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1  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Grupos con infinitos elementos : Ayer a las 05:23:17 pm
Sea [texx]A[/texx][texx]\neq{}[/texx][texx]\emptyset[/texx] y no finito, [texx](A ,\circ{})[/texx] un grupo que solo tiene como subgrupos el neutro y el total.

Intuyo que lo quieres demostrar por reducción al absurdo. Es menos elegante, pero adelante:

Sea 1 el neutro, [texx]n\in{Z-0}[/texx], [texx]a^0=1[/texx], [texx]a^{-n}[/texx] el inverso de [texx]a^n[/texx] Si [texx]\exists{a\in{{A-{1}}:a^n=1}}[/texx] [texx]\Rightarrow{}[/texx] A finito [texx]\vee[/texx] A tiene un subgrupo H tal que [texx]H\neq{A}[/texx]

Si existe [texx]a\in A-\{1\}[/texx] tal que [texx]a^n=1[/texx] con [texx]n>0[/texx], entonces [texx]\langle a\rangle =\{1,a,a^2,\ldots, a^{n-1}\}[/texx] es subgrupo de [texx]A[/texx] y como [texx]\langle a\rangle\ne\{1\}[/texx] ha de ser por hipótesis [texx]\langle a\rangle=A[/texx], en contradicción con la hipótesis de ser [texx]A[/texx] infinito.

Si no existe [texx]a\in A-\{1\}[/texx] tal que [texx]a^n=1[/texx] con [texx]n>0[/texx], entonces [texx]\langle a\rangle[/texx] es subgrupo de [texx]A[/texx] y como [texx]\langle a\rangle\ne\{1\}[/texx] ha de ser por hipótesis [texx]\langle a\rangle=A.[/texx] Pero en este caso [texx]\{1\}\subsetneq\langle a^2\rangle \subsetneq \langle a\rangle=A[/texx] y [texx]\langle a^2\rangle[/texx] sería subgrupo no propio de [texx]A[/texx] en contradicción con la hipótesis de no existir subgrupos propios.

P.D. Para que se muestre [texx]A-\{1\}[/texx] has de teclear [tex]A-\{1\}[/tex], no [tex]A-{1}[/tex].
2  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Grupos con infinitos elementos : Ayer a las 12:23:12 pm
¿Existe algún grupo infinito que tenga únicamente como subgrupos el neutro y el total?

Bienvenido al foro.

Cualquier grupo infinito tiene al menos un subgrupo no trivial. Si el grupo no es cíclico, considera el subgrupo generado por un elemento distinto de la unidad. Si es cíclico con generador [texx]g[/texx], considera el subgrupo generado por [texx]g^2[/texx].
3  Disciplinas relacionadas con la matemática / Off-topic / Re: Boca-River : Ayer a las 09:56:59 am
¿Aparecía algo bliqueado? No entiendo.

Sí, aparecía bloqueado pero bien pudiera ser que alguien (tal vez yo mismo) diera a la tecla equivocada.
4  Disciplinas relacionadas con la matemática / Off-topic / Re: Boca-River : Ayer a las 09:38:37 am
Pues a tu primera pregunta respondo que mi deseo es que deseo que ambos pierdan, que se suspenda el partido de nuevo. Y en general que no haya más fútbol. La pasión por el fútbol está vinculada a mafias y drogas. Hay denuncias de abusos de menores en las inferiores del fútbol argentino,  que tienen la pinta de una red de corrupción de menores bien armada,  pero es un tema del que no se habló más. Muchos padres tratan a sus hijos como ganado al impulsarlos a ser futbolistas para ver si sin como Messi y hacen millonaria a la familia. Se asume como.normal que la pasión por el fútbol esté por encima de prestar atención a la familia,  o reflexionar sobre cosas importantes. Puede entenderse hasta cierto punto la pasión por la selección nacional. ¿Pero la pasión por la camiseta de Boca o de River qué sentido puede tener? No hay un vínculo entre la camiseta y el hincha, y la elección de la simpatía por un equipo u otro es arbitraria. El fútbol tendría que desaparecer,  y el día que eso ocurra festejaré con gran pasión. Porque por agora,  cada partido de fútbol que se juega es una derrota amarga para mí.

La culpa la tiene parte de la condición humana, no el fútbol en particular

P.D. He desbloqueado el tema, al ser totalmente adecuado con el espíritu del off-topic.
5  Disciplinas relacionadas con la matemática / Off-topic / Boca-River : Ayer a las 07:58:50 am
Con motivo de la superfinal Boca-River que se celebrará mañana en Madrid, aprovecho el off-topic para descansar de las matemáticas. Así que el objetivo del título es un miniencuesta y una pregunta:

Encuesta. ¿Quién quieres que gane? ¿Boca o River?
Nota. Doy por supuesto que en rinconmatematico la pasión, aunque es bueno que exista, siempre está por debajo de la razón y que se reconocerá si el ganador lo es en justicia o no.

Pregunta. Haciendo un símil madrileño, siempre que he hablado con amigos aficionados al fútbol suelen identificar por diversas razones a Boca con el Atlético de Madrid y a River con el Real Madrid. ¿Qué opináis de esto?
Nota. Naturalmente no se trata de nada científico, sino una identificación primaria (recuerdo que estamos descansando del rigor matemático  :sonrisa:).
6  Matemática / Números complejos / Re: Ecuación de tercer grado : 07/12/2018, 10:01:35 am
Estudiaré todo a lo que llegue.

 Aplauso
7  Matemática / Números complejos / Re: Ecuación de tercer grado : 07/12/2018, 09:23:06 am
Me voy a dormir que esta noche trabajo, pero si puedo, esta noche le hecho un ojo.

De sólo echarle un ojo nada. Mañana te pongo un examen.  :sonrisa:
8  Matemática / Números complejos / Ecuación de tercer grado : 07/12/2018, 09:10:59 am
Por si puediera ser de interés, en la entrada Ecuación de tercer grado he añadido las demostraciones de los teoremas relacionados con la resolución de la ecuación de tercer grado y que antes sólo estaban enunciados.
9  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / Referencias para una proposición (investigación) : 07/12/2018, 08:44:51 am
El profesor José María Grau Ribas de la Universidad de Oviedo ha contactado conmigo al visitar mi entrada Series con factoriales en el denominador. En esta entrada, aparece un método para sumar series de la forma [texx]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{P(n)}{(n+a)!}[/texx] con [texx]a\in \mathbb{N}[/texx] y [texx]P[/texx] polinomio de grado [texx]k.[/texx]  Éste método lo explicaba yo en mis clases a los alumnos de Cálculo de Ingeniería Industrial de la UPM. Jose María está interesado en conocer si existe alguna generalización para series de la forma [texx]\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(cn+d)!}[/texx] (algún caso concreto ha encontrado: Sum of [texx]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(kn)!}[/texx]) serie relacionada con la siguiente proposicón que él ha demostrado:


Proposición. Sea [texx] f[/texx] la función que satisface la siguiente ecuación diferencial de orden [texx]c+d[/texx], con [texx]c[/texx] y [texx]d[/texx]  enteros positivos.

       [texx]f^{d)}(x)=f^{d+c)}(x)[/texx] y condiciones iniciales  [texx]f^{d)}(0)=1\textrm{  and  }f^{i)}(0)=0 \textrm{  for  }i \in \{0,...,c+d-1 \} \setminus \{d\}[/texx]

Entonces [texx]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(c\cdot n+d)!} =f(1).[/texx]


Su inquietud estriba en que él pensaba escribir una modesta nota para Journal of Symbolic Computation pero está convencido de que el resultado anterior es bien conocido y puede que esté publicado. Le ha parecido bien que comente esto en rinconmatematico por si alguien puede aportar alguna luz.
10  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Soluciones de una matriz AX=B y AX=N : 06/12/2018, 08:07:10 am
Si [texx]A\in R^{3x3}/ A\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{2}\\{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{5}\\{6}\\{7}\end{array}\right]\quad A\left[\begin{array}{ccc}{3}\\{2}\\{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{2}\\{3}\end{array}\right][/texx] Entonces la solución de  [texx]A^2\cdot X=\left[\begin{array}{ccc}{5}\\{6}\\{7}\end{array}\right][/texx] es....

El enunciado es algo difuso. Es claro como ya demostró delmar que siempre existe "una" solución de [texx]A^2X=\left[\begin{array}{ccc}{5}\\{6}\\{7}\end{array}\right].[/texx]
Ahora bien, pregunta por "la" solución con lo cual parecería que habría que demostrar que la solución es única. Si el rango de [texx]A[/texx] es tres entonces  [texx]A^2[/texx] es invertible y por tanto la unicidad queda garantizada. Faltaría estudiar entonces que ocurre si el rango de [texx]A[/texx] es menor que [texx]3[/texx].
11  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Propiedades algebraicas de series de potencias : 04/12/2018, 07:38:40 am
Sólo estoy comenzando a estudiarlas, cuando tenga dudas concretas las preguntaré.

Bienvenidas serán.  :sonrisa:
12  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Funciones definidas y que adquieren valores en un intervalo : 02/12/2018, 01:17:36 pm
Buenas, me he encontrado un ejercicio donde dice: Una función [texx]f(x)[/texx] definida en [0,1] adquiere valores en [0,1] La duda es si cuando dice que esta definida en ese intervalo cerrado, quiere decir que la función, digamos "va de 0 a 1" sin ninguna discontinuidad o quiere decir que está contenida en este intervalo?
Y igualmente cuando dice que adquiere valores de [0,1] se refiere a lo mismo, a que ocupa todo el intervalo?

Tal como está redactado, significa que el dominio de [texx]f[/texx] es [texx][0,1][/texx] y que su imagen está contenida en [texx][0,1][/texx] (no tiene por qué ser todo el intervalo).
13  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Propiedades algebraicas de series de potencias : 02/12/2018, 06:26:08 am
1)¿Cual es el radio de convergencia de la suma de dos series de potencias centradas en el mismo valor?

Es mayor o igual que el mínimo de los radios de las series dadas.

2)¿La multiplicación de dos series de potencias se realiza como si fueran ambos polinomios?

En realidad, sí. De manera más precisa, dadas las series [texx]\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_n[/texx] y [texx]\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}v_n[/texx], el producto de Cauchy se define como [texx]\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}w_n[/texx] siendo [texx]w_n=\displaystyle\sum_{i+j=n}u_iv_j[/texx].

3)¿La división por [texx]x[/texx] altera el radio de convergencia? Ejemplo:  [texx]\displaystyle\frac{sen(x)}{x}=1-\displaystyle\frac{x^2}{3!}+\displaystyle\frac{x^4}{5!}-.........[/texx]  Esta serie debiera excluir el valor [texx]0[/texx] en el radio de convergencia.

Conviniendo que la función [texx]f(x)=\dfrac{\sen x}{x}[/texx] se extiende por continuidad, es decir [texx]f(0)=1[/texx] el radio de convergencia no se altera. Esto, no sería válido por ejemplo para [texx]\dfrac{\cos x}{x}[/texx].
14  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Demostrar : 01/12/2018, 09:17:55 am
De acuerdo, lo entiendo. ¿Se podría hacer también con alguno de los teoremas de Rolle o Bolzano?

El teorema de Rolle asegura que no puede tener más de una raíz independientemente del [texx]k[/texx]. Ahora bien, como [texx]k[/texx] es desconocido necesitas para verificar que la función cambia de signo los límites que te indiqué.
15  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Demostrar : 01/12/2018, 08:56:20 am
Demuestra que la ecuación [texx]x^5 + 5x + k = 0[/texx] tiene solamente una raíz real, sea cual sea el valor de k. Al calcular la derivada sale que es positiva, por tanto, la función es siempre creciente luego puedo asegurar que tendrá un única raíz, ¿pero cómo demuestro que corta al eje  de abscisas?

Tenemos [texx]\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}(x^5 + 5x + k)=-\infty[/texx] y [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}(x^5 + 5x + k)=+\infty[/texx]. Ahora aplica el teorema de los valores intermedios para funciones continuas (apartados 6 y 7).
16  Matemática / Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Ecuación cúbica : 01/12/2018, 06:42:42 am
Resolver la ecuación  [texx]2x^3+4x^2+3x-2=0[/texx] en el intervalo [texx][0,\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}][/texx]

    Llamemos [texx]f(x)=2x^3+4x^2+3x-2[/texx]. Veamos, si el problema pidiera demostrar que la ecuación [texx]f(x)=0[/texx] tiene una única solución real, derivando obtenemos [texx]f^\prime (x)=6x^2+8x+3[/texx]. Éste polinomio de segundo grado no tiene raíces reales luego [texx]f^\prime (x)[/texx] toma siempre valores positivos o siempre valores negativos. Dado que [texx]f^\prime (0)=3 >0[/texx], siempre toma valores positivos, es decir [texx]f(x)[/texx] es estrictamente creciente en [texx]\mathbb{R}[/texx] y por tanto si tiene un raíz real, es única.
    Por otra parte, [texx]f(0)=-2<0[/texx] y [texx]f(1/\sqrt{2})=\ldots >0[/texx] luego [texx]f(x)[/texx] tiene una única raíz real que además pertenece al intervalo [texx](0,1/\sqrt{2})[/texx].

    Puedes resolver la ecuación de tercer grado directamente sin usar las consideraciones anteriores usando los dos teoremas del apartado 1 de Ecuación de tercer grado.

P.D. Usar las fórmulas del enlace que te proporcionó manooooh es una acto matemático excesivamente autista :sonrisa:. Con buen criterio tal enlace, ya lo dice de forma soterrada.
17  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Duda convergencia uniforme : 30/11/2018, 03:30:41 am
Si cada elemento de la sucesión [texx]\{f_k\}[/texx] es uniformemente continua y [texx]f_k\rightarrow{f}[/texx]uniformemente ¿Podemos concluir que f es uniformemente continua?

Es cierto. Mira aquí.
18  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Definir una transformación lineal bajo ciertas condiciones : 29/11/2018, 04:17:41 am
Sea [texx] S=\left\{{\bar x\in R^3/ x-y-z=0}\right\}\quad T=\left\{{-1,-1,1)(1,0,2)}\right\}[/texx] Si [texx]f:R^3\to R^3[/texx] es una transformación lineal que verifica que [texx]f(S)=T\quad f(T)=S[/texx] Hallar  [texx]f(S\cap{T})[/texx]

No hace falta determinar [texx]f.[/texx] Por el teorema de Grassmann deducimos que [texx]\dim S\cap T=1.[/texx] Restando al segundo vector que genera a [texx]T[/texx] el segundo obtenemos [texx](2,1,1)[/texx] que también pertenece a [texx]S[/texx]. Por tanto, una base de [texx]S\cap T[/texx] es [texx]B=\{(2,1,1)\}[/texx]. Por otra parte por las propiedades de las imágenes directas, tenemos [texx]f(S\cap T)\subset f(S)\cap f(T)[/texx] y de [texx]f(S)=T, f(T)=S[/texx], deducimos que  [texx]f(S\cap T)\subset S\cap T[/texx]. ¿Sabrías continuar?
19  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Relación de equivalencia : 29/11/2018, 03:32:55 am
Bien, gracias por los apuntes. Podrias ayudarme con el apartado b
b) Calcule las clases de equivalencias de 0,2,3 y 4

Usando la definición de clase de equivalencia:

          [texx]C[0]=\{x\in\mathbb{Z}:xR 0\}=\{x\in\mathbb{Z}:x- 0=4k\text{ con }k\in \mathbb{Z}\}=\{x\in\mathbb{Z}:x=4k\text{ con }k\in \mathbb{Z}\}=\{\ldots,-8,-4.0,4,8,\ldots\}.[/texx]

          [texx]C[2]=\{x\in\mathbb{Z}:xR 2\}=\{x\in\mathbb{Z}:x- 2=4k\text{ con }k\in \mathbb{Z}\}=\{x\in\mathbb{Z}:x=2+4k\text{ con }k\in \mathbb{Z}\}=\{\ldots,-6,-2.2,6,10,\ldots\}.[/texx]

Idem para [texx]C[3][/texx] y [texx]C[4].[/texx]
20  Matemática / Álgebra / Re: ¿Como puedo encontrar las raíces de este polinomio? : 27/11/2018, 02:52:55 pm
No entiendo por qué se restringe a [texx]b[/texx] primo. 

Fue un despiste (ya está arreglado). De hecho el teorema general al que enlacé en mi página no menciona la primalidad, sólo el concepto de [texx]k[/texx]-automorfismo.
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