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1  Matemática / Topología (general) / Re: Examen de Topología General. : Ayer a las 11:07:19
No tengo palabras para agradecértelo.

 Aplauso Aplauso Aplauso
2  Matemática / Matemáticas Generales / Re: Resolver ecuación argumento matemático : 15/01/2020, 19:23:13 pm
Muchas gracias pensé  en estrictamente creciente y termine escribiendo estrictamente decreciente.

Es estrictamente positiva y estrictamente decreciente. ¿Es eso lo que quieres decir?

Saludos.

Edit a posteriori:

3  Matemática / Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato / Re: Distancia plantación de una planta : 15/01/2020, 19:20:18 pm
Hola,

Está bien hecho. Aunque la función [texx]g[/texx] quizás deberías describirla como la productividad de la planta en función de la distancia a las demás.

Saludos.
4  Matemática / Matemáticas Generales / Re: Resolver ecuación argumento matemático : 15/01/2020, 19:05:00 pm
Hola,

¿Por que esto no se cumple [texx]e^{-\displaystyle\frac{t}{10}}=0[/texx] ? ¿El argumento matemático es que la función es estrictamente decreciente?

No, la razón es que la función [texx]f(t)=e^{-t/10}[/texx] con [texx]t\in\mathbb{R}[/texx] es estrictamente positiva. Su rango es [texx](0,+\infty)[/texx].

Saludos.
5  Matemática / Topología (general) / Examen de Topología General. : 14/01/2020, 18:29:42 pm
Hola,

Ejercicio 1 (1'5 puntos) Sea [texx](X,\mathcal{T})[/texx] un espacio topológico y [texx]A\subset X[/texx]. Indíquese, justificadamente, cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos y cuáles son falsos:

i) [texx]int(A)=int(\overline{A}).[/texx]

Falso. Como contraejemplo, [texx]A=(a,b)\cup(b,c)[/texx].
[texx]int(A)=(a,c)\setminus \{b\}[/texx]
[texx]int(\overline{A})=(a,c)[/texx]

ii) [texx]\overline{A}=\overline{int(A)}[/texx].

Falso. Como contraejemplo, [texx]A=\{0\}[/texx].
[texx]\overline{A}=\{0\}[/texx]
[texx]\overline{int(A)}=\emptyset[/texx]

iii) [texx]Fr(\overline{A})=Fr(A)[/texx].

¿Verdadero?

iv) [texx]Fr(int(A))=Fr(A).[/texx]

Falso. Como contraejemplo, [texx]A=\{0\}[/texx].
[texx]Fr(int(A))=\emptyset[/texx]
[texx]Fr(A)=\{0\}[/texx]

Ejercicio 2 [6'5 puntos] En [texx]\mathbb{R}^2[/texx] se consideran los conjuntos [texx]\mathscr{A}_r=B((0,0);r)[/texx] con [texx]r>0[/texx], siendo [texx]B((0,0);r)=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2; \sqrt{x^2+y^2}<r\}[/texx]

1) Probar que la familia [texx]\mathscr{A}=\{\mathscr{A}_r\}\cup \{(0,0)\}[/texx] es base para una topología [texx]\mathcal{T}[/texx] sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

[texx]\mathscr{A}[/texx] es un recubrimiento de [texx]\mathbb{R}^2[/texx].
[texx]\forall B_{\alpha},B_{\beta} \in \mathscr{A}: B_{\alpha}\cap B_{\beta}\neq \emptyset\:\: \exists B_{\gamma}\in \mathscr{A}\: / \:\: B_{\gamma}\subseteq B_{\alpha}\cap B_{\beta}[/texx]
[texx]B_{\gamma}[/texx] es [texx]B_{min\{\alpha,\beta\}}[/texx]

2) ¿Es [texx](\mathbb{R}^2,\mathcal{T})[/texx] un espacio de Hausdorff?

¿Cumple el axioma de separación T2?
[texx]T2: \forall x,y \in \mathbb{R}^2 (x\neq y)\:\: \exists U,V\in \mathcal{T}: x\in U \wedge y\in V \wedge U\cap V=\emptyset[/texx]
Existen puntos distintos del plano para los cuales no es posible hallar abiertos que los contengan y que sean disjuntos. Conclusión: no es Hausdorff.

3) Obtener los puntos límites de las siguientes sucesiones [texx]x_n=\bigg\{\bigg(\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\bigg)\bigg\}[/texx], [texx]y_n=\bigg\{\bigg(1+\dfrac{1}{n},0\bigg)\bigg\}[/texx]

Los abiertos básicos son discos concéntricos en [texx](0,0)[/texx].

4) ¿Es [texx](\mathbb{R}^2,\mathcal{T})[/texx] separable? ¿Es 2ºN?

[texx]\mathbb{Q}^2[/texx] es denso porque [texx](\forall B\in \mathscr{A})\:B\cap \mathbb{Q}^2\neq \emptyset[/texx] y es numerable por ser producto cartesiano finito de conjuntos numerables.
Incluso, el conjunto [texx]\{(a,0)\in \mathbb{R}^2: a\in \mathbb{Q}^+\cap \{0\}\}[/texx] también es un conjunto denso y numerable. Entonces [texx](\mathbb{R}^2,\mathcal{T})[/texx] es separable.

La base formada por los discos concéntricos en [texx](0,0)[/texx] y de radio racional es una base numerable de la topología considerada, luego es 2ºN.

5) Obtener una base de [texx]\mathcal{T}|_A[/texx], siendo [texx]A=[/texx] eje [texx]OX[/texx] , y de [texx]\mathcal{T}|_B[/texx], siendo B la recta [texx]x=1[/texx].

[texx]\mathcal{B}_{\mathcal{T}|_A}=\{(-r,r)\in\mathbb{R}:r\in \mathbb{R}\}[/texx]
[texx]\mathcal{B}_{\mathcal{T}|_B}=\{(-r',r')\in\mathbb{R}:r'\in \mathbb{R}\}[/texx]

6) Obtener el interior y el derivado de los siguientes conjuntos del plano:

[texx]A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: (x-1)^2+y^2=1\}[/texx]
[texx]int(A)=\emptyset[/texx]
[texx]A'=\{x\in \mathbb{R}^2: (\forall B_x \in \mathscr{A})B_x\cap (A\setminus \{x\})\neq \emptyset\}=\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}[/texx]

[texx]B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y\geq 1\}[/texx]
[texx]int(B)=\emptyset[/texx]
[texx]B'=\mathbb{R}^2\setminus \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq 1\}[/texx]

[texx]C=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 1<x<2\}[/texx]
[texx]int(C)=\emptyset[/texx]
[texx]C'=\mathbb{R}^2\setminus \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq 1\}[/texx]

[texx]D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x=0\}[/texx]
[texx]int(D)=\emptyset[/texx]
[texx]D'=\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}[/texx]

7) Indicar cuáles de las siguientes aplicaciones son continuas

Una aplicación es continua si [texx](\forall x) (\forall N_x \in \mathcal{N}_x)\: \exists M\in \mathcal{T}_Y \, / \:\: f(N_x)\subseteq M[/texx]

Una aplicación es continua si [texx](\forall x)(\forall B_{f(x)}\in B_{Y})f^{-1}(B_{f(x)})\in \mathcal{T}_X[/texx]


i) [texx]f:(\mathbb{R},\mathcal{T}_e)\to (\mathbb{R}^2,\mathcal{T})[/texx] dada por [texx]f(x)=(x,x)[/texx].

¿Cuál es el método a seguir?

ii) [texx]g:(\mathbb{R}^2,\mathcal{T})\to (\mathbb{R},\mathcal{T}_e)[/texx] dada por [texx]g((x,y))=x.[/texx]

¿Cuál es el método a seguir?

iii) [texx]h: (\mathbb{R}\setminus \{0\},\mathcal{T}_e)\to (A,\mathcal{T}|_A)[/texx] dada por [texx]h(x)=(x,0)[/texx] siendo A el eje [texx]Ox[/texx].

¿Cuál es el método a seguir?

8) ¿Cuáles de las anteriores aplicaciones son abiertas?

Una aplicación es abierta si lleva abiertos en abiertos. Se toman abiertos de tipo génerico y se comprueba cómo son al aplicarles [texx]f[/texx] y si coinciden con abiertos básicos de la topología de llegada.

i) No es abierta.

ii) No es abierta porque lleva el abierto [texx](0,0)[/texx] en el conjunto unitario [texx]\{0\}[/texx], que es cerrado en la topología euclídea.

iii) No es abierta.

9) ¿Es [texx](\mathbb{R}^2,\mathcal{T})[/texx] conexo?

Un espacio topológico es conexo si no existen conjuntos que sean a la vez abiertos y cerrados. Por esta razón, [texx](\mathbb{R}^2,\mathcal{T})[/texx] es conexo.

10) ¿Es [texx](\mathbb{R}^2,\mathcal{T})[/texx] compacto? ¿Lo es [texx]\big([0,1]\times \{0\},\mathcal{T}|_{[0,1]\times\{0\}}\big)[/texx]?

Un conjunto en un espacio topológico es compacto si de todo recubrimiento del mismo por abiertos puede extraerse un subrecubrimiento finito.

Para [texx](\mathbb{R}^2,\mathcal{T})[/texx], los elementos de la base son discos concéntricos en [texx](0,0)[/texx], así que cualquier recubrimiento forma un sucesión de discos encajados. Tomando el mayor de ellos y uniéndolo a [texx](0,0)[/texx], se obtiene un subrecubrimiento de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] formado por dos elementos.

Para [texx]\big([0,1]\times \{0\},\mathcal{T}|_{[0,1]\times\{0\}}\big)[/texx], los abiertos son: [texx]\{0\}[/texx], [texx](0,a)[/texx] con [texx]a\in \mathbb{R}[/texx], [texx](0,1][/texx] y sus uniones. Cualquier recubrimiento forma una sucesión de intervalos encajados. Tomando el mayor de ellos y uniéndolo a [texx]\{0\}[/texx], se obtiene un subrecubrimiento de [texx][0,1][/texx] formado por dos elementos.

Ejercicio 3 [2 puntos] Sobre [texx]\mathbb{Z}[/texx] se considera la familia [texx]\mathcal{B}=\{\mathcal{B}_n\}_{n\in\mathbb{Z}}[/texx] donde [texx]\mathcal{B}_n=\begin{cases} \{n\} & \text{si n es impar}\\ \{n-1,n,n+1\} & \text{si n es par}\end{cases}[/texx]

i) Si [texx]m[/texx] es impar, probar que [texx]f:\big( [0,1],\mathcal{T}_{e}|_{[0,1]}\big )\to (\mathbb{Z},\mathcal{T})[/texx] dada por [texx]f(t)=\begin{cases} m & \text{si}& t<1\\ m+1 & \text{si} & t=1\end{cases}[/texx] es continua.

¿Cómo se hace?

ii) Si m es par, probar que [texx]g:\big( [0,1],\mathcal{T}_{e}|_{[0,1]}\big )\to (\mathbb{Z},\mathcal{T})[/texx] dada por [texx]g(t)=\begin{cases} m & \text{si}& t=0\\ m+1 & \text{si} & t>0\end{cases}[/texx] es continua.

¿Cómo se hace?

iii) Probar que [texx](\mathbb{Z},\mathcal{T}[/texx] es conexo por caminos.

¿Cómo se hace?

Gracias.
6  Matemática / Topología (general) / Re: Sucesión en un espacio pseudométrico : 14/01/2020, 16:43:15 pm
Gracias Masacroso,

Saludos.
7  Matemática / Topología (general) / Sucesión en un espacio pseudométrico : 14/01/2020, 05:06:47 am
Hola,

Se considera el subconjunto del plano [texx]X=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x,y\geq 0\}[/texx] junto con la aplicación [texx]d:X\times X\to \mathbb{R}[/texx] dada por [texx]d((x,y),(x',y'))=|xy-x'y'|[/texx]
Estudiar la convergencia de la sucesión [texx]y_n=(\frac{1}{n},0)[/texx], [texx]n\geq 1[/texx], en [texx](X,d)[/texx].


He pensado suponer que si la sucesión es convergente y lo hace a [texx](x^*,y^*)[/texx], entonces [texx]\displaystyle\lim_{n} |x^*y^*-0|=0[/texx], por lo que [texx]x^*y^*=0[/texx]
Pero no veo claro el razonamiento a seguir.

Saludos.
8  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Extremos condicionados : 13/01/2020, 13:28:49 pm
Me he dado cuenta de que sale muy fácil si se usa el método descrito en https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange, apartado "Criterio de la derivada segunda para extremos con restricción", con el determinante de la matriz de Hesse limitada.

Gracias,

Saludos.
9  Matemática / Cálculo varias variables / Extremos condicionados : 12/01/2020, 17:37:07 pm
Hola,

Tengo la función [texx]f(x,y)=y^3-x^2[/texx] restringida a [texx]B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+3y^2\leq 3\}[/texx].

Calculando los extremos absolutos y relativos condicionados, salen:

[texx]f(0,0)=0[/texx], punto de silla.
[texx]f(\sqrt{3},0)=-3[/texx], mínimo absoluto.
[texx]f(-\sqrt{3},0)=-3[/texx], mínimo absoluto.
[texx]f(0,1)=1[/texx], máximo absoluto.
[texx]f(0,-1)=-1[/texx], "máximo relativo", que a priori no lo sé. Para hacer la clasificación de los mínimos y los máximos, he comparado los valores que la función toma en esos puntos. Pero no tengo un criterio que me diga los relativos. Hasta que no he visto el gráfico, no he podido ver que la función tiene un máximo relativo en (0,-1). ¿Existe alguna forma más o menos directa de ver esto, por inspección o algo? Saludos.



Código:
Show[ContourPlot3D[
  y^3 - x^2 - z == 0, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, -3.1, 2}],
 ContourPlot3D[{x^2 + 3*y^2 - 3 == 0, y^3 - x^2 - z}, {x, -2,
   2}, {y, -2, 2}, {z, -3.1, 2}, Contours -> {0},
  ContourStyle -> None, Mesh -> None,
  BoundaryStyle -> {1 -> None, 2 -> None, {1, 2} -> {{Thick, Blue}}}],
  Graphics3D[
  Sphere[{{0, 0, 0}, {Sqrt[3], 0, -3}, {-Sqrt[3], 0, -3}, {0, 1,
     1}, {0, -1, -1}}, 0.1]]]
10  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Multiplicadores de Lagrange y distancia al origen : 12/01/2020, 09:16:56 am
Todo aclarado, gracias.

Saludos.
11  Matemática / Cálculo varias variables / Multiplicadores de Lagrange y distancia al origen : 12/01/2020, 08:53:39 am
Hola,

Sea la curva definida por la intersección del paraboloide [texx]z=x^2+y^2[/texx] y el plano [texx]x+y+z=12[/texx]. Encontrar los puntos de mayor y menor distancia de la curva al origen.

Yo tendría como función [texx]f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/texx] y como restricciones a [texx]\Phi_1(x,y,z)=x^2+y^2-z=0[/texx] y [texx]\Phi_2(x,y,z)=x+y+z-12=0[/texx]. La pregunta es: ¿por qué se puede sustituir [texx]f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/texx] por [texx]f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2[/texx]? Entiendo que si no está sujeta a restricciones, la primera sea máxima (o mínima) si y sólo si la segunda es máxima (o mínima). Pero sujeta a restricciones no lo veo.

La función de Lagrange es: [texx]L(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2)=f(x,y,z)-\lambda_1 \Phi_1(x,y,z)-\lambda_2 \Phi_2(x,y,z)[/texx]

Y resolviendo el sistema, el mínimo se alcanza en [texx](2,2,8)[/texx] y vale [texx]6\sqrt{2}[/texx] y el máximo se alcanza en [texx](-3,-3,18)[/texx] y vale [texx]3\sqrt{38}[/texx].



Código:
Show[ContourPlot3D[
  x^2 + y^2 - z == 0, {x, -25, 25}, {y, -25, 25}, {z, -1, 25},
  PlotPoints -> 40, Mesh -> None,
  ContourStyle -> Directive[Blue, Opacity[0.65]]],
 ContourPlot3D[
  x + y + z - 12 == 0, {x, -25, 25}, {y, -25, 25}, {z, -25, 25},
  Mesh -> None,
  ContourStyle -> Directive[Yellow, Glow[Red], Opacity[0.8]]],
 Graphics3D[Sphere[{{2, 2, 8}, {-3, -3, 18}, {0, 0, 0}}, 1]]]
12  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Teoremas función implícita y condición suficiente de extremos : 11/01/2020, 18:34:03 pm
He echado un vistazo por encima y no he entendido algunas cosas: por ejemplo, por qué [texx]f[/texx] es continua (¿como lo "deduce" de lo anterior?) o por qué [texx]f(x+\Delta x)=f(x)+\Delta y[/texx] (¿qué significa exactamente [texx]\Delta y[/texx]?)

Conozco otras demostraciones del teorema y las veo claras, pero ésta no me lo parece. También es cierto que no estoy acostumbrado a ver incrementos indefinidos, debe ser eso.

Jajaja si así es, la conclusión es que la demostración es mala.

De todas formas, esta vez me la quedo, porque no tengo mucho tiempo. Seguramente ya le haya dedicado el doble o el triple de tiempo a aprendérmela que si hubiera tenido una buena desde el principio.

Gracias,

Saludos.
13  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Teoremas función implícita y condición suficiente de extremos : 11/01/2020, 15:11:09 pm
Gracias!

Saludos.
14  Matemática / Probabilidad / Cálculo de límites inferior y superior de una sucesión de conjuntos : 11/01/2020, 14:56:50 pm
Hola,

Sea [texx]\Omega[/texx] un espacio muestral distinto del vacío. Sea [texx]\{A_n\}[/texx] una sucesión de sucesos contenidos en [texx]\Omega[/texx], entonces se verifica que:

[texx]\overline{\lim}A_n=\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m[/texx]

[texx]\underline{\lim} A_n=\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty} A_m[/texx]


Ahora se me ocurren pocas definiciones menos intuitivas. ¿Algún aporte?

Saludos.
15  Matemática / Cálculo varias variables / Teoremas función implícita y condición suficiente de extremos : 11/01/2020, 13:29:19 pm
Hola,

Tengo casi aprendidas sendas versiones de la demostración de los teoremas de la función implícita y de la condición suficiente de extremos. El documento de donde las he sacado está bien redactado en general, pero contiene algunos fallos. Comentarios aparte, he subrayado en amarillo dos cosas en ambas demostraciones que no me han quedado claras. La primera es acerca del término [texx]\Delta F[/texx], que debería ser no un incremento, sino un cociente de incrementos. Y la segunda es acerca de cómo probar que si la segunda diferencial es indefinida, se tienen entornos donde es negativa y entornos donde es positiva, lo cual no me ha quedado claro cómo lo hace.

Saludos.
16  Matemática / Probabilidad / Re: Composición de funciones de distribución (ii) : 10/01/2020, 10:36:17 am
Sí, gracias.

Saludos.
17  Matemática / Probabilidad / Re: Variable aleatoria discreta que toma valores en los naturales. : 10/01/2020, 07:37:07 am
Si estás sacando los ejercicios de algún libro sería bueno decirlo así podría consultar el libro y ver cómo podría resolverse el ejercicio en el contexto teórico del libro.

Por ejemplo el intercambio de sumatorias se puede demostrar de muchas maneras, una de ellas es utilizando el teorema de Tonelli, pero hay otras formas más elementales sin recurrir a teoría de la medida.

Es una lista con 11 ejercicios de tipo teórico, llevo hechos 8, que dieron este miércoles. Si el próximo miércoles salgo a la pizarra y hago uno de ellos, tengo 0.25 más en el examen. Yo los estoy haciendo para tenerlos hechos, lo otro es secundario.

Saludos.
18  Matemática / Probabilidad / Re: Variable aleatoria discreta que toma valores en los naturales. : 10/01/2020, 05:23:25 am
Ahora que veo la demostración de a), está por encima de mí. La seguiré leyendo e intentando comprenderla, pero creo hay cosas que, a menos que se tenga un bagaje, no es posible incorporarlas correctamente al conocimiento de uno.

Esto se debe a que ayer estaba cansado. Si no es mediante la exposición a cosas más difíciles, ¿cómo va a poder estimularse la mejora en cualquier sentido?

Gracias Masacroso.
19  Matemática / Probabilidad / Re: Variable aleatoria discreta que toma valores en los naturales. : 09/01/2020, 20:00:57 pm
La parte b) no sé si está bien como la has hecho ya que no me queda claro qué es la sucesión [texx](p_k)[/texx], si la función de masa o la función acumulada de [texx]X[/texx].

Sí, el b) creo que está bien hecho. [texx](p_k)[/texx] es la función de masa.

Ahora que veo la demostración de a), está por encima de mí. La seguiré leyendo e intentando comprenderla, pero creo hay cosas que, a menos que se tenga un bagaje, no es posible incorporarlas correctamente al conocimiento de uno.

Gracias,

Saludos.
20  Matemática / Probabilidad / Variable aleatoria discreta que toma valores en los naturales. : 09/01/2020, 17:46:19 pm
Hola,

Sea [texx]X[/texx] una variable aleatoria discreta que toma valores en el conjunto de los números naturales con función de probabilidad [texx]\{p_k\}_{k\geq 1}[/texx]
a) Demostrar que si existe la esperanza de [texx]X[/texx] entonces [texx]E(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{P(X\geq k)}[/texx]
b) Si [texx]X[/texx] tiene por función de distribución [texx]F(x)=(1-p^k)I(k\leq x<k+1)[/texx] con [texx]k\in \mathbb{N}[/texx], calcular [texx]E(X)[/texx] usando el apartado anterior.


a) no sé demostrarlo.

b) Nota previa: Creo que el "k" de [texx]p^k[/texx] pretende denotar [texx]p_k[/texx], con k como subíndice y no como exponente.

[texx]P(X\geq k)=1-P(X<k)[/texx]

[texx]P(X<k)=F(x=k)-p_k=1-2p_k[/texx]

[texx]P(X\geq k)=2p_k[/texx]

[texx]E(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty P(X\geq k)=2 \displaystyle\sum_{k=1}^\infty p_k=2[/texx]

Gracias,

Saludos.
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