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1  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Autovalores y matrices : 19/02/2019, 04:45:08 am
Puede ser interesante: Diagonalización de involuciones.
2  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Autovalores y matrices : 18/02/2019, 06:16:12 pm
Ah, debe de ser lo que dice Fernando, no es una "y" es una "o"

Así es, es falso con "y" y cierto con "o".
3  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Autovalores y matrices : 18/02/2019, 05:50:13 pm
Si  A es una matriz involutiva entonces sus autovalores son 1 y -1

Si [texx]\lambda[/texx] es valor propio de [texx]A[/texx], existe vector [texx]x\ne 0[/texx] tal que [texx]Ax=\lambda x.[/texx] Entonces, [texx]A^2x=A(Ax)=A(\lambda x)=\lambda Ax=\lambda^2 x.[/texx] Como [texx]A^2=I[/texx], queda [texx]Ix=\lambda^2 x[/texx], es decir [texx]x=\lambda^2 x[/texx] y al ser [texx]x[/texx] no nulo, [texx]\lambda^2=1[/texx], i.e. [texx]\lambda=1[/texx] o [texx]\lambda=-1[/texx].
4  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / Re: ¿Teoremas cuyo enunciado general sea más fácil de probar que uno particular? : 17/02/2019, 08:07:45 am
¿Existen teoremas matemáticos cuyo enunciado general sea más fácil de probar que uno particular?

Sí. Mira aquí (apartado 3) la demostración del teorema de Pitágoras para espacios euclídeos (apenas un par de líneas). Contrasta con la demostración en el plano euclídeo a partir de los teoremas del cateto y de la altura. Mira por ejemplo aquí.

P.D. Por supesto que un individuo que no ha estudiado la teoría general de espacios euclídeos, consideraría algo "tramposo" el ejemplo que he puesto.   :sonrisa:
5  Matemática / Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Criterios para decidir si una función es creciente : 14/02/2019, 01:32:15 pm
Se sabe que  una función [texx]f(x)[/texx] es creciente (decreciente)  si su  primera derivaba  es [texx]f(x)^{\prime}>0, (f(x)^{\prime}<0) [/texx] Me gustaría saber si hay otros criterios para decidir si una función es creciente (decreciente)

Lo más general (la función podría no ser derivable) es aplicar que

          [texx]f[/texx] es creciente (decreciente) [texx]\Leftrightarrow{ \displaystyle\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \ge 0\; (\le 0)}[/texx] para todo [texx]x_2 > x_1[/texx] con [texx]x_1,x_2\in \text{Dom }f.[/texx]
6  Matemática / Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Si G es grupo cíclico entonces G' también lo es : 05/02/2019, 04:01:11 am
Bienvenido al foro.

Sea una función [texx]H: G\rightarrow{G'}[/texx] un isomorfismo de grupo muestre que si G es cíclico G' también es cíclico

No te será difícil demostrar que si [texx]a[/texx] es generador de [texx]G[/texx] entonces [texx]H(a)[/texx] es generador de [texx]G'[/texx].

P.D. Por favor, cuida la ortografía.
7  Matemática / Matemáticas Generales / Re: Estudiar extremos condicionados sobre una esfera : 03/02/2019, 06:49:53 am
1. Hallar los valores extremos del campo escalar f(x,y,z)=x-2y+2z en la esfera x^2+y^2+z^2=1

Aquí tienes la teoría correspondiente. Considera la función [texx]F(x,y,z)=x-2y+2z+\lambda (x^2+y^2+z^2-1)[/texx]. El sistema [texx]F_x=0,F_y=0,F_z=0[/texx], [texx]x^2+y^2+z^2=1[/texx] te dará las soluciones [texx]P(-1/3,2/3,-2/3)[/texx] para [texx]\lambda=3/2[/texx] y [texx]Q(1/3,-2/3,2/3)[/texx] para [texx]\lambda=-3/2[/texx]. Hallando la matriz hessiana descubrirás inmediatamente que en [texx]P[/texx] existe mínimo relativo condicionado para [texx]f[/texx] y en [texx]Q[/texx], máximo.

P.D. Por favor, un problema por hilo. Abre otro para el segundo problema.
8  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Autovalores Encontrar cualesquiera a, b ∈ R de la matriz : 28/01/2019, 08:37:13 am
Bienvenido al foro.

Encontrar  para cualesquiera  a, b ∈ R los autovalores de la matriz [texx]\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{-b}&{a}\end{bmatrix}[/texx]

El polinomio característico te dará [texx]\lambda^2-2a\lambda +a^2+b^2[/texx]. Comprueba que las raíces son [texx]\lambda=a\pm bi.[/texx]
9  Matemática / Esquemas de demostración - Inducción / Re: Demostración de (-a)(b)=-(ab) : 24/01/2019, 04:45:00 am
También puede ser útil la generalización para anillos: Anillos: notaciones y propiedades (apartado 3).
10  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Problemas y Desafíos / Re: ¿Qué hay entre el número 3? : 23/01/2019, 04:10:45 pm
Esa es la pregunta

Graciosa pregunta. Define los conceptos "entre" y el tipo de existencia en "¿Qué hay ...?". Una vez definidos tal vez se podría extrapolar la pregunta a: ¿Qué hay entre el número [texx]x[/texx]?
11  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / Re: Consejos para alguien comenzando la carrera de matématicas : 22/01/2019, 03:52:10 pm
Parece un poco locura, pero si nos aferramos a lo que dijo literalmente entonces varias de esas horas se usaron para la cursada :malvado:. ¿Al final lo has implementado?

En la época en la que sólo era estudiante, estudiaba una media de unas 6 horas diarias (los sábados y domingos también son días  :sonrisa:) con plena concentración al margen de las clases (no asistía a todas).

Intenté seguir el consejo de Don Pedro pero noté que las últimas horas no me eran intelectualmente rentables. Posteriormente cuando empecé mi labor docente estimo que he dedicado una 3 horas diarias de media al margen de las clases. En fin, creo que Don Pedro se refería como caricatura a que el oficio de matemático (que no el de docente) es absorbente en grado sumo.
12  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / Re: Consejos para alguien comenzando la carrera de matématicas : 22/01/2019, 03:27:15 pm
Siento que me falta creatividad a la hora de desarrollar problemas, y también que me demoro mucho en desarrollarlos, aunque lo más probable es que sea falta de práctica :lengua_afuera:

La transpiración desarrollará la imaginación y conocimientos. Recuerdo que Don Pedro Abellanas en la asignatura Geometría de tercer curso nos dijo el primer día de clase: deben ustedes estudiar de 8 a 10 horas diarias. Muchos (creo que los más) se rieron (yo, no).
13  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Probar o refutar: \(\{\pi^n\mid n\in\Bbb Z\}\) es subgrupo de \((\Bbb C,+)\) : 21/01/2019, 05:10:36 pm
EDITO: Tras reflexionar unos momentos y releer el mensaje inicial de Fernando con una nueva perspectiva, creo empezar a entender (espero que bien) que la justificación está relacionada con la frase que he dejado en negrilla y subrayado... El elemento neutro existiría en el subconjunto si fuera un grupo multiplicativo, pero dado que la operación del grupo es aditiva, pues no hay manera de que se cumpla con la condición que tiene el subconjunto... Correcto?

Es correcto.
14  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Resolver \(x(1-x^2)^2y''-(1-x^2)^2y'+5x^3y=0\) con \(t=-\frac12\ln(1-x^2)\) : 21/01/2019, 04:50:51 pm
He considerado interesante desarrollar el excelente esquema dado por Luis para resolver la ecuación: EDO por cambio de variable independiente.

Es menos usual el cambio de variable independiente que el dependiente para resolver ecuaciones diferenciales y en general he comprobado que suele causar más dificultades, de ahí mi iniciativa. Un caso típico de estos cambios aparece también en la conocida Ecuación diferencial de Euler
15  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Sea f un endomorfismo idempotente diferente de la identitad...? : 20/01/2019, 06:38:31 am
Bienvenido al foro.

Sea f un endomorfismo R3 diferente de la identidad.Si f^2=f, podemos garantizar que: (RESPUESTA) f no será un isomorfismo. ¿Cómo se justifica esta respuesta? Gracias de antemano!

Si fuera isomorfismo, existiría el isomorfismo inverso [texx]f^{-1}[/texx]. Entonces, [texx]f^2=f\Rightarrow{f^{-1}f^2=f^{-1}f}\Rightarrow{f=I}[/texx].

P.D. También puede ser útil Endomorfismo idempotente.
16  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Probar o refutar: \(\{\pi^n\mid n\in\Bbb Z\}\) es subgrupo de \((\Bbb C,+)\) : 20/01/2019, 05:15:41 am
Desde luego entiendo que en el contexto "usual" de [texx]( \mathbb{R}, +, \cdot)[/texx] no va a suceder que [texx] \pi^2 = \pi + \pi [/texx], tan mal no estoy  :risa: ...Sin embargo, lo que entiendo es que en la notación de grupos se tiene  [texx] a^n = \underbrace{a \oplus a \oplus a.... \oplus a}_{n veces}[/texx] donde [texx]\oplus [/texx] es la operación del grupo [texx] (G, \oplus)[/texx] y lógicamente aclarando que [texx] a \in G[/texx], (al menos así es en el libro que estoy siguiendo) por ese motivo es que hice la afirmación de [texx] \pi ^n = \underbrace{\pi + \pi  + ....+ \pi}_{n-  veces} = n\pi [/texx].
2. En relación con los comentarios que me han hecho sobre el elemento neutro, lo que ocurre es que en el texto que llevo de guía dice lo siguiente (cito textualmente): " Desde luego un subgrupo que contenga a [texx]a[/texx] debe también contener la identidad [texx]e=aa^{-1}[/texx] Por razones simbólicas obvias, estamos de acuerdo en que [texx]a^0 = e...[/texx] "... Entonces, lo que entiendo es que un elemento del subgrupo elevado a cero va a ser igual al elemento neutro, por eso realicé la afirmación [texx] \pi^0 = 0[/texx]

Por razones de comodidad notacional es usual en teoría de grupos usar con preferencia la notación multiplicativa. En consecuencia, para un grupo [texx](G,\cdot)[/texx] la notación [texx]a^n[/texx] significa

          [texx]\underbrace{aa\cdots a}_{n}[/texx] si [texx]n >0[/texx],
          [texx]\underbrace{a^{-1}a^{-1}\cdots a^{-1}}_{-n}[/texx] si [texx]n <0[/texx]
          [texx]a^0=e[/texx] (elemeno neutro).

Nos dan el grupo aditivo [texx](\mathbb{C},+)[/texx] y resulta que en [texx]\mathbb{C}[/texx] existe otra conocida operación: el producto. En consecuencia, es natural interpretar que (por ejemplo) [texx]\pi^3=\pi\pi\pi[/texx] y no [texx]\pi^3=\pi+\pi+\pi[/texx] pues para notación aditiva [texx]\pi+\pi+\pi[/texx] se escribiría [texx]3\pi[/texx].
17  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Probar o refutar: \(\{\pi^n\mid n\in\Bbb Z\}\) es subgrupo de \((\Bbb C,+)\) : 19/01/2019, 06:50:12 am
He cambiado el título Subgrupo cicilco al actual (sugerido por manooooh) al ser este último más despriptivo.

Hola... Estoy tratando de mostrar (o más bien de refutar, sin mucho éxito) que el conjunto [texx]H= \{ \pi ^n | n \in \mathbb{Z}\}[/texx] es subgrupo de [texx]( \mathbb{C}, +)[/texx].

Veamos, [texx]H= \{ \pi ^n | n \in \mathbb{Z}\}[/texx] es un subgrupo de [texx](\mathbb{C},\cdot)[/texx] (subgrupo generado por un elemento) pero no es subgrupo de [texx](\mathbb{C},+)[/texx] pues [texx]\pi^n\ne 0[/texx] para todo [texx]n\in \mathbb{Z}[/texx] es decir, [texx]H[/texx] no contiene al elemento neutro de [texx](\mathbb{C},+)[/texx].
18  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Duda con limites : 18/01/2019, 08:31:47 pm
Otra forma: usando un conocido teorema de cambio a polares,

          [texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\displaystyle\frac{x^3}{x^2+y^2}}=\lim_{\rho \to 0}\displaystyle\frac{\rho^3\cos^3 \theta}{\rho^2}=\lim_{\rho \to 0}\displaystyle \rho\cos^3 \theta\underbrace{=}_{\text{acotada por infintésimo}}0.[/texx]
19  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: ¿Qué método les parece el indicado para estas ED's? : 16/01/2019, 05:49:40 am
[texx]g(y)= \displaystyle\frac{\frac{{\partial p}}{{\partial y}}-\frac{{\partial q}}{{\partial x}}}{-P}= \displaystyle\frac{y-2}{y^2}[/texx]

Revisa, sería [texx]g(y)=\displaystyle\frac{1}{y^2}-\displaystyle\frac{1}{2y}.[/texx] Entonces, [texx]\displaystyle\frac{\mu'}{\mu}=\displaystyle\frac{1}{y^2}-\displaystyle\frac{1}{2y}[/texx] con lo cual [texx]\log\left |{ \mu}\right |=\displaystyle\int \left(\displaystyle\frac{1}{y^2}-\displaystyle\frac{1}{2y}\right)dy=-\displaystyle\frac{1}{y}-\displaystyle\frac{1}{2}\log \left |{y}\right |[/texx].

Por tanto, [texx]\mu=e^{\log \left |{\mu}\right |}=\ldots=\displaystyle\frac{e^{-1/y}}{\sqrt{y}}[/texx].
20  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: ¿Qué método les parece el indicado para estas ED's? : 15/01/2019, 06:42:52 am
La primera tiene un factor integrante que depende exclusivamente de [texx]y[/texx].
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