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1  Matemática / Teoría de números / Obtener a·bc = d·ef = g·hi, con {a,b,c,d,e,f,g,h,i}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. : 09/12/2012, 17:05:03
Este problema apareció en las oposiciones para el cuerpo de profesores de enseñanza secundaria de Valencia en 1988. Está resuelto en el tercer volumen de Problemas de Oposiciones de Matemáticas de Braulio de Diego y Cía, en la página 68 (y se corresponde con el problema 88.60).

El enunciado es el siguiente:

Dadas las nueve cifras significativas, obtener las siguientes igualdades:

[texx]a\cdot bc = d \cdot ef = g \cdot hi,[/texx]

siendo [texx]a, b, c, e, f, g, h[/texx] e [texx]i[/texx] cifras distintas.

La solución que aparece en dicho tomo es bastante larga y tal vez exista alguna demostración algo más corta. Y con esa esperanza les pido a que me ayuden a encontrar una demostración alternativa.

He llegado a algunos resultados
Si quieren ver la solución...  aunque lo interesante es llegar a ella.
2  Matemática / Lógica / Re: Demostración Multiplicación Naturales : 20/09/2012, 11:10:58
¿Y por reducción al absurdo?

Supongamos que [texx]\exists\ a, b,c \in \mathbb{N}[/texx], tales que [texx]ac = bc[/texx] y [texx]a\neq b[/texx]. De esta última expresión se tiene que [texx]ac \neq bc[/texx], lo que contradice la hipótesis de que [texx]ac = bc[/texx].
3  Matemática / Geometría y Topología / Re: Oposición Castilla La Mancha 2004 : 11/10/2010, 14:09:55
a) [texx]\Rightarrow[/texx]  b)
Sean [texx]\vartheta \in (0,\frac{\pi}{2}),\  r\ =\ \mbox{sen}(\vartheta)[/texx] y [texx]p\ =\ \cos(\vartheta)[/texx] tres constantes. Evidentemente se tiene que [texx]r^2+p^2=1[/texx]. Entonces la siguiente hélice cilíndrica
[texx]\gamma:\mathbb{R}\longrightarrow{}\mathbb{R}^3[/texx]
[texx]\gamma(s)=(r \cos, r\ \mbox{sen} (s), p\ s)[/texx],
cumple que:
- está parametrizada naturalmente ([texx] \left\|{\gamma\ '(s)}\right\|=1, \forall s\in \mathbb{R}[/texx]), y
- si [texx]\mathbf{u} =(0,0,1)[/texx], entonces [texx]\mathbf{T}(s)\cdot \mathbf{u}\ =\ \gamma\ '(s)\cdot \mathbf{u} = p = \cos(\vartheta),\ \forall s\in \mathbb{R}.[/texx]
Ya que [texx]\gamma[/texx] está parametrizada naturalmente se tiene que:
[texx]\kappa(s)\ =\  \left\|{\gamma\ ''(s)}\right\|\ =\  r,[/texx] y
[texx]\tau(s)=\gamma\ '(s)\cdot(\gamma\ ''(s)\times\gamma\ '''(s)) / \left\|{\gamma\ '(s)}\right\|^2\ =\frac{p\ r^2}{r^2}\ =\ p.[/texx]
Y como el cociente de dos constantes es constante, se tiene que [texx]\tau/\kappa\ =\ \mbox{cotg}(\vartheta)[/texx] es constante.
4  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Geometría triángulos y ecuación trigonométrica : 30/08/2008, 19:57:12
[texx]\sen(7x)-\cos(x)\sen(2x)=[/texx]
[texx]=\sen(x)\left[7-56\sen^2(x)+112\sen^4(x)-64\sen^6(x)\right]-2\sen(x)\left[1-\sen^2(x)\right]=[/texx]
[texx]=\sen(x)\left[5-54\sen^2(x)+112\sen^4(x)-64\sen^6(x)\right][/texx]
5  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Geometría triángulos y ecuación trigonométrica : 29/08/2008, 20:40:55
Tras hacer la construcción del primer problema con Geogebra, coincido con Braguildur, en que a pesar de poner la condición de los puntos negros... el problema no tiene una única solución.
Tal vez habría que fijar la distancia AC.
6  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Ecuación con 2 variables iguales : 29/08/2008, 18:32:54
Hola Willu:

   Nada más ver la ecuación, observas que [texx]w[/texx] no puede ser 0, pues si no se anularía el denominador. Luego [texx]w\neq 0[/texx].

   Entonces puedes simplificar el segundo miembro, con lo que obtienes la ecuación [texx]z=\frac{3}{5}[/texx]. Pero ¿no desaparece [texx]w[/texx]? Sí, porque el que la ecuación se cumpla o no, no depende del valor que tome [texx]w[/texx]. Es por ello que digamos no se puede despejar la [texx]w[/texx].

    
  
7  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Geometría triángulos y ecuación trigonométrica : 28/08/2008, 08:46:28
Sin ninguna explicación más, el problema es indeterminado, pues para el ángulo [texx]x[/texx] que quieras, se puede contruir un triángulo como el de la figura.
Tal vez los puntos negros informen de que los segmentos en los que aparecen son iguales. Con esto el problema tiene algo más de "jugo".
No sé si con esta nueva restricción el ángulo [texx]x[/texx] está univocamente determinado. Es decir, que sea cual sea la longitud que fijemos de los segmentos de los puntos negros, el ángulo [texx]x[/texx] es siempre el mismo.
Saludos.
8  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Pequeña duda de valor absoluto : 28/08/2008, 06:48:30
La segunda expresión, donde dices
[texx](x-1)(y-3)<0[/texx], si [texx]x\geq 1[/texx] e [texx]y<3[/texx], o [texx]x<1[/texx] e [texx]y>3[/texx]
es falsa. Es
[texx](x-1)(y-3)<0[/texx], si [texx]x> 1[/texx] e [texx]y<3[/texx], o [texx]x<1[/texx] e [texx]y>3[/texx];

ya que si [texx]x=1[/texx], entonces [texx](x-1)(y-3)=0[/texx], en vez de [texx](x-1)(y-3)<0[/texx] como dices.

Supongo que ha sido un pequeño despiste.

El resto está muy bien.
9  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / Re: ¿Qué ocurre con el pobrecillo 0? : 27/08/2008, 15:43:47
Hola a todos.
Tras leer los enlaces que me habeis facilitado no he encontrado respuesta a mi pregunta (o al menos no he encontrado ninguna de peso).

Y coincido con Jabato:
"Si no hay argumentos en contra y si los hay a favor la conclusión parece que debería ser considerar que el 0 sea un número natural".

P.D. Muy bueno eso que se está dejando barba y melena.
10  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / ¿Qué ocurre con el pobrecillo 0? : 25/08/2008, 16:32:01
Parece que los matemáticos no nos ponemos todos de acuerdo en si 0 es o no un número natural. Según la Wikipedia, parece que los especialistas en Teoría de números no quieren reconocerlo como tal; en cambio otros como los de teoría de conjuntos, Lógica o Informática tienen la postura opuesta.

    Querría conocer qué razones argumentan los primeros para excluirlo. Muchas gracias.

Nota: Se prodría hacer una encuesta a ver qué opinamos.
11  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Demostrar la propiedad cancelativa de la multiplicación en IN. : 16/08/2008, 19:16:39
¡Muchísimas gracias, Braguildur!

Esa era la idea con la que no daba, usar el orden de los naturales. El problema es que en los temas de oposición, primero se define la suma, luego el producto y por último el orden. Aún no he encontrado ninguna prueba sin usar el orden.

Por contra, en el libro de Edmund Landau, Foundations of Analysis, definen en segundo lugar el orden y en último la multiplicación. Cambiando el orden se llega a la siguiente prueba:

Por reducción al absurdo, supongamos que [texx]\exists\,a,b,n\in \mathbb{N}[/texx], con [texx]n\neq 0[/texx] tal que [texx]a\,n=b\,n[/texx], pero con [texx]a\neq b[/texx]. Entonces o bien [texx]a<b[/texx], o bien [texx]a>b[/texx].
Supongamos que [texx]a<b[/texx] (el otro caso es análogo). Entonces es fácil probar que si [texx]n\neq 0[/texx], entonces [texx]a\,n < b\,n[/texx]. Lo que contradice la hipótesis de que [texx]a\,n=b\,n[/texx].

De todo corazón, muchísimas gracias Braguildur.
12  Matemática / Estructuras algebraicas / Demostrar la propiedad cancelativa de la multiplicación en IN. : 16/08/2008, 06:11:42
Saludos a todos:
     Una de las propiedades de los números naturales es que dados [texx]a,b,n \in \mathbb{N}[/texx] , con [texx]n\neq 0[/texx], si [texx]a\,n=b\,n \Rightarrow a=b[/texx].
     Según el texto donde la encontré se demuestra por inducción. Pero cuando llego al caso de [texx]n=2[/texx], i.e. [texx]2\,a=2\,b \Rightarrow a=b[/texx], no encuentro razón para justificar este paso (usando sólo las propiedades elementales de [texx]\mathbb{N}[/texx]).
     Os agradecería cualquier sugerencia o ayuda, aunque sólo sea para el caso de [texx]n=2[/texx].
Muchísimas gracias.
13  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / ¿Conocéis alguna regla nemotécnica para la solución de la ecuación de 2º grado? : 06/03/2008, 07:13:51
Hola a todos:

    Creo que en el asunto ya está todo dicho. Si alguien conoce alguna regla (frase posiblemente sin sentido) que sirva de apoyo para recordar la solución de las ecuaciones de segundo grado, por favor, que la publique aquí.

    Un ejemplo: Para recordar la siguiente regla de integración por partes

[texx]\displaystyle\int u dv = uv-\displaystyle\int v du[/texx]

puede usarse la siguiente regla nemotécnica

  
"Un dia vi una vaca vestida de uniforme".

     Pues bien, se trata de hacer lo mismo para la ya "famosa" fórmula

[texx]\boxed{x=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}[/texx]

Nota: Si a alguien se le ocurre alguna frase ... pues bien venida sea.
   

  Muchas gracias a todos (y a todas).
14  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / Re: Número de divisores : 29/07/2007, 12:11:02
Hola Nati. No te preocupes, te vamos a yudar (sólo un poco).
Te recuerdo que por el teorema fundamental de la aritmética todo entero se puede expresar de forma única (salvo reordenaciones y producto por unidades) como producto de factores primos. Luego existen [texx]x,y,z[/texx] y [texx]r[/texx] naturales tales que el [texx]a[/texx] que buscas se puede escribir en la forma
[texx]a=2^x\cdot 3^y\cdot5^z\cdot r,[/texx]
donde [texx]r[/texx] es el resto de los productos que afirma el teorema.

Vamos a denotar por [texx]n[/texx] al número de divisores de [texx]r[/texx]. Entonces, el número de divisores de [texx]a[/texx] es
[texx](x+1)(y+1)(z+1)n[/texx].

Según se dice en el enunciado se tiene que

(1)               [texx]8=(x+1)(y+1)(z+1)n-x(y+1)(z+1)n=(y+1)(z+1)n.[/texx]

(2)              [texx]24=(x+1)(y+1)(z+1)n-(x-1)y(z+1)n=(x+2y+1)(z+1)n.[/texx]

(3)              [texx]36=(x+1)(y+1)(z+1)n-(x+1)(y-1)zn=(x+1)(y+2z+1)n.[/texx]

Dividiendo (2) entre (1) se tiene

(4)                [texx]3=\frac{x+2y+1}{y+1}\Leftrightarrow x-y=2 \Leftrightarrow x=y+2.[/texx]

Sustituyendo (4) en (3) se obtiene

(5)               [texx]36=(y+3)(y+2z+1)n.[/texx]

Por otra parte (1) sugiere descomponer 8 como producto de 3 fractores (que serían [texx](y+1)(z+1)n[/texx]). Estos son:

[texx]8 = 1\cdot1\cdot8 = 1\cdot2\cdot4 = 1\cdot4\cdot2 = 1\cdot8\cdot1 = 2\cdot1\cdot4 = 2\cdot2\cdot2 = 2\cdot4\cdot1 = 4\cdot1\cdot2 = 4\cdot2\cdot1 = 8\cdot1\cdot1. [/texx]


Puesto que [texx]a[/texx] es divisible entre 3 y 5, se tiene que [texx]y+1>1[/texx], y [texx]z+1>1[/texx]. Con estas restricciones, sólo 3 de los 10 productos nos son útiles. Estos son:

[texx]2\cdot2\cdot2,\quad 2\cdot4\cdot1,\quad\mbox{y}\quad 4\cdot2\cdot1[/texx]

Pero sólo el último verifica (5). Luego la solución es [texx](x,y,z,n)=(5,3,1,1)[/texx], o por ser [texx]n=1[/texx] implica que [texx]r=1[/texx], y por lo tanto se tiene que

[texx]a=2^5\cdot3^3\cdot5\cdot1=4320.[/texx]
15  Matemática / Lógica / Re: Información sobre lógicas con infinitos valores : 27/07/2007, 15:29:22
       Dicen que es de bien nacidos ser agradecidos, así que muchísimas gracias a LauLuna, por preocuparte y aportar una respuesta y además un, a mi modesto entender, muy buen enlace.
       Admito que no lo he leído con todo el detenimiento que debiera, pero si me ha servido para matizar más mi pregunta. Esta se refiere al problema de la completitud funcional de los sistemas lógicos con infinitos valores (o dicho de una forma algo brusca, si existe un conjunto de funciones (a ser posible mínimo) a partir del cual y sólo con la operación composición, se pueda obtener cualquier otra función.  Digamos que mi enfoque es el del matemático americano  E. L. Post.
       Como dije en el anterior mensaje, para lógicas con un número finito de valores, si existe tal conjunto (que creo mal recordar está formado dos funciones, una de ellas constante y la otra ... no recuerdo bien el nombre).

Por cierto, un enlace a algunas partes del libro en el se demuestran estos resultados es

http://books.google.es/books?id=7vFOnoptA7kC&pg=PA90&ots=q72iSYwb6J&dq=many+valued+logic+finit&sig=CYr9u7_HRbwH_LNaRs8287BpW-8#PPP1,M1

Espero haber aclarado un poquitín más la pregunta.

Gracias a todos.

16  Matemática / Lógica / Información sobre lógicas con infinitos valores : 23/07/2007, 07:37:06
      Hola a todos y todas. No sé si este es el lugar adecuado donde formular mi petición.
    Estoy interado en las lógicas no clásicas o lógicas con muchos valores (Many-Valued Logic, MVL). Para las lógicas con un conjunto finito de valores encontré un fantástico libro, en el que se demuestra que sólo es necesaria una única operación binaria para generar cualquier otra (a través de la composición sucesiva de dicha operación).
    Con las de infinitos valores, el tipo sobre el más información encuentras es el de La Lógica Borrosa.
    Querría saber si alguien conoce algúna dirección, libro (electrónico o no) en el que se hable del tema (sobre todo de las NO borrosas). O más concretamente si existe algún resultado similar al anterior (un conjunto de funciones primitivas a partir de las cuales se genere cualquier operación en dicha lógica con infinitos valores ((tanto si son numerables como no numerables)).
    Muchísimas gracias por anticipado.
17  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Demostrar la existencia de dos polinomios tales que ... : 19/07/2007, 16:47:59
Muchísimas gracias el_manco. Simple, sencillo y elegante. Chapó. Se me pasó por la cabeza el pensar en la raíces pero no se me ocurrió nada.

Gracias por responderme, espero que pases unas felices vacaciones (o al menos un buen veranito).
18  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Demostrar la existencia de dos polinomios tales que ... : 19/07/2007, 15:30:08
Hola a todas y todos. De nuevo les pido que si pueden, me echen una mano con el siguiente problema.
 
Sea [texx]f(x)[/texx] un polinomio de [texx]\mathbb{R}[/texx][[texx]x[/texx]] tal que para todo [texx]x\in \mathbb{R},\,f(x)\geq 0[/texx]. Demostrar que existen dos polinomios [texx]g(x),h(x)\in \mathbb{R}[/texx][[texx]x[/texx]] tales que:

[texx]f(x)=g(x)^2+h(x)^2.[/texx]

Los resultados que hasta ahora he obtenido son:

*   Si [texx]f(x)=c>0[/texx], entonces no hay nada que decir.

*   El grado de [texx]f(x)[/texx] tiene que ser necesariamente par, pues en caso contrario o bien [texx]\lim_{x\rightarrow{}-\infty}f(x)=-\infty[/texx] o bien [texx]\lim_{x\rightarrow{}\infty}f(x)=-\infty[/texx], contradiciendo la hipótesis.

*   El siguiente paso fue suponer que el grado de [texx]f(x)[/texx] es 2 y los de [texx]g(x),h(x)[/texx] 1. Pero la cosa se complica bastante. Y por ahora no se me ocurre otro nuevo enfoque.

Les agradecería muchísimo que si se les ocurre algo, lo que sea, por favor me lo hagan saber.

Muchas gracias su interés y hasta pronto.
19  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Calcular S(n)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2 : 29/06/2007, 15:05:26
Muchísimas gracias a todos. En especial a aquellos o aquellas (nunca se sabe ...) que se hacen llamar Ked, el_manco y  J. H. Santiago.
He hallado la siguiente prueba:
Probaremos por inducción que para todo [texx]0\leq r\leq n[/texx], se cumple
que:

[texx]\binom{2n}{n}=\sum_{k=0}^r\binom{r}{k}\binom{2n-r}{n-r+k}.[/texx]

Nótese que de ser cierto, entonces [texx]S(n)=\binom{2n}{n}[/texx].

El caso [texx]r=1[/texx] es consecuencia directa de la propiedad
[texx]\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}[/texx].

Supongamos ahora que

[texx]\binom{2n}{n}=\sum_{k=0}^{r-1}\binom{r-1}{k}\binom{2n-r+1}{n-r+1+k}.[/texx]
Entonces se tiene que
[texx]\binom{2n}{n}=\sum_{k=0}^{r-1}\binom{r-1}{k}\left[\binom{2n-r}{n-r+k}+\binom{2n-r}{n-r+1+k}\right]=[/texx]
[texx]=\binom{r}{0}\binom{2n-r}{n-r}+\sum_{k=1}^{r-1}\left[\binom{r-1}{k-1}+\binom{r-1}{k}\right]\binom{2n-r}{n-r+k}+\binom{r-1}{r-1}\binom{2n-r}{n}=[/texx]
[texx]=\sum_{k=0}^r\binom{r}{k}\binom{2n-r}{n-r+k}.[/texx]
20  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Calcular S(n)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2 : 23/06/2007, 17:27:19
Les pido ayuda para obtener una expresión de [texx]S(n)[/texx], definida de la siguiente forma:
[texx]S(n)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2[/texx] , donde [texx]\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/texx].
Les agradezco cualquier sugerencia observación o nota que aporten. Muchísimas gracias.
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