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Noticias: Homenaje a aladan
 
 
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61  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Simplificación de radicales : 16/02/2019, 06:40:24 pm
Está todo bien, pero falta simplificar las raíces

[texx] \sqrt[ x ] {a^x} = a [/texx]

[texx]\sqrt[a×b]{x^b} = \sqrt[ a]{\sqrt[ b]{x^b}} = \sqrt[ a]{x}[/texx]

Supongo que la segunda propiedad no la sabrías o no la habrías tenido en cuenta.
De esta forma puedes simplificar raices de forma que (usando tu ejemplo)

[texx]\sqrt[10 ]{2^2 a^2 b^2} = \sqrt[ 5]{2ab}[/texx]
62  Matemática / Geometrías No Euclidianas - Geometría Proyectiva / Re: Vector perpendicular del producto vectorial : 25/12/2018, 11:49:42 am
Hola, por fin lo he entendido todo.
Muchas gracias a Luis Fuentes por todo el tiempo empleado.


Supón que tienes tres vectores [texx]\{u_1,u_2,u_3\}[/texx] y sea [texx]\{e_1,e_2,e_3\}[/texx] la base canónica. Mediante un giro (cuya matriz asociada tiene determinante positivo) podemos suponer que [texx]u_1[/texx] tiene la misma dirección y sentido que [texx]e_1[/texx] y que el plano [texx]\{u_1,u_2\}[/texx] es el mismo que el [texx]\{e_1,e_2\}[/texx]. Supón que [texx]u_2[/texx] forma un ángulo [texx]\alpha[/texx] con [texx]e_1[/texx] medido en sentido antiohorario o lo que es lo mismo en sentido positivo si consideramos que se la base canónica la que determina el sentido positivo.

Entonces las coordenadas de los tres vectores [texx]\{u_1,u_2,u_3\}[/texx] en la base canónica serán:

[texx]u_1=(\|u_1\|,0,0)[/texx]
[texx]u_2=(\|u_2\|cos(\alpha),\|u_2\|sin(\alpha),0)[/texx]
[texx]u_3=(a,b,c)[/texx]

La matriz de cambio de base de [texx]\{u_1,u_2,u_3\}[/texx] a la canónica es:

[texx]\begin{pmatrix}\|u_1\|&\|u_2\|cos(\alpha)&a\\0&\|u_2\|sin(\alpha)&b\\0&0&c\\\end{pmatrix}[/texx]

Su determinante es:

[texx]\|u_1\|\|u_2\|sin(\alpha)c[/texx]

De manera que el signo depende del producto [texx]sin(\alpha)c[/texx].

- Es positivo si el ángulo que forman los dos primeros vectores es positivo y [texx]c[/texx] es positivo, es decir, y el tercer vector está "hacia arriba"

Sabiendo que los giros no cambian el sentido de la base y su determinante es 1,podemos llegar al caso que propones de forma que u1 y u2 formen el ángulo menor medido en sentido antihorario.(Si formaran el mayor un giro de 180º sobre u1 lo convertiría en el menor). Ahí, la matriz cambio de base a la canónica tendra determinante positivo solo si la coordenada z de u3 es positiva, si no,el determinante sería negativo pero el sentido también.

Pero como la matriz de cambio de base del producto vectorial es siempre positiva,facil de comprobar

Pues tienes que comprobar que con la fórmula propuesta para el producto vectorial:

[texx]A\times B=det\begin{bmatrix}{i}&{j}&{k}\\{Aa}&{Ab}&{Ac}\\{Ba}&{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}[/texx]

se cumple que la tripleta [texx]\{A,B,A\times B\}[/texx] tiene la misma orientación que la base canónica. Dicho de otra manera que el determinante de la matriz formada por las coordenadas de [texx]A,B,A\times B[/texx] (en este orden) es positivo.

Pues bien, comprueba que ese determinante es precisamente el módulo del [texx]A\times B[/texx] al cuadrado y por tanto es positivo.
la coordenada z también será positiva y el producto vectorial tendrá siempre el mismo sentido que la base canónica (regla de la mano derecha).



PD: Lo siento por tardar tanto en contestar,he estado ocupado y he pospuesto comprender esto hasta las vacaciones de Navidad.
63  Matemática / Geometrías No Euclidianas - Geometría Proyectiva / Re: Vector perpendicular del producto vectorial : 10/12/2018, 01:36:10 pm
Hola

La DEFINICIÓN de tener la misma orientación es precisamente que el determinante de la matriz de cambio de base sea positivo. Las definiciones no se demuestran. En todo caso se motivan, es decir, se da una idea de porque esa definición captura cierto concepto del cual teníamos una idea intutiva. Esa motivación te la he explicado en el caso de dimensión dos.

Vale, entonces la definición la he entendido mal. Pensaba que esa definición estaba determinada por el razonamiento de la idea a partir de la interpretación geométrica.

¿Qué significa (para ti) que dos bases tengan la misma orientación?.

Yo pensaba que si dos bases tenían el mismo sentido(el de la regla de la mano derecha) , la matriz de cambio de base tiene determinante positivo


Me explico, si la definición de que dos bases tengan la misma orientación es que la matriz de cambio de base sea positiva, lo que no entiendo es por qué la matriz cambio de base positiva va a transformar la primera base en otra que tenga el mismo "sentido" y nunca el contrario (suponiendo que (en [texx]\mathbb{3}[/texx]) 2 bases tienen el mismo sentido si al colocar sus dos primeros vectores en un plano y el angulo menor entre el primer vector y el segundo vaya en el mismo sentido (horario o antihorario) el tercer vector se encuentra en el mismo semiespacio formado por el plano)

No se si me he explicado bien, me ha costado intentar expresarlo, pero básicamente es por qué en la interpretación geometrica que la matriz cambio de base sea positiva implica que al comparar 2 bases tengan el mismo sentido.
64  Matemática / Geometrías No Euclidianas - Geometría Proyectiva / Re: Vector perpendicular del producto vectorial : 07/12/2018, 01:45:09 pm
.

¿Pero cómo indentificamos este hecho sin dibujar, algebraicamente? Pues bien, puede verse que la matriz de cambio de base (la matriz que multiplicada por un par de vectores los transforma en el otro par) entre pares de vectores que definen el mismo sentido tiene determinante positivo; mientras que si tienen sentido opuesto se obtiene determinante negativo.

Esto tiene que ver también con el hecho de que las matrices de giro tienen determinante positivo: si giramos cualquier par de vectores ordenados no varía el sentido del ángulo que están definiendo; por contraste una matriz de una simetría respecto a una recta tiene determinante negativo y de hecho geométricamente uno puede ver que una simetría (reflejar en un espejo) cambia la orientación (las agujas del reloj girarían en sentido opuesto en el espejo).


Me he estado informando y ya comprendo lo que es la matriz cambio de base, pero ¿por qué tiene determinante positivo cuando ambas bases poseen la misma orientación?
También he visto que la matrices de rotación tienen determinante 1 y eso lleva a que el determinante de una base sea el  mismo tras ser rotado
([texx]\left |{A×B}\right |=\left |{A}\right |×\left |{B}\right |[/texx], y siendo A la matriz rotación el determinante de B no variará tras la rotación)

Sin embargo eso solo me asegura que el signo del determinante no cambie si se realizan rotaciones de los 3 ectores de la base a la vez.
Pero en el producto vectorial el angulo entre los 2 vectores dados no tiene por qué ser perpendicular.
Entonces lo que me falta saber es por qué la matriz cambio de base es positiva cuando ambas bases tienen la misma orientación
 
65  Matemática / Geometrías No Euclidianas - Geometría Proyectiva / Re: Vector perpendicular del producto vectorial : 03/12/2018, 11:16:15 am
Hola, gracias por contestar


Dos bases tienen la misma orientación si el determinante de la matriz de cambio de base es positivo; es decir tenemos un criterio para comparar orientaciones de dos bases.
 

De aquí lo que no entiendo es qué es la matriz cambio de base y por qué si el determinante es positivo tienen la misma orientación

Una vez fijada esa definición y el criterio de que es la base canónica la que tiene orientación positiva se demuestra que la fórmula:

[texx]det\begin{bmatrix}{i}&{j}&{k}\\{Aa}&{Ab}&{Ac}\\{Ba}&{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}[/texx]

nos devuelve precisamente un vector en las condiciones exigidas.

La duda que tengo entonces es cómo se demuestra que éste determinante nos devuelve el vector en el sentido que buscamos y no el contrario. (No se si tiene que ver con la matriz cambio de base).
66  Matemática / Geometrías No Euclidianas - Geometría Proyectiva / Re: Vector perpendicular del producto vectorial : 02/12/2018, 08:43:54 am
Vale, la dirección la he entendido(solo me falta entender el sentido)

Siendo el vector C el formado por el producto vectorial, para que el producto escalar
[texx]Aa\cdot{}Ca+Ab\cdot{}Cb+Ac\cdot{}Cc[/texx]
     debe ser igual a 0

Para ello el producto escalar será

[texx]Aa\begin{bmatrix}{Ab}&{Ac}\\{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}-Ab\begin{bmatrix}{Aa}&{Ac}\\{Ba}&{Bc}\end{bmatrix}+Ac\begin{bmatrix}{Aa}&{Ab}\\{Ba}&{Bb}\end{bmatrix}[/texx]


Ya que esto da [texx]\begin{bmatrix}{Aa}&{Ab}&{Ac}\\{Aa}&{Ab}&{Ac}\\{Ba}&{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}=0[/texx]   (por tener dos filas iguales)

Y como el vector A ya está definido por Aa, Ab, Ac

El vector C estará definido por
[texx]\left\{{\begin{bmatrix}{Ab}&{Ac}\\{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}, -\begin{bmatrix}{Aa}&{Ac}\\{Ba}&{Bc}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}{Aa}&{Ab}\\{Ba}&{Bb}\end{bmatrix}}\right\}[/texx]

(La demostración de perpendicularidad con el vector B es análoga)

Solo me queda por entender por qué el sentido de C es el sentido que tiene y no el contrario
67  Matemática / Geometrías No Euclidianas - Geometría Proyectiva / Vector perpendicular del producto vectorial : 01/12/2018, 09:59:19 pm
Hola. Tengo una duda sobre por qué el producto vectorial es perpendicular al plano que forman los vectores y sobre su sentido.

Hasta ahora lo que he conseguido entender es

[texx]\vec{A}\times{\vec{B}}=\left |{\vec{A}}\right |\left |{\vec{B}}\right |sen(α)=\sqrt[ ]{\begin{bmatrix}{Aa}&{Ab}\\{Ba}&{Bb}\end{bmatrix}^2+\begin{bmatrix}{Aa}&{Ac}\\{Ba}&{Bc}\end{bmatrix}^2+\begin{bmatrix}{Ab}&{Ac}\\{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}^2}[/texx]

(Siendo
[texx]\vec{A} = \left[\begin{array}{ccc}{Aa}&{Ab}&{Ac}\end{array}\right][/texx]
[texx]\vec{B}=\left[\begin{array}{ccc}{Ba}&{Bb}&{Bc}\end{array}\right][/texx]
)

Claramente se ve que con la raiz se puede hallar el valor(la magnitud) del producto vectorial de A y B calculando por pitágoras la magnitud de otro vector (siempre cuando sean los 3 perpendiculares y unitarios, como es el caso de i, j y k)

Entonces entiendo el que el vector cuya magnitud sea [texx]\vec{A}\times{\vec{B}}=\left |{\vec{A}}\right |\left |{\vec{B}}\right |sen(α)[/texx] esté dado por el determinante [texx] \begin{bmatrix}{i}&{j}&{k}\\{Aa}&{Ab}&{Ac}\\{Ba}&{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}[/texx]

Pero no entiendo por qué el vector de este determinante es perpendicular al plano y su sentido es el mismo al del eje z respecto a los ejes x e y considerando x al vector A e y al vector B (No se me ha ocurrido mejor forma de explicarlo, lo siento)
Resumiendo, mi duda es, ¿por qué el producto vectorial es perpendicular al plano que forman los 2 vectores y su sentido es el que tiene y no el contrario?
68  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Conservación del rango con operaciones elementales : 02/11/2018, 03:51:55 pm

P.D.: (*) Realmente son los subespacios generados por las filas de A y B
Realmente lo que no entiendo es el termino de subespacio generado por los vectores. Pero gracias a la explicación que me diste logré sacar una demostración que entiendo:

Partiendo de que al realizar una operación elemental solo se modifica una fila, llamemos a esa fila [texx]A_i[/texx], que se convierte en [texx]B_i[/texx].
Para que el rango de B sea mayor que el rango de A, [texx]A_i[/texx] debe ser linealmente dependiente y [texx]B_i[/texx] linealmente independiente. [texx]A_i[/texx], al ser linealmente dependiente es igual a [texx]\displaystyle\sum_{k=1}^{i-1} {λ_kA_k} + \displaystyle\sum_{k=i+1}^{m} {λ_kA_k}[/texx]

Si la operación elemental es multiplicar por una constante distinta de 0

[texx]K×A_i=K×(\displaystyle\sum_{k=1}^{i-1} {λ_kA_k} + \displaystyle\sum_{k=i+1}^{m} {λ_kA_k}) [/texx]

[texx]K×A_i=\displaystyle\sum_{k=1}^{i-1} {K×λ_kA_k} + \displaystyle\sum_{k=i+1}^{m} {K×λ_kA_k}[/texx]

Y como [texx]K×λ_k[/texx] es otra constante, [texx]B_i[/texx] también será linealmente dependiente.

Si la operación elemental es sumarle otra fila por una constante

[texx]A_i +K×A_s= K×A_s + \displaystyle\sum_{k=1}^{i-1} {λ_kA_k} + \displaystyle\sum_{k=i+1}^{m} {λ_kA_k}[/texx]

El sumatorio solo cambia en el término [texx] λ_sA_s[/texx] que se convierte en [texx]A_s(K+λ_s)[/texx] que es otra constante, por lo que [texx]B_i[/texx] también será linealmente dependiente.

Por lo tanto el rango de B nunca será mayor que el rango de A. Por lo que [texx]ran B\leq{ran A}[/texx]

Y como las operaciones elementales son invertibles [texx]ran A=ran B[/texx]

Muchas gracias por la ayuda!!!
69  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Conservación del rango con operaciones elementales : 02/11/2018, 01:34:18 pm
Gracias por responder

Aquí tienes una demostración  de lo que buscas.

http://esfm.egormaximenko.com/linalg/rank_matrix_es.pdf

Proposición 4 en adelante.

Ese archivo ya me lo descargué buscando por internet. La proposición 4 la entiendo (aunque solo demuestra la conservación de la dependencia lineal, no del rango) pero en la proposición 6 me pierdo y no entiendo nada de lo que dice.


Depende de la definición de rango que manejes
Lo que yo entiendo por rango de una matriz es el número de filas(columnas) linealmente independientes. La definición de los determinantes la he oído también pero no sé cómo se podria demostrar a partir de la definición que uso.
70  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Conservación del rango con operaciones elementales : 01/11/2018, 05:05:57 pm
Buenas, me gustaría saber cómo se puede demostrar que tras aplicar una operación elemental a una fila(columna) de una matriz su rango no varía.

El problema principal era demostrar que el rango de filas de una matriz es el mismo que su rango de columnas, pero para ello necesito probar que las operaciones elementales no cambian el rango de la matriz. ¿Alguien sabe cómo se puede demostrar eso?
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