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1  Matemática / Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: Encontrar una serie de fourier : 17 Noviembre, 2018, 17:08
No se si está bien, pero en esto trabajé leyendo un poco de teoría. Espero te sirva de algo, al menos para saber si está bien o no. :sonrisa_amplia:

2  Matemática / Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: Encontrar una serie de fourier : 17 Noviembre, 2018, 17:06
Hola  Joaquín, antes  que  nada  deberás  recordar  la  forma  que  tiene  la  serie  de  Fourier:
[texx]f(t)= \displaystyle\frac{a_0}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left [ a_n cos(\displaystyle\frac{nπt}{L}) + b_n sen(\displaystyle\frac{nπt}{L}) \right ]       
 [/texx]
Cita
Donde [texx]L[/texx] es el extremo del intervalo, [texx]a_o , a_n , b_n[/texx]  son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

[texx]a_0=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)\, dt   ,   a_n=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)cos(\displaystyle\frac{nπt}{L})\,dt 
 , b_n=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)sen(\displaystyle\frac{nπt}{L})\,dt[/texx]
Ahora tenemos que comenzar a calcular estos coeficientes.
Como tenemos una función por dos partes, debemos calcular dos integrales en cada formula y unirlas mediante una suma:

[texx]a_0=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)\, dt[/texx] = [texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-2}^{0} -1\, dt[/texx] + [texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2} 1\, dt[/texx] = [texx]\displaystyle\frac{-1}{2} t  |_{-2}^0[/texx] + [texx]\displaystyle\frac{1}{2} t  |_0^2[/texx] =[texx] -1+1[/texx]=[texx] 0[/texx]
Cita
Luego [texx]a_0 = 0[/texx]

[texx]a_n=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)cos(\displaystyle\frac{nπt}{L})\,dt = \displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-2}^{0} {-1}cos(\displaystyle\frac{nπt}{2})\,dt + \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2} 1cos(\displaystyle\frac{nπt}{2})\,dt=[/texx]
Cita
Utilizamos lo siguiente: [texx]\displaystyle\int cos(at)dt= \displaystyle\frac{1}{a}sen (at)[/texx]

[texx]=\displaystyle\frac{-1}{2}\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{nπ}{2}}sen(\displaystyle\frac{nπt}{2})|_{-2}^0 + \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{nπ}{2}}sen(\displaystyle\frac{nπt}{2})|_{0}^{-2} = \displaystyle\frac{-1}{nπ}[sen(0) - sen({-nπ})] + \displaystyle\frac{1}{nπ}[sen(nπ) - sen({0})][/texx]
Como resulta que por trigonometría sen(nπ)=0 y sen(0)=0
Cita
Se concluye que [texx] a_n =0[/texx]

[texx]b_n=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)sen(\displaystyle\frac{nπt}{L})\,dt= \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-2}^{0} -1sen(\displaystyle\frac{nπt}{2})\,dt + \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2} 1sen(\displaystyle\frac{nπt}{2})\,dt=[/texx]
Cita
Utilizamos lo siguiente: [texx]\displaystyle\int sen(at)dt= \displaystyle\frac{-1}{a}cos (at)[/texx]
[texx]= \displaystyle\frac{-1}{2}(\displaystyle\frac{-1}{\displaystyle\frac{nπ}{2}})cos(\displaystyle\frac{nπt}{2})|_{-2}^0 + \displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{-1}{\displaystyle\frac{nπ}{2}})cos(\displaystyle\frac{nπt}{2})|_{0}^2= \displaystyle\frac{1}{nπ}[cos(0)-cos(-π)]-\displaystyle\frac{-1}{nπ}[cos(nπ)-cos(0)][/texx]
Cita
Por identidades trigonométricas [texx]cos(nπ)=cos(-nπ)=-1^n  ;  {cos(0)=1}, reemplazamos y aplicamos distributividad[/texx]
[texx]=\displaystyle\frac{1}{nπ} - \displaystyle\frac{1}{nπ}(-1)^n - \displaystyle\frac{1}{nπ}(-1)^n + \displaystyle\frac{1}{nπ}= \displaystyle\frac{2}{nπ}[1-(-1)^n][/texx]
Cita
Hemos encontrado los valores de los coeficientes, ahora solo resta reemplazar para tener nuestra serie de Fourier
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