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1  Matemática / Estadística / Re: Ayuda Problema de estadística : 11/10/2006, 10:29:49
Si he entendido bién lo que pides, se trata de resolver una simple ecuación. Si llamamos m a la probabilidad de que el monto de inversión de la empresa sea $5000 tenemos que :

m+m/3+2*m/3=1, luego m=1/2 y tenemos que

Sí x=1000 entonces y=2*m/3=1/3

Sí x=2000 entonces  y=m/3=1/6

Sí x=5000 entonces y=m=1/2
2  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Propuestos por todos / Pues va a ser que sí : 11/10/2006, 09:08:45
 Tiene ustedes razón, és cierto. Cuando dos personas chocan, és equivalente a que se crucen.
Curioso...
Bién pensado Champion9999
3  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Axioma de elección y cardinales transfinitos : 11/10/2006, 08:39:56
En primer lugar me gustaría agradeceros las respuestas dadas hasta el momento por todos, sobretodo a LauLuna que me ha ayudado a clarificar conceptos.
Creo que és muy interesante plantearse como haceis, la pregunta de si todo conjunto no numerable puede bién ordenarse, teorema que és consecuencia de la aceptación del axioma de elección. Porque como bién observais, se pueden plantear serias dudas al respecto.
Podriamos como nos pide argentinator, preguntar por si podemos poner un ejemplo de algún conjunto no numerable que no pueda bién ordenarse. Pero también podriamos proceder a la inversa, y preguntarnos si conocemos alguna buena ordenación en un conjunto que sea no numerable. Cual és el buén orden de R, o de  C entonces?
Ahora bién, Gódel y Cohen ya se encargaron de demostrar la indecidibilidad de dicho axioma. Yo particularmente tengo ciertas reticencias a la aceptación del mismo, más que por lo dicho hasta ahora, por otros motivos que ahora expongo.
No soy el único que expresa estas reticencias, también les sucede a otros  matemáticos, entre los que se hallan los propios contemporaneos de Zermelo. Dichos matemáticos suelen aceptar con facilidad el axioma del reemplazo, aunque no aceptan el axioma de elección. A mi también me parece bastante razonable, exigir que si tenemos un axioma que nos permite elegir algún elemento de un conjunto, almenos sepamos cual és dicho elemento. Y digo eso, porque si realmente tuvieramos un conjunto con dos elementos indistinguibles, hasta el punto de que no encontraramos la característica diferencial entre ambos, caray!, tendriamos el mismo elemento dos veces, o dicho de otra forma, solo habría un elemento realmente en el conjunto.
De todas formas, en mi opinión la causa del axioma de elección es más compleja, y espero saber explicarme. Veamos, el axioma del reemplazo, nos permite sustituir cada elemento de un conjunto por uno de los elementos que contiene a su vez dicho elemento, sí y solamente sí, existe una función proposicional que relaciona a ambos inequívocamente. Que es entonces el axioma de elección?. El axioma de elección lo que nos permite es decir, que dicha función siempre existe, aún cuando nosotros no seamos capaces de construirla, de ahí que las demostraciones con este axioma, sean, no constructivas. Es decir que existe una función de elección, aún cuando nosotros seamos incapaces de encontrarla. Es como decir que, aunque nosotros no fuesemos capaces de diferenciar los elementos de un conjunto, de una forma absoluta existiría diferencia, y es más, eso podría expresarse de forma inequivoca para todos y cada uno de los elementos de un conjunto y sus respectivos elementos, mediante una función de elección para nosotros desconocida. Si os fijais, la afirmación no es nada trivial y hay que ponerle mucha fé al asunto.
 
4  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Propuestos por todos / Pues yo diría que no : 09/10/2006, 11:27:36
Antes de que el último andarín caiga, puede haber rebotado con otros y haber cambiado de dirección muchas veces. Luego puede haber andado mucho más de 1000m antes de caer, y haber por tanto tardado mucho más de 1000 sg.
O eso me parece por el enunciado.
Lo que sí me parece claro, és que en cada choque que tiene el último andarín, de una forma directa o indirecta, provoca la caida de un andarín de la regla.
La cosa por tanto está, en optimizar en función de los otros andarines, la distancia recorrida por el andarín entre choque y choque, y desde el último choque hasta que se sale de la regla.
Tampoco és que sea fácil, vamos...
5  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / Re: ¿Son las matemáticas lógica? : 09/10/2006, 10:22:39
Podría uno preguntarse en primer lugar, porqué ha sido un interés de los matemáticos y filósofos de principios del siglo XX, en particular de figuras como Cantor, Russell, Hilbert, Zermelo, Godel o Von Newman por citar algunos de los más notables, él dotar a las matemáticas de una sólida base axiomática en la que poder fundamentarse. La respuesta básicamente sería la de poder enfrentarse al concepto de infinito. En matemáticas, el infinito abunda por doquier, infinitos son los elementos de N, Z, Q, R o C, por no decir los de los espacios R^n o C^n, sin ir más lejos. El infinito se enfrenta muchas veces con lo que podriamos denominar, nuestro sentido común. Por ejemplo, el conjunto de los números pares, es decir, de los múltiplos de 2, es un subconjunto propio de N. Dicho de otra forma, todo número par, es un elemento de N, pero no todo elemento de N, es un
número par. Sin embargo, la sucesión an=2*n, nos permite establecer una aplicación biyectiva entre ambos conjuntos, de forma que a cada número par le corresponde un elemento de N y solo uno, y viceversa. Dicho de otra forma, tenemos un subconjunto propio que tiene la misma cantidad de elementos, que el conjunto que lo contiene. Nuestro sentido común se mueve casi siempre en términos que podriamos denominar finitos, y obviamente, para un conjunto finito, un subconjunto propio siempre tiene una cantidad de elementos menor que el conjunto que lo contiene. Hechos parecidos, hicieron ver, que era necesaria una fundamentación rigurosa de la matemática, para no caer en contradicciones, cuando de hablar del infinito se trataba.De hecho, no es exagerado el afirmar, que si en las matemáticas no se tratara sobre el infinito, los sistemas axiomáticos, no solo estarían de más, sinó que sería mucho más práctico usar el sentido común sin más, toda demostración sería obvia una vez realizada.
Otro concepto que está en la base misma de las matemáticas, és el de conjunto. En realidad, podría decirse que un objeto
pertenece al campo de las matemáticas, sí y solamente sí, es un conjunto. De las dos teorías axiomáticas en las que se
fundamentan las matemáticas en la actualidad, a saber las de Zermelo-Fraenkel, y la de Godel-Von Newman, en la primera, conjunto es precisamente el objeto primitivo y no definido de la teoría. En la segunda, el concepto primitivo es el de clase. Russell objeto a la teoría de Cantor, que esta presuponía que al igual que todo conjunto tiene una propiedad asociada, la inversa, es decir que toda propiedad tenía un conjunto asociado, también era cierta. Sin embargo Russell propuso el conjunto que tenía por elementos a aquellos conjuntos que no eran elementos de si mismos, llamando a este conjunto R. La pregunta era, es R elemento de si mismo?. La respuesta afirmativa o negativa a esta pregunta conducía siempre a una contradicción. Ya que si R no era elemento de si mismo, entonces pertenecía a R, y si era elemento de si mismo, entonces no podía serlo.
Dicho de otra forma, Russell dió un ejemplo de una propiedad, que no tenía ningún conjunto asociado, ya que para que un
conjunto esté bién definido, es imprescindible que dado otro conjunto cualesquiera, podamos decir sin ambigüedad alguna,
si és o no elemento de nuestro conjunto.
Pues bién, entonces la extensión de una propiedad no era siempre un conjunto, por lo que a partir de entonces, la extensión de una propiedad, pasó a denominarse una clase.
Esta era el objeto primitivo de la teoría axiomática de Godel-Von newman. En dicha teoría, el concepto de conjunto, se definía a partir del concepto primitivo de clase, de forma que un conjunto era una clase que pertenecía a otra clase, mientras que una clase que no pertenecía a ninguna otra clase, era una clase propia.
En lo que sí que coinciden ambas teorías, és en que la relación primitiva no definida, es la relación de pertenencia. Dicho sea
de paso, es conveniente poner demanifiesto que cuando decimos que x€A, lo que enrealidad decimos es que el conjunto x es
elemento del conjunto A, pero no que x y A sean objetos de distinta naturaleza, ambos son conjuntos.
Bién, lo que se pretendía a principios del siglo XX, era encontrar un sistema axiomático en el que todas las propiedades
de los conjuntos y solo ellas, pudieran derivarse de un conjunto finito de axiomas, y las reglas de inferencia asociadas al sistema. La importancia de ello radicaba, en que casi todas las ramas de las matemáticas, ya se fundamentaban sobre el concepto de conjunto, luego si se conseguía ese proposito, se tendría una base sólida sobre la que poder fundamentar la verdad matemática.Ese era precisamente uno de los que consideraba Hilbert como retos del milenio.
Fué el gran lógico Kurt Gödel, quién dió respuesta al problema, pero de la manera más sorprendente posible. La respuesta era que simplemente era imposible hacer tal cosa. El motivo era que en todo sistema axiomático recursivo, lo suficientemente complejo para contener a N (y por lo tanto al concepto de infinito), aparecían proposiciones indecidibles, es decir, enunciados de los que no se podía demostrar su veracidad ni falsedad a partir de los axiomas. otra consecuencia de esta indecidibilidad y que en cierta forma era todavía más preocupante que la indecidibilidad en si misma, es que no podía demostrarse la consistencia del sistema, desde dentro del propio sistema, ya que tal demostración nos conduce a una contradicción. Dicho de otra forma más comprensible, no había forma de probar desde dentro del propio sistema, que dicho sistema no era contradictorio.
Ahora bién, en un sentido absoluto, el intento de fundamentar las matemáticas sobre una base sólida había fracasado. Pero
ello no quería decir que no se pudiera hacer nada al respecto, sinó simplemente, que el absoluto y la perfección no existen.
El hecho curioso, es que a pesar de todo, aparecieron dos sistemas, los mencionados anteriormente, extraordinariamente
potentes, y sobre los cuales se podía fundamentar casi toda la matemática conocida. En dichos sistemas, aparecieron ejemplos
famosos de esas proposiciones indecidibles que mencionara Gödel, como es el caso del axioma de elección, del cual ya se ha hablado en el foro, o de la hipótesis del continuo.
Hagamos una aproximación al que por ser más conocido, y más sencillo de comprender para el profano, puede dar una mejor idea de por donde andamos en la actualidad en lo que a fundamentación de las matemáticas se refiere.
Cuando alguien que es profano en la materia, observa por primera vez los axiomas de Zermelo-Fraenkel, puede tener dos
sensaciones. La primera es que parece extraño que de unos pocos axiomas, a lo sumo unos 8, se pueda construir toda la
matemática conocida. La segunda, es que es muy probable que esperara unas verdades que por obvias brillaran más que el Sol
a plena luz del día, y se sorprende de que los axiomas no sean lo "evidentes" e "irrefutables" que pudiera haber esperado.
Veamos lo que quiero decir.
Podriamos dividir los axiomas en 3 categorías.
En la primera pondriamos el axioma de extensión, que en este caso, sí parece una verdad bastante obvia, ya que simplemente
lo que afirma es que dos conjuntos cualesquiera A y B son iguales, sí y solamente sí, contienen a los mismos elementos. Este como se ve, es un axioma que nos servirá para determinar cuando dos conjuntos son o no el mismo.
En la segunda categoría, estarían aquellos axiomas que nos permiten construir nuevos conjuntos a partir de conjuntos conocidos. En esta categoría estarían por ejemplo, el axioma de la gran unión que afirma que dado un conjunto cualesquiera A, existe un conjunto al que llamamos U A , que tiene por elementos a todos los elementos, de los elementos de A. No me negaran ustedes, que eso ya no parece tan obvio como lo anterior. Otro ejemplo importante sería el axioma del conjunto de las partes. Digamos antes que un conjunto B decimos que es subconjunto de otro conjunto A, sí y solo sí, todo elemento de B también lo es de A.
Pues bién el axioma en qüestión lo que afirma, es que dado un conjunto cualesquiera A, existe un conjunto que llamaremos
P(A) que tiene por elementos a todos aquellos conjuntos que son subconjuntos de A. Aquí la obviedad tampoco luce por su
presencia. Dentro de esta categoría estarían la casi totalidad de los axiomas restantes ( a escepción tal vez del axioma de
regularidad, que entre otras cosas más complejas, evita la existencia de conjuntos patológicos como un cierto conjunto A que fuera elemento de si mismo y cosas similares, dicho axioma, lo que simplemente afirma, es que todo conjunto no vacío contiene algún elemento con el que no comparte ningún elemento), como el axioma de especificación, el del reemplazo, o el de elección (el del par no lo menciono, ya que en realidad es un teorema que puede deducirse del resto de los axiomas, y que afirma que si tenemos dos conjuntos cualesquiera A y B existe el conjunto C={A,B})
Notemos, que por el momento, hemos hablado de igualdad entre conjuntos, de como crear nuevos conjuntos a partir de los
ya existentes, pero todavía no hemos afirmado que exista algún conjunto. Para resolver esto, los matemáticos lo hacen con
axiomas de la tercera categoría, de hecho, les basta un solo axioma, y van a lo grande. Así en nuestra tercera categoría de
axiomas solo hay uno que simplemente dice: Existe un conjunto que tiene infinitos elementos.
Y poco más o menos, una teoría en la que se fundamentan las matemáticas, viene a ser esto.
Entonces podrían estarse ustedes preguntando, pero si nos basamos en cosas tan "ambiguas", tan poco "obvias", como puede ser que las matemáticas puedan construirse a partir de ellas?. Mi respuesta a dicha pregunta sería, que más que buscar verdades "obvias", la busqueda de los axiomas oportunos, consiste en encontrar cuales son las propiedades esenciales que deben tener los conjuntos para que a partir de ellas y las reglas de inferencia de nuestro sistema, podamos demostrar la mayor cantidad de propiedades ya contrastadas en la realidad física (digo la mayor cantidad, porque como antes dijimos la totalidad es imposible). Sería algo así como un proceso de síntesis, es decir, el proceso no solo va de abajo hacia arriba y es por lo tanto de naturaleza deductiva, sinó que se tiene en cuenta a donde queremos llegar, para determinar desde donde empezamos, osea en cierta forma es un proceso inductivo a su vez. Las matemáticas no pueden en definitiva, prescindir de la realidad física, que de una u otra forma pretenden representar, y es por ello, que un sistema puede ser impecable desde el punto de vista lógico, pero no ser de interés para las matemáticas.
Digamos que a mi forma de ver, una cosa es la verdad lógica, otra el hecho físico, y las matemáticas vendrían a ser el puente entre ambas.
Para poner un ejemplo de lo que quiero decir, consideren un sistema axiomático del que se dedujera que 2+2 no es 4 (dejando bases de numeración aparte), es obvio, que no tendría mucho interés para las matemáticas, por muy impecable que fuera desde un punto de vista lógico.
Por otro lado, piensen que uno de los objetivos de la teoría de conjuntos en su origen, fué definir los números naturales como conjuntos, y a partir de esa definición definir el orden y las operaciones entre ellos, para demostrar las propiedades de dichas operaciones y relaciones a partir de los axiomas mismos. Sin embargo un resultado colateral de dicha construcción, es la aparición de la teoría de ordinales, y de cardinales transfinitos, con axioma de elección e hipótesis del continuo de pormedio. Dichos nuevos elementos, no está claro que realidad física tienen enrealidad, de ahí que su indecidibilidad en muchos casos sea absoluta, pero si dichos elementos realmente tienen algún contraste o no en la realidad física, es algo que hoy por hoy está por ver, por lo tanto, podría ser, que simplemente nos estemos pasando con los axiomas, para entendernos. Digamos que almenos, hoy por hoy, no hay nada físico que nos permita decir si es una u otra cosa en estos ámbitos.
Y por hoy, ya les pegué suficiente paliza, osea que me remito a posteriores ocasiones, en que respondiendo a sus opiniones, crucemos unas palabras de nuevo.
Sin más se despide, un pajarraco.
6  Matemática / Teoría de Conjuntos / Axioma de elección y cardinales transfinitos : 09/10/2006, 09:20:36
Tengo una duda un tanto compleja, y os agradecería que me pudierais clarificar ideas al respecto. Mi duda és la siguiente. Si en la teoría de Zermelo-Fraenkel prescindimos del axioma de elección, cuales son las consecuencias, en lo que se refiere a cardinales transfinitos?. Quiero decir que, si todo objeto matemático és un conjunto, y deja de cumplirse que todo conjunto pueda bién ordenarse, és decir, que tenga algún orden isomorfo al de algún ordinal, como podemos introducir en dicha teoría la idea de cardinal transfinito, a que conjuntos asociamos tales objetos y que propiedades seguirían cumpliendose y cualas dejarían de cumplirse?
7  Matemática / Lógica / Re: Qué son variables ligadas y variables libres? : 09/10/2006, 08:39:33
En efecto, como bién dices, tiene que ver con el uso de los cuantificadores, y és muy sencillo de ver. Por ejemplo, cuando tenemos una fórmula que dice : "Para cualquier B, A és subconjunto de B", nos encontramos con dos variables. La variable B está ligada, porque se usa acompañando a un cuantificador. Encanvio, la variable A está libre, porque no se introduce con cuantificador ninguno.
Una fórmula que tiene variables libres, no está completamente determinada, hasta que se sustituyen dichas variables por un valor concreto. Por ejemplo la fórmula : "Para cualquier B, el conjunto vacío és suconjunto de B", és una fórmula que obtenemos de la primera, sustituyendo A por el conjunto vacío. Esta nueva fórmula, sí está completamente determinada, ya que sigue teniendo una variable ligada por el cuantificador, la variable B, pero carece de variables libres, ya que ahora el conjunto vacío, és un valor concreto no una variable.
Toda fórmula que no contiene variables libres, és verdadera o falsa (aunque és posible que no podamos determinar cual de las dos se cumple, debido a los teoremas de nuestro amigo Gödel). Sin embargo, de una fórmula con variables libres, no puede afirmarse lo mismo, hasta que se han sustituido dichas variables por valores concretos.
Para acabar otro ejemplo, en la fórmula : "Para cualquier X, existe algún Y, tal que X€A y A€Y", las variables X e Y están ligadas por cuantificadores, mientras que la variable A está libre.
Sin nada más, un saludo de mi parte.
8  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Orden amplio, estricto, parcial y total. : 09/10/2006, 08:12:34
Veamos, en primer lugar, una relación de orden parcial en un conjunto A, és un subconjunto R del conjunto AXA, que cumple las siguientes condiones :
1.- Para cualquier a€A, (a,a)€R (Propiedad reflexiva)
2.- Para cualesquiera a€A y b€A, (a,b)€R y (b,a)€R, sí y solo sí, a=b (Propiedad antisimétrica)
3.- para cualesquiera a€A, b€A y c€A, sí (a,b)€R y (b,c)€R entonces (a,c)€R (Propiedad transitiva)
Si además para cualesquiera a€A y b€A con a<>b, se cumple que, o bién (a,b)€R o bién (b,a)€R pero no ambos, decimos que la relación de orden és total.
Entonces todo orden total és a su vez un orden parcial, pero la inversa no és cierta, és decir, no todo orden parcial es total.
En un orden estricto, la propiedad reflexiva no se cumple. Por otro lado, la propiedad antisimétrica se acentua, en el sentido de que nunca puede suceder que para cualesquiera a€A y b€B, (a,b)€R y (b,a)€R, ni aún en el caso de ser a=b. Ello se debe a que como he dicho, la propiedad reflexiva no se cumple para estos ordenes. La propiedad que sí se sigue cumpliendo de la misma forma es la transitiva.
Por lo tanto, un orden estricto no és parcial, ni tampoco total. Aunque sí puede suceder que  para cualesquiera a€A y b€A con a<>b, se cumpla que, o bién (a,b)€R o bién (b,a)€R pero no ambos. Sin embargo como el orden no cumple la propiedad reflexiva, no és ni parcial ni total. Aunque és posible que si se dice que un orden estricto és total, se refieran a que presenta dicha propiedad.
Por lo demás, no se a que se refiere el término de orden amplio.
Lo que sí te comentaré, és que un conjunto A, se dice que está bién ordenado, sí y solamente sí, existe una relación de orden en A, que és total, y para la que se cumple, que todo subconjunto no vacío de A, tiene elemento mínimo.

9  Matemática / Probabilidad / Creo que és más complicado que eso.... : 09/10/2006, 06:00:49
Veamos, tú por ejemplo dices que para ganar en 6 tiradas, solo hay dos resultados posibles, a saber :
oxo xoo y xox xoo   
Y yo digo que no, por ejemplo, otros resultados posibles son :
xxo xoo y oxx xoo
Para ganar en 7 tiradas tenemos también más de 2 resultados posibles ya que :
oxox xoo, xoxo xoo y oxxo xoo, son las 3 jugadas ganadoras.
Ello se debe a que no pueden haber dos caras consecutivas anteriores a las dos últimas como bién has visto, pero sí dos cruces consecutivas, siempre que él número total de cruces no exceda al total de caras.
10  Matemática / Teoría de números / Generalización de Euler del pequeño teorema de Fermat : 09/10/2006, 05:35:52
Me gustaría preguntaros, sobre cual és la demostración más sencilla que conoceis, de la generalización del pequeño teorema de Fermat que hizo Euler. A saber, la que dice que sí a y b son enteros positivos y primos entre sí, entonces [texx]a^{\phi(b)}=1 (mod\quad b) [/texx]  y  [texx]b^{\phi(a)}=1 (mod\quad  a) .[/texx]
Espero vuestras respuestas, un saludo.
11  Matemática / Probabilidad / Un problema aparentemente sencillo : 09/10/2006, 04:55:50
Quería exponer un problema que estoy tratando de solucionar, y no acaba de salirme. Se trata de lo siguiente:
Un juego consiste en lanzar una moneda repetidamente, hasta que salen dos caras consecutivas. Cuando eso sucede el juego términa, y se cuentan las caras y las cruces que han salido. Si la cantidad de cruces es mayor que la de caras, el jugador que lanza la moneda pierde el juego. En caso contrario gana. Determinar cuales son las probabilidades de ganar o perder en dicho juego.
Espero que podais ayudarme a determinar como calcular dichas probabilidades, lo que aviso que és más complejo de lo que parece.
Sin más, espero vuestras opiniones, y os mando un cordial saludo.
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