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Noticias: Homenaje a aladan
 
 
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1  Matemática / Probabilidad / Re: Dominancia : 15/10/2019, 09:19:07 am
Me confundí un poco, si tengo dos v.a. [texx]X,Y[/texx] con distribuciones [texx]F,G[/texx] respectivamente entonces

[texx]\displaystyle\int_{0}^{s}(G(x)-F(x))dx\geq 0[/texx] es equivalente a [texx]Eu(X)\geq{}Eu(Y)[/texx] para toda función [texx]u[/texx] creciente y cóncava.

Ahora, si defino [texx]M=ae^X,N=be^Y[/texx] siendo [texx]a,b[/texx] positivos y supongamos que E(M)=E(N), entonces [texx]Eu(M)\leq{}Eu(N).[/texx] (pues una transformación monótona convexa debería cambiar el sentido de la desigualdad).
 
Para normales con la misma media, la que tenga menor varianza domina estocásticamente en segundo grado a la otra (ver Proposición 6 adjunto).

Creo que sería así, como [texx]U,V[/texx] tienen la misma media y la varianza de [texx]U[/texx] es menor a la de [texx]V[/texx] entonces

[texx]Eu(U)\geq{}Eu(V)[/texx] para toda [texx]u[/texx] cóncava. Ahora defino [texx]t(x)=\alpha e^x, g(x)=\beta e^x[/texx] y debería probar que

[texx]Eu(t(X))\leq{}Eu(g(Y))[/texx] para todo [texx]u[/texx] cóncava. 
2  Matemática / Probabilidad / Re: Dominancia : 14/10/2019, 12:14:35 pm
[texx]\left |{X-a}\right |_+=max\left\{{X-a,0}\right\}[/texx].

Cambio un poco el problema, supongamos que

Defino [texx]X=\alpha e^U[/texx] siendo [texx]U[/texx] una v.a. con distribución [texx]N(\mu_U,\sigma_U^2)[/texx] y [texx]Y=\beta e^V[/texx] siendo [texx]V [/texx] con distribución [texx]N(\mu_V,\sigma_V^2)[/texx] y [texx]\alpha, \beta [/texx] constantes positivas. Se pueden hallar estos parámetros para que [texx]X,Y[/texx] tengan la misma media, luego de ser posible, creo que si [texx]\sigma_U^2<\sigma_V^2[/texx] entonces se cumple

[texx]\displaystyle\int_{0}^{s}(G(x)-F(x))dx\geq 0[/texx] siendo [texx]G,F[/texx] la distribución de [texx]Y,X[/texx] respectivamente.

Luego hallar [texx]a,b[/texx] tal que

[texx]E[X-a]_+=E[X-b]_+[/texx].

3  Matemática / Probabilidad / Re: Dominancia : 11/10/2019, 02:46:42 pm
Algunas preguntas:

i) [texx]Z_a=\mu_a+\sigma_aX,Z_b=\mu_b+\sigma_bX[/texx] (siendo el [texx]=[/texx] misma distribución) siendo [texx]X[/texx] una v.a. soporte en [texx][0,1][/texx] y tanto [texx]Z_a,Z_b[/texx] tendrían que tener ese soporte, la misma media y además,

[texx]\displaystyle\int_{0}^{s}(G(x)-F(x))dx\geq 0[/texx] (qué condición tendríamos que imponer?)

ii) Supongamos que [texx]Z_a, Z_b[/texx] tuvieran distribución log-normal con la misma media y nos interesara hallar [texx]a,b[/texx] tal que

[texx]E[X-a]_+=E[X-b]_+[/texx] con [texx]\displaystyle\int_{0}^{s}(G(x)-F(x))dx\geq 0[/texx] (qué condición tendríamos que imponer?)
Para que ocurra esta desigualdad he visto que se imponen tres condiciones (suprimiendo en el subíndice el [texx]Z[/texx]):

i) [texx]\mu_a\geq{}\mu_b[/texx]
ii) [texx]\sigma^2_a\leq{}\sigma^2_b[/texx]
iii) [texx]\mu_a+\displaystyle\frac{\sigma_a^2}{2}\geq{}\mu_b+\displaystyle\frac{\sigma_b^2}{2}[/texx]


¿Se puede normalizar la distribución log-normal, para que el soporte sea [texx][0,1][/texx]?

iii) Se mostró que

[texx]b-a=\displaystyle\int_{0}^{b}G(x)dx-\displaystyle\int_{0}^{a}F(x)dx[/texx]


Existe alguna forma (capaz que imponiéndole alguna condición a las funciones de distribución) de encontrar una cota menor (distinta de cero) de

[texx]\displaystyle\int_{0}^{b}G(x)dx-\displaystyle\int_{0}^{a}F(x)dx.[/texx]


Saludos
4  Matemática / Probabilidad / Re: Dominancia : 09/10/2019, 06:10:29 pm
Y si suponemos que [texx]Z_a=\mu_a+\sigma_aX,Z_b=\mu_b+\sigma_bX[/texx] siendo [texx]X[/texx] una v.a. soporte en [texx][0,1][/texx] y tanto [texx]Z_a,Z_b[/texx] tendrían que tener ese soporte, la misma media y además,

[texx]\displaystyle\int_{0}^{s}(G(x)-F(x))dx\geq 0[/texx]
5  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Subaditividad función de a trozos : 09/10/2019, 11:36:36 am
[texx]w(x)=\sqrt[ ]{0.2x}[/texx] si [texx]0\leq{}x\leq{}0.2[/texx] y [texx]w(x)=x[/texx] si [texx]0.2\leq{}x\leq{}1[/texx] es subaditiva en [texx][0,1][/texx] como se afirmó anteriormente?
6  Matemática / Probabilidad / Re: Dominancia : 08/10/2019, 06:03:09 pm
Si [texx]Z_a[/texx] toma valores [texx]x,1-x[/texx] con probabilidad [texx]p,1-p[/texx] y [texx]Z_b[/texx] toma valores [texx]y,1-y[/texx] con probabilidad [texx]p,1-p[/texx] entonces

[texx]b=a+(y-x)(2p-1)[/texx]

no? Y creo que debemos suponer que [texx]y>x[/texx] para que se cumpla

[texx]\displaystyle\int_{0}^{s}(G(x)-F(x))dx\geq 0[/texx]
7  Matemática / Probabilidad / Re: Dominancia : 08/10/2019, 09:30:16 am
Defino

[texx]Z_a=aX+(1-a)Y[/texx] siendo [texx]a \in [0,1][/texx] y [texx]X,Y[/texx] v.a. Bernoulli con probabilidad de éxito [texx]p,q[/texx] respectivamente con [texx]p>q.[/texx] Sea [texx]Z_b[/texx] con [texx]b<a[/texx] Llamemos [texx]F[/texx] la distribución de [texx]Z_a[/texx] y [texx]G[/texx] la distribución de [texx]Z_b[/texx] entonces, usando notación con integrales, puede probarse que (creo que se cumple sin necesitar suponer independencia entre [texx](X,Y)[/texx])

[texx]\displaystyle\int_{0}^{s}(G(x)-F(x))dx\geq 0[/texx] para todo [texx]s \in [0,1].[/texx]

Ahora, para estas distribuciones quiero hallar [texx]d[/texx] en función de [texx]c[/texx]

[texx]\displaystyle\int_{c}^{1}(x-c)f(x)dx=\displaystyle\int_{d}^{1}(x-d)g(x)dx[/texx]

(lo escribo como integrales, pq me cuesta ponerlo como series).



8  Matemática / Probabilidad / Re: Dominancia : 07/10/2019, 12:40:51 pm
Si fuera la función beta, cómo quedaría? Se necesita solamente explicitar [texx]G(x)[/texx] o también [texx]F(x)[/texx]?
9  Matemática / Probabilidad / Dominancia : 06/10/2019, 10:27:49 am
Supongamos que tenemos dos variables aleatorias continuas con distribución [texx]F,G[/texx] con soporte en [texx][0,1][/texx] y con la misma media. Además, [texx]\displaystyle\int_{0}^{t}[G(s)-F(s)]ds\geq 0[/texx] para todo [texx]t \in [0,1].[/texx]

Quiero hallar [texx]b[/texx] en función de [texx]a[/texx] tal que

[texx]\displaystyle\int_{a}^{1}(x-a)f(x)dx=\displaystyle\int_{b}^{1}(x-b)g(x)dx[/texx]

Se que [texx]b>a.[/texx] Me pueden poner un ejemplo para hallar [texx]b[/texx] en forma explícita.
10  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Subaditividad función de a trozos : 20/09/2019, 09:37:08 am
Por qué en el primer caso el [texx] b[/texx] del máximo intervalo de subaditividad no coincide con la solución de [texx]2w(b/2)=w(b)[/texx] y en el segundo y tercer ejemplo si?
11  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Subaditividad función de a trozos : 19/09/2019, 03:46:05 pm
Pero, para la primera función: el máximo intervalo de subaditividad se da en [texx][0,0.9][/texx]? Creo que es subaditiva en todo el intervalo.

Y esta función

 [texx]w(x)=\sqrt[ ]{2x}[/texx] si [texx]0\leq{}x\leq{}0.2[/texx], [texx]w(x)=2x/3+1/5[/texx] si [texx]0.2\leq{}x\leq{}0.5[/texx] y [texx]w(x)=6x/5-0.2[/texx] si [texx]0.5\leq{}x\leq{}1.[/texx]
12  Matemática / Cálculo 1 variable / Subaditividad función de a trozos : 19/09/2019, 09:40:36 am
Sea la función

[texx]w(x)=\displaystyle\frac{8x}{7}[/texx] si [texx]0\leq{}x\leq{}0.7[/texx], [texx]w(x)=0.25x+0.625[/texx] si [texx]0.7\leq{}x\leq{}0.9[/texx] y [texx]w(x)=1.5x-0.5[/texx] si [texx]0.9\leq{}x\leq{}1.[/texx]

Quiero hallar el máximo valor [texx]b\in[0,1][/texx] tal que [texx]w(x)[/texx] sea subaditiva en [texx][0,b].[/texx]

Por un teorema visto en otra pregunta del foro, un posible candidato sale de igualar [texx]2w(b/2)=w(b),[/texx] y creo que sería [texx]b=0.7.[/texx] Pero no estoy muy seguro que esté bien este resultado, creo que si pues la función es cóncava y convexa en el primer tramo.

Ahora, si fuera la función [texx]w(x)=\sqrt[ ]{2x}[/texx] si [texx]0\leq{}x\leq{}0.2[/texx], y [texx]w(x)=x[/texx] si [texx]0.2\leq{}x[/texx]
En este caso creo que [texx]b=0.4[/texx] que resuelve [texx]2w(b/2)=w(b),[/texx], sin embargo la función es subaditiva en todo el intervalo [texx][0,1],[/texx]no?


13  Matemática / Probabilidad / Independencia : 31/07/2019, 09:48:44 am
Hola

Supongamos que tengo tres variables aleatorias [texx]X,Y,Z[/texx], supongamos que [texx]X,Y[/texx] son independientes, pueden serlo: [texx]\displaystyle\frac{X}{Z}[/texx] y [texx]\displaystyle\frac{Y}{Z}.[/texx]

Saludos
14  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Límite por definición : 05/05/2019, 10:40:04 am
Si me piden que demuestre que


[texx]lim_{x\rightarrow{}2}x^2+2x-1=7.[/texx]

Se hace

[texx]\left |{x^2+2x-1-7}\right |=\left |{x-2}\right |\left |{x+4}\right |.[/texx]
Ahora como

[texx]\left |{x+4}\right |\leq{}6[/texx] cuando [texx]x\rightarrow{}2[/texx] entonces basta elegir un [texx]\delta=\displaystyle\frac{\epsilon}{6}.[/texx]

Pregunto pues en la solución se pone que [texx]\delta=\min\left\{{1,\displaystyle\frac{\epsilon}{7}}\right\}[/texx]

Estoy haciendo algo mal?
15  Matemática / Cálculo 1 variable / Desigualdad función subaditiva : 22/04/2019, 04:40:48 pm
Hola

Sea [texx]f[/texx] [texx][0,1]\rightarrow{}[0,1][/texx] una función creciente, continua y cóncava en [texx][0,c][/texx] y convexa en [texx](c,1][/texx] con [texx]f(0)=0,f(1)=1[/texx]. Sea [texx]0\leq{}a\leq{}b\leq{}c\leq{}d\leq{}1,[/texx] con [texx]a+d=b+c.[/texx] Si [texx]f[/texx] es subaditiva, se cumple que

[texx]f(a)+f(d)\geq{}f(b)+f(c).[/texx]

O la desigualdad es la opuesta?

Saludos
16  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Maximo : 24/03/2019, 12:27:04 pm
En los puntos críticos tenemos

[texx]h(x)=1+\displaystyle\frac{(b-x)(-ln(b-x))^{0.5}}{(x)((-ln(x))^{0.5}}-\displaystyle\frac{w(b)}{w(x)}[/texx]

Creo que [texx]h(x)[/texx] tiene solamente una raíz. 
17  Matemática / Cálculo 1 variable / Maximo : 24/03/2019, 11:34:21 am
Leer más adelante.

18  Matemática / Cálculo 1 variable / Segundo teorema del valor medio para integrales : 21/03/2019, 10:03:44 pm
Supongamos que tengo [texx]\displaystyle\frac{f(x)}{2x(-\ln x)^{0.5}}[/texx]
19  Matemática / Cálculo 1 variable / Desigualdad : 18/03/2019, 12:01:06 pm
Quiero probar que para [texx]x \in (0,0.977)[/texx]

[texx]e^{-(-log(x))^{0.5}}/(2 x (-log(x))^{0.5}) - (0.5 e^{-(-log(0.977 - x))^{0.5})}/((x - 0.977) (-log(0.977 - x))^{0.5})\geq 0[/texx]
20  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Desigualdad por integrales : 15/03/2019, 09:16:58 am
Genial, esta última condición la cumpliría pues [texx]w[/texx] es cóncava convexa y [texx]b/2[/texx] siempre estará a la derecha del punto de inflexión.

Ahora:

1) Cómo hallo el máximo [texx]b[/texx] que mantenga la subaditividad.
2) Ese [texx]b[/texx] para algunas funciones será igual al que surja de [texx]w(b)=2w(b/2)[/texx]. Se puede ligar las condiciones anteriores con ésta?
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