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1  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Calcular \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(\sqrt[ ]{n^2-2n}-n)^n} \) : 07/09/2019, 06:04:14 pm
Calcular (sin usar L'Hopital en el camino) el siguiente límite:

[texx]       \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(\sqrt[ ]{n^2-2n}-n)^n}       [/texx]

Me parece que eso no converge, porque [texx]\sqrt{n^{2}}=n
 [/texx], entonces [texx]\sqrt{n^{2}-2n}<n
 [/texx], con lo que [texx]\sqrt{n^{2}-2n}-n
 [/texx] es negativo; y al elevarlo a “n” irá cambiando el signo.

Saludos.

Al introducirlo en wolfram indica "complex infinity", que quiere decir exactamente?
Respecto a las alternativas algebraicas que plantean ya las trabajé y no llegué a nada, también consideré reexpresarlo como:

[texx]      exp[\displaystyle\frac{ln(\sqrt[ ]{n^2-2n}-n)}{n}]      [/texx]
2  Matemática / Cálculo 1 variable / Calcular \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(\sqrt[ ]{n^2-2n}-n)^n} \) : 07/09/2019, 04:49:14 pm
Calcular (sin usar L'Hopital en el camino) el siguiente límite:

[texx]       \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(\sqrt[ ]{n^2-2n}-n)^n}       [/texx]
3  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: función suma serie de potencias : 05/09/2019, 08:11:53 pm
Muchas gracias!
4  Matemática / Cálculo 1 variable / Función suma serie de potencias : 05/09/2019, 11:26:22 am
Hola, trato de hallar la función suma de la serie [texx]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{(-2)^n\displaystyle\frac{n+2}{n+1}x^n}[/texx], logré hallarla, pero mi solución no es la que está en el libro, no entiendo donde está mi error (seguramente sean varios)

Utilizando la serie de Mclaurin para el logaritmo natural:
[texx]2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\displaystyle\frac{x^n}{n}}\ =\ 2\ln(x+1)[/texx]
Cambiando el índice
[texx]2\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{(-1)^{n}\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}}\ =\ 2\ln(x+1)[/texx]
Multiplicando por x ambos lados:
[texx]2\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{(-1)^{n}\displaystyle\frac{x^{n+2}}{n+1}}\ =\ 2xln(x+1)[/texx]
derivando ambos lados:
[texx]2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{(-1)^{n}\displaystyle\frac{n+2}{n+1}}x^{n+1}\ =\ 2x/(x+1)\ +\ 2\ln(x+1)\ [/texx]
Divido ambos lados por x (si x no es 0) y sumo el término para n=0
[texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{(-2)^{n}\displaystyle\frac{n+2}{n+1}}x^{n}\ +\ 2\ =\ 2/(x+1)\ +\ 2ln(x+1)/x\ +\ 2\ =\ f(x)[/texx]

Por último una cuestión general: ¿puedo en estos casos multiplicar la serie dada por otra cuya función suma conozca y operar con la nueva serie?
Solución según el libro:
5  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Cálculo límite\(\displaystyle\frac{arctg^2(x)-arctg^2(1)}{ln(x)}\) : 03/09/2019, 03:18:27 pm
Toma:
[texx]\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\arctan^2(x) - \arctan^2(1)}{\ln(x)} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\arctan^2(1+h) - \arctan^2(1)}{h} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{\ln(1+h)-\ln(1)}{h}} [/texx]
 
Editado

[texx]\displaystyle\lim_{x \to 1}{\dfrac{arctan(x)-arctan(1)}{ln(x)}}=\lim_{x \to 1}{\dfrac{(arctan(1)+(x-1))-arctan(1)}{(x-1)}}=\lim_{x \to 1}{\dfrac{(x-1)}{(x-1)}}=1[/texx]
Cuidado que está elevada al cuadrado.

Gracias por la ayuda. No sigo bien a donde va el último paso, además no termino de aceptarlo, me da la sensación de que es poco riguroso, por ejemplo, si estoy trabajando con un límite cuando [texx]x\longrightarrow{0}[/texx], puedo simplemente multiplicarlo por [texx]sen(x)/x[/texx]? ¿no debería garantizar la existencia de ámbos por separado antes?
Respecto al límite, yo pensé lo siguiente:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}1}{\displaystyle\frac{(Arctg(1)+(x-1))^2-Arctg^2(1)}{x-1}}=\displaystyle\lim_{x \to{}1}{\displaystyle\frac{(2Arctg(1)(x-1))+(x-1)^2}{x-1}}=0[/texx]

Editado: En el límite está mal el desarrollo de taylor!

Respecto al uso de taylor para aproximar, ¿puedo usar la cantidad de términos que quiera?
6  Matemática / Cálculo 1 variable / Cálculo límite\(\displaystyle\frac{\arctg^2(x)-\arctg^2(1)}{\ln(x)}\) : 03/09/2019, 01:56:56 pm
Intento resolver (sin usar L'Hopital) el siguiente límite:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}1}{\displaystyle\frac{\arctg^2(x)-\arctg^2(1)}{\ln(x)}}[/texx]

Pensé en usar la aproximación de Taylor para Arctg, pero el límite  tiende a   es 1...
7  Matemática / Cálculo 1 variable / Acotar el error cometido al aproximar una serie : 01/09/2019, 08:24:47 pm
Hola, el problema con el que me topé me pide calcular el valor de la suma de la serie:
 
[texx]\displaystyle\sum_{i=5}^\infty{\displaystyle\frac{1}{3^n \sqrt[ ]{1+n}}}[/texx]
y si no es posible, aproximarla con un error menor al [texx]10^{-3}[/texx].
 En primer lugar, no estoy seguro a que se refiere con "y si no es posible", es decir, a algún valor debe converger.
 En cuanto a la aproximación, a partir de [texx]n = 6[/texx], la serie toma valores menores al error requerido, ¿pero como demuestro que [texx]\displaystyle\sum_{i=6}^\infty{\displaystyle\frac{1}{3^n \sqrt[ ]{1+n}}}<10^{-3}[/texx]?.
¿Hay alguna forma metódica acotar el error que se comete al aproximar este tipo de series?
8  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Cota creativa para una serie : 01/09/2019, 07:41:18 pm
Hola

Hola, debo determinar si la siguiente serie converge o diverge(me gusta pensar que dieverge), para lo cual pretendo usar el criterio de acotación, pero aunque exploré varias cotas ninguna me llevó a algo concreto:

                                      [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\sqrt[ ]{n} ln(cosh(1/n))} [/texx]


Nota: recordemos que [texx]cosh(n) = \displaystyle\frac{e^n+e^{-n}}{2}[/texx]

Mirá acá: https://math.stackexchange.com/questions/2636012/convergence-of-series-sum-n-1-sqrtn-ln-cosh1-n

Saludos


Gracias, sinceramente no me imaginé que podía haber una consulta sobre esta misma serie y me saltié el paso de buscar  :rodando_los_ojos:
9  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Función no integrable : 31/08/2019, 11:03:50 pm
Muchas gracias!
10  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Función no integrable : 31/08/2019, 02:51:34 pm
quize decir funciones discontínuas e integrables, pero asumí que las continuas a trozos son integrables, es decir, una discontínua en todas partes e integrable, será posible? porque según entiendo, si encuentro una función de este tipo no hay un teorema para decidir si es integrable o no, pero todas las funciones que se me ocurren que cumplen esta condición no parecen ser integrables, por ejemplo [texx]f(x)=0[/texx] si x racional,[texx]f(x)=1[/texx] si x irracional, es discontínua [texx]\forall{x}[/texx] pero tampoco parece integrable.
No termino de comprender por qué no vale afirmar que las funciones que no son contínuas a trozos no son integrables, no encuentro un contraejemplo.
Espero haber sido más claro
11  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Función no integrable : 31/08/2019, 01:40:58 pm
Un par de consultas referidas al tema de funciones integrables.¿hay alguna teorema "práctico" para verificar si una función no es integrable?, se puede afirmar que si es contínua es integrable, pero no vale la recíproca ¿tienen algún ejemplo de funciones no integrables pero contínuas?
12  Matemática / Cálculo 1 variable / Cota creativa para una serie : 31/08/2019, 01:22:03 pm
Hola, debo determinar si la siguiente serie converge o diverge(me gusta pensar que diverge), para lo cual pretendo usar el criterio de acotación, pero aunque exploré varias cotas ninguna me llevó a algo concreto:

                                      [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\sqrt{n}\ln(\cosh(1/n))} [/texx]


Nota: recordemos que [texx]\cosh(n) = \displaystyle\frac{e^n+e^{-n}}{2}[/texx]
13  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Hallar la suma de la serie : 26/08/2019, 10:05:58 pm
Muchas gracias! Luego lo reviso, porque el Wolfram me tira que converge a [texx]1 + 4ln(4/3)[/texx]
14  Matemática / Cálculo 1 variable / Hallar la suma de la serie : 26/08/2019, 08:30:44 pm
El problema consiste en hallar la suma de la serie [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\displaystyle\frac{1}{3^nn(n+1)}}[/texx]

Por el criterio para series alternadas se puede ver que la serie converge, no nos preocuparemos por eso.
El [texx]n(n+1)[/texx] me sugiere que use la propiedad telescópica(si es que es una "propiedad"), pero no se me ocurrió la manera.

saludos!
15  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: serie de fourier : 19/07/2019, 10:44:04 am
Muchas gracias!!
16  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Sabiendo que un triángulo isósceles... : 19/07/2019, 01:23:56 am
por las dudas te lo dejo explícito:

[texx] \alpha = \displaystyle\frac{180°-28°15'}{2} [/texx]

17  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / serie de fourier : 19/07/2019, 01:15:45 am
Hola, trato de resolver el siguiente enunciado:

"Obtenga la serie de Fourier de [texx]f(x)=x^2[/texx] (entre [texx](-\pi,\pi)[/texx]), ¿a qué valor converge la serie en [texx]x = 2\pi[/texx]?
integrando la serie de Fourier y extendiendo a [texx]f(x)[/texx] por periodicidad calcular"
[texx]  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ (-1)^n{sen(nx)}/{n^3} }   [/texx]



Calcular la serie de [texx]x^2[/texx] es mecánico, la serie da:

[texx]  f(x)= x^2 = \pi^2/3 + 4   \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^ncos(nx)}{n^2}} [/texx]         

Entiendo que la serie en [texx]x = 2\pi[/texx] debería converger a 0(si la extendemos en forma periódica)
En cuanto a la tercer cuestión, mi idea es:

 [texx] \displaystyle\int_{}^{}x^2 dx = \displaystyle\int_{}^{} \pi^2/3 + 4   \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^ncos(nx)}{n^2}}dx [/texx]

que integrando y despejando me quedó:

[texx]\displaystyle\frac{x^3-\pi^2 x}{12} = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ (-1)^n{sen(nx)}/{n^3} }   [/texx]

¿es correcto? ¿alguno puede justificar un poco el hecho de que en [texx]x = 2\pi[/texx] converga a 0?
18  Matemática / Álgebra / Re: Demostración, una raiz entera divide al término independiente : 06/03/2019, 08:45:40 am
muchas gracias!
19  Matemática / Álgebra / Demostración, una raiz entera divide al término independiente : 05/03/2019, 08:57:38 pm
Hola, ¿alguien me puede dar una demostración de la siguiente afirmación?
si [texx]m[/texx] es raiz de [texx]p(x)[/texx] entonces [texx]m[/texx]  divide al término independiente de [texx]p(x)[/texx]
20  Matemática / Álgebra / Máximo común divisor de dos polinomios : 21/02/2019, 02:56:03 pm
Enunciado simple que me esta costando mucho, pense en factorizar [texx]x^{48}-1[/texx] pero no me salió tampoco.

Calcular el máximo común divisor de [texx](x-i,x^{48}-1)[/texx]
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