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1  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Permutaciones con repetición : 22/05/2019, 08:53:00 am
Es que no sé, estaba pensando en que para ser rigurosos había que emplear una demostración de tipo inductivo, tipo "probado para cuatro letras dos a dos"(por ejemplo "papa"), o "probado para cinco letras, tres a dos" (por ejemplo "atata"), suponer para una letra más, y probar para el caso de de cualquier letra añadida. No sé, estaba divagando. No me gusta dejar dudas antes de seguir.


Realmente sí se puede generalizar, pero no hace falta hacerlo por inducción.

La generalización sería:

Si tenemos un conjunto de [texx]m[/texx] elementos y tenemos [texx]n_1[/texx] de ellos iguales, [texx]n_2[/texx] iguales... hasta [texx]n_k[/texx] iguales, (de forma que [texx]m = n_1 + n_2 +... + n_k[/texx]) entonces las combinaciones distintas que pueden formar estos elementos son:

[texx]Pr(m, n_1,n_2,...,n_k) = \displaystyle\frac{m! }{n_1!\cdot{n_2!}\cdot{... }\cdot{n_k! }}[/texx]



La demostración de esta fórmula es bastante similar a la que dio Masacroso en este mensaje:




Si tenemos dos grupos, de [texx]j[/texx] y [texx]k[/texx] letras iguales (porque les hemos pintado por encima, por ejemplo), aunque distinguibles las de un grupo y de otro, entonces si antes teníamos [texx]n![/texx] posibles palabras diferentes cuando eran todas distinguibles entre sí ahora tan sólo podríamos formar [texx]\frac{n!}{k! j!}[/texx] palabras diferentes.

No sé si entiende el ejemplo, es algo abstracto. Por eso es que hay que contar al principio y verlo por uno mismo para entender cómo funciona.

Lo que el texto te dice viene a ser el razonamiento contrario: supón que con un grupo de [texx]n[/texx] letras (no sabemos qué letras o si están repetidas o no, pero es un grupo fijo de letras), usándolas todas podemos formar hasta [texx]N[/texx] palabras diferentes. Y ahora te dicen que había entre las [texx]n[/texx] letras un grupo de [texx]k[/texx] letras iguales, y el resto de letras eran diferentes entre sí. Si ahora nosotros le hacemos una marca a cada letra y las hacemos todas distinguibles unas de otras entonces donde antes había sólo [texx]N[/texx] palabras distintas ahora tendremos [texx]N\cdot k![/texx] palabras diferentes, porque dentro de cada palabra podemos ordenar las [texx]k[/texx] letras (que antes eran indistinguibles) de [texx]k![/texx] formas diferentes, es decir, donde antes había una sola palabra ahora hay [texx]k![/texx] palabras diferentes, de ahí que al diferenciar las letras entre sí hayamos pasado de [texx]N[/texx] a [texx]N\cdot k![/texx] palabras diferentes posibles.

Ahora bien, partíamos de [texx]n[/texx] letras, y sabemos que si todas las letras fuesen diferentes entonces podríamos formar hasta [texx]n![/texx] palabras diferentes. Al diferenciar nosotros todas las letras entonces tenemos que [texx]N\cdot k!= n![/texx], y despejando tenemos que la cantidad de palabras diferentes que había antes de hacer todas las letras distinguibles entre sí era [texx]N=n!/k![/texx].

El argumento se puede generalizar para diferentes grupos de letras repetidas, supongamos que hay otra vez un grupo de [texx]n[/texx] letras que pueden dividirse en 3 grupos de letras diferentes, uno de tamaño [texx]j[/texx] otro [texx]k[/texx] y otro [texx]m[/texx], es decir que [texx]n=j+k+m[/texx]. Entonces se podrán formar un total de [texx]\frac{n!}{j!k!m!}[/texx] palabras diferentes ordenando esas [texx]n[/texx] letras.
2  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Permutaciones con repetición : 21/05/2019, 12:59:04 pm

La duda es que cómo sé que una de las expresiones es  [texx]N\cdot{P_3}\cdot{P_2}[/texx]. No sé, me parece que se han pasado con el principio de multiplicación. ¿[texx]N[/texx] por [texx]P_3[/texx] por [texx]P_2[/texx]?. Ya sé que es supuesto que [texx]A[/texx] y [texx]T[/texx] se distinguieran.


Si escribes todas las N combinaciones de PATATA, y diferencias las letras en cada palabra hay 2 T, que se pueden ordenar de 2!=2 formas

[texx]T_1T_2[/texx]
[texx]T_2T_1[/texx]


y 3 A, que se pueden ordenar de 3!=6 formas

[texx]A_1A_2A_3[/texx]
[texx]A_1A_3A_2[/texx]
[texx]A_2A_1A_3[/texx]
[texx]A_2A_3A_1[/texx]
[texx]A_3A_1A_2[/texx]
[texx]A_3A_2A_1[/texx]



Por tanto en cada una de las N combinaciones de PATATA podemos escribir 2! 3! combinaciones variando los subíndices de la A y de la T. De esta forma, obtenemos todas las combinaciones posibles de [texx]PA_1T_1A_2T_2A_3[/texx]. Y como sabemos que estas combinaciones son [texx] 6! = 720[/texx] ,solo hay que resolver la ecuación

[texx]N\cdot2! \cdot{3!}= 6![/texx]
3  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 21/05/2019, 10:23:01 am
Hola

¿Y como pasas de una integral a la otra?
Estarías diciendo que a(r(t)) = a(t)
Es decir r(t) = t

La cuestión es que en física y en "matemáticas ligeras" se suele usar un abuso de notación; se emplea el mismo nombre para la función que representa la aceleración independientemente de si está en función del tiempo o del espacio; eso no es riguroso 100% desde el punto de vista matemático.

Si [texx]\vec a(\vec x)[/texx] es la función que representa la aceleración respecto a su posición, entonces la que representa la función respecto del tiempo es [texx](\vec a\circ \vec r)(t)[/texx], que NO es la misma función.

Por otra parte recuerda que la derivada de la velocidad es la aceleración cuando ambas la primera es derivada respecto al tiempo.

Entonces si tienes la función [texx]\vec v(t)[/texx] velocidad y por otra parte [texx]\vec a(\vec x)[/texx] respecto a la posición no es cierto que:

[texx]\vec v'=\vec a[/texx]

sino:

[texx]\vec v'(t)=(\vec a\circ \vec r)'(t)[/texx]

En realidad desde el principio si escribes:

[texx]\displaystyle\int_{a}^{b}\vec a\cdot d\vec r[/texx]

suele interpretarse directamente como:

[texx]\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}\vec a(t)\cdot \vec r'(t)dt[/texx]

Es decir ya se le llama [texx]\vec a[/texx] a la aceleración respecto del tiempo.

Saludos.


Vale, muchas gracias, duda resuelta. Eso era lo que pensaba que significaba, pero la notación de función es ambigua en este caso. Osea a(r(t)) y a(t) no son los misma función ya que por ejemplo a(1) en el primer caso expresaría la aceleración en la posición r=1 mientras que en el segundo caso expresaría la aceleración en el tiempo t=1, que no tienen por qué coincidir, pero se escribe con la misma letra porque ambos se refieren a la aceleración del mismo movimiento y eso es lo que me ha confundido.




En física se usan las magnitudes, no las funciones. El concepto de función será muy válido para las matemáticas, pero el concepto de magnitud física es tan riguroso como pueda serlo cualquier otro de las matemáticas. Decir que hay poco rigor en las expresiones que expuse es muy inexacto y claramente erróneo. Interpretar las magnitudes físicas como si fueran funciones matemáticas es un error de bulto. Nunca he visto tratar la aceleración o la velocidad de una partícula como si fueran funciones matemáticas, y hay una razón, y es que no son tal cosa, son magnitudes físicas.


Pues entonces el problema era que estaba interpretando a(r(t)) como una función en vez de como una magnitud.

En ese caso ya lo he entendido, gracias por la ayuda.
4  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 21/05/2019, 07:12:31 am
[texx]\displaystyle\int_{a}^{b} a(r(t)) r'(t) dt = \displaystyle\int_{a}^{b} a(t) r'(t) dt = \displaystyle\frac{1}{2}(v_b^2 - v_a^2)[/texx]

¿Y como pasas de una integral a la otra?
Estarías diciendo que a(r(t)) = a(t)
Es decir r(t) = t


Se puede representar sencillamente como:

[texx]\displaystyle\int_{a}^{b} \mathbf{a\cdot dr}=\displaystyle\int_{a}^{b} \mathbf{a\cdot v}dt = \displaystyle\frac{1}{2}(v_b^2 - v_a^2)[/texx]

Es ahí donde tienes un error y grave. Por cierto hay que tener en cuenta que algunas magnitudes son vectores y debes representarlos como tales. La sencillez y la precisión a la hora de escribir las fórmulas te ayudarán a entender los problemas, esa forma que utilizas es muy farragosa y además es incorrecta. La aceleración, la velocidad y la posición siempre son vectores, y su producto en este caso es el producto escalar. ¡OJO! si no lo reflejas así cometerás errores de bulto.

Salu2

Vale, ¿pero en este caso al ser vectores proporcionales no se puede obviar ya que el ángulo es 0° y su coseno es 1?
Osea los vectores son [texx]\vec{r}(t)[/texx] y [texx]\vec{r''}(t) [/texx]
5  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 20/05/2019, 02:02:14 pm
Pues verás, en el segundo caso, la fuerza es efectivamente magnética, pero piensa que la fuerza aunque el campo magnético sea constante la fuerza que actúa sobre la partícula apunta siempre hacia el centro de la trayectoria, y por lo tanto es función del tiempo, pero también debe serlo de la posición. Entonces ¿cual de las dos es la buena? Pues podemos expresar dicha fuerza al gusto, como función de la posición de la partícula o como función del tiempo, es irrelevante porque el movimiento de la partícula relaciona ambas magnitudes.

En el primer caso y dado que el baúl se mueve la fuerza debería ser función de la posición, y también del tiempo ya que el baúl tiene una determinada trayectoria, pero resulta que en este caso la fuerza es constante. No depende ni del tiempo ni de la posición. Entonces si no depende de ninguna como se explica el asunto.

Lo que tienes que tener en cuenta es la magnitud respecto de la que quieres derivar y entonces sí, debes expresar la función expresada respecto del parámetro del que se deriva. Pero en cinemática la trayectoria siempre relaciona la posición y el tiempo, y por lo tanto todas las magnitudes siempre pueden verse como funciones del tiempo o de la posición indistintamente.

Salu2


Ya, pero el problema es que al verlo si consideraramos la aceleración como función de la posición, entonces de la integral no sale la fórmula de la energía cinética.

[texx]\displaystyle\int_{a}^{b} a(r(t)) r'(t) dt = v(b) - v(a) [/texx]

Por eso la aceleración no debe poder definirse en función del espacio. O al menos la aceleracion (o fuerza, son proporcionales) que recibe la partícula. Bueno, más que no poder definirse es que no estaríamos calculando el trabajo realizado por la partícula con esa integral, porque representa el espacio en vez de la trayectoria.

Este razonamiento es el que antes he preguntado si era correcto.
6  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 19/05/2019, 03:20:27 pm
Ya te lo he explicado, y te he dicho también donde tienes el error.

¿Qué mas puedo hacer para que lo entiendas?

Vamos a ver, imagina que voy empujando un baúl arrastrándolo por el suelo de manera que éste se desplaza con velocidad constante. ¿La fuerza que yo aplico es función de la posición o del tiempo?

O este otro caso, un elecrón es empujado por una campo magnético de forma que éste describe una circunferencia con una velocidad constante. ¿La fuerza que actúa sobre el electrón es función del tiempo o de la posición?




Pues como lo veo yo es que si la fuerza la aplicas tú es función del tiempo y si es un campo como el magnético dependerá de la posición,aunque también del tiempo ya que la posición de una particula depende del tiempo.
Aunque justo en el caso del campo magnético no hay trabajo ya que la fuerza es perpendicular al campo magnético.



AÑADIDO

Se me ha ocurrido que aunque la aceleración siempre venga dada en función del tiempo, la fuerza puede venir dada por la posición, es decir, estar definida para todos los puntos del espacio. Pero la fuerza que recibirá una partícula dependerá de los puntos del espacio que recorra y eso viene dado por su trayectoria, que está en función del tiempo, por lo que aunque tengamos una fuerza en función del espacio la que reciba una partícula estará en función del tiempo.
De esta forma la integral tendría sentido al igual que su resolución.

¿Esto que he dicho está bien o es una tontería?
7  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 19/05/2019, 09:02:53 am
Vamos a ver la fuerza es la que está actuando sobre la partícula, me da lo mismo si procede de la presencia de un campo potencial o es mi vecino quien la está empujando, la aceleración es la que sufre la partícula, la velocidad es la de la partícula y la posición es la de la partícula, en cada punto del espacio e instante donde la partícula se encuentra. Todas ellas pueden establecerse en cada instante y posición puesto que la partícula siempre esta en un punto del espacio y en cada instante. Pero siempre son las que afectan a la partícula.

Tienes un lío gordo en la cabeza, DavidRG.

Salu2

Pero eso depende del tipo de fuerza que se le aplique. Osea si la fuerza viene dada en función del tiempo, en un tiempo determinado, y tenemos también la posición en función del tiempo, en cada instante de tiempo la particula ocupará una posición y tendrá una aceleración. Por lo que se podría decir informalmente que solo tendrán aceleración los puntos del espacio por los que pasará la partícula.
Así es como lo entiendo yo ahora, pero para que fuera así la fuerza debería estar en función del tiempo y no en función de la posición, y de eso no estoy tan seguro...





Creo que él se refiere a no “deshacer” las derivadas que se manejan. Por ejemplo, lo que se hace al final del enlace que puse, [texx]\dfrac{dv}{dt}dr
 [/texx], hasta ahí todo vale; pero al conmutar [texx]\dfrac{dr}{dt}dv
 [/texx], aunque seguimos teniendo una derivada, no es la de antes, se ha cambiado un diferencial por otro, se ha deshecho la fracción. Y eso es lo que él quiere evitar a lo largo de toda las operaciones, sea esto o cualquier operación que no sea jugar en bloque con las derivas. O sea, es un “más difícil todavía”, puesto que restringe los recursos operativos. Su objetivo es operar sólo con números normales, no infinitesimales; y, como las derivadas lo son, pues si consigue no deshacerlas, las sumas, productos etc., serán sólo de números corrientes.

Sí, pero el momento en el que se cambia la variable a integrar no entiendo por qué no varía el resultado.

Cita

Yo esto lo vería interesante si pudiéramos hacer todas las operaciones sin más que recurrir al álgebra básica, sin nociones de cálculo de límites ni nada así; pero en cuanto se opera una derivada, ya se está resolviendo una indeterminación del tipo 0/0; y ahí están los infinitesimales, que son los números que tienden a cero y que se estudian antes de las derivadas y las integrales.
Insisto en que existen unas integrales llamadas integrales de línea con lo que se resuelve esto sin usar infinitesimales.
Por otra parte, al calcular el área bajo una curva se suman rectángulos cada vez más pequeños pero para definir este concepto no hace falta decir que tienen de base un infinitesimal y se pueden estudiar las derivadas con conceptos de límites y no de infinitesimales.


Por así decirlo, la única duda que tengo ahora es por qué la aceleración se mide en función del tiempo y la fuerza en función de la posición, en vez de medir las 2 en la misma variable.


AÑADIDO

Se me ha ocurrido que aunque la aceleración siempre venga dada en función del tiempo, la fuerza puede venir dada por la posición, es decir, estar definida para todos los puntos del espacio. Pero la fuerza que recibirá una partícula dependerá de los puntos del espacio que recorra y eso viene dado por su trayectoria, que está en función del tiempo, por lo que aunque tengamos una fuerza en función del espacio la que reciba una partícula estará en función del tiempo.
De esta forma la integral tendría sentido al igual que su resolución.

Aunque, por otro lado, esto ya es completamente física y no matemáticas.
8  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 18/05/2019, 11:05:27 am

Eso sí, por economía al escribir sí. Pero si es en latex (esto es ya cosa mía) prefiero la fracción, si pongo el prima a mano tengo que escribir superíndice \prime (quizá se pueda hacer de forma más cómoda, yo no sé) y al final tardo más, porque a lo mejor voy deprisa y pongo “pirme” en vez de “prime”, y tengo que corregir... al final estoy más incómodo (en latex).

Mi teclado tiene comillas en la parte de los símbolos de puntuación ( ' ). Y si  escribo esa comilla en latex me sirve para poner la derivada. Con el comando \prime queda [texx]f\prime(x) [/texx] y con el símbolo de la comilla [texx]f'(x) [/texx]



Y si partimos de la definición integral del trabajo:

[texx]W=\displaystyle\int_{a}^{b}\vec F d\vec r[/texx]

entonces no puede resolverse el problema manipulando la expresión subintegral ya que dicha expresión también contiene diferenciales, hay que encontrar otra forma. Hasta ahora que yo haya visto nadie lo ha logrado en este hilo.

Yo creo que las integrales de línea definen bien este caso particular. Y para su demostración no es necesario usar diferenciales así que creo que es una forma de resolver esta expresión sin usar diferenciales.

Si escribes [texx]a(r(t))[/texx] das a entender que [texx]a[/texx] es una función definida en todo el espacio evaluada en el punto [texx]r(t)[/texx]. Pero en realidad, [texx]a[/texx] es una aplicación definida en un intervalo (su dominio es el tiempo, no el espacio).

Creo que entiendo. Estaríamos diciendo que en todos los puntos del espacio hay una aceleración cuando es solo en los puntos de la trayectoria que define el tiempo.
Vale, entonces ¿por qué la fuerza sí que puede escribirse como F(r(t))? En principio la fuerza es proporcional a la aceleración, deberían estar evaluadas en la misma variable.
¿No sería [texx]F(t) = m \cdot{}r''(t)[/texx]?
9  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 17/05/2019, 12:24:06 pm


Pues a mí me gusta más así r''(t) = a, porque “a” es el nombre de una unidad o magnitud física, como si se dice la longitud, “l” o peso “p”; aunque en este caso son unidades simples, pero ponle que hablamos de “v” si queires, en ese caso ya se sabe que es una función del espacio recorrido y del tiempo; ¿acaso existe una velocidad que no esté asociada al tiempo?. Me parece un poco redundante. No sé, lo importante es que se sepa a qué nos referimos, cada uno que lo escriba como quiera mientras quede claro el concepto y de qué se esté hablando.


Entonces a(r(t)) es una notación válida para la aceleración??
Si fuera así el problema está en un mensaje  que escribió Masacroso:


Todo eso lo suponía sí, desde el principio interpreté A y B como posiciones iniciales y finales de un recorrido cualquiera. Lo que no veo es que si [texx]F(r(t))=m a(r(t))[/texx] y [texx]a(r(t))=dv/dt[/texx] entonces si [texx]v=v(r(t))[/texx] (como parece ser) debe ser el caso de que [texx]a(r(t))=v'(r(t))v(t)=(v\circ r)'(t)[/texx], de ahí nos quedaría

[texx]\displaystyle\int_A^B F(r) dr=m\int_\alpha^\beta(v\circ r)'(t)v(t) dt=(v\circ r)(t) v(t)\big|_\alpha^\beta-\int_\alpha^\beta v(r(t))a(t) dt[/texx]

cosa que no parece tener mucho sentido. Creo que más bien debería ser simplemente [texx]a(r(t))=dv/dr=v'(r(t))[/texx], quedando entonces

[texx]\displaystyle\int_A^B F(r) dr=m\int_\alpha^\beta v'(r(t))r'(t) dt=m\int_\alpha^\beta (v\circ r)'(t) dt=v(r(t))\big|_\alpha^\beta=v(B)-v(A)[/texx]

cosa que tampoco parece ser correcta. Por tanto parece ser que se pasa de [texx]F(r(t))[/texx] a la expresión [texx]m a(t)[/texx], una cosa que tampoco parece tener mucho sentido. En fin, misterios de la física :lengua_afuera:

Es decir, al resolver la integral del trabajo no sale la misma fórmula para a(t) que para a(r(t))



En cuanto a los diferenciales es que quizá no llego a ver bien el matiz que se menciona; para mí es lo mismo [texx]f^{\prime}(x)
 [/texx] que [texx]\dfrac{d(f(x))}{d(x)}
 [/texx], pero escrito de otra forma. E insisto en una cosa que ya dije, esa escritura existe antes que los diferenciales, la inventa Leibniz junto a la idea de función, que también es un invento de él. La notación con “prima” es una grafía posterior; ¿qué tiene de especial?, ¿realmente quita dificultad o sólo la oculta bajo un símbolo que muchas veces no se interpreta y se aplica como una mera receta? A mí no me gustan las recetas, me gusta razonar qué cosas son los objetos que manejo.

Sí, aunque prefiero f'(x) porque es más corto y si se entiende bien la definición de derivada no hay problema. Además de que escribiendo la derivada con diferenciales aparecen más símbolos y tardo más en entender lo que se está haciendo (quizás por falta de costumbre a verla escrita así)
Pero en principio no tengo problemas con la notación diferencial, definiendo [texx]f'(x) = \frac{df(x)}{dx}[/texx]
10  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 17/05/2019, 11:05:46 am
Hola

No se si soy yo el que no me estoy enterando, pero si estáis hablando de cómo solucionarlo sin el diferencial, ya o dijo geómetracat en este mensaje:


Sobre la derivación de la energía, tienes que:
[texx]\displaystyle W = \int_{t_0}^{t_1} \vec{F}(\vec{r}(t),t) \cdot \vec{r}'(t)dt = \int_{t_0}^{t_1} m \vec{r}''(t) \cdot \vec{r}'(t) dt = m/2 \int_{t_0}^{t_1} (\vec{r}'(t) \cdot \vec{r}'(t))' dt =  m/2 \int_{t_0}^{t_1} (||\vec{r}'(t)||^2)' dt =   mv_1^2/2 - mv_0^2/2[/texx]
donde en la última expresión [texx]v_1 = ||\vec{r}'(t_1)||[/texx] es el módulo de la velocidad en el punto final, etc.
En la derivación he usado [texx](\vec{r}'(t) \cdot \vec{r}(t))' = 2 \vec{r}'(t) \cdot \vec{r}''(t)[/texx].


Ahora, lo que yo no entiendo es por qué  no se puede poner a(r(t)) = r''(t)
(Básicamente lo que dije aquí):


Aun asi sigo sin entender porque no se puede definir la aceleración de forma que

[texx]a(r(t)) = r''(t) [/texx]

Osea si la fuerza depende de la posicion del cuerpo y el tiempo en un instante dado, ¿la aceleración que es proporcional también, no?

En este caso [texx]F(r(t))=F(t)[/texx] cuando la posición viene parametrizada (depende) del tiempo. Es decir: va a ser la misma fuerza en la posición [texx]r(t_0)[/texx] que en el tiempo [texx]t_0[/texx], de ahí todo lo demás. Y obviamente va a ser la misma aceleración en la posición [texx]r(t_0)[/texx] que en el tiempo [texx]t_0[/texx], etc...
Entonces [texx]a(r(t_A)) = a(t_A) = r''(t_A) [/texx]



En el momento que tienes esta función derivada [texx]\dfrac{dv}{dt}
 [/texx] la puedes escribir con “prima”, con paréntesis... pero no cambia la teoría, no por ello usas menos los diferenciales porque solamente es una forma de escribir lo mismo. Sigue siendo la función derivada la escribas como la escribas, la formalidad no está en los símbolos, sino en el significado.


Si te refieres a que r''(t) = v'(t) ya lo sabía. El problema es que r''(t) = a(t), y a está definida en función del tiempo, pero también se puede definir en función de la posición a(r(t)) y no se por qué esta segunda expresión es incorrecta.
11  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 16/05/2019, 08:32:34 am
No sé muy bien qué has hecho ahí.

Si te referías a la integración, lo que he hecho es expresar [texx]v(t) = r'(t) [/texx] y cuando he llegado al paso [texx]\displaystyle\int_{a}^{b} r'(t) \cdot{r''(t) } dt[/texx] he aplicado la regla de la cadena. Respecto a lo que me faltaba poner los vectores daba igual porque el ángulo era 0°. Por eso me salía bien la solución.

En fin, sabiendo que F= m r''(t), ya entiendo de domde sale la ecuación de la energía cinética.


La ecuación [texx]\vec{F} = m \vec{a}[/texx] se debe entender en un instante dado. Es decir, en un instante dado, la masa por la aceleración de la partícula es igual a la fuerza total que actúa sobre ella.
Pero la importancia de esta ecuación es que es una ecuación diferencial de segundo orden que te permite obtener la trayectoria de la partícula (su posición en función del tiempo). En efecto, la fuerza [texx]\vec{F}[/texx] en un instante dado dependerá en general de la posición del cuerpo y del tiempo. Así, tienes una función [texx]\vec{F}(\vec{x},t)[/texx] y la segunda ley de Newton se debe interpretar como
[texx]\vec{F}(\vec{r}(t),t) = m \vec{r}''(t)[/texx]
que es una ecuación diferencial de segundo orden para [texx]\vec{r}(t)[/texx].

Aun asi sigo sin entender porque no se puede definir la aceleración de forma que

[texx]a(r(t)) = r''(t) [/texx]

Osea si la fuerza depende de la posicion del cuerpo y el tiempo en un instante dado, ¿la aceleración que es proporcional también, no?

En este caso [texx]F(r(t))=F(t)[/texx] cuando la posición viene parametrizada (depende) del tiempo. Es decir: va a ser la misma fuerza en la posición [texx]r(t_0)[/texx] que en el tiempo [texx]t_0[/texx], de ahí todo lo demás. Y obviamente va a ser la misma aceleración en la posición [texx]r(t_0)[/texx] que en el tiempo [texx]t_0[/texx], etc...
Entonces [texx]a(r(t_A)) = a(t_A) = r''(t_A) [/texx]
12  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 15/05/2019, 01:53:02 pm
Es que la aceleración [texx]a[/texx] es por definición [texx]r''(t)[/texx], igual que la velocidad [texx]v[/texx] es por definición [texx]r'(t)[/texx](donde la prima denota derivada respecto del tiempo). En particular, [texx]a: I \rightarrow \Bbb R^n[/texx], donde [texx]I[/texx] es un intervalo, así que [texx]a[/texx] es únicamente función del tiempo. No es ningún campo vectorial (su dominio no es [texx]\Bbb R^3[/texx]), por tanto la expresión [texx]a(r(t))[/texx] no tiene ningún sentido.



Entonces si tenemos [texx]\overrightarrow{F}(r(t)) [/texx] y sabemos que [texx]\vec{F} = m \vec{a}[/texx]
¿Porque no podemos poner [texx]\overrightarrow{a}(r(t)) [/texx]?


Y aparte, sabiendo que el trabajo es
 
[texx]\displaystyle \int_{r^{-1}(A)}^{r^{-1}(B)} \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}'(t) dt[/texx],

¿Cómo podemos sacar de ahí la fórmula de la energía cinética? Es decir:

[texx]\frac{1}{2} m(Δv) ²[/texx]



AÑADIDO

Vale, creo que si se como hacerlo. Porque tenemos

[texx]\displaystyle\int_{a}^{b} f(v(t)) v' (t) dt[/texx]

Donde f(v(t)) = v(t) y por tanto f(t) = t

Y queda que [texx]F(v(t)) = m (\frac{1}{2}v_b^2 - \frac{1}{2}v_a^2) [/texx]



Aunque eso sería sin mirar los vectores, claro
13  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 15/05/2019, 11:39:59 am
Habiendo visto un poco lo que son las integrales de línea, básicamente estamos calculando el área sobre una curva en el espacio (en este caso) , en donde las coordenadas (x, y) nos dicen la posición del punto(si este se mueve en un plano) y la coordenada z nos dice la fuerza ejercida en esa posición. De hecho, si no me equivoco, esto es una parte del cálculo multivariable.


La fórmula que pone David es concretamente para el trabajo infinitesimal, donde los vectores “ds” no se apoyan en general sobre una línea recta; así, en general, la aceleración no es constante, pues según qué casos cambiará de signo (puede serlo en valor absoluto) con lo que ya no es correcto sacar la fuerza de la integral.

Pero por la definición de trabajo principal seguimos teniendo la suma de muchos pequeños desplazamientos rectilíneos -no existe respecto del trabajo un recorrido curvo realmente- y, así, aparece cada vector “ds” con sus distintas componentes a lo largo de la curva; por eso es inevitable que el concepto de diferencial esté latente.


Sí, es cierto que realmente el trabajo se mide como la suma de la fuerza que se ejerce en cada pequeño intervalo. Aunque eso se puede entender también como el área bajo la curva y por ello usar la integral. Al fin y al cabo una integral se puede definir como la suma de rectangulitos cuando el numero de rectangulitos tiende a infinito.



Por otro lado, si no me equivoco, cuando un cuerpo se mueve en el espacio diría que no se puede graficar, ya que tenemos las 3 dimensiones de la trayectoria del cuerpo y una cuarta dimensión para denotar la fuerza que se está ejerciendo en cada punto de la trayectoria. Pero se sigue pudiendo hacer la integral ya que sumamos rectangulitos cada vez mas pequeños de base la variacion de la trayectoria del cuerpo (se puede considerar como dS) y de altura la fuerza en ese intervalo. (El trabajo es el límite de la suma de rectangulos cada vez menores [o la suma de infinitos rectangulos de base dS] )


La verdad es que he entendido bastante bien la derivación de la fórmula que está expuesta en la wikipedia, https://en.m.wikipedia.org/wiki/Line_integral. (Es la segunda, ya que es para campos de vectores, como en el caso del trabajo).
14  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 15/05/2019, 09:53:09 am
Hay dos versiones: la integral de línea de un campo escalar a lo largo de una curva (aquí [texx]F: \mathbb{R}^n \rightarrow \Bbb R[/texx]), que es la fórmula que has puesto tú (aunque ten en cuenta que el punto que pones es un producto de reales, no un producto escalar), y la integral de línea de un campo vectorial, donde tienes [texx]F: \Bbb R^n \rightarrow \Bbb R^m[/texx] con [texx]m>1[/texx], que es la que puse yo y la que te interesa para la definición de trabajo. Aquí el punto sí que es un producto escalar.

Ah, vale, gracias por aclarármelo.


Cita

Sí, se puede adaptar para el caso vectorial, aunque buscando por internet no he encontrado gran cosa.
La idea es sustituir en el sumatorio los productos normales por productos escalares. De todas formas creo que es mejor que te quedes con lo de las integrales de línea, que es la manera estándar de interpretar estas integrales.

Vale, en principio me quedo con las integrales de línea, ya que son más concretas para este caso.
15  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 15/05/2019, 08:51:19 am
Es la regla de la cadena. Es decir [texx]df/dr:=f'(r)[/texx] para una función [texx]r[/texx], que actúa como variable, entonces la regla de la cadena adopta la forma siguiente usando la notación de Leibniz:

[texx]\displaystyle [(f\circ g)(x)]'=(f'\circ g)(x) g'(x)=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}[/texx]

donde en la notación de Leibniz se sobreentiende que todas las funciones dependen, en última instancia, de la variable [texx]x[/texx].

Por otro lado el teorema de sustitución [texx]\int_a^b f(x)\, dx=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} (f\circ g)(t)g'(t)\, dt[/texx] es consecuencia directa de la regla de la cadena (que es otro teorema) y el teorema fundamental del cálculo. Pero eso me parece ya te lo mencioné aquí.

No se puede hacer mediante la regla de la cadena.  Ya lo he intentado con los 2 casos que tu dices y ninguno se cumple (la regla de la cadena, que yo sepa, debe aplicarse con toda la integral, no sólo con una parte)





Yo sé que “y” depende de “x”, eso sí lo sé; y por otro lado sé que “dx” y “dy” son viriables en cierto sentido; o mejor lo digo así: no son equivalentes porque en general [texx]\dfrac{dy}{dx}\neq1
 [/texx]. Pero aquí yo no puedo dar un valor a “dx” y obtener un valor “dy”, hay una diferencia respecto de las variables x,y. Por tanto, no sé decirte con seguridad. Quizá en el análisis no estándar se pueda hacer eso, no tengo ni idea, pero en el cálculo más normalito, que es el que yo conozco un poco, no se puede hacer eso que yo sepa.

Si tenemos como definición dy=y' dx y conocemos y' (en ese punto), entonces si que podemos dar un valor a dx y obtener uno de dy

 


Así, como los módulos no nos preocupan, supongo que tampoco nos debe preocupar el cálculo no estándar ése, porque no nos preocupa que todos los módulos de los “dx,dy,dz...” sean “iguales” o tiendan a cero. Por otra parte, cuando se suman infinitas veces en las integrales ya sí nos dan un número.

Y todo eso es lo que podemos usar, con que consideres eso te vale. No creo que en el análisis no estándar se identifiquen números infinitesimales concretos de verdad; y si se hiciera, que no sé, me da la sensación de que eso sólo podría ser un engañabobos, porque en realidad llega un momento en que no podemos distinguir.

Ya, pero para entender el punto en el que se cambian variable con diferenciales sí que hay qie entender de análisis no estándar, o al menos cómo funciona.



Lo primero debería ser entender qué se está haciendo.
Esta integral:
[texx]W_{int} = \displaystyle\int_{A}^{B} \vec{F}  \cdot   d\vec{r}[/texx]
no es una integral de Riemann normal y corriente. Para poder calcular con ella de forma rigurosa primero hay que entender qué significa esa integral.
La interpretación usual es que es una integral de línea. Entonces, por definición, esa integral es igual a
[texx]\displaystyle \int_{r^{-1}(A)}^{r^{-1}(B)} \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}'(t) dt[/texx],
donde ahora sí, tienes una integral de Riemann de toda la vida.

Esta definición de integral de línea me convence bastante, ya que incluye vectores y es exclusiva para este caso. Voy a informarme un poco sobre este tipo de integrales.

Por cierto, según Wikipedia, esta integral debería ser así:

[texx]\displaystyle \int_{r^{-1}(A)}^{r^{-1}(B)} \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot  ||\vec{r}'(t)|| dt[/texx]



Otra manera de interpretar esa integral, algo más general (pero equivalente) es como una integral de Riemann-Stieltjes (mira aquí la definición: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Stieltjes_integral)
Esta es una manera de dar sentido a integrales de la forma [texx]\displaystyle \int f(x) dg(x)[/texx], donde la variable sobre la que integras es [texx]x[/texx]. Quizás esto responda a tus dudas sobre el hecho de que estás integrando sobre una función en vez de sobre una variable independiente.

¿Esto también funciona para funciones con vectores, como en este caso?

Cita

La derivación que pones es la típica derivación más o menos heurística que te hacen los físicos para justificar esa fórmula, cuando únicamente sabes integración de 1 variable y no tienes a tu disposición herramientas de cálculo vectorial.

Ya, pero es la única que había encontrado. Por eso pedía una demostración sin diferenciales (o entender por qué funcionan los diferenciales, pero el cambio de variable es difícil).
Ahora al menos sé que no es una integral de Riemann y que se calcula de una forma distinta.
16  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 14/05/2019, 09:18:54 pm
Por cierto, si alguien sabe resolver sin diferenciales la integral (si se puede), me gustaría saber como. Claro que pasándolo a matemáticas la integral es ésta:

[texx]\displaystyle\int_{A}^{B} \frac{d\frac{dr(t)}{dt}}{dt}\cdot{dr}[/texx]

De hecho, esto creo que no se puede porque estoy considerando a t como variable independiente al derivar sobre ella y por tanto estamos trabajandp desde el inicio con la variable de la integral cambiada, por lo que o solo se puede hacer con diferenciales, o hay algún método en análisis estándar para cambiar la variable del diferencial pero no la de la función a integrar.

No necesariamente debe ser no estándar. La notación de Leibniz del tipo [texx]dy/dx[/texx] también es válida en el análisis estándar, es simplemente una forma de codificar la regla de la cadena, la cual se puede expresar también por otras notaciones. De hecho el análisis estándar y no estándar dicen lo mismo pero de diferente manera.

Vale, pues sería interesante saber como explica el análisis real este cambio en la variable (solo la del diferencial) sin usar el concepto de diferencial.
17  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 14/05/2019, 08:38:30 pm

David, todo eso se estudia en análisis real. Hay cientos de fuentes (libros, apuntes, etc...) donde puedes despejar tus dudas, yo no te puedo resumir en un foro todos los pormenores del teorema de sustitución o de cambio de variables en una integral de Riemann, además de que no podría hacerlo mejor que como lo hacen profesionales que llevan décadas (o vidas enteras) dedicados a la enseñanza.

Así que si tienes ganas puedes buscar un libro, o apuntes, de análisis real (que hay cientos en internet en formato PDF) y ponerte a estudiar hasta que llegues a ese teorema y despejes por completa cualquier duda o malentendido.



Pero debe de ser de análisis no estándar entonces, supongo, para tratar con diferenciales. Bueno, pues entonces de momento lo dejaré como una supuesta verdad hasta que estudie ese tema. Lo bueno es que por lo menos los métodos de sustitución que antes mencioné se pueden entender sin diferenciales. De hecho, por eso pensaba que este también y que sería mucho más fácil entenderlo sin diferenciales (de ahí el título del hilo)
Aun así, muchas gracias por toda la ayuda.

Por cierto, si alguien sabe resolver sin diferenciales la integral (si se puede), me gustaría saber como. Claro que pasándolo a matemáticas la integral es ésta:

[texx]\displaystyle\int_{A}^{B} \frac{d\frac{dr(t)}{dt}}{dt}\cdot{dr}[/texx]
18  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 14/05/2019, 07:25:40 pm


No cambias nada, escribes lo mismo de otra forma. Es que no entiendo muy bien a qué te refieres, no has puesto tú mismo antes que [texx]dr=vdt[/texx]? Entonces no cambias nada sino que ahora la integral viene expresada en valores de tiempo cuando antes se expresaba en valores de posición, pero ambas integrales valen lo mismo.

Se puede ver haciendo gráficas, es decir, toma una función cualquiera [texx]f(x)[/texx] de tal modo que sea sencillo ver el valor del área bajo la curva en una región, luego parametriza los valores de x, es decir, toma una otra función tal que [texx]x=x(t)[/texx] sea diferenciable (si es inyectiva mejor, te ahorras complicaciones innecesarias). Entonces puedes intentar ver visualmente que las áreas de la función [texx]f(x)[/texx] en una región [texx][a,b][/texx] y las de la función [texx]f(x(t))x'(t)[/texx] en la región [texx][x^{-1}(a),x^{-1}(b)][/texx] son iguales.

Lo que no tiene mucho sentido en la integral, y eso deberá explicártelo un físico porque yo no puedo, es meter la aceleración si no está en función de la posición sino del tiempo. O que aclare lo que ahí ocurre o se está simbolizando, eso ya escapa a mi entendimiento ya que lo normal es que si tu escribes [texx]\int a dr[/texx] es que la función [texx]a[/texx] esté en función de [texx]r[/texx], y no de otra variable.

Si el problema principal de esta integral es que está definida en función del tiempo y no puede resolverse directamente.

¿Y cómo puede demostrarse que ambas ecuaciones son iguales?
Osea que el area bajo la curva (su suma mediante rectangulitos) coincide en ambas?
No me refiero a verlo en un ejemplo sino a demostrarlo generalmente.


En una integral indefinida el cambio de variable se usa momentáneamente para hallar una forma cerrada de la integral, luego se vuelven a cambiar las variables a las originales para tener las primitivas de la integral original. En resolución de integrales indefinidas mediante el cambio de variable hay que tener cuidado con los dominios naturales y definiciones de las funciones implicadas, de otro modo se pueden escribir barbaridades, pero ése es otro tema.

En la integral indefinida igual, ¿por qué ambas expresiones son equivalentes?


Por otro lado lo de los dominios sí que me había fijado sobre todo al usar algún método de sustitución y me había parecido raro que no se explicase en el libro donde lo leí, pero bueno, las integrales más básicas no requieren que te fijes en eso...
19  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 14/05/2019, 02:35:00 pm
La definición de derivada, usando los infinitesimales del análisis no estándar, es así comparada con la noción de derivada estándar:

[texx]\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\approx \frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}\tag1[/texx]

donde [texx]\epsilon[/texx] es un infinitésimo distinto de cero y la relación [texx]a\approx b[/texx] significa que [texx]a-b[/texx] es una cantidad infinitesimal.

Entonces, dado un número hiperreal limitado cualquiera, existe un único número real a una distancia infinitesimal, es decir, si [texx]x[/texx] es un número hiperreal limitado (que significa que existe un número natural mayor que él) entonces se define [texx]\mathrm {sh}(x)[/texx] (la sombra de x, también llamada la parte estándar de x) al único número real infinitamente cerca de [texx]x[/texx]. Entonces es obvio que

[texx]\displaystyle f'(x)=\mathrm{sh}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)\tag2[/texx]

para cualquier número infinitesimal [texx]h[/texx] distinto de cero, si la derivada existe claro. Entonces si definimos [texx]\Delta_h f(x):=f(x+h)-f(x)[/texx], tenemos de (1) que [texx]\Delta_h f(x)\approx f'(x)\Delta_h x[/texx] cuando [texx]h[/texx] es un infinitesimal distinto de cero.

Entonces se define [texx]d_h f(x):= f'(x) \Delta_h x[/texx], donde [texx]d_h f(x)[/texx] es un infinitesimal que depende de [texx]h[/texx], de [texx]f[/texx] y también de [texx]x[/texx]. Como el [texx]h[/texx] elegido es irrelevante y además tenemos que [texx]d_h x=\Delta_h x[/texx] se puede simplemente escribir [texx]df(x)=f'(x) dx[/texx], entendiendo que [texx]dx[/texx] es un infinitesimal distinto de cero y [texx]d f(x)[/texx] un infinitesimal definido por la anterior igualdad.

Entonces ahí sí que podemos finalmente escribir [texx]\frac{d f(x)}{dx}=f'(x)[/texx]. En el caso de la fracción [texx]dy/dx[/texx] se debe entender que [texx]dx\neq 0[/texx] y [texx]dy[/texx] depende del infinitésimo [texx]dx[/texx] elegido, de la función [texx]y[/texx] y del punto [texx]x[/texx] que sea.

Por tanto la relación del valor del infinitésimo [texx]dy:=d y(x)[/texx] depende de todo eso, no es simplemente una fracción entre infinitésimos cualesquiera.

Está bastante bien esta definición de derivada con infinitesimales. Explica bastante mejor la definición de y' = dy/dx



Respecto a mi duda inicial, lo que me cuesta ver con los diferenciales es el proceso en el que la variable se cambia. Es decir, el paso:


[texx]\displaystyle\int_{A}^{B}  \frac{d\vec{v}}{dt}  [{\vec{v} \cdot{}dt}] = \displaystyle\int_{r^{-1}(A)}^{r^{-1}(B)}  \frac{d\vec{v}}{dt}  {\vec{v} \cdot{}dt} [/texx]

Es decir, el paso en el que la variable pasa de ser dr (=v*dt) a ser dt
En ese paso la función se cambia, ya que se pasa a multiplicar por la velocidad, al igual que se cambia la longitud de la base de los rectángulos y los extremos de la integral.

El area de los rectángulos no varía al fin y al cabo porque la velocidad pasa de estar de la base a la altura. Y los extremos supongo que se cambiarán de forma que su total cubra la suma de todos los dt para mantener el área pero no veo como.


Y luego, esta sustitución de la variable con el diferencial, ¿como se podría entender si pensamos en integrales indefinidas (en las que la idea del rectángulo no tiene sentido)?
20  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales : 14/05/2019, 01:20:21 pm
Cita de: feriva link=topic=109097

Sigo sin estar seguro de si entiendo lo que quieres decir. Valer, valen cero, pero no son en general equivalentes, es decir [tex
\dfrac{dy}{dx}\neq1
 [/tex]. Allá en “su mundo” varían los dos, no sólo [texx]dy[/texx], otra cosa son las particiones que hagamos para integrar un área según la integral de Riemann, pueden ser más finas o menos finas; y la más fina es tomar los “dx”, donde no distinguimos distintas longitudes, para nosotros son todos iguales.

No sé si te refieres a esto. Pero es claro si piensas en el área bajo cualquier curva, puedes partir el eje “x” en pequeños segmentos iguales y, en la medida que sean más pequeños, el error también será más pequeño al medir el área (ya sabes, por rectángulos escalonados). Cuando sean tan pequeños como “dx” el error será tan mínimo que, supongo, no vendrá dado por un número real, podremos decir que no existe error. Pero eso no quiere decir que si tomamos el dx de la derivada en un punto, digamos [texx](dx)_{1}
 [/texx], y el dx de la derivada en otro punto, digamos [texx](dx)_{2}
 [/texx], se cumpla [texx]\dfrac{(dx)_{1}}{(dx)_{2}}=1
 [/texx]; que yo sepa eso no tiene por qué ser así.

Saludos.

Vale, dx no tiene por qué ser constante. Pero eso no quita que dy dependa siempre de dx.

Le he estado dando bastantes vueltas y creo que he entendido lo que es el diferencial y por qué funciona. Voy a ver si entiendo lo de la integral de la aceleración con diferenciales y si me surge cualquier duda pregunto.

Aun así también me gustaría saber si se puede resolver esa integral solo con análisis estándar (sin usar el concepto de diferencial) y cómo se haría
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