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1  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Irreducibles en anillos : 24/04/2014, 13:06:45
Hola, a ver si consigo ayudarte con tu segunda pregunta (yo también estoy dando este tema, así que tampoco te fíes 100% de mi respuesta):

Un factor común de [texx]6[/texx] y [texx]2+2\sqrt[ ]{-5}[/texx] tiene que ser tal que su norma divida a las normas [texx]N(6)=36[/texx] y [texx]N(2+2\sqrt[ ]{-5})=24[/texx], es decir aquellos con norma 2, 3, 4 y 6. Teniendo en cuenta que en [texx]\mathbb{Z}(\sqrt{-5})[/texx] no hay elementos de norma 2 o 3, entonces los factores comunes tienen que tener norma 4 o 6 y serían [texx]\pm{2}, \pm(1+\sqrt{-5}), \pm(1-\sqrt{-5})[/texx]. Ahora bien, ninguno de ellos es un múltiplo de los demás y por tanto, no existe el máximo común divisor.

Un saludo.
2  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Irreducibles en anillos : 15/04/2014, 09:55:55
Hola, justamente yo hace poco he dado esto. Tendrías que hacer así:

[texx]\frac{15+16i}{11+23i}=\frac{(15+16i)(11-23i)}{(11+23i)(11-23i)}=\frac{533-169i}{650}=\frac{41}{50}-\frac{13}{50}i[/texx]

[texx]c=1, r=(15+16i)-1(11+23i)=4-7i[/texx]

[texx]\frac{11+23i}{4-7i}=\frac{(11+23i)(4+7i)}{(4-7i)(4+7i)}=\frac{-117+169i}{65}=\frac{-9}{5}+\frac{13}{5}i[/texx]

[texx]c=-2+3i, r=(11+23i)-(-2+3i)(4-7i)=(11+23i)-(13+26i)=-2-3i[/texx]

[texx]\frac{4-7i}{-2-3i}=\frac{(4-7i)(-2+3i)}{(-2-3i)(-2+3i)}=\frac{13+26i}{13}=1+2i[/texx]

[texx]c=1+2i, r=(4-7i)-(1+2i)(-2-3i)=(4-7i)-(4-7i)=0[/texx]

Luego

[texx]mcd\{15+6i,11+23i\}=mcd\{11+23i,4-7i\}=mcd\{4-7i,-2-3i\}=-2-3i[/texx]

Espero haberte sido de ayuda!!
3  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Entero libre de cuadrados e irreducible : 15/04/2014, 04:47:47
Bua, muchísimas gracias, Carlos!!
4  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Entero libre de cuadrados e irreducible : 14/04/2014, 20:06:15
Llevo un montón de tiempo consultando bibliografía de teoría de números y en ninguno viene este resultado. Lo máximo que he encontrado es un resultado similar que Carlos Ivorra probó aquí: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70737.msg280957#msg280957

Pero claro, yo en este caso en mis hipótesis no tengo congruencias.

Muchísimas gracias y a ver si alguien me puede echar una mano.
Un saludo.
5  Matemática / Estructuras algebraicas / Entero libre de cuadrados e irreducible : 12/04/2014, 20:35:19
Hola a todos, ¿cómo podría demostrar este teorema?

(a) Sea [texx]d[/texx] un entero libre de cuadrados tal que [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{d}][/texx] es un DFU. Probar que [texx]2[/texx] divide a [texx](d+\sqrt{d})(d-\sqrt{d})[/texx] y deducir que [texx]2[/texx] no es irreducible en [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{d}][/texx].

(b) Sea [texx]d[/texx] un entero libre de cuadrados, menor o igual que [texx]-3[/texx]. Probar que [texx]2[/texx] es irreducible en [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{d}][/texx] y que por lo tanto [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{d}][/texx] no es DFU.

Supongo que se demuestra utilizando normas, pero no consigo llegar a nada.

Muchas gracias.
6  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Re: Campo de vectores : 30/03/2014, 19:40:52
Muchas gracias, el_manco, gracias a tu ayuda conseguí concluir el ejercicio:

El vector de posición de [texx]p[/texx] será el vector [texx](x,y)[/texx]; y como el vector tangente en [texx]p[/texx] a [texx]S^1[/texx] es perpendicular al vector de posición, el vector tangente será [texx](-y,x)[/texx]. Luego podemos tomar como campo de vectores
[texx]X=-y\frac{\partial}{\partial x}+x\frac{\partial}{\partial y}[/texx]
que no se anula.
Para determinar la 1-forma dual de [texx]X[/texx], tomamos
[texx]\alpha=f(x,y)dx+g(x,y)dy\:\:\:\text{y}\:\:\:\alpha(X)=1\Rightarrow -yf(x,y)+xg(x,y)=1[/texx]
Como el campo de vectores tangente es perpendicular a los vectores de posición
[texx]xf(x,y)+yg(x,y)=0[/texx]
Así que tomamos [texx]f(x,y)=-y[/texx], [texx]g(x,y)=x[/texx] y se tiene [texx]S^1[/texx]:
[texx]-y(-y)+xx=x^2+y^2=1[/texx]

Gracias de nuevo.
Saludos.
7  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Re: Campos F-relacionados : 23/03/2014, 21:04:05
Sí, eso es justo lo que quería hacer!! Y el contraejemplo al que quieres hacer referencia creo que es [texx]p=(0,0,1)[/texx] y [texx]q=(0,0,-1)[/texx] porque entonces [texx]F(p)=(1,0,0)=F(q)[/texx] y [texx]F_{*(p)}(X_p)=\begin{pmatrix}{0}\\{1}\\\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}{0}\\{-1}\\\end{pmatrix}=F_{*(q)}(X_q)[/texx]

Así que finalmente no existe un campo de vectores sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx] [texx]F[/texx]-relacionado con [texx]X[/texx].

Muchísimas gracias, me has sido de gran ayuda!!
8  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Re: Campos F-relacionados : 23/03/2014, 14:34:18
Perdona, el_manco, a la hora de revisar el ejercicio he visto que cometí una errata al escribir el enunciado: el campo dado es [texx]X=z^3\frac{{\partial }}{{\partial x}}[/texx]

Utilizando unas notas que he encontrado, he hecho lo siguiente:

Si [texx]U[/texx] está [texx]F[/texx]-relacionado con [texx]X[/texx], entonces existen puntos [texx]p,q[/texx] con [texx]p\neq q[/texx] tal que [texx]F(p)=F(q)[/texx] pero [texx]F_{*(p)}(X_p)\neq F_{*(q)}(X_q)[/texx]

[texx]F_*X=\begin{pmatrix}{0}&{0}&{2z}\\{1}&{-1}&{0}\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{z^3}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{0}\\{z^3}\\\end{pmatrix}[/texx]

Si tomamos [texx]p=(1,1,1)[/texx] y [texx]q=(0,0,1)[/texx], tenemos que se cumple

[texx]F(p)=(1^2,1-1)=(1,0)[/texx]

[texx]F(q)=(1^2,0-0)=(1,0)[/texx]

Luego [texx]F(p)=F(q)[/texx], pero

[texx]F_{*(p)}(X_p)=\begin{pmatrix}{0}\\{1}\\\end{pmatrix}=F_{*(q)}(X_q)[/texx]

Luego no existe un campo de vectores sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx] [texx]F[/texx]-relacionado con [texx]X[/texx].

No sé si estará bien.

Muchas gracias!!
9  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Re: Campo de vectores : 21/03/2014, 15:39:03
Vale, muchas gracias, voy a ver a qué llego con coordenadas polares.

Consideramos la aplicación [texx]f:\mathbb{R}^2\longrightarrow{}S^1,f(r,\theta)=(r\cos(\theta),r\sin(\theta))[/texx]

[texx]\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial}{\partial y}=\cos \theta\frac{\partial}{\partial x}+\sin\theta\frac{\partial}{\partial y}[/texx]

[texx]\frac{\partial f}{\partial \theta}=\frac{\partial x}{\partial \theta}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial \theta}\frac{\partial}{\partial y}=-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial x}+r\cos\theta\frac{\partial}{\partial y}[/texx]

Queremos despejar [texx]\frac{\partial}{\partial x}[/texx] y [texx]\frac{\partial}{\partial y}[/texx]

[texx]\frac{\partial}{\partial y}=\sin\theta\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r}\cos\theta\frac{\partial f}{\partial \theta}[/texx]

[texx]\frac{\partial}{\partial x}=\cos\theta\frac{\partial f}{\partial r}-\frac{\sin \theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}[/texx]

Deshaciendo el cambio de polares:

[texx]\frac{\partial}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial f}{\partial \theta}[/texx]

[texx]\frac{\partial}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial f}{\partial r}-\frac{y}{x^2+y^2}\frac{\partial f}{\partial \theta}[/texx]

Y ahora ya no sé cómo puedo seguir para sacar el campo.
10  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Re: Campo de vectores : 21/03/2014, 11:43:38
Estoy un poco liado con esto y seguro que es una bobada. Lo que tengo hecho por ahora es lo siguiente:

Usando proyecciones estereográficas, definimos:

[texx]\sigma_{\pm}:\mathbb{R}^2\longrightarrow S^1[/texx] con [texx]\sigma_{\pm}(x,y)=\frac{x}{1\pm y}[/texx] y [texx]\sigma^{-1}_{\pm}:S^1\longrightarrow \mathbb{R}^2[/texx] con [texx]\sigma^{-1}_{\pm}(u)=(\frac{2u}{1+u^2},\frac{\pm(u^2-1)}{1+u^2})[/texx]

Los vectores tangentes en [texx]S^1[/texx] están dados por

[texx]\frac{\partial}{\partial x_+}(f)=\frac{\partial}{\partial u}(f\circ \sigma^{-1}_+)_{|\sigma_{+}(x)}=\frac{\partial}{\partial u}f(\frac{2u}{1+u^2},\frac{(u^2-1)}{1+u^2})_{|\sigma_{+}(x)}=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial f}{\partial y}=
\frac{2(1+u^2)-2u(2u)}{(1+u^2)^2}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{2u(1+u^2)-(u^2-1)2u}{(1+u^2)^2}\frac{\partial f}{\partial y}=
\frac{2-2u^2}{(1+u^2)^2}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{4u}{(1+u^2)^2}\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{(1+u^2)^2}(2(1-u^2)\frac{\partial}{\partial x}+4u\frac{\partial}{\partial y})=(1-x^2)\frac{\partial}{\partial x}+x(1-y)\frac{\partial}{\partial y}[/texx]

¿Éste es el campo de vectores tangentes a la circunferencia?

Muchas gracias.
11  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Re: Campos F-relacionados : 19/03/2014, 15:51:30
Sí, tienes razón.
¡Muchas gracias!
12  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Campo de vectores : 18/03/2014, 22:29:56
Hola, a ver si me podéis ayudar.

No sé cómo puedo determinar un campo de vectores tangente  [texx]X[/texx] sobre  [texx]S^1[/texx] tq. el representante de  [texx]X[/texx] en cada punto de  [texx]S^1[/texx] es distinto de cero.

Luego también me piden la 1-forma dual de  [texx]X[/texx].

Muchas gracias.
13  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Campos F-relacionados : 18/03/2014, 22:24:48
Hola a todos,

Si me dan una aplicación [texx]F:\mathbb{R}^3\longrightarrow{\mathbb{R}^2}, F(x,y,z)=(z^2, x-y)[/texx] y un campo de vectores [texx]X=z^3\frac{{\partial }}{{\partial z}}[/texx], ¿cómo puedo ver que no existe otro campo [texx]U[/texx] sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx] tal que [texx]U[/texx] y [texx]X[/texx] están  [texx]F[/texx]-relacionados?

Gracias.
14  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Geometría de Riemann : 11/12/2011, 19:45:25
Hola,

Les escribo porque solo no soy capaz de probar las siguientes proposiciones:

1) Levantamiento horizontal en coordenadas locales.

2) H conexión lineal [texx]\Longleftrightarrow{{\vartheta_i}^{\alpha}(x,s)={\vartheta_{i\beta}^{\alpha}(x)s^{\beta}}[/texx] (símbolos de Christoffel).

3) H conexión lineal [texx]\Longrightarrow \widetilde{\nabla_X s}=[X^*,\widetilde{s}][/texx], donde [texx]X^*[/texx] es el levantamiento horizontal y [texx]\widetilde{s}[/texx] es el levantamiento vertical.

4) Si [texx](X,s)\longrightarrow{\nabla_X s}[/texx] verifica:
i)   [texx]\nabla_{(X_1+X_2)}s=\nabla_{X_1}s+\nabla_{X_2}s[/texx].
ii)  [texx]\nabla_{fX}s=f \nabla_X s[/texx].
iii) [texx]\nabla_{X}(s_1+s_2)=\nabla_X s_1+\nabla_X s_2[/texx].
iv) [texx]\nabla_{X}(fs)=f \nabla_X s[/texx].
Entonces existe una única conexión lineal H tal que: [texx]\widetilde{\nabla_X s}=[X^*,\widetilde{s}][/texx].

Muchas gracias.
15  Matemática / Estructuras algebraicas / Dominio de definición : 06/11/2011, 06:48:49
Sea [texx]V=\mathds{V}_+(Y^2Z-X^2Z-X^3)\subseteq\mathds{P}^2(K)[/texx].
a) Probar que [texx]V[/texx] es una variedad proyectiva.
b) Determinar el dominio de definición de la función racional sobre [texx]V[/texx].
[texx]f=\frac{X^2+I_+(V)}{Y^2+I_+(V)}[/texx].

Con el primer apartado no tengo ningún problema porque sería probar que es variedad (sí, por definición) y que además es irreducible (también, mirando sobre Z).
Ahora bien, el apartado b) no sé.
16  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Homogeneizar y deshomogeneizar : 27/10/2011, 15:49:31
¿Alguna ayudita para terminarlo? :-)
17  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Homogeneizar y deshomogeneizar : 27/10/2011, 11:23:24
Muchas gracias, donald.

[texx]\Rightarrow{}[/texx]) Supongamos que [texx]p[/texx] ideal primo. Todo elemento perteneciente a [texx]p[/texx] se puede escribir de la forma [texx]z=x\cdot{y}\in{p},\ x,\ y\in{K[T_1,\ldots T_n]}[/texx], y además, [texx]z=x\cdot{y}\in{p}\Rightarrow{x\in{p\ \vee\ y\in{p}}}[/texx]. Homogeneizándolo se llega a [texx]z^*=(x\cdot{y})^*=x^*\cdot{y^*}[/texx]
[texx]\Leftarrow{}[/texx]) Partamos ahora de que [texx]p^*[/texx] es primo. Eso quiere decir que [texx]z^*=x^*\cdot{y^*}\in{p^*}\Rightarrow{x^*\in{p^*\ \vee\ y^*\in{p^*}}}[/texx]. Deshomogeneizando se llega a [texx](z^*)_*=(x^*\cdot{y^*})_*=(x^*)_*\cdot{(y^*)_*}=x\cdot{y}[/texx].

Y me falta justo el último paso de cada implicación, que no lo veo.
18  Matemática / Estructuras algebraicas / Homogeneizar y deshomogeneizar : 27/10/2011, 05:40:38
Hola a tod@s. A ver si me podéis ayudar con este problemilla sobre homogeneizar ideales primos. Dice así:
Sea [texx]p[/texx] un ideal de [texx]K[T_1,\ldots,T_n][/texx]. Si [texx]p*[/texx] es el homogeneizado en [texx]K[T_0,\ldots,T_n][/texx], probar que [texx]p[/texx] es primo si y sólo si [texx]p*[/texx] es primo.

Muchas gracias.
19  Matemática / Estructuras algebraicas / Homogeneizar y deshomogeneizar. BLOQUEADO POR REPETICIÓN : 27/10/2011, 05:39:27
Hola a tod@s. A ver si me podéis ayudar con este problemilla sobre homogeneizar ideales primos. Dice así:
Sea [texx]]p[/tex un ideal de [texx]K[T_1,\ldots,T_n][/texx]. Si [texx]p*[/texx] es el homogeneizado en [texx]K[T_0,\ldots,T_n][/texx], probar que $p[/texx] es primo si y sólo si $p*[/tex] es primo.

Muchas gracias.

Repetición de
http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,51116.msg203094.html#msg203094
20  Matemática / Estructuras algebraicas / Homogeneizar y deshomogeneizar.BLOQUEADO POR REPETICIÓN : 27/10/2011, 05:37:04
Hola a tod@s. A ver si me podéis ayudar con este problemilla sobre homogeneizar ideales primos. Dice así:
8. Sea $p$ un ideal de $K[T_1,\ldots,T_n]$. Si $p*$ es el homogeneizado en $K[T_0,\ldots,T_n]$, probar que $p$ es primo si y sólo si $p*$ es primo.

Muchas gracias.

Repetición de

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,51116.msg203094.html#msg203094
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