17/10/2018, 02:08:33 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
Páginas: [1] 2 3 ... 10
 1 
 : Hoy a las 01:57:52 am 
Iniciado por manooooh - Último mensaje por manooooh
Hola!

Determinar, si existen, los puntos de la superficie de ecuación [texx]z = f(x, y)[/texx] donde el plano tangente es horizontal y analizar si en alguno de ellos el correpondiente valor de [texx]f:\Bbb R^2\to\Bbb R[/texx], dada por

[texx]f(x,y)=x-y^2-x^3+2xy,[/texx]

es extremo local. En caso afirmativo, clasificarlo.




En primer lugar [texx]D_f=\Bbb R^2[/texx] y las componentes de su gradiente

[texx]\vec\nabla f(x,y)=(1-3x^2+2y,-2y+2x)[/texx]

son continuas también en todo [texx]\Bbb R^2[/texx] (son suma y resta de polinomios), por lo que [texx]f\in\mathcal C^\infty(\Bbb R^2)[/texx] (alcanzaba con orden [texx]1[/texx]), por lo que [texx]f[/texx] es diferenciable en [texx]D_f=\Bbb R^2[/texx].

Buscamos los puntos críticos:

[texx]\vec\nabla f(x,y)=(0,0)\color{blue}\iff\color{black}\begin{cases}1-3x^2+2y=0\\-2y+2x=0\end{cases}\equiv\begin{cases}1-3x^2+2x=0\\2y=2x\end{cases}\equiv\begin{cases}(x+1/3)(x-1)=0\\y=x\end{cases}.[/texx]

Por tanto, los puntos donde la función tiene plano tangente horizontal son [texx]P_0=(-1/3,-1/3)[/texx] y [texx]P_1=(1,1)[/texx], ambos interiores al dominio de [texx]f[/texx].

¿Hasta acá bien?



Ahora los clasificamos:

[texx]\triangle H_f(x,y)=\det\begin{pmatrix}-6x&2\\2&-2\end{pmatrix}[/texx]

[texx]\triangle H_f(P_0)=\det\begin{pmatrix}2&2\\2&-2\end{pmatrix}<0[/texx]; por tanto [texx]f[/texx] alcanza un punto de ensilladura en [texx](-1/3,-1/3)[/texx] de valor [texx]f(-1/3,-1/3)=-5/27\approx-0.2[/texx].

[texx]\triangle H_f(P_1)=\det\begin{pmatrix}-6&2\\2&-2\end{pmatrix}>0[/texx] y [texx]\color{red}f_{xx}''\color{black}(P_1)<0[/texx]; por tanto [texx]f[/texx] alcanza un máximo local en [texx](1,1)[/texx] de valor [texx]f(1,1)=1[/texx].

Un gráfico de la situación:


¿Es correcto?



A su criterio, ¿está todo correctamente justificado? ¿Y la notación? Sino, ¿qué agregarían/quitarían?

¿Lo marcado en azul, sería un "si y sólo si" o un "si... entonces"? Me inclino por la primera.

Por otra parte, siempre me ha intrigado ir un poco más allá de los ejercicios que se piden "extremos locales" y hallar los "absolutos". En este caso, ¿la función tiene extremos absolutos? A mí se me ocurre viendo que la función crece por un lado y decrece por otro (y viendo que su dominio es [texx]\Bbb R^2[/texx]), por lo que NO tiene extremos absolutos, pero esto sería para Cálculo I :risa:. ¿Cómo se demuestra que tiene o no?

Gracias!
Saludos

P.D. Mañana tengo el primer examen de Cálculo II. Deséenme suerte, los voy a leer cuando pueda :cara_de_queso:.

P.D.2. Notar lo señalado en rojo :risa:. ¡Son derivadas de una variable, y a éstas siempre se les pone comillas!

 2 
 : Hoy a las 12:22:19 am 
Iniciado por Quema - Último mensaje por Masacroso
Supongamos que [texx]f:[0,1]\rightarrow{}[0,1][/texx] es continua, creciente, cóncava-convexa (con punto de inflexión [texx]c[/texx]) con [texx]f(0)=0,f(1)=1[/texx], tal que [texx]2f(x/2)\leq 1,[/texx] para todo [texx]x \in [0,1][/texx]

Existe siempre un [texx]b \in (0,1][/texx] tal que [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx]. Es éste único?

Mi respuesta es afirmativa, simplemente hay que trazar una recta del punto [texx](b/2,f(b/2))[/texx] con pendiente [texx]2[/texx] y cortará solamente una vez la recta [texx]f(x)[/texx], pues [texx]c\leq{}b/2[/texx] y [texx]f(x)[/texx] es creciente. Mi duda está si la pendiente de [texx]f(x)[/texx] en [texx]x=b/2[/texx] es mayor a 2, capaz que esa recta no cortaría ningún punto de [texx]f(x)[/texx].

Saludos

¿Y qué punto es el [texx]b[/texx]? Tienes un punto indefinido [texx](b/2,a)[/texx], para algún [texx]b\in[0,2][/texx] con [texx]a=f(b/2)[/texx]. A partir de ahí haces una recta con pendiente 2 y aseguras que corta una vez [texx]f[/texx], ¿por qué? No me queda nada claro lo que has hecho, en todo caso tienes que explicarte mejor.

 3 
 : Hoy a las 12:15:49 am 
Iniciado por castrokin - Último mensaje por manooooh
Hola

Además de lo dicho por Masacroso, notá que esto no se trata de un límite de una sucesión porque, principalmente, tenemos una función que depende de [texx]x[/texx] y, por otro, el límite no tiende a infinito. Te están pidiendo la definición de derivada en un punto.

Saludos

 4 
 : Hoy a las 12:13:09 am 
Iniciado por castrokin - Último mensaje por Masacroso
Hola amigos
me he encontrado con este enunciado que me tiene un poco mal ya que no he podido encontrar la manera de resolverlo  :BangHead: :BangHead:
se me pide que dada la función [texx]f\left({x}\right)=\sqrt[ ]{x+1}[/texx]
calcular
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{0}}{}\displaystyle\frac{f\left({2+h}\right) -f\left({2}\right)}{h}[/texx]

me gustaría que me pudieran ayudar con este ejercicio
muchas gracias


Tienes que

[texx]\displaystyle{\begin{align*}\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}h&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h+3}-\sqrt{3}}h\\
&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h+3}-\sqrt{3}}h\cdot\frac{\sqrt{h+3}+\sqrt3}{\sqrt{h+3}+\sqrt3}\\&=
\lim_{h\to 0}\frac{h}{h(\sqrt{h+3}+\sqrt3)}\\&=\lim_{h\to 0}\frac1{\sqrt{h+3}+\sqrt3}\\&=\frac1{2\sqrt3}\end{align*}}[/texx]

Lo que he hecho es lo que se suele hacer para eliminar raíces de un numerador o denominador, que es multiplicar por el "conjugado" del numerador para poder usar así diferencia de cuadrados.

También fíjate que [texx]f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h+2)-f(2)}h[/texx], es decir, el límite es la derivada de [texx]f[/texx] en [texx]2[/texx], lo cual también puede calcularse sabiendo que [texx]f'(x)=\frac1{2\sqrt{x+1}}[/texx].

 5 
 : Ayer a las 11:52:01 pm 
Iniciado por castrokin - Último mensaje por castrokin
Hola amigos
me he encontrado con este enunciado que me tiene un poco mal ya que no he podido encontrar la manera de resolverlo  :BangHead: :BangHead:
se me pide que dada la función [texx]f\left({x}\right)=\sqrt[ ]{x+1}[/texx]
calcular
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{0}}{}\displaystyle\frac{f\left({2+h}\right) -f\left({2}\right)}{h}[/texx]

me gustaría que me pudieran ayudar con este ejercicio
muchas gracias

 6 
 : Ayer a las 11:37:57 pm 
Iniciado por alucard - Último mensaje por alucard
Hola tengo el siguiente ejercicio

Una población  P de bacterias crece de manera que [texx]\dfrac{\dfrac{dP}{dt}}{P}[/texx] constante.Si al cabo de 3 días sobrevive solamente la mitad de la población y a los 5 días hay solamente 14 individuos,

a) cuál era la población incial?
b) cuantos días deberán pasar para que la población tenga  menos de 5 individuos?

Planteo

[texx]\dfrac{\dfrac{dP}{dt}}{P}=k[/texx]

[texx]\frac{dP}{dt}=P\cdot k\to \frac{dP}{P}=k dt[/texx]

y obtengo

[texx]P(t)=Ae^{kt}[/texx]

Está bien?

Una condición sería [texx]P(5)=14[/texx] y la otra es lo que esta en negrita , que no estoy pudiendo expresar como condición.

Una vez determinadas A y k, para contestar al problema debo hacer

a) P(0)=A

b) P(t)<5

correcto?

 7 
 : Ayer a las 10:55:08 pm 
Iniciado por AndresE - Último mensaje por AndresE
lo que me referí a transformar era expresarlas como si fuesen vectores para poder introducirlos en la combinacion lineal, para ver si podian o no ser combinacion lineal

 8 
 : Ayer a las 08:43:54 pm 
Iniciado por Paul ac - Último mensaje por ingmarov
Hola Paul

Escribo desde el móvil y se me complica

Escogemos el extremo con mayor valor absoluto, en este caso 8/3

Y resulta en la expresión para épsilon

[texx]\dfrac{8}{3}|x-\frac{1}{3}|<\epsilon[/texx]

Saludos

 9 
 : Ayer a las 08:21:40 pm 
Iniciado por AndresE - Último mensaje por delmar
Hola

Entiendo que las funciones son : [texx]Ln^2(x),Ln(x), Ln^3(x)[/texx], estas funciones son elementos de un espacio vectorial por ejemplo V, constituido por todas las funciones continuas con dominio [texx]R^+[/texx], con la operación de adición de funciones, con cuerpo de escalares [texx]R[/texx], con la operación de producto por escalares de funciones. En esas condiciones se puede hablar de independencia o dependencia lineal. ¿Que significa que estas funciones son linealmente independientes? Significa que existe una única terna [texx](c_1,c_2,c_3)\in{R^3}[/texx] tal que [texx]c_1 \ Ln^2(x)+c_2 \ Ln(x)+ c_3 \ Ln^3(x)=0, \ \forall{x}>0[/texx] Ec. 1, es decir existe una única combinación lineal de las funciones, que se corresponde con la función nula, es obvio que las constantes únicas son  [texx]c_1=c_2=c_3=0[/texx]. Como la Ec. 1 se cumple [texx]\forall{x}>0[/texx] se ha de cumplir para [texx]x=e,x=e^-1, x=e^2[/texx] (pueden utilizarse otros valores de x), y esto te llevará a una conclusión y quedará respondida la pregunta.


Saludos

Nota : No entiendo el método que utilizas, hablas de transformar (supongo linealmente), ¿Cuál es esa transformación explícita?

 10 
 : Ayer a las 07:36:44 pm 
Iniciado por xuchen - Último mensaje por feriva
¿Cómo podría hacer este ejercicio?

Demostrar que es falsa la siguiente igualdad:

[texx]f(X - A) = f(X) - f (A)[/texx]

Hola.

Pues eso dependerá del tipo de demostración que necesites dentro del contexto que sea.

Podría valer un simple contraejemplo, pero ya digo, depende:

Si [texx]f(t)=t^{2}
 [/texx]

[texx]f(x-a)=(x-a)^{2}=x^{2}+a^{2}-2xa\neq f(x)-f(a)=x^{2}-a^{2}
 [/texx]

Saludos.

Páginas: [1] 2 3 ... 10
Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!