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21  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 14/05/2019, 07:04:55 am
Esta es la tercera vez que intento escribir este mensaje. A partir de ahora antes de previsualizar o publicar un mensaje voy a copiar lo que he escrito por si hay algún fallo de conexión y me borra el mensaje, que ya me ha pasado 2 veces.





Pero ya lo has resuelto por sustitución aquí

[texx]\displaystyle \displaystyle\int_{A}^{B} a(t) \cdot{}dr = \displaystyle\int_{r^{-1}(A) }^{r^{-1}(B) } a({\color{red}{t}})  \cdot{} r'(t) \cdot{}dt[/texx]

cambiando [texx]r[/texx] por [texx]r(t)[/texx], que es lo que te venía diciendo en uno de mis anteriores mensajes. Lo único que habría que considerar ahí, para que todo fuese correcto, es que la aceleración está en función del tiempo, que de hecho es lo que parece asumirse en la demostración posteada inicialmente al cambiar [texx]a[/texx] por [texx]dv/dt[/texx].

A ver yo con método de sustitución me refiero a [texx]\displaystyle\int f(g(x)) \cdot{}g'(x) \cdot{dx} = \displaystyle\int f(u) \cdot{du}[/texx]
[texx]\displaystyle\int f(x) \cdot{dx} = \displaystyle\int f(g(u)) \cdot{g'(u)}\cdot{du}[/texx]

Esos son los 2 métodos de sustitución que entiendo sin usar diferenciales, no se si hay más.




La primera es la que había propuesto, si se puede resolver esta ecuación sin usar el concepto de diferencial. Es decir olvidándonos de las magnitudes fisicas y tratandola como una integral matemática.

Bueno, pero eso ya es la “cuenta” en sí, quitándole el significado.


Sí, me refiero a si matemáticamente se puede resolver sin usar diferenciales :

[texx]\displaystyle\int_{A}^{B} \frac{d\frac{dr(t)}{dt}}{dt}\cdot{dr}[/texx]

Aunque halla que considerar a t como la inversa de r(t)



Es que no llego a ver que es lo que te da problema. Si dx es muy pequeño, dy también lo es, ambos son variables, como si trabajas con una ecuación de números reales; son del mismo tamaño, no hay un abismo entre ellos, qué más da entonces el tamaño.

Haz [texx]y=f(x)
 [/texx] y [texx]y^{\prime}=\dfrac{d(f(x))}{dx}
 [/texx] donde x es la variable independiente; entonces [texx]x^{\prime}=\dfrac{d(x)}{d(x)}=1
 [/texx], que no es lo mismo que [texx]\dfrac{d(x)}{d(f(x))}
 [/texx]; esto último te dará el valor inverso de la derivada [texx]\dfrac{d(f(x))}{dx}
 [/texx]

Cita

Es decir, porque integrar sobre dy se hace igual que sobre dx siendo distintos (dy= y'dx)


Eso es [texx]dy=\dfrac{dy}{dx}dx
 [/texx], no hay ningún problema porque todos los números están a la misma “escala”, si interactuara un real con ellos, pues podría pasar algo, pero no hay, piénsalo como si fueran dos variables normales. Integrando a los dos lados te queda [texx]\int dy=\int dy\Rightarrow y+c=y+c
 [/texx]

Saludos.



Es que dy es una variable dependiente de dx. Osea que dy vale distinto en cada dx. A lo mejor en uno vale 2dx,en otro 7dx,en otro -5dx...
Por lo tanto integrar definidamente sobre dy sería sumar todos los intervalos dy y la base total no sería la misma que si integraramos con dx. Osea no entiendo por qué se integra de la misma forma.

Basicamente me refiero a que si tenemos [texx]dλ[/texx], donde λ puede ser cualquier variable, no podemos definir qué significa porque el diferencial de cada variable tiene su significado (por ejemplo, dy≠dx, si consideramos que [texx]y' = \frac{dy}{dx}[/texx])
22  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 13/05/2019, 07:29:31 pm

Pero quién te ha dicho que no están bien vistos, David. Eso no es verdad, otro asunto es que se meta la cabeza en el "agujero", como el avestruz, porque hay cosas que se enseñan a utilizar, de forma práctica, antes de que los alumnos puedan entender la demostración; y por eso los profesores intentan explicarlo de otra forma, porque el alumno no puede aún entenderlo, no porque estén mal vistos.

Ah, pensaba eso por otros temas que había leído en el foro, que cuando se usan diferenciales siempre se critica mucho. Pero ahora lo corrijo, gracias por avisar.




Esa demostración que pones no empieza así desde el principio, primero viene mostrar la magnitud de trabajo, antes que la energía, y en forma de ecuación diferencial, es decir, sin integrales. Se integra después, para resolverla, pues la integral es un método, lo principal en la demostración es la ecuación diferencial, e Intentar hacer una ecuación diferencial sin diferenciales es como hacer chocolate a la taza sin chocolate.



Ya, entiendo. Entonces ahora me han surgido dos preguntas


La primera es la que había propuesto, si se puede resolver esta ecuación sin usar el concepto de diferencial. Es decir olvidándonos de las magnitudes fisicas y tratandola como una integral matemática. (Ya que los matemáticos desarrollaron métodos alternativos para sustituir el calculo de integrales, si no me equivoco)



Y la segunda es entender el uso de diferenciales. Es decir resolver las dudas que planteo aquí :
A ver es que el problema que veo a los diferenciales es que la definición es que dx es un número "muy pequeño" y que  dy = y' dx. Entonces dx es siempre el mismo número muy pequeño y dy varía según y'.
Entonces veo problemas (que puede que sea un fallo de conceptos) como que si existe y'=dy/dx no puede existir x'=dx/dy ya que para ello dy debería ser siempre el mismo número. E integrar sobre dy no es igual a integrar sobre dx porque dy cambia (depende de y').


Es decir, porque integrar sobre dy se hace igual que sobre dx siendo distintos (dy= y'dx)





EDITADO



 Mira aquí, por ejemplo, para que veas bien el significado de la energía; y verás cómo parte de la ecuación diferencial para integral después:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/energia/energia.htm
 

De todas formas, se puede definir trabajo como la intrgral directamente sin tener que definir un trabajo infinitesimal. (Se podría considerar el área bajo la curva, que es igual al límite de la suma de los rectángulos que tienen una base Δr cada vez menor (lo que se viene a ser dr) y una altura F)
Pero bueno, si el entiendo por qué funcionan los diferenciales no me importa usarlos.
23  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 13/05/2019, 06:36:49 pm

Actualicé mi mensaje anterior. Te marco en rojo lo que debería ser tras la sustitución, y ahí ya te saldría bien la integral ya que [texx]a(t)=v'(t)[/texx] y [texx]r'(t)=v(t)[/texx].


Es verdad, por algún motivo pensé que eran lo mismo. Pues creo que no se puede resolver por sustitución y no tengo ni idea de como resolverlo sin usar diferenciales, ya que la única forma que conozco para cambiar la variable sin multiplicar ni dividir diferenciales es la sustitución.

24  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 13/05/2019, 06:22:12 pm
Los diferenciales actualmente tienen un significado preciso en el análisis estándar usado en matemáticas.


Aun así las dudas/problemas que he dicho iban respecto a los diferenciales.

Fíjate igualmente que tu demostración cambia la aceleración por [texx]dv/dt[/texx] que es lo mismo que yo he hecho si entendemos que [texx]dv/dy=v'(t)[/texx].

Si te refieres a la primera demostración que usa diferenciales es la que intento evitar. Si no es esa no se a cual te refieres.





Se me ha ocurrido algo que se podría hacer sin el concepto de diferencial pero no se si está mal.
La idea es esta:

[texx]\displaystyle\int_{A}^{B} a(t) \cdot{}dr = \displaystyle\int_{r^{-1}(A) }^{r^{-1}(B) } a(r(t))  \cdot{} r'(t) \cdot{}dt[/texx]


Es decir, aplico la "sustitución," pero esta vez desde a(t) .
Tiene más sentido pero realmente el método de sustitución no funciona así por lo que es probable que esté mal
25  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 13/05/2019, 05:50:01 pm
A ver es que el problema que veo a los diferenciales es que la definición es que dx es un número "muy pequeño" y que  dy = y' dx. Entonces dx es siempre el mismo número muy pequeño y dy varía según y'.
Entonces veo problemas (que puede que sea un fallo de conceptos) como que si existe y'=dy/dx no puede existir x'=dx/dy ya que para ello dy debería ser siempre el mismo número. E integrar sobre dy no es igual a integrar sobre dx porque dy cambia (depende de y').





Yo he interpretado en mi respuesta anterior que la aceleración estaba en función únicamente del tiempo, no de la posición. En otro caso creo que podríamos considerar [texx]a(r(t))r'(t)=(v\circ r)'(t)[/texx], pero si fuese así nos quedaría que [texx]\int a(r)dr=v(r)[/texx], lo cual no coincide con lo buscado, así que no debe ser correcta la identidad [texx]a(r(t))r'(t)=(v\circ r)'(t)[/texx].


Con esto estoy un poco perdido. Osea la aceleración debería depender de la posición porque si no lo hiciera sería una constante y se podría sacar de la integral. Pero es cierto que si depende, entonces la solución de la integral es v(r).


Lo único que se me ocurre es que realmente la solución sea v(r) pero tenemos que averiguarlo en función de t y por ello hay que hacer más operaciones como la sustitución, (o a lo mejor esto que estoy diciendo es una burrada)

¿Eso es sin usar diferenciales?

Masacroso ha usado diferenciales, pero si se pudiera aplicar el metodo de sustitución para hacer ese paso que he mencionado antes no haría falta usarlos.
26  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 13/05/2019, 02:04:24 pm
¿El segundo paso es un cambio de variable? De forma que:

[texx]\displaystyle\int_{A}^{B} a(r) \cdot{}dr = \displaystyle\int_{r^{-1}(A) }^{r^{-1}(B) } a(r(t)) \cdot{} \underbrace{r'(t)} _{= v(t)} \cdot{}dt[/texx]



Si no es así, no se por qué cambian los límites de la integral de A y B a [texx]r^{-1}(A) [/texx] y [texx]r^{1}(B) [/texx]
27  Matemática / Cálculo 1 variable / Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 13/05/2019, 12:41:13 pm
Mirando la demostración de la fórmula de la energía cinética, me he encontrado con esto:

Tenemos que [texx]W_{int} = \displaystyle\int_{A}^{B} \vec{F}     d\vec{r}= m \displaystyle\int_{A}^{B}  \vec{a}    \cdot{}d\vec{r}[/texx]

Para solucionar esta integral, hace falta usar diferenciales:

[texx]m \displaystyle\int_{A}^{B}  \vec{a} \cdot{}d\vec{r}  = m \displaystyle\int_{A}^{B}  \frac{d\vec{v}}{dt}  \underbrace{\vec{v} \cdot{}dt} _{ (\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}) } = m \displaystyle\int_{A}^{B}  \vec{v} \cdot{}d\vec{v} = \displaystyle\frac{1}{2} m v_b ^2 - \displaystyle\frac{1}{2}mv_a ^2[/texx]



Me preguntaba si hay alguna forma de desarrollar esta integral para que de el mismo resultado sin usar diferenciales


(Si no se pudiera, lo que no entiendo de las operaciones que se hacen con diferenciales es que si dr es una variable independiente, estamos considerando que dt es dependiente y para integrar hace falta que la variable sea independiente)
28  Matemática / Geometría y Topología / Re: Radios de circunferencia : 08/05/2019, 06:11:05 pm
Hola

No logre deducir la segunda parte que demostras [texx]\widehat{BPR}=\widehat{CRQ}[/texx] pero pude darme cuenta que existe un angulo inscripto que me permitio llegar a una deduccion, la dejo por si hay algo que deba cambiar:

DPQ: pq=R^2



01AB es isosceles por tener dos lados iguales (radio) por lo tanto:
[texx]\widehat{01BA}+\widehat{01AB}=90°[/texx]
[texx]\widehat{BCA}+\widehat{O1CA}=90° [/texx]
por ser tangentes al radio.
03BC es isosceles por tener dos lados iguales (radio)
por lo tanto:
[texx]\widehat{01B03}\sim{}\widehat{03C02}[/texx]

[texx]\widehat{BCA}[/texx] Es angulo semi-inscripto de [texx]Ci2 = \displaystyle\frac{Long CA}{2r}
\widehat{C03A} [/texx] Es angulo central en [texx]Ci2 = \displaystyle\frac{Long CA}{2}     \Rightarrow{}BCA = \displaystyle\frac{C02A}{2}[/texx] y como la mediatriz del lado b es bisectriz de [texx]\widehat{C02A} [/texx] entonces [texx]\widehat{C0203}\approx{}\widehat{ACB}[/texx]

A su vez [texx]\widehat{BCA}\approx{} \widehat{B03A}[/texx] (por ser inscrito y central con mismo arco

Entonces B0301 y 03C02 son semejantes por tener dos angulos congruentes [texx]\displaystyle\frac{P}{r} = \displaystyle\frac{R}{q}[/texx]



Antes que nada recuerda poner "[tex ][/tex]" para que se pueda leer el latex (en las opciones de arriba donde pone TEX)

Luego, respecto a tu explicación los ángulos están mal puestos algunos, pero creo que la he entendido.

Por si acaso nombramos de forma distinta los ángulos, yo al ángulo A de un triángulo ABC lo llamaría [texx]\widehat{BAC}[/texx] o [texx]\widehat{CAB}[/texx]


No logre deducir la segunda parte que demostras \widehat{BPR}=\widehat{CRQ} pero pude darme cuenta que existe un angulo inscripto que me permitio llegar a una deduccion, la dejo por si hay algo que deba cambiar:

Lamento que no se haya entendido mi demostración, creo que fui un poco rápido y hay 2 o 3 pasos que tendría que haber explicado más detalladamente. (Se basaba en dividir el ángulo [texx]\widehat{BO_3C}[/texx] en 4 ángulos, 2 de cada triángulo, de forma que obtuvieramos una ecuación con los 2 ángulos que nos interesan, pero bueno, ya no importa.)



Respecto a tu demostración, está bien (si te querías referir a esto:)

Queremos demostrar que [texx]\widehat{CO_2O_3} = \widehat{BO_3O_1}[/texx]

[texx]\widehat{BO_3O_1} = \widehat{BCA}[/texx]

Ya que ambos son la mitad del ángulo [texx]\widehat{B0_3A}[/texx], por ser bisectriz y ángulo inscrito, respectivamente.


[texx]\widehat{BCA} = \widehat{CO_2O_3}[/texx]

Ya que ambos son la mitad del ángulo [texx]\widehat{CO_2A}[/texx], por ser ángulo semi-inscrito y bisectriz, respectivamente.

Por tanto [texx]\widehat{CO_2O_3} = \widehat{BO_3O_1}[/texx]



Además, tu demostración es muy buena e intuitiva, siempre y cuando se entienda el ángulo inscrito, el ángulo semi-inscrito y que la mediatriz de una cuerda biseca a su angulo central; que son conceptos básicos.


Saludos.
29  Matemática / Geometría y Topología / Re: Radios de circunferencia : 07/05/2019, 01:31:35 pm
Vale, en realidad lo que había dejado por hacer era lo más difícil. Pero lo puse porque tenías algo más fácil que probar que la fórmula pq=r².

La demostración que se me ha ocurrido de esto es un poco más larga. Si tienes alguna duda pregunta.

Se basa en que los segmentos RP y RQ son las mediatrices de AB y AC, respectivamente. (ya que la mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia)

Es decir, tenemos que el ángulo [texx]\widehat{BRC} = \widehat{BRA} + \widehat{ARP} = 2\widehat{PRB} + 2\widehat{CRQ}[/texx]



Ahora, si llamamos  [texx]α = \widehat{RBC} = \widehat{RCB}[/texx]

Tenemos que [texx]\widehat{CRB} = 180 - 2α[/texx]



Ahora, buscamos demostrar que [texx]\widehat{BPR} = \widehat{CRQ}[/texx]

[texx]\widehat{RBP} = 90 + α[/texx]

[texx]\widehat{BPR} = 180 - (90 + α) - \widehat{PRB}[/texx]

[texx]\widehat{PRB} = 90 - α - \widehat{BPR}[/texx]

[texx]\widehat{CRB} (= 180 - 2α) = 2\widehat{PRB} + 2\widehat{CRQ}[/texx]

[texx]90 - α = \widehat{CRQ} + 90 - α - \widehat{BPR}[/texx]

[texx]\widehat{BPR} = \widehat{CRQ}[/texx]

Y con esto está demostrado lo que dije en mi anterior mensaje.
30  Matemática / Geometría y Topología / Re: Radios de circunferencia : 06/05/2019, 11:28:19 am
Hola,

Lo primero, el punto A no tiene por qué ser un punto de tangencia, las dos circunferencias se pueden cortar.

Respecto a probar pq=r², en geometría es fácil probar divisiones mediante Tales. Es decir, intenta probar [texx]\displaystyle\frac{p}{r}=\displaystyle\frac{r}{q}[/texx]

Esto puedes probarlo con los 2 triángulos verdes que has dibujado, mostrando que son proporcionales (tienen ángulos iguales)

Para ello, si llamamos P, Q y R a los centros de los círculos de radio p, q y r, respectivamente, tienes que demostrar primero que [texx]\widehat{PBR} = \widehat{QCR}[/texx]

(esto es facil de demostrar teniendo un cuenta  que q y p son perpendiculares a BC y forman 90 grados, y que el triangulo ABR es isósceles por tener 2 lados iguales)

 y después que [texx]\widehat{BRP} = \widehat{RQC}[/texx]




31  Matemática / Álgebra / Re: Descomposición en fracciones parciales : 04/05/2019, 07:39:19 am
Sí, claro, seguro que la tendrás porque este método, aunque es muy efectivo, es largo y con muchos recovecos. Con gusto te echaré una mano.

salu2


Ya he encontrado la solución, en realidad no ha habido problema más allá de demostrar la identidad de bezout para polinomios. Pero esa demostración es parecida a la de los números enteros.

Y una vez demostrado el lema 1 el resto es bastante intuitivo, no he tenido ni que mirar al pdf.



Pero con la condición de que esos polinomios “P” son coprimos; y a partir de ahí se apoya en algo que se llama identidad de Bézout, que a lo mejor no has estudiado.

Con números enteros, ese teorema dice que dados dos enteros “x” e “y” tales que mcd(x,y)=1, existen en todo caso enteros “a” y “b” con mcd(a,b)=1 tales que [texx]ax+by=1
 [/texx]. Análogamente, si tienes dos polinomios que no tienen ningún factor común, se cumple la identidad (para polinomios).

Saludos.

No, no la había estudiado pero la había oído. Y al preguntar mi duda ya sabía que tenía que demostrarla primero, pero decidí preguntar primero lo que no entendía para saber que con este método conseguía demostrar las fracciones parciales.
32  Matemática / Álgebra / Re: Descomposición en fracciones parciales : 03/05/2019, 09:39:58 am
Pues muy sencillo, si [texx]a(x)[/texx] es de menor grado que [texx]b(x)[/texx] es imposible que su cociente no sea fraccionario, pero además no puede contener parte entera, parte que vendría representada por el polinomio:

[texx] P(x)=q_1(x) + q_2(x)[/texx]

lo que obliga a que dicha suma se anule. ¿Lo entiendes ahora?

Salu2


Aaah, creo que ya entendí
Osea que si sabemos que [texx]b(x) = p_1(x) p_2(x)[/texx]


Podemos reorganizar términos de forma que

[texx]\displaystyle\frac{a(x)}{b(x)} = \displaystyle\frac{r_1(x) p_2(x) + r_2(x)p_1(x) + b(x) [q_1(x)+q_2(x)]}{b(x)}[/texx]



Y como el grado de a(x) es menor al de b(x) no se pueden sacar términos fuera del polinomio, por lo tanto en el otro lado tampoco y tenemos que

[texx]\displaystyle\frac{r_1(x) p_2(x) + r_2(x)p_1(x) + b(x) [q_1(x)+q_2(x)]}{b(x)} = \displaystyle\frac{r_1(x) p_2(x) + r_2(x)p_1(x)} {b(x)} +
[q_1(x) + q_2(x)] [/texx]
Por tanto [texx]q_1(x) + q_2(x) = 0[/texx]

Ok, pues gracias. Si tengo alguna otra duda en otra parte de la demostración vuelvo a preguntar.
33  Matemática / Álgebra / Descomposición en fracciones parciales : 03/05/2019, 08:32:06 am
Hola,
Estoy intentando entender por qué funciona la descomposición en fracciones parciales para todas las fracciones racionales. (O al menos, aquellas cuyo denominador se puede escribir de la forma [texx](x-a)^m+(x-b)^n +... [/texx])


Buscando por internet he encontrado un pdf, que adjunto, pero hay pasos que no entiendo, por ejemplo en el lema 1 cuando dice que

[texx]\displaystyle\frac{a(x)}{b(x)} = q_1(x) + \displaystyle\frac{r_1(x)}{p_1(x)} + q_2(x) + \displaystyle\frac{r_2(x)}{p_2(x)}[/texx]

Y que como el grado de a(x) < grado de b(x)
[texx]q_1(x) + q_2(x) = 0[/texx]

No se que influye el grado de a(x) en que [texx]q_1(x) + q_2(x)[/texx] tenga que ser 0
34  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Cambio de variable en integrales : 27/04/2019, 01:56:53 pm

No, pero mira una cosa, David, si es que el problema principal aquí no es ni de integrales ni de composición de funciones ni de diferenciales ni de nada de análisis, es de lógica, del principio del tercero excluido: una cosa y su contraria no puede ser verdad.




Ya, el problema es que la primera no la entendía. Osea en


Hay un cambio de variable que es

[texx]{\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx={\displaystyle \int f(u)du=F(u)+c=F(g(x))+c}}
 [/texx] , donde u=g(x)

Que se puede entender fácilmente aplicando la regla de la cadena


Pero luego está este cambio de variable

[texx]{\displaystyle \int f(x)dx={\displaystyle \int f(g(u))g'(u)du=F(g(u))+c=F(x)+c}}
  [/texx]...

Y este cambio de variable no lo comprendo sin el uso de diferenciales.


Entendía la primera parte solo si u era una función. (Más tarde me he dado cuenta que no es una función)


Y el problema era que al hacer el cambio de variables que has hecho, x se convertía en función de u lo que no podía ser porque x es una variable (para arreglar eso hacía que u sea la función inversa)

Una vez he entendido que son variables y como funciona (creo que lo he entendido al menos, ya puse antes un mensaje con lo que comprendí por si alguien veía un fallo en el razonamiento o algo) lo que acabas de hacer tiene completamente sentido.



Supongo que lo que ha pasado es que no me he explicado bien o algo y la gente no ha entendido que era lo que no comprendía.
35  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Cambio de variable en integrales : 27/04/2019, 10:35:43 am

Me da la sensación de que no lees, o lees en diagonal, nuestras respuestas. En particular, el post de GeómetraCat, Luis Fuentes o el mío explican con y sin variables tu último post y lo que vienes preguntando desde el principio. Puedes indicarnos las dudas en concreto sobre qué no entiendes de tales respuestas, será más útil para nosotros y para ti.

Saludos.


Si que los he leído pero algunos no los he entendido ya sea porque los estaba malinterpretando o porque estaba convencido en buscar una solución por un camino y era por otro.
Por ejemplo, al leer tu post he pensado que al incluir variables, x sería una función y no serviría.
Aunque luego me he dado cuenta que no tenía nada que ver porque se sustituye la función tras hallar F(u).

Osea el problema de por qué no lo entendía es porque trataba de ver u como funcion de x y no como variable independiente que luego sería sustituida por una función.

De hecho si no se me hubiera ocurrido esa forma de explicarlo habría preguntado lo que no entendía hasta darme cuenta de mi error.

Por eso he dicho al final que lo siento si me lo habían explicado antes pero estaba intentando entenderlo de otra forma y no lo había entendido
36  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Cambio de variable en integrales : 27/04/2019, 09:27:59 am
Iba a enviar un mensaje cuando me doy cuenta que geómetracat ha escrito un mensaje nuevo y al leerlo se me ha ocurrido algo.

Antes que nada mencionar que creo que con los diferenciales se puede entender también pero como yo lo hago, ya que si no u es una función de x y como estamos integrando sobre du estamos integrando sobre una función de x.

Se me ha ocurrido una forma de hacer lo mismo que el cambio de variable sin el cambio de variable:


Primero el primer caso.

[texx]\displaystyle\int f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x) + c[/texx]

Entonces necesitamos averiguar las funciones F y g

F es la antiderivada de f, así que hacemos
[texx]F(u) = \displaystyle\int f(u) du[/texx]

(Escogemos una variable cualquiera que no depende de x para resolver la primitiva)

Ahora, tenemos las dos funciones así que para hallar F(g(x)) sustituimos u por g(x)

[Es decir, u solo es una letra para saber que efecto tiene a función F, de hecho se podría explicar esto mismo sin ninguna variable extra]






Y ahora el segundo caso:


[texx] \displaystyle\int f(x) dx = F(x) + c[/texx]

Aquí solo tenemos que hallar la función F.
Pero no sabemos hallarla y nos imaginamos una función [texx]H = F\circ{g}[/texx]

Ahora:

[texx]H(u) = F(g(u)) = \displaystyle\int [f(g(u))]' du = \displaystyle\int f' (g(u)) g'(u) [/texx]

(Aquí otra vez u no depende de x, es una variable independiente solo para hallar la función H)

Ahora sabemos las funciones H y g, y como
 [texx]H = F \circ{g}[/texx]
[texx]H \circ{g} ^{-1}= F \circ{g\circ{g} ^{-1}} = F[/texx]

Y como tenemos H(u), para hallar x ya solo tenemos que sustituir u por [texx]g^{-1}(x)[/texx]


[Aunque está explicado con una variable (u), insisto que no es necesario]



Creo que se podría entender mejor sin incluir la u pero la he puesto porque en el cálculo práctico de integrales sí que se pone y creo que es mejor entenderlo así.


Por último, dar las gracias a todos los que han contestado, me habeis ayudado a encontrar una explicación de este método.
Y no se si alguien me ha intentado explicar lo que acabo de escribir antes, si es así no lo he entendido.
37  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Cambio de variable en integrales : 26/04/2019, 06:57:27 pm
Básicamente no entiendo el paso

[texx]\displaystyle\int f(g(x)) g'(x) dx  =  \displaystyle\int f(u) du[/texx]


Puede que sea un fallo básico o de concepto, pero no entiendo como una función g(x) puede convertirse en variable de forma que x también sea una variable.
Es decir que si consideraramos a una una variable la otra deja de ser variable porque depende de la otra.
Por ejemplo pongamos f (k) = 3k ; g(k) = k²
(Pongo k para no confundirla con x ni con u)
Entonces f(2) = 6

Si suponemos que x es una variable y g(x) = u

Para x=2, f(g(x)) =12 y para u=2, f(u) = 6

[f(g(x)) = 3x² y f(u) = 3u]


Y por tanto [f(g(x))]' ≠ f'(u)

Por lo que me da que

[texx]\displaystyle\int f'(g(x)) g'(x) dx [=\displaystyle\int [f(g(x))]' dx] ≠ \displaystyle\int f' (u) du[/texx]



A lo que me refería en mi primer mensaje es que entendía que

[texx]\displaystyle\int f(g(x)) g'(x) dx  =  F(g(x)) + c[/texx]

(Osea, aplicar directamente la regla de la cadena)
Pero el cambio de variable de x a u (o a cualquier letra, ya se que da igual el nombre) no le entiendo
38  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Cambio de variable en integrales : 26/04/2019, 11:51:35 am

¿Cuándo dices "entenderlos", te refieres a ver una demostración rigurosa? ¿Saber aplicarlos? ¿Tener una idea intuitiva de por qué funcionan?.


En principio me refería a demostración rigurosa. (Aunque en este momento tampoco tengo la idea intuitiva de por qué funciona.)



¡Y qué diferencia hay entre uno y otro!.

En el primero tienes la igualdad:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} f(g(x))  g'(x) dx = \displaystyle\int_{}^{} f(u) du[/texx]

en el segundo:

[texx]\displaystyle\int_{}f(x) dx = \displaystyle\int f(g(u)) g'(u) du[/texx]

¿Es distinto escribir [texx]a=b[/texx] que [texx]b=a[/texx]?. No, es lo mismo. Entonces el segundo es lo mismo que:

[texx] \displaystyle\int f(g(u)) g'(u) du=\displaystyle\int_{}f(x) dx[/texx]

¿Y ahora cambia el sentido de la expresión por cambiar el nombre de las variables? ¿Ves alguna diferencia en estas expresiones?.

[texx]\displaystyle\int_{}^{} f(g(x))  g'(x) dx = \displaystyle\int_{}^{} f(u) du[/texx]

[texx] \displaystyle\int f(g(u)) g'(u) du=\displaystyle\int_{}f(x) dx[/texx]

[texx] \displaystyle\int f(g(romeo)) g'(romeo) d(romeo)=\displaystyle\int_{}f(julieta) d(julieta)[/texx]

Incluso sería correcto escribir:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} f(g(x))  g'(x) dx = \displaystyle\int_{}^{} f(x) dx[/texx]



A ver, es que el primer caso lo entendí sin entender el cambio de variable. Como si u fuera una función y simplemente aplicamos la regla de la cadena.
Ahora si lo hacemos al revés no puedo demostrarlo de la misma forma ya que tendría que x es una función y se que es una variable.


Ahora, eso es lo que me falta por entender, si ambos son variables, son funciones...
Porque si x es una variable y x=g(u), g(u) es una variable. Y por tanto [texx]u=g^{-1}(u)[/texx] Es decir u es una función de x y creo que no puede ser a la vez función de x y variable, y si sí que puede no entiendo cómo.


39  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Cambio de variable en integrales : 25/04/2019, 06:36:27 pm
¿Quien dice que [texx]dx[/texx] no es un número real? es tan real como puedan serlo el numero [texx]8[/texx] o [texx]\sqrt[ ]{2}[/texx] y lo mismo pasa con [texx]dy[/texx] son funciones o variables definidas en el campo real y por supuesto que toman valores reales. Estás muy confundido con los diferenciales. Tienes un error de concepto y grave, debes tratar de corregirlo, si no nunca vas a aprender cálculo diferencial.


Wikipedia. Dice que dx es un número infinitesimal y que los números hiperreales permiten incluirlos.
También dice que un infinitesimal en análisis estándar se define como
[texx]\displaystyle\lim_{x \to a}{f(x)}=0[/texx]
y significa que x tiene un infinitesimo en x=a



Simplemente observa, como te dije al principio, que ambos casos que ponías al inicio son exactamente el mismo caso, si entiendes uno entiendes el otro, ya que es el mismo.

El problema es que en la que entendía la entendía pensando en u como una función y no una variable, así que tecnicamente entiende como funciona, pero no como funciona esa sustitución




¿A qué te refieres con que [texx]u[/texx] esté "ordenada"?


Pues basicamente que en la grafica los valores esten en orden, como si fuera la variable x. Pero eso llevaría a que las gráficas f(x) = f(u). Pero entonces f(u) = f(g(u))


Pero como u debe escoger valores para que g(u) =x los valores de la variable u serían los mismo que los de la funcion [texx]g^{-1}(x)[/texx]



División no es buena palabra. Pero piensa en dos partículas muy pequeñas, todo lo que quieras; ¿hay impedimento en que una sea el doble de grande que la otra? En ese caso el cociente será 2 o 1/2, según la colocación en la fracción, sin importar el valor; mientras se pueda resolver el límite no habrá problema. Y en otros casos te dará otro número, 5 ó 6,5 o lo que sea, pero un número real, la derivada siempre es un número real.


Eso lo entiendo, más formalmente sería el intervalo de y entre el de x cuando el de x tiende a 0.osea la definición de derivada. Lo que decía es que al multiplicar y dividir estos valores se opera con diferenciales, que son valores infinitesimales. Pero si consigo entender esto con el concepto de diferencial no me importa. Aun así el problema en ambos casos es lo que he dicho, que si u es variable no entiendo como g(u) también lo es.
40  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Cambio de variable en integrales : 25/04/2019, 06:03:05 pm
si quiere aprender sobre cálculo diferencial tendrá que entender que cosa son los diferenciales, pero ninguna de las dos cosas tienen relación alguna con los números hiperrales, que pertenecen a una rama de las matematicas que se llama análisis no estandard, y que esta completamente fuera del análisis estandard

A ver yo lo de los hiperreales lo digo porque dx no es un número real, sino uno infinitesimal y esos números sólo se estudian con los hiperreales. Ahora el concepto de diferencial lo entiendo. Informalmente, dx es un intervalo muy pequeño de x y dy es el intervalo pequeño de y que se forma en el intervalo dx.





Para que lo veas más claro podemos usar una integral definida, sea

[texx]\displaystyle \int_a^b f(x)\, dx[/texx]

entonces ahí [texx]x[/texx] toma los valores que van desde [texx]a[/texx] hasta [texx]b[/texx], ambos inclusive (entendiendo que estamos usando una integral de Riemann). Por tanto el mapa [texx]g[/texx] lo que hace es hacer que se tomen esos valores a través de otra región distinta dentro del dominio de ese mapa, pero se toman los mismos valores.


Entonces aquí el dominio de x debe ser igual al rango de g(u)

Osea si x debe escoger valores entre a y b, g(u) debe escoger valores entre a y b y u tiene que coger valores de forma que se cumpla que g(u) está entre a y b.

Pero al tomar la derivada de g(u) se toma de forma que u está ordenada (en este ejemplo u tomaría los valores entre a y b) y no de forma que la que está ordenada es g(u)

Hay algo que no comprendo y no se el qué






Si tienes

[texx]\int f(g(u))g'(u)du
 [/texx]

[texx]g^{\prime}(u)=\dfrac{d(g(u))}{du}
 [/texx] es simplemente una derivada, como cuando tienes [texx]\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d(f(x))}{dx}
 [/texx], sólo son otras letras.

Entonces, lo podemos escribir así

[texx]\int f(g(u))g'(u)du=\int f(g(u))\dfrac{d(g(u))}{du}du
 [/texx]

Donde “du”, que aparece en el numerador y en el denominador, es un valor que tiende a cero. Pero como es el mismo “du” arriba que abajo, el limite es [texx]\dfrac{du}{du}=1
 [/texx] (igual que cuando x tiende a cero y tienes [texx]\dfrac{x}{x}=1
 [/texx]; por muy pequeño que sea el número, si son iguales, el cociente es 1, es independiente del valor del número o la “cosa” que sea eso. Y 1 es un número real que no te da ningún problema; y aún menos que otros, porque es el neutro).

Por tanto queda

[texx]\int f(g(u))d(g(u))\cdot1=\int f(g(u))d(g(u))
 [/texx]

Así pues

[texx]x=g(u)
 [/texx] y, como no podía ser de otra manera, [texx]dx=d(g(u))
 [/texx].

O sea, que es lo mismo que esto [texx]\int f(x)dx
 [/texx] escrito con otros garabatos



Aquí lo único que tendría que aceptar la definición de derivada como división de diferenciales.

Y por otra parte, sigo con el problema de no entender como u puede ser una variable y g(u) [=x] ser otra variable.(De hecho, creo que ese problema es la clave de mi falta de entendimiento)
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