límite se anule entonces se debe verificar que [texx]\vec{u}=(u_1,u_1)[/texx]

Luego [texx]D_uf(1,1)=0[/texx] en la dirección de [texx]\vec{u}=(u_1,u_2)[/texx] tal que [texx]u_1=u_2[/texx] y [texx] \left\|{\vec{u}}\right\|=1[/texx]


¿es así?

GRACIAS!

Saludos

 7 
 : Hoy a las 11:04:24 am 
Iniciado por nktclau - Último mensaje por nktclau
Hola GENTE!!! buen día!! necesito de vuestra gran ayuda, por favor. Debo hallar las derivadas direccionales en [texx](0,0)[/texx] de la función [texx]f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{x^2y}{x^4+y^2} & \text{si}& (x,y)\neq{(0,0)}\\ \\ 0 & \text{si}& (x,y)=(0,0)\end{cases}[/texx]

He calculado el límite y me dió: [texx]\displaystyle\lim_{h\to{0}}{\displaystyle\frac{u_1^2 \cdot u_2 }{h^2u_1^4+u_2^2}}[/texx]

y en este momento estoy analizando la situación puntual del caso [texx]\vec{u}=(1,0)[/texx] o [texx]\vec{u}=(0,-1)[/texx]

En caso [texx]\vec{u}=(1,0)[/texx] analizo [texx]\displaystyle\lim_{h\to{0}}{\displaystyle\frac{u_1^2 \cdot u_2 }{h^2u_1^4+u_2^2}}[/texx] y veo se me presenta el caso de una indeterminación del tipo [texx]\displaystyle\frac{0}{0}[/texx]

Se me ocurrio aplicar L'Hopital (2 veces) y queda [texx]\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{0}{2}}=0[/texx]

EDITADO: No sé si es necesario aplicar L'Hopital

Por lo que la [texx]D_uf(0,0)[/texx] existe en la dirección  [texx]\vec{(1,0)}[/texx]

Está bien?

GRACIAS!!!

Saludos

 8 
 : Hoy a las 10:19:43 am 
Iniciado por rafamatemático - Último mensaje por rafamatemático
Consideremos sobre el espacio  [texx]\mathbb{R}^n[/texx] las métricas definidas por:

i)  [texx]d(x,y)=\left [\displaystyle\sum_{i=1}^n{|x_i-y_i|^2}\right ]^{1/2}=\left \| x-y\right \|[/texx]
ii)  [texx]d_1(x,y)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{|x_i-y_i|}[/texx]
iii)  [texx]d_{\infty}=\displaystyle\max{|x_i-y_i|}, 1\leq{i}\leq{n}[/texx]

Probar:

1) [texx]d_{\infty}\leq{d(x,y)}\leq{d_1(x,y)}[/texx]
2) [texx]\left \| x+y\right \|^2+\left \| x-y\right \|^2=2\left \| x\right \|+2\left \|y\right \|[/texx]

 9 
 : Hoy a las 10:00:53 am 
Iniciado por raistlin - Último mensaje por Carlos Ivorra
mmm.. esa explicación me gusta mas,

Pues no es nueva:

[texx]\Delta s^2[/texx] es un número real. Un número que tiene la propiedad de no depender del sistema de referencia con el que se calcula. Si es positivo es el tiempo que transcurre entre los dos sucesos para un observador que presencie ambos, y si es negativo, su valor absoluto es la distancia entre los dos sucesos para un observador que los vea simultáneos. Ésa es su interpretación.

se podría decir entonces que es una distancia como la definición de Pitágoras, pero con el truco del negativo para poder representarse a la vez en el espacio y el tiempo..

Con el truco negativo para que sea independiente del observador.

entonces, que es mas o menos donde quería llegar, cualquier numero invariante no serviría no? debe cumplir el teorema de Pitágoras?

Ese condicional "serviría" es muy difícil de interpretar. La distancia de Minkowski entre dos sucesos es la que es y tiene la interpretación que tiene. Decir si otra cosa "serviría" o "no serviría" supone pensar en otra teoría alternativa a la relatividad. Habría que ver en qué consiste esa alternativa y para qué querríamos que sirviera.

 10 
 : Hoy a las 09:23:24 am 
Iniciado por Buscón - Último mensaje por el_manco
Hola

pero entonces en este caso será

[texx]B=f(A)\xrightarrow{\,\,\,g\,\,\,}\,{C}[/texx]

y por lo tanto

[texx]g\circ{f}(x)=g\big(f(x)\big)[/texx]

Si, tal como has escrito las premisas en tus últimos mensajes, si. Nadie ha dicho lo contrario.

Si realmente queremos trabajar con la otra composición, es decir, [texx]f\circ g[/texx], entonces debemos de considerar [texx]g:A\longrightarrow{}B[/texx], [texx]f:C\longrightarrow{}D[/texx] con [texx]B\subset C[/texx].

De todas formas podrías ahorrarte escritura simplemente diciendo que consideras un par de funciones [texx]f,g[/texx] para las cuales tiene sentido componer [texx]f\circ g[/texx], o incluso en este ejercico suponer que todas las funciones van de [texx]\mathbb{R}[/texx] a [texx]\mathbb{R}[/texx].

Aprovecho eso si para comentar algunas cosas que, por lo que has escrito, me parece que tienes confusas:

1) Cuando uno escribe [texx]f:A\longrightarrow{}B[/texx] no quiere decir necesariamente que [texx]f(A)=B.[/texx] Lo que quiere decir es que la función [texx]f[/texx] lleva cualquier elemento de [texx]A[/texx] en otro de está en [texx]B[/texx].

Por el contrario [texx]f(A)=B[/texx] significaría que todo elemento de B es imagen de alguno de A, es decir que la aplicación es sobreyectiva ya que por definición:

[texx]f(A)=\{b\in B|\exists a\in A,\quad f(a)=b\}[/texx]

Por ejemplo podemos hablar de la función seno definida como [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{}\mathbb{R}[/texx], [texx]f(x)=sin(x)[/texx]. En ese caso [texx]f(\mathbb{R})=[-1,1]\neq \mathbb{R}[/texx].

2) Para componer dos funciones [texx]f:A\longrightarrow{}B[/texx] y [texx]g:C\longrightarrow{}D[/texx], haciendo primero [texx]f[/texx] y luego [texx]g[/texx], es decir la composición [texx]g\circ f[/texx], no es necesario que [texx]B=C[/texx]. Es suficiente que [texx]B\subset C[/texx].

Saludos.

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