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Noticias: Homenaje a aladan
 
 
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1  Matemática / Matemática Aplicada / Re: Probar límite con distribución binomial : 15/03/2012, 22:28:36
No estoy 100% seguro, pero creo que en las cuentas el error podría ser que en el numerador del primero
de los límites debería ser [texx]\sqrt{4m^2}(4m^2)^{4m^2})[/texx].

¡¡Gracias por toda tu ayuda el_manco!!
Sí.., ¡tenía bastante tiempo sin escribir un mensaje en el foro!
2  Matemática / Matemática Aplicada / Probar límite con distribución binomial : 14/03/2012, 15:39:38
He estado intentando probar si el siguiente límite existe y es 0:
[texx]\displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}{\displaystyle\dfrac{\displaystyle\binom{n}{n/2}+\cdots+\displaystyle\binom{n}{n/2+\sqrt{n}}}{2^n}}=0[/texx]

pero hasta ahora me ha resultado un poco difícil. Quisiera por favor una pista para poder probarlo (si es que fuera cierto).

Saludos,

eleal
3  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Propiedad asintótica de log n! : 18/02/2011, 18:11:24
Hola feriva,
Gracias por tu respuesta!

Pero hay una cosa que veo:

Que para ver que
[texx](\dfrac{\log_b{(n \cdot n!)}}{\log_b{n}}-1)\displaystyle\frac{1}{n} \geq c[/texx]

no me basta con ver que
[texx]\dfrac{(\log_b{(n \cdot n!)}}{\log_b{n}}>1\Rightarrow (\dfrac{\log_b{(n \cdot n!)}}{\log_b{n}}-1)\displaystyle\frac{1}{n}>0[/texx].

porque por ejemplo

[texx]\frac{1}{n}>0[/texx] y eso no significa que exista [texx]c>0[/texx] tal que [texx]\frac{1}{n}>c,\ \forall n\geq n_0\geq 0[/texx] para cierto [texx]n_0[/texx].

Saludos,
4  Matemática / Cálculo 1 variable / Propiedad asintótica de log n! : 18/02/2011, 09:54:40
Probar que si [texx]b>1[/texx] entonces existe una constante [texx]c \in \mathbb{R},\, c>0[/texx] y un [texx]n_0 \geq 0[/texx] tales que

[texx]\log_bn! \geq cn\log_bn,\ \forall n \geq n_0[/texx].
____________________________________
He intentado haciendo:

[texx]\begin{align*}
\log_bn! = \displaystyle\sum_{k=1}^n{\log_bk} &= \displaystyle\sum_{k=2}^{\lceil n/2 \rceil}{\log_bk} + \displaystyle\sum_{k=\lceil n/2\rceil+1}^{n}{\log_bk} \\
            &\geq \displaystyle\sum_{k=2}^{\lceil n/2 \rceil}{\log_b2} + \displaystyle\sum_{k=\lceil n/2\rceil+1}^{n}{\log_b{(\lceil n/2 \rceil)}} \\
            &= \left(\lceil n/2\rceil-1\right) \log_b2 + (n-\lceil n/2\rceil) \log_b{(\lceil n/2 \rceil)} \\
            &\geq  \left(\lceil n/2\rceil-1\right) \log_b2 + (n-n/2) \log_b{( n/2)}
\end{align*}
[/texx]

La dificultad que he tenido es que siempre cuando termino de simplificar la suma no me queda de la forma [texx]\geq cn\log_bn[/texx] que busco.
En este caso el problema es el [texx]\left(\lceil n/2\rceil-1\right) \log_b2[/texx].

Nota: [texx]\lceil n\rceil[/texx] es la parte entera de [texx]n[/texx] sumado 1. Es decir, es el menor entero que es mayor o igual a [texx]n[/texx].

Quisiera por favor una pista para terminar este problema, o para abordarlo tal vez de otra forma.
Saludos,
5  Matemática / Esquemas de demostración - Inducción / Minimizar cambio de billetes por monedas. : 15/02/2011, 12:41:59
Este es un problema que no he podido resolver, quisiera por favor un poco de ayuda:

I) Preliminares:
Dado un billete [texx]N[/texx] dólares y monedas de denominaciones [texx]1,p,p^2,\ldots,p^k[/texx] dólares, con [texx]k\geq 1, p>1[/texx] uno quiere cambiar el billete por monedas solamente.

Se cuenta con un algoritmo para hacer este cambio y trabaja de la siguiente manera:

-Primero busca el mayor número [texx]m_k[/texx] de monedas de denominación [texx]p^k[/texx] tal que [texx]m_k p^k \leq N[/texx].

-Luego, con lo que queda [texx]N-m_kp^k[/texx] busca el mayor número [texx]m_{k-1}[/texx] de monedas de denominación [texx]p^{k-1}[/texx] tal que [texx]m_{k-1}p^{k-1} \leq N-p^km_k [/texx] y así hasta llegar a la denominación 1.

II) El problema es:
Probar que este algoritmo logra cambiar el billete [texx]N[/texx] usando el menor número posible de monedas.
_____________________________________________________

Esto es lo que llevo:
- El cambio que devuelve este algoritmo para [texx]N[/texx] es:
[texx] N = m_kp^k + m_{k-1}p^{k-1}+\ldots + m_0[/texx],
donde [texx]m_k = \left[\frac{N}{p^k}\right][/texx],
[texx]m_{k-1} = \left[\frac{(N-m_kp^k)}{p^{k-1}}\right][/texx] ,etc.
y [texx]\left[n\right][/texx] es la parte entera de [texx]n[/texx].

Quería hacer el ejercicio por inducción sobre [texx]k[/texx]:

Caso base: Si [texx]k=1[/texx], sean [texx]N=m_0 + m_1p[/texx] el cambio que devuelve el algoritmo y [texx]N=n_0+n_1p[/texx] otro cambio para [texx]N[/texx] y supongamos que [texx]m_0+m_1 > n_0+n_1[/texx] (usa menos monedas).

Si [texx]n_1<m_1=\left[\frac{N}{p}\right][/texx], entonces [texx]n_1 = \left[\frac{N}{p}\right] -r, r>0[/texx].
Entonces [texx]m_0+m_1p = N = n_0 + n_1p = n_0 + \left[\frac{N}{p}\right]p -rp[/texx].
De donde sale que:
[texx]m_0 = n_0 - rp, r>0[/texx]

De forma que se tendría [texx]n_0-rp +m_1 = m_0+m_1 > n_0+n_1 = n_0 + m_1-r[/texx], así que
[texx] -rp> -r[/texx], que no puede ser porque [texx]r,p \in \mathbb{Z^+}, p >1[/texx]

Hipótesis inductiva: Tomo como hipótesis que para [texx]n=k[/texx] el algoritmo halla el cambio mínimo si las denominaciones son [texx]1,p,p^2,\ldots,p^k[/texx]. Veamos que también halla el cambio mínimo para [texx]1,p,p^2,\ldots,p^k,p^{k+1}[/texx].

Sea [texx]N=m_0+m_1p+\ldots+m_kp^k+m_{k+1}p^{k+1}[/texx] el cambio del algoritmo para [texx]N[/texx] y supongamos
[texx]N=n_0+n_1p+\ldots+n_kp^k+n_{k+1}p^{k+1}[/texx] otro cambio más pequeño de N, que cumple
[texx]n_0+n_1+\ldots+n_{k+1} < m_0+m_1p+\ldots+m_{k+1}[/texx].

Aquí lo único que veo es que por hipótesis [texx]n_0+n_1p+\ldots+n_kp^k[/texx] es el cambio mínimo para [texx]N-\left[\frac{N}{p^{k+1}}\right][/texx] que halla el algoritmo y esto sólo me es útil si suponemos que [texx]n_{k+1}=m_{k+1}[/texx]

Saludos,
6  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de computación / Re: Problema de Switch en Dev C++ : 15/08/2010, 18:44:31
Hola Seras Victoria,

Probé el mismo programa que escribiste pero con los siguientes cambios y pareció funcionar:

1.- En la condición del do-while puse '5' (entre comillas simples para denotar el caracter '5' y no el número 5).
Código:
do {...} while ( opcion != '5' )

2.- Quité el include <conio.h>.
3.- Quité el getch() (que tal vez debería ser getchar()).

Saludos,
7  Matemática / Esquemas de demostración - Inducción / Re: Ayuda demostrando una sumatoria con una combinatoria : 14/08/2010, 21:33:49
Hola egamboau,

[texx]\displaystyle\sum_{i=0}^{n}i\displaystyle\binom{n}{i}r^is^{n-1} = n\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\binom{n-1}{i-1}r^is^{n-i} = nr \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\displaystyle\binom{n-1}{i}r^is^{n-i-1}[/texx].

Así que la fórmula sería:

[texx]\displaystyle\sum_{i=0}^{n}i\displaystyle\binom{n}{i}r^is^{n-1} =nr(r+s)^{n-1}[/texx]

Saludos,
8  Matemática / Esquemas de demostración - Inducción / Re: Ayuda. Estoy buscando una demostración para exponer en clase. : 13/08/2010, 08:56:50
Creo que al teorema al que se refiere hector manuel le llaman el Teorema de Darboux.
En este link encontré una prueba:
http://en.wikipedia.org/wiki/Darboux%27s_theorem_(analysis)

Saludos,
9  Matemática / Teoría de números / Re: Mínimo común múltiplo para multiplos de k : 10/08/2010, 18:55:27
Hola,

Intenta viendo para [texx]k > 0 [/texx]:

[texx][ka,kb] [/texx] divide a [texx] [a,b] k[/texx]                 (1)

[texx]k[a,b] [/texx] divide a [texx][ka,kb] [/texx]                  (2)

teniendo cuidado luego con los signos (usando que si [texx]a\mid b[/texx] y [texx]b\mid a[/texx] entonces [texx]a = \pm b[/texx]) cuando quieras ver el caso general.
________________________

Para (1):

Sabes que [texx]a \mid [a,b][/texx] y [texx]b \mid [a,b][/texx]. Por lo tanto

[texx]ka \mid k[a,b][/texx] y [texx]kb \mid k[a,b][/texx]

y usando la definición que escribiste, se tiene (1).

________________________

Para (2):

Como [texx]k \mid [ka,kb][/texx], entonces [texx]\displaystyle\frac{[ka,kb]}{k} \in \mathbb{Z}[/texx].

Además,

 [texx]a \mid \displaystyle\frac{[ka,kb]}{k}[/texx] y  [texx]b \mid \displaystyle\frac{[ka,kb]}{k}[/texx].
Usando de nuevo la definición, queda que

[texx][a,b] \mid \displaystyle\frac{[ka,kb]}{k}[/texx]  que es (2).

Saludos,
10  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Anillo de polinomios : 10/08/2010, 15:57:34
Hola,

Podemos escribir al ideal [texx]I[/texx] como [texx]I:=(x^4+1)[/texx] porque [texx]2 \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/texx].

Resulta que:

[texx]x^4+1 = (x^2+2x+2)(x^2+x+2)[/texx] en [texx]\mathbb{Z}_3
  • [/tex]                    (1),

    por lo que el ideal [texx]I [/texx] es generado por un polinomio reducible sobre [texx]K
    • [/tex].

      Entonces de (1) sale que I no es un ideal maximal en [texx]K
      • [/tex] y por lo tanto [texx]A[/texx] no es un cuerpo.

        De (1) también tienes un ejemplo de un par de elementos en [texx]K
        • [/tex] y en [texx]A[/texx] que son divisores de 0.

          Los elementos de A son los de grado 3 o menor: [texx]a_3X^3+a_2x^2+a_1x+a_0,\ a_i \in \mathbb{Z}_3[/texx],
          que son en total [texx]3^4[/texx] elementos.
        [/texx]
      [/texx]
    [/texx]
[/texx]
11  Matemática / Lógica / Re: Ejercicios de Lenguaje : 20/07/2010, 10:37:21
Para el segundo ejercicio, como escribes, hay que usar inducción sobre los naturales. La inducción sobre los naturales es una forma de hacer pruebas para algunas proposiciones que involucran a los enteros no negativos.

La inducción sobre naturales dice lo siguiente:
Sea [texx]P(n)[/texx] una proposición que involucra a los números naturales (por ejemplo, que [texx]2[/texx] divide a [texx]3^n -1[/texx]).

Esta proposición es cierta para todos los naturales si y sólo si:

i) Es cierta para [texx]0[/texx] (en el caso anterior, si es cierto que 2 divide a [texx]3^0-1[/texx] ). (esto puede ser más general.)

ii) Sea [texx]k\geq 0, k \in \mathbb{N}[/texx], si [texx]P(k)[/texx] es cierta (en el caso anterior, si se cumple que [texx]2 \,|\, 3^k-1[/texx]) entonces [texx]P(k+1)[/texx] es cierta.

__________________________________________________________________________

En tu caso para probar (segundo) por inducción debes verificar:

i) Si [texx]long(x) = 0 [/texx] y [texx]long(y) = m[/texx] entonces [texx]long(xy) = long(x) + long(y) [/texx].

Y esto es fácil porque si [texx]long(x) = 0[/texx] entonces [texx]x[/texx] es la frase vacía; es decir, [texx]x = \lambda[/texx] y entonces [texx]xy = \lambda y = y [/texx].

ii) Ahora sea [texx] k\geq 0 [/texx] y supón que es cierto que

Si [texx]long(x) = k[/texx] y [texx]long(y) = m[/texx] entonces [texx]long(xy) = long(x) + long(y)[/texx].  [texx] \forall x,y \in V^*[/texx]      (1)

Ahora asume que

[texx] long(\hat{x}) = k+1[/texx] y long(y) = m.          (2)

Prueba entonces que

[texx]long(\hat{x}y) = long(\hat{x}) + long(y) [/texx].   (3)

Para ver sobre la inducción matemática puedes consultar
http://docencia.mat.utfsm.cl/~esaez/iii.pdf
12  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Orden de grupo cíclico : 13/04/2010, 06:08:20
Error corregido.
13  Matemática / Estructuras algebraicas / Orden de grupo cíclico : 12/04/2010, 06:30:58
En este ejercicio:

-) Sea p un primo impar y [texx](\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*[/texx] un grupo cíclico de p-1 elementos.

a) Mostrar que para cualquier entero [texx]n \geq 1 [/texx], [texx] (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^*[/texx] es cíclico con orden [texx](p-1)p^{n-1}[/texx].

- ¿No basta con mostrar que el número de elementos [texx]n \in \mathbb{Z}\ (n,p^n) = \phi(p^n) = (p-1)p^{n-1}[/texx] ?

Si [texx]a \in \mathbb{Z} [/texx] tal que pertenece a la clase modulo p que genera a [texx](\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*[/texx], ¿tiene [texx]a^{p^n}(1+p)[/texx] orden [texx]\color{red}(p-1)p^{n-1}[/texx] en  [texx] (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^*[/texx]?

Saludos,
14  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: ¿Polinomio irreducible? : 01/04/2010, 14:36:30
Hola Elvira psv,

fíjate que

[texx]x^4-x^3-x-1 = (x^2-x-1) ( x^2 + 1)[/texx] donde estos dos polinomios de la derecha tienen coeficientes en [texx]\mathbb{Q}[/texx] y son de menor grado. Así que ese polinomio es reducible en [texx]\mathbb{Q}[/texx].

Saludos,
15  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Duda grupo de Galois (2) : 01/04/2010, 10:55:02
Aquí completo un poco para la parte b), quisiera por favor saber qué tal está:

- Si [texx]\zeta[/texx] es una raíz primitiva de la unidad, entonces [texx]\sigma(\zeta)[/texx] sigue siendo una raíz no sólo de la unidad sino también primitiva, porque

[texx](\sigma(\zeta))^k = 1\Longrightarrow{\sigma(\zeta^k) =1}\Longrightarrow{\zeta^k =1}[/texx] porque [texx]\sigma[/texx] es inyectiva.

-Entonces [texx]\sigma(\zeta) = \zeta ^ i[/texx] pero ese [texx]i[/texx] tiene que ser tal que [texx]\zeta^i[/texx] sea primitivo.
16  Matemática / Estructuras algebraicas / Duda sobre cuerpos : 01/04/2010, 00:16:03
Tengo el siguiente problema con el que quisiera un poco de ayuda para comenzar:

Sea [texx]F[/texx] un cuerpo finito de [texx]q[/texx] elementos. Entonces:

a) Para cualquier [texx]n \in \mathbb{Z}^+}[/texx], [texx]n[/texx] es un múltiplo del grado de cualquier polinomio irreducible que divida a [texx]x^{q^n} -X[/texx]

b) [texx] q^n = \displaystyle\sum_{d | n }d N_d[/texx], donde [texx]N_d[/texx] es el número de polinomios mónicos irreducibles de grado [d] en [texx]F[X][/texx].

Saludos,
17  Matemática / Estructuras algebraicas / Duda grupo de Galois (2) : 01/04/2010, 00:00:49
Tengo este problema, quisiera por favor saber qué tal voy y también un poco de ayuda con la parte del final:

Sea [texx]\zeta[/texx] una raíz primitiva n-ésima de la unidad en [texx]\mathbb{C}[/texx] y [texx]K=\mathbb{Q}(\zeta)[/texx] una extensión de [texx]\mathbb{Q}[/texx].

a) Probar que la extensión [texx] \mathbb{Q} \rightarrow{K}[/texx] es Galois.

- Esta extensión es Galois porque [texx]K=\mathbb{Q}(\zeta)[/texx] es el cuerpo de raíces del polinomio separable sobre [texx]\mathbb{Q}[/texx]: [texx] x^n-1 \in \mathbb{Q}
  • [/tex] ( y es separable porque [texx]D(x^n-1) = nx^{n-1}[/texx] que sólo tiene raíz [texx]0[/texx] así que es coprimo con [texx]x^n-1[/texx]).

    b) Mostrar que si [texx] \sigma[/texx] en el grupo de Galois de [texx]K / Q[/texx] entonces existe un [texx]d \in \mathbb{Z}[/texx] coprimo con [texx]n[/texx] tal que [texx] \sigma(\zeta) = \zeta^d[/texx]

    - Como [texx]\sigma[/texx] es un automorfismo de [texx]K[/texx] que fija a [texx]\mathbb{Q}[/texx] debe enviar raíces de [texx]x^n-1[/texx] en raíces. Así que [texx]\sigma(\zeta) = \zeta ^ i[/texx] para algún [texx]i \in \mathbb{Z}[/texx].

    c) Construir un homomorfismo de grupos inyectivo [texx]\phi: Gal(K/ \mathbb{Q}) \rightarrow{(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*}[/texx]

    -Si [texx]\sigma_i(\zeta)=\zeta^i,\ \sigma_i \in Gal(K/ \mathbb{Q})[/texx] le corresponde el elemento [texx]i \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*[/texx]

    Saludos,
[/texx]
18  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Duda con grupo de Galois : 31/03/2010, 23:49:17
Muchísimas gracias el_manco.
19  Matemática / Estructuras algebraicas / Duda con grupo de Galois : 29/03/2010, 13:29:10
Sea [texx]K \subset L[/texx] una extensión de Galois finita de grado [texx]n[/texx]. Sea [texx]x \in L[/texx] y supongamos que los elementos [texx]id=\sigma_1(x), \sigma_2(x), \ldots, \sigma_n(x)[/texx] son todos distintos. Mostrar que [texx]L = K(x)[/texx].
______________________

Esto es lo que llevo:

- [texx]x \in L[/texx] y [texx]K \subset L[/texx] por lo tanto [texx]K \subset K(x) \subset L[/texx].

- Como [texx]K \subset L[/texx] es de Galois, se tiene que [texx]K(x) \subset L[/texx] es una extensión de Galois con grupo de Galois [texx]Gal(L\| K(x))[/texx].

- Pero [texx]Gal(L\| K(x)) = \{id\} = Gal( L \| L )[/texx] porque todos los [texx]\sigma_i,\ i>1[/texx] cumplen [texx]\sigma_i(x) \neq x,\ i >1[/texx], donde [texx]x \in L[/texx].

- Entonces [texx]L = K(x)[/texx].

Quisiera saber por favor qué tal está lo que llevo.

Saludos,
20  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Duda con extensiones de cuerpos. : 02/02/2010, 10:43:48
el_manco:
 y la idea de expresar [texx] \sqrt{p_{p+1}}[/texx] como combinación lineal en [texx]\mathbb{Q}[/texx] de [texx]\sqrt{p_1^{i_1}\ldots p_n^{i_n}}[/texx] con [texx]i_1,\ldots,i_n\in \{0,1\}[/texx] podría llevar a algo?
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