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1  Matemática / Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) / Re: Intervalo de convergencia : 19/05/2019, 06:22:04 pm
Según la página, "el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo".

De hecho, si lo aplicas a [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\dfrac{1}{n}}[/texx] y a [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\dfrac{1}{n^2}}[/texx], en ambos casos el criterio da [texx]1[/texx], sin embargo una serie es convergente y la otra no. Éste es el ejemplo que hace unos días se nos dio a nosotros en clase cuando se vieron series y su convergencia.

Saludos, que marche todo bien!
2  Matemática / Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) / Re: Intervalo de convergencia : 19/05/2019, 05:34:53 pm
Hola,

[texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}(\dfrac{n}{a})^n[/texx]

Aplicando el criterio de D'Alembert: https://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_d%27Alembert

[texx]\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{\dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!\cdot a^{n+1}}}{\dfrac{n^n}{n!\cdot a^n}}=(\dfrac{n+1}{n})^n\cdot \dfrac{1}{a}=(1+\dfrac{1}{n})^n\cdot \dfrac{1}{a}\xrightarrow[n\xrightarrow{}+\infty]\,{\dfrac{e}{a}}[/texx]

Si [texx]\dfrac{e}{a}<1[/texx], la serie es convergente.

Si [texx]\dfrac{e}{a}>1[/texx], la serie es divergente.

Saludos.
3  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Bases : 19/05/2019, 07:36:39 am
Creía saber el concepto de base, resulta que no era así...  :cara_de_queso:

Gracias por indicármelo.

Sólo un ejemplo por si a alguien le interesa mi modo de proceder.

Partiendo de la definición de base:

[texx]n[/texx] vec. l.i. [texx]\wedge[/texx] generan [texx]V[/texx]     [texx]\Longleftrightarrow B[/texx] es base de [texx]V[/texx].

Quiero probar que:

[texx]n[/texx] vec. l.i. de [texx]V[/texx] [texx]\Longrightarrow[/texx] [texx]B[/texx] es base de [texx]V[/texx]

[texx]\Longleftrightarrow{}[/texx]

[texx]n[/texx] vec. l.i. de [texx]V[/texx] [texx]\Longrightarrow[/texx] [texx]n[/texx] vec. l.i. de [texx]V[/texx] [texx]\wedge[/texx] generan [texx]V[/texx].

[texx]p\Longrightarrow{(p\wedge q)}[/texx]  [texx]\Longleftrightarrow{}[/texx]

[texx]\neg p \vee (p\wedge q)[/texx] [texx]\Longleftrightarrow{}[/texx]

[texx](\neg p \vee p) \wedge (\neg p \vee q)[/texx] [texx]\Longleftrightarrow{}[/texx]

[texx]\neg p \vee q[/texx] [texx]\Longleftrightarrow (p\Longrightarrow{q})[/texx]

¿Es cierto [texx]p\Longrightarrow{q}[/texx]?

¿[texx]\neg(p\Longrightarrow{q})\longrightarrow{0}[/texx]?

[texx]\neg (\neg p \vee q) \Longleftrightarrow{p\wedge \neg q}[/texx] [texx]\Longleftrightarrow{}[/texx]

[texx]n[/texx] vec. l.i. [texx]\wedge [/texx] no generan [texx]V[/texx].

[texx]n[/texx] vec. l.i. [texx]\Longrightarrow{dim(\left<{B}\right>)=n}[/texx]

No generan [texx]V[/texx] [texx]\Longrightarrow dim(\left<{B}\right>)<n[/texx]

[texx]p \wedge \neg q \Longrightarrow{0}[/texx], por el axioma de tricotomía.

Efectivamente, negar [texx]p\Longrightarrow{q}[/texx] es falso siempre, luego [texx]p\Longrightarrow{q}[/texx] debe ser verdad siempre.

Y así se ha probado que si se tienen [texx]n[/texx] vec. l.i. de [texx]V[/texx], entonces son base de [texx]V[/texx]. Esto concluye el apartado [texx]1[/texx].

Saludos.
4  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Función convexa : 19/05/2019, 07:06:35 am
Okay.

Sí, mi definición es demasiado intuitiva y poco rigurosa.

Lo gracioso es que la di después de mirar por encima el mencionado artículo y ver que la definición de convexidad dada no era nada intuitiva a mis ojos.

Saludos y gracias.
5  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Función convexa : 19/05/2019, 06:50:23 am
Hola Luis,

La elección de los puntos es desafortunada porque en el enunciado se denota a "[texx]y[/texx]" como abscisa. Si trabajamos en el plano [texx]XY[/texx], "[texx]y[/texx]" denota la ordenada.

Parto del supuesto de que [texx]f: I \rightarrow \mathbb{R}[/texx] es convexa [texx]\Longleftrightarrow (\forall x \in I) (\forall y \in I): f(\dfrac{x+y}{2})<r(\dfrac{x+y}{2})[/texx].

Se tiene la función graficada. Si se traza el segmento de recta entre dos cualesquiera puntos pertenecientes al intervalo, entonces la altura de la función evaluada en el punto medio es menor o igual que la altura del segmento de recta, esto para todo par de puntos del intervalo.

Doy por supuesto que la función es continua.

Saludos.
6  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Bases : 18/05/2019, 07:30:54 pm
No puedo recomendarte ninguno puesto que he visto muy pocos. Pero creo que aparte de aprender de lo que otras personas que saben más han aprendido, lo bueno está en la búsqueda personal que cada uno hace y en el camino que uno se labra por sí mismo.

Por otro lado, a mí me ayuda más saber con exactitud el esquema lógico que hay detrás de la demostración. Si quieres mi opinión, aprende lógica antes que otra cosa. La poca lógica que sé, a mí me ha ayudado increíblemente.

Saludos.
7  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Bases : 18/05/2019, 06:19:09 pm
Como dice sugata, se parte de que la dimensión del espacio vectorial V es n.

El primer enunciado es la definición de base. Ahí no hay nada que probar.

El segundo enunciado puede probarse por reducción al absurdo.

Supongamos tener un conjunto de n vectores que generen V y que no sean base.

Si hay n vectores pero no son base, entonces no son linealmente independientes.

Si no son linealmente independientes, la dimensión del espacio que generan es estrictamente menor que n.

Como por hipótesis los vectores generan V, entonces la dimensión del espacio generado por ellos coincide con V, esto es, n.

A un tiempo dicha dimensión es igual a n y estrictamente menor que n, lo que es contradicción.

Por tanto, si se tiene un conjunto de n vectores que generen un V espacio vectorial de dimensión n, entonces deben ser base.

Saludos.

8  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Función convexa : 18/05/2019, 05:46:37 pm
Hola,

La elección de los puntos es desafortunada porque en el enunciado se denota a "[texx]y[/texx]" como abscisa. Si trabajamos en el plano [texx]XY[/texx], "[texx]y[/texx]" denota la ordenada.

Parto del supuesto de que [texx]f: I \rightarrow \mathbb{R}[/texx] es convexa [texx]\Longleftrightarrow (\forall x \in I) (\forall y \in I): f(\dfrac{x+y}{2}<r(\dfrac{x+y}{2})[/texx].

Se tiene la función graficada. Si se traza el segmento de recta entre dos cualesquiera puntos pertenecientes al intervalo, entonces la altura de la función evaluada en el punto medio es menor o igual que la altura del segmento de recta, esto para todo par de puntos del intervalo.

Doy por supuesto que la función es continua.

Saludos.
9  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Subespacio afín : 01/05/2019, 03:52:05 pm
Okay, gracias.

Saludos.
10  Matemática / - Otros - / Re: Problema de multiplicación de funciones. : 01/05/2019, 08:36:35 am
Hola,

Calcula la inversa de [texx]f[/texx], que es [texx]f^{-1}(x)=\dfrac{1}{3}(x+1)[/texx]. Entonces [texx]n=\dfrac{1}{3}[/texx].

Ahora calcula un vector director de la recta original, su producto escalar con un vector director de la recta perpendicular es [texx]\left[\begin{array}{cc}{1}&{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{v_1}\\{v_2}\end{array}\right]=0[/texx].

[texx]v_1+3v_2=0;[/texx]

[texx]v_1=-3v_2[/texx]

Como [texx]p=\dfrac{v_2}{v_1}[/texx], sustituye y obtienes [texx]p[/texx]. Esto puede hacerse porque [texx]v_2\neq{0}[/texx].

Saludos.
11  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Subespacio afín : 01/05/2019, 08:23:12 am
se define como el conjunto de puntos:

[texx]P+W=\{P+\vec w|\vec w\in W\}[/texx]

Saludos.

De acuerdo.

El problema es con el ejercicio, porque no sé qué es lo que quieren que haga. Y entonces veo que si supiera cómo se caracteriza un subespacio afín, sería capaz de darle solución al problema. Pero supongo que esto es darle vueltas a una cosa bastante sencilla, y que el objetivo de esta asignatura en este tema en particular no va por ahí.

Gracias.
12  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Subespacio afín : 30/04/2019, 07:44:01 pm
Hola,

Pruebe que el par [texx](Y,W)[/texx] definido como

\begin{align*}
Y=\{\begin{bmatrix}{1+2a-b}&{0}\\{2+a-b}&{a-b}\end{bmatrix}  | (a,b)\in \mathbb{R}^2\}\\\\

W=\{\begin{bmatrix}{2\alpha-\beta}&{0}\\{\alpha-\beta}&{\alpha-\beta}\end{bmatrix}| (\alpha,\beta)\in \mathbb{R}^2\}
\end{align*}

es un subespacio afín del conjunto de matrices [texx]M(2\times 2, \mathbb{R})[/texx], considerado como espacio afín sobre sí mismo.


Expresando los subespacios mediante sus coordenadas con respecto a la base canónica de [texx]M(2\times 2,\mathbb{R})[/texx]:

[texx]Y: \left[\begin{array}{cccc}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{1}\\{0}\\{2}\\{0}\end{array}\right]+a\left[\begin{array}{cccc}{2}\\{0}\\{1}\\{1}\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{cccc}{-1}\\{0}\\{-1}\\{-1}\end{array}\right][/texx]

[texx]W: \left[\begin{array}{cccc}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\end{array}\right]=\alpha \left[\begin{array}{cccc}{2}\\{0}\\{1}\\{1}\end{array}\right]+\beta \left[\begin{array}{cccc}{-1}\\{0}\\{-1}\\{-1}\end{array}\right][/texx]


Se ve que el espacio de direcciones de [texx]Y[/texx] coincide con [texx]W[/texx]. Como dato aparte, se comprueba que el origen de coordenadas no pertenece a [texx]Y[/texx].
[texx]Y[/texx] puede conseguirse mediante una traslación de [texx]W[/texx] al punto [texx](1,0,2,0)[/texx], por ejemplo.

Tengo problema con la caracterización de subespacios afines.
13  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Ejercicio espacio afín. : 29/04/2019, 07:12:22 pm
Ah, creo que comienzo a entender algo.

Gracias a los dos.
14  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Ejercicio espacio afín. : 29/04/2019, 01:19:47 pm
Hola,

Según la definición: Un espacio afín sobre un cuerpo [texx]\mathbb{K}[/texx] es una terna [texx](E,V,+)[/texx] formada por un conjunto no vacío [texx]E[/texx], un [texx]\mathbb{K}[/texx]-espacio vectorial [texx]V[/texx] y una operación [texx]+[/texx],

\begin{align*}
  E\times V &\to E\\
  (P,\vec{v}) &\mapsto P+\vec{v}
\end{align*}

tales que para cualesquiera [texx]P,Q\in E[/texx] y [texx]\vec{u},\vec{v}\in V[/texx] se verifica:

1. [texx]P+\vec{0}=P.[/texx]
2. [texx](P+\vec{u})+\vec{v}=P+(\vec{u}+\vec{v}).[/texx]
3. Existe  un único [texx]\vec{w}\in V[/texx] tal que [texx]P+\vec{w}=Q.[/texx]


Ahora tengo que probar por ejemplo que el siguiente espacio es afín y describir la operación [texx]+[/texx]:

1. [texx]E=\mathbb{R^3}, V=\mathbb{R^3}, \overrightarrow{(x_1,x_2,x_3)(x'_1,x'_2,x'_3)}=\overrightarrow{(x'_1-x_1,x'_2-x_2,x'_3-x_3)}[/texx]

Pero no veo cómo escribirlo correctamente.
15  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Encontrar el área de la circunferencia transcrita : 25/03/2019, 10:19:19 am
Gracias Luis.

Saludos.
16  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: La paradoja de Russell : 24/03/2019, 08:53:02 pm
Hola noisok,

Vamos a exponer un poco el contexto. La paradoja de Russell planeta una contradicción a la teoría de Cantor/Frege. Voy a hacer un resumen sobre la información de la Wikipedia sobre la paradoja. En primer lugar, en esta teoría, todo se reduce a dos tipos de conjuntos: los normales; aquellos que no se contienen asimismo, y los singulares; aquellos que se contienen asimismo. Debido a la existencia de estos dos grupos, es posible plantear la paradoja...Tu intención al agregar un axioma a esta teoría, es que todos los conjuntos sean singulares, de modo que ya queda invalidado el planteamiento de la paradoja. Bien, hasta aquí, todo es correcto. Sin embargo, el problema por el que plantea la paradoja, no radica realmente en esa división de conjuntos, de modo que el problema subyacente en la teoría sigue existiendo y voy a demostrártelo con un ejemplo.

[texx]A\subseteq{B}\Longleftrightarrow{(\forall x \in A)\; x\in B}[/texx]

[texx]A\subseteq{A}[/texx]

Un conjunto siempre se contiene a sí mismo. Decir que hay conjuntos que no se contienen así mismos es, por tanto, falso.

Sin embargo, no es lo mismo "contención" que "pertenencia".

Sea X, el conjunto de las estrellas del universo. Este conjunto esta definido porque cantor dice que un conjunto es una reunión de cosas y obviamente mi conjunto X, es valido pues es una coleccion de estrellas. Esto es algo, que no se puede hacer en las teorías de conjuntos modernas, pues un conjunto no es definible nada mas que por  una enumeración de elementos, que expresan su relación de pertenencia a él, así que tendría que dar una lista de todas las estrellas del universo. Este es el problema por el que la paradoja de Russell cobra vida, y por el cual tu axioma sigue quedando afectado. Veamos: Mi conjunto X, según tu axioma debe contenerse asimismo, pero esto no es posible, pues un conjunto de estrellas no es una estrella. Luego iría en contra de la definición del mismo si lo hacemos cumplir. Ahora bien, entonces solo me queda aplicar, que como no se contiene asimismo, entonces no es conjunto, de modo que pero tu axioma de un modo radical, elimina todos los conjuntos normales. Esto no es precisamente una gran solución.

Lo marcado en rojo es falso.

Por ejemplo, si digo: "sea el intervalo [texx](0,1)\subset{\mathbb{R}}[/texx]", ¿se supone que tengo que dar una lista de todos los elementos de dicho intervalo?

La solución es sencillamente eliminar el concepto de que un conjunto es una reunión de cosas por el de una enumeración de conjuntos, el  cual no defines un conjunto por ser una reunión, sino por una relación de pertenencia de otros conjuntos a él.

Esta última cita contiene por lo menos tres afirmaciones falsas.

En primer lugar, porque un conjunto es toda reunión de objetos de nuestra concepción, determinados y bien distintos, llamados elementos.

En segundo lugar, porque un conjunto no es una enumeración de conjuntos.

En tercer lugar, porque no puedes definir una cosa y utilizarla al mismo tiempo dentro de la propia definición.

Saludos.
17  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Maximo : 24/03/2019, 12:26:47 pm
Que [texx]t[/texx] sea creciente nos permite asegurar que [texx]inf(Im(t))=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}{t(x)}[/texx].
18  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Maximo : 24/03/2019, 12:09:33 pm
Hola Quema,

Sea [texx]w(x)=e^{-{(-lnx)^{0.5}}},[/texx] con [texx]x \in [0,1].[/texx]Quiero probar que

[texx]w(x)+w(b-x)-w(b)\geq 0[/texx] siendo [texx]w(b)=2w(b/2).[/texx]

La condición de primer orden determina que

[texx]\displaystyle\frac{w(x)}{2x\sqrt[ ]{-lnx}}=\displaystyle\frac{w(b-x)}{2(b-x)\sqrt[ ]{-ln(b-x)}}.[/texx]

Entonces analizo el signo, para los puntos que cumple la condición de primer orden, de

[texx]t(x)=w(x)+w(b-x)-w(b)[/texx] para [texx]x \in [0,b/2][/texx] por simetría es suficiente.

Se me ocurrió derivarla y, si hice bien las cuentas (usando la igualdad de la condición de primer orden), obtengo:

[texx]t'(x)=\displaystyle\frac{w(b-x)}{x\sqrt[ ]{-lnx}}[/texx] que es siempre positiva.

Ahora si [texx]w(x)+w(b-x)-w(b)[/texx] tomara valores positivos y negativos, [texx]t(x)[/texx] debería no ser monótona. La razón es que en un entorno de [texx]x=0[/texx] [texx]w(x)+w(b-x)-w(b)[/texx] es positiva y lo mismo pasa en [texx]x=b/2,[/texx] de forma que si tomara valores negativos, [texx]t'(x)[/texx] tendría que cambiar de signo más de una vez. Pues, [texx]w(x)+w(b-x)-w(b)[/texx] crecería a partir de cero, luego tendría un máximo, si existieran valores negativos, tendría un mínimo, pero como en [texx]x=b/2[/texx] ingresa por arriba (toma valore positivos) debería existir otro máximo en un entorno cercano a [texx]x=b/2.[/texx] Por lo tanto, la derivada primera de [texx]t(x)[/texx] en los puntos críticos debería ser positiva, negativa y positiva, de ser monótona eso no es posible.


Está bien?

Si [texx]t'[/texx] es mayor o igual que cero para todo [texx]x \in (0,1][/texx], entonces [texx]t[/texx] es creciente. Si [texx]t[/texx] es positiva en [texx]0^+[/texx], ya lo tienes, pues [texx](\forall x \in (0,1])\; t(x)\geq inf(Im(t))[/texx].

¿Cómo lo ves?

Saludos.
19  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Problema trigonometrico : 24/03/2019, 11:16:59 am
Hola María,

Haz el dibujo, coloca los datos, y piensa si puedes usar el teorema del coseno. Has estudiado el teorema del coseno?

Saludos.
20  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Encontrar el área de la circunferencia transcrita : 23/03/2019, 08:32:15 pm
Hola,

Como curiosidad, acerca de la fórmula mencionada:



Se ve que [texx]h=(a-r)+(b-r);\qquad r=\dfrac{a+b-h}{2};[/texx]

[texx]r\cdot \dfrac{a+b+h}{2}=\dfrac{a+b-h}{2}\cdot \dfrac{a+b+h}{2}=\dfrac{(a+b)^2-h^2}{4}=\dfrac{a^2+b^2+2ab-h^2}{4}=\dfrac{ab}{2}=A;[/texx]

Saludos.
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