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1  Matemática / Teoría de números / Nuevo primo de Mersenne y Fermat : 06/02/2019, 02:43:00 pm
Nuevo primo de Mersenne:

[texx]2^{71} -1 = 2361183241434822606847[/texx]

Nuevo primo de Fermat:

[texx]2^{2^{6}} = 18446744073709551617[/texx]
2  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de computación / Errores en las calculadoras : 29/01/2019, 03:35:30 pm
Errores en las calculadoras de todo el mundo. Está en el numero [texx]42*10^{30} + 31[/texx].

Las calculadoras dan de valor:

[texx]42*10^{30} + 31 = 37*1135135135135135135135135135136[/texx].

Su valor es:

[texx]42*10^{30} + 31 = 37*1135135135135135135135135135135 + 36[/texx].

Como consecuencia de este error existen infinitos errores, tales como:

[texx](42*10^{30} + 31)^{n} = (1135135135135135135135135135136) ^{n}[/texx]

[texx]n(42*10^{30} + 31) = n*37*1135135135135135135135135135136[/texx].

Con [texx] n = (1;2;3;4;5.........\infty)[/texx]
3  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de computación / Re: Algoritmo para factorizar impares en O(N) : 11/01/2019, 09:26:17 am
Información: ya hay una persona que mostro interés por hacer el programa del algoritmo [texx]( N \equiv 0mod[3a+ (1,2)])[/texx] al cual le he dado toda la información y, la autorización única y personal.

Andri Lopez
4  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de computación / Re: Algoritmo para factorizar impares en O(N) : 27/12/2018, 08:15:00 am


[texx] a = (1;2;3;4;5.....lm(a_{n}))[/texx]

en el ejemplo [texx] a_{n} = 1[/texx]

Si N es primo [texx] a_{n} = \frac{ N - (1;2)}{3}[/texx]
5  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de computación / Algoritmo para factorizar impares en O(N) : 26/12/2018, 08:50:08 am
Algoritmo para factorizar todos y cada uno de los números impares.

Si N = impar y  [texx]N \neq 3a[/texx] entonces:

   [texx] N \equiv 0 mod[3a + (1,2)][/texx].

P.D. Quien tenga interés y pueda hacer el programa (publico). Tiene mi autorización.

Andri Lopez.
6  Matemática / Teoría de números / Re: Hipótesis de Riemann probada. : 24/12/2018, 09:49:38 am
Hola Granmurillo.

Riemann en si dia sugirió literalmente aunque no pudo probarlo según él, porque no le venia apropiado con lo que estaba haciendo. Todos los ceros de la función zeta serian con los números [texx]\Re[/texx].

Esto es lo que aquí se prueba y, que hay ceros entre 0 y 1/2; 0 y 1/3; 0 y1/4;.....
El mayor intervalo con números reales está en 0 y 1/2; por lo tanto no existen ceros entre 1/2 y 1.
[texx]\forall \Re = \frac{1}{n} [/texx]; con [texx]n\geq 2[/texx].

Lo relevante de H.R. está en la relación de los ceros con la cantidad de primos hasta un valor de (x);también queda probado y a su vez mejorado con la expresión.

                 [texx]\pi(x) \cong \frac{3^{k}}{k}[/texx]

Porque [texx]\forall Z_{p} = 3a + (1,2)[/texx].

Tenemos:

[texx]\frac{1}{2} + ib = 0 ; b = \sum_{k =1}^{\frac{1}{2*3^{k}};k\rightarrow \infty} \frac{1}{3^{k}}[/texx]

Su expresión analítica:

[texx]\left|\frac{1}{2}\right|^{2} + \left|i\left[\sum_{k=1}^{\frac{1}{2*3^{k}}} \frac{2*3^{k} - 2(x-1)}{2*3^{k}} + \frac{1}{2*3^{k}}\right]\right|_{x = 3^{k}\rightarrow 3^{k+1}}^{2} = 0[/texx]
7  Matemática / Teoría de números / Re: Las Ecuaciones de Galois tienen solución : 29/06/2018, 01:04:07 pm
Hola

Todos sabemos que: si se admite que los coeficientes en las ecuaciones de Galois sean [texx]R[/texx] o [texx]C[/texx] las ecuaciones tienen solución ¿verdad?.

Es algo confusa tu frase. Lo que es cierto es:

- Cualquier ecuación polinómica con coeficientes reales tiene soluciones en [texx]\mathbb{C}.[/texx]
- Cualquier ecuación polinómica con coeficientes reales y de grado impar tiene al menos una solución real.
- Existen ecuaciones polinómicas con coeficientes reales y de grado par que no tienen soluciones reales.

Cita
Pues bien ahora ya podremos enunciar: las ecuaciones de Galois tienen solución con coeficientes [texx](Z, R, C)[/texx].

La siguiente cuestión: en el enunciado de Abel no precisa concretamente que el método que se determine para dar la solución a las ecuaciones de Galois contenga siempre las tres leyes de la aritmética; suma, multiplicación y radical.
Si esto fuera así entonces queda demostrado que para las ecuaciones de Galois con coeficientes enteros, no EXISTE UN METODO PARA DAR LA SOLUCION; porque el método de factorización nunca define un método con las tres leyes aritméticas; es decir [texx]x \neq\sqrt{ m*n + c}[/texx]. Si admite  [texx](x = m*n + c) [/texx] como factor común de dos de sus coeficientes.

No sé que quieres decir aquí; lo que dice el Teorema de Abel es que una ecuación polinómica de grado mayor o igual que cinco, en general no puede resolverse por radicales.  Ahora ya no sé si afirmas lo mismo o pretendes refutarlo.

Saludos.

Hola Luis Fuente.

Cierto, con el método de factorización se da solución a todo polinomio de grado cinco o superior con todos sus monomios [texx](ax^n \in Z)[/texx].

Pasemos a analizar lo siguiente: Por la Teoria de Galois se asume la solución de un polinomio de grado cinco o superior si es un grupo de Galois que contiene un grupo finito resoluble.

El grupo finito mas idóneo para ello es, la curva elíptica [texx]x^3 + ax^2 + bx + c = y^2[/texx].

Dado un polinomio:

[texx]x^5 + 6x^4 + 42x^3 + 153x^2 + 170x + 142956 = 0[/texx]

En primer lugar determinar si contiene una curva elíptica, para ello, tendremos en cuenta los coeficientes del polinomio en [texx](x^4; x^3; x^2; x)[/texx].

El método es el siguiente:

(i) [texx]6 = a + n[/texx]; (a) es el coeficiente de la curva elíptica, (n) un valor numérico.
(ii) [texx]42 = b + n*a[/texx]; (b) coeficiente de la curva.
(iii) [texx]153 = c + n*b[/texx]; (c) coeficiente de la curva.
(iiii) [texx]170 = n*c[/texx].

Despejamos (a) en (i) y (ii); por la igualdad de (a) tenemos:

[texx]6 - n = \frac{42 - b}{n} \Rightarrow[/texx] [texx]6n - n^2 = 42 - b[/texx] (1)

Observamos que (n) solo admite valores [texx]n < 7[/texx] para raíces enteras positivas.
 
Por (iiii) vemos que (n) o (c) será par. [texx]\frac{170}{2} = 85; \frac{170}{5} = 34; \frac{170}{10} = 17[/texx].

por la igualdad (1) sabemos que  n =( 2,5); comenzamos con (n=2) lo que implica que (c= 85) y (b = 34).
a continuación comprobamos si son los coeficientes de la curva elíptica:

[texx]x^3 + 4x^2 + 34x + 85 = y^2[/texx].

Con la ecuación siguiente siempre conocemos el valor de (x) en las curvas elípticas.

[texx]x = \frac{[b - (\frac{a}{2}) ^2]^2}{4[c - [b- (\frac{a}{2}) ^2] (\frac{a}{2})]}[/texx]

dando valores:

[texx] x = \frac{[34 - (\frac{4}{2})^2]^2}{4[85 - [34 - (\frac{4}{2})^2](\frac{4}{2})]}[/texx]

comprobamos si (x = 9) en la curva, se verifica que es correcto, por lo tanto sustituimos el valor de (x = 9) en el polinomio.

[texx]9^5 + 6*9^4 + 42*9^3 + 153*9^2 + 170*9 + (-142956) = 0[/texx].

Se corrobora que es posible dar solución con una ecuación general a los polinomios de grado mayor o igual a cinco.
8  Matemática / Geometría y Topología / Re: Construcción con regla y compás de ángulo 90/pi : 23/06/2018, 07:37:29 am
Hola

 He separado este mensaje del hilo original, porque se desvía de la cuestión que planteaba en él.

Al hilo del debate ¿Por qué nos sorprende y se rechaza de plano? cuando alguien da una idea sobre la cuadratura del circulo.

 Básicamente porque el problema de la cuadratura del círculo está completamente resuelto y aclarado. Está demostrado que no puede construirse con regla y compás un cuadrado con el mismo área que una circunferencia dada.


Es cierto que no existe un polinomio para [texx]\pi[/texx]; esto no es en absoluto un impedimento para la construcción con regla y compas. Veamos el primer tema del debate.

Cita
Enfer Diez demuestra la construcción con regla y compas del ángulo de [texx]\frac{90}{\pi}[/texx] .

Define el valor del coseno: [texx]cos(\frac{90}{\pi}) = \frac{2}{\sqrt5}[/texx]; valor absoluto:

ver la publicación: http://www.ceser.in/ceserp/ijmc/article/view/4674/0.

El enlace correcto parece ser este:

http://www.ceser.in/ceserp/index.php/ijmc/article/view/4674/0

pero no deja descargar el artículo. Sea como sea esto:

Cita
Define el valor del coseno: [texx]cos(\frac{90}{\pi}) = \frac{2}{\sqrt5}[/texx]; valor absoluto:

es ya un disparate; el coseno de ese ángulo no toma ese valor; al menos con la definición usual de coseno. Si estás llamando "coseno" a otra cosa, pues obviamente pude tomar el valor que te de la gana.

Saludos.

Hola Luis Fuente.

Perdona, no es ningún disparate lo indicado [texx]cos(\frac{90}{\pi}) = \frac{2}{\sqrt{5}}[/texx].

Todos sabemos que: el ángulo [texx]\frac{90}{\pi}[/texx] pertenece al sector circular cuyo arco tiene de valor [texx]\frac{r}{2}[/texx].

Enfer verifica: el triangulo rectángulo que tiene los dos lados de valor [texx](r; \frac{r}{2})[/texx]; el ángulo opuesto al lado [texx]\frac{r}{2}[/texx] es [texx]\frac{90}{\pi}[/texx].

Si en el sector circular en cuestión trazas una perpendicular desde el punto (a') al lado (r) horizontal en el plano se define el triangulo rectángulo contenido en el sector circular; obviamente tiene el ángulo de [texx]\frac{90}{\pi}[/texx]. Pues bien si ahora trazas una perpendicular al punto (a)  tangencial al arco y, a continuación prolongas la hipotenusa del triangulo rectángulo (contenido en el sector)  hasta insertar en  la perpendicular a (a) tendrás de nuevo el triangulo rectángulo semejante al anterior ( mismo ángulo [texx]\frac{90}{\pi})[/texx].

Enfer prueba que el valor de este último lado es [texx]\frac{r}{2}[/texx]; por lo tanto de forma absoluta [texx]cos(\frac{90}{\pi}) = \frac{2}{\sqrt5}[/texx]:

Quiero pensar que con estos datos puedes verificarlo, si no es así, obviamente tendrás que consultar el papel (cierto está en cerrado).

Una vez que lo corrobores estaremos en condiciones de continuar el debate (para mi será un placer) y pasar a la segunda cuestión, cuadratura del circulo. Nadie debiera sorprenderse (todos hemos asumido la imposibilidad), y sí creo que para juzgarlo hay que llegar al final (segundo punto). La negativa ya la tenemos veamos el SÍ del final. 
9  Matemática / Teoría de números / Re: Las Ecuaciones de Galois tienen solución : 23/06/2018, 06:40:00 am
Hola

No quiero pensar que asumas que todos los coeficientes de las ecuaciones de Galois tienen que ser positivos.

No; no asumo tal cosa. Pueden tener cualquier signo, claro.

Cita
Cuando hago referencia a que existan es que tienen por raíz cero,


No se entiende que queires decir con que tengan raíz cero; los polinomios tienen raíz cero si y sólo si su término independiente nulo. Pero no sé que tiene que ver con todo lo que haces/dices después.

[texx]12x^{5} + 7x^{4} + 20x^{3} + 1032x^{2} + 280x + 32 = 0[/texx]

Cita
Si factorizamos (1032 y 280) tenemos por factor común [texx]2^{3}[/texx],  por lo tanto (x) tomara el valor de [texx]x = (2^{3}; 2^{2}; 2)[/texx]. Si no se cumple la ecuación entonces, no existe  ningún otro valor para (x).

[texx]12* 4^{5} + 7*4^{3} + 20*4^{2} + (-1032*4^{2}) + 280*4 = - 32[/texx]

otro ejemplo.

[texx]23x^{5} + 7x^{4} + 12x^{3} + 30x^{2} +1625x + 125 = 0[/texx]

Si factorizamos (1625 y 125) tenemos como factor común [texx]5^{3}[/texx] con lo cual (x) tomara el valor de [texx]x = (5^{3}; 5^{2}; 5)[/texx].

[texx]23*5^{5} + 7*5^{4} + 12*5^{3} + (-30*5^{2}) + (-1625*5^{2}) = - 125[/texx]

como veras el proceso es simple; si tu mismo construyes ecuaciones de Galois para la raíz cero; verificaras que el valor que has asignado a (x) se determina con el método de factorización de los dos coeficientes de mayor valor, elegimos el factor común y (x) tomara uno de ellos para la  solución. Evidentemente a partir de esto compartirás conmigo y con todos los que lo hayan realizado: Las ecuaciones de Galois se resuelven en base a sus coeficientes.

Parece que sólo tratas de buscar soluciones enteras; pero el Teorema de Abel no dice nada especial sobre soluciones enteras; habla sobre la posibilidad de encontrar una expresión explícita para su solución sea o no entera. Todo lo que dices muestra (entre otras cosas) una nula comprensión del mismo.

Cita
PD. Las otras dos ecuaciones que indicas no tienen solución para ningún valor de (x), porque tienen por factor común en los dos coeficientes [texx]2^{3}[/texx]y dando a [texx]x = (2^{3}; 2^{2}; 2)[/texx] no tenemos raíz cero.

Cualquier polinomio de grado impar tiene al menos una solución real. Por ejemplo:

[texx]12x^{5} + 7x^{4} + 20x^{3} + 1032x^{2} + 280x + 32 = 0[/texx]

tiene por raíz aproximadamente:

[texx]x\approx -4.392706784203997[/texx]

Saludos.

Hola  Luis Fuente

Efectivamente se demuestra que las ecuaciones de Galois también tienen solución con todos sus monomios [texx](ax^{n} \in Z)[/texx].

Todos sabemos que: si se admite que los coeficientes en las ecuaciones de Galois sean [texx]R[/texx] o [texx]C[/texx] las ecuaciones tienen solución ¿verdad?.

Pues bien ahora ya podremos enunciar: las ecuaciones de Galois tienen solución con coeficientes [texx](Z, R, C)[/texx].

La siguiente cuestión: en el enunciado de Abel no precisa concretamente que el método que se determine para dar la solución a las ecuaciones de Galois contenga siempre las tres leyes de la aritmética; suma, multiplicación y radical.
Si esto fuera así entonces queda demostrado que para las ecuaciones de Galois con coeficientes enteros, no EXISTE UN METODO PARA DAR LA SOLUCION; porque el método de factorización nunca define un método con las tres leyes aritméticas; es decir [texx]x \neq\sqrt{ m*n + c}[/texx]. Si admite  [texx](x = m*n + c) [/texx] como factor común de dos de sus coeficientes.
10  Matemática / Geometría y Topología / Construcción con regla y compás de ángulo 90/pi : 19/06/2018, 02:05:57 pm
Al hilo del debate ¿Por qué nos sorprende y se rechaza de plano? cuando alguien da una idea sobre la cuadratura del circulo.

Es cierto que no existe un polinomio para [texx]\pi[/texx]; esto no es en absoluto un impedimento para la construcción con regla y compas. Veamos el primer tema del debate.

Enfer Diez demuestra la construcción con regla y compas del ángulo de [texx]\frac{90}{\pi}[/texx] .

Define el valor del coseno: [texx]cos(\frac{90}{\pi}) = \frac{2}{\sqrt5}[/texx]; valor absoluto:

ver la publicación: http://www.ceser.in/ceserp/ijmc/article/view/4674/0.

Una vez hayan visto la publicación, será un placer ser participe de un gran debate.
11  Matemática / Teoría de números / Re: Las Ecuaciones de Galois tienen solución : 19/06/2018, 07:22:10 am
Hola

Ver:

Andri López (2016). The Arithmetic in Galois's Equations. Universal Journal of Computational Mathematics, 4 , 21 - 23. doi: 10.13189/ujcmj.2016.040202.

El artículo, igual que el citado aquí de autor Enfer y el citado aquí de autor el propio Andri López, vuelve a estar publicado en una revista timo, carente de las mínimas garantías de revisión.

Los tres artículos comparten una escritura muy deficiente, poco precisa y lo que es más importante, son un absoluto despropósito en cuanto a su contenido matemático (ya expuse la justificación en los correspondientes hilos para los otros dos).

Cita
Para ello tomamos dos de los coeficientes de mayor valor, los factorizamos y el elemento común a ambos es el valor de [texx](x)[/texx].

Un ejemplo con la ecuación de quinto grado.

[texx]12x^{5} + 7x^{4} + 20x^{3} + 1032x^{2} + 280x + 32 = 0[/texx]

solución [texx]x = 4[/texx]

Evidentemente y como se ha apuntado x=4 No es solución de esa ecuación. Si lo es de esta otra:

[texx]12x^{5} + 7x^{4} + 20x^{3} \color{red}- 1032x^{2}\color{black} + 280x + 32 = 0[/texx]

En el artículo no se da ningún método general para resolver ecuaciones polinómicas de quinto grado o superior[texx]^{(1)}[/texx]; en primer lugar en las cuentas que se exponen no se utilizan todos los coeficientes de la ecuación, con lo que modificando los no usados se obtendría una ecuación diferente con otras soluciones, pero que según el "método" propuesto deberían de tener las mismas.

Además se cae reiteradamente en el mismo error  que en el ejemplo usado por Eulogio. Se propone una ecuación y luego la solución dada es en realidad la solución a otra ecuación diferente (con un cambio de signo en un coeficiente).

Adicionalmente se muestra una nula comprensión del teorema de Abel, que afirma que en no se puede dar la solución general de  una ecuación poliónomica de grado cinco o superior mediante radicales; esto no impide que uno pueda dar soluciones para ecuaciones concretas.

Saludos.



[texx]^{(1)}[/texx] Si alguien piensa que el artículo si da un método para resolver tales ecuaciones hay una forma muy sencilla de mostrarlo. Indicar como se aplica para la ecuación:

[texx]12x^{5} + 7x^{4} + 20x^{3} + 1032x^{2} + 280x + 32 = 0[/texx]

que obviamente (como apuntaba Eulogio) No tiene por solución x=4 ya que:

[texx]12\cdot 4^{5} + 7\cdot 4^{4} + 20\cdot 4^{3} + 1032\cdot 4^{2} + 280\cdot 4+ 32 = 33024\neq 0[/texx]


Hola Luis Fuente.

No quiero pensar que asumas que todos los coeficientes de las ecuaciones de Galois tienen que ser positivos.

Cuando hago referencia a que existan es que tienen por raíz cero, con todos sus monomios [texx](ax^{n} \in Z)[/texx]

[texx]12x^{5} + 7x^{4} + 20x^{3} + 1032x^{2} + 280x + 32 = 0[/texx]

Si factorizamos (1032 y 280) tenemos por factor común [texx]2^{3}[/texx],  por lo tanto (x) tomara el valor de [texx]x = (2^{3}; 2^{2}; 2)[/texx]. Si no se cumple la ecuación entonces, no existe  ningún otro valor para (x).

[texx]12* 4^{5} + 7*4^{3} + 20*4^{2} + (-1032*4^{2}) + 280*4 = - 32[/texx]

otro ejemplo.

[texx]23x^{5} + 7x^{4} + 12x^{3} + 30x^{2} +1625x + 125 = 0[/texx]

Si factorizamos (1625 y 125) tenemos como factor común [texx]5^{3}[/texx] con lo cual (x) tomara el valor de [texx]x = (5^{3}; 5^{2}; 5)[/texx].

[texx]23*5^{5} + 7*5^{4} + 12*5^{3} + (-30*5^{2}) + (-1625*5^{2}) = - 125[/texx]

como veras el proceso es simple; si tu mismo construyes ecuaciones de Galois para la raíz cero; verificaras que el valor que has asignado a (x) se determina con el método de factorización de los dos coeficientes de mayor valor, elegimos el factor común y (x) tomara uno de ellos para la  solución. Evidentemente a partir de esto compartirás conmigo y con todos los que lo hayan realizado: Las ecuaciones de Galois se resuelven en base a sus coeficientes.

PD. Las otras dos ecuaciones que indicas no tienen solución para ningún valor de (x), porque tienen por factor común en los dos coeficientes [texx]2^{3}[/texx]y dando a [texx]x = (2^{3}; 2^{2}; 2)[/texx] no tenemos raíz cero.
12  Matemática / Teoría de números / Re: Hipotesis de Riemann probada. : 18/06/2018, 01:37:13 pm
Andri, existe algún enunciada más cuya demostración implica la demostración de la hipótesis de Riemann; uno de ellos es de un matemático contemporáneo, yo puse un hilo hablando de ello, pero no sé ahora dónde; y es más sencillo de entender el enunciado auténtico. Pero no importa, porque hay otro más “sencillo” que también la implica, el relacionado con la conjetura de Mertens.

He encontrado el hilo que decía
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=90391.0

En primer lugar se trata de considerar la sucesión de números naturales que sean libres de cuadrados; es decir, cuya descomposición en factores primos sea tal que todos los primos sean distintos; así, por ejemplo, vamos poniendo el 1 y los primos y  quitamos compuestos como el 4, ponemos el 6 (que es dos por tres, no se repiten primos) etc.

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17...

De estos números distinguiremos entre los que están formados por una cantidad par o par de factores primos; así 6 está compuesto por dos facotres, el dos y el tres, 30 está compuesto por tres factores, cantidad impar... etc. En el caso del 1 no lo condieraremos dentro del grupo de los de cantidad impar, sino par (es así, es una cosa que se llama la función de Möbius).

Se trata entonces de contar los de cantidad par e impar y hallar la diferencia. Por ejemplo, hasta 17 tenemos que 1, 6, 10, 14, 15 son de factorización par, y hacen cinco elementos, cinco números. Los restantes son de cantidad impar de factores 2,3,5,7,11,13,17; hay siete, la diferencia con los otros es 2.

Llamando “n” al mayor de la sucesión, la diferencia tiene que ser menor que [texx]n^{\frac {1}{2}+\varepsilon}[/texx] para que siempre se cumpla la hipótesis para el “n” que sea. Esto [texx] \varepsilon [/texx] es un valor que está entre cero y ½.
En este caso n=17, entonces
[texx]2<17^{\frac{1}{2}+\varepsilon}\Rightarrow2<4,123105626
 [/texx] (donde ha bastado tomar épsilon igual cero para que se verifique).

La explicación es aproximada, para más información puedes buscar en internet por “Conjetura de Mertens, hipótesis de Riemann”.

En cualquier caso, de momento, sigue siendo imposible de demostrar para cualquier mortal.

Saludos.


Hola feriva.

Gracias por indicar lo que ya sabemos.

En referencia a ello, te indico, que existe una expresión mas concreta y directa para los primos en todo valor de (N); como  es: la diferencia entre los pares y primos que hay hasta todo (N).

[texx]N(2a-p)\leq 6b[/texx]; obviamente 2a = par y p = primo.

13  Matemática / Teoría de números / Re: Hipotesis de Riemann probada. : 18/06/2018, 01:29:01 pm
Parece que necesitas un poco de explicaciones sobre lo que se necesita probar. Riemann indicó en su continuación analítica de la función zeta

La función [texx]\zeta[/texx] de Riemann es meromorfa, es decir, no necesita ser continuada analíticamente en el plano complejo. Lo que quieres decir es que la función [texx]\zeta[/texx] de Riemann es la continuación analítica en el plano complejo de la siguiente función

[texx]\displaystyle f:\{z\in\Bbb C:\Re(z)>1\}\to\Bbb C,\quad z\mapsto \sum_{k=1}^\infty k^{-z}[/texx]

Todos sabemos que [texx]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/texx] es divergente y también que en la [texx]\zeta[/texx] solo existen aproximaciones de cero; siendo necesario determinar el numero entero mas próximo  en cada una de las aproximaciones de cero.

Enunciado de Riemann: Todo los CEROS de la función zeta están en la línea recta con [texx]a = \frac{1}{2}[/texx].

Subrayo el cero porque Riemann intuía que existirían ceros en la función [texx]\zeta[/texx] y que estos tendrían relación directa con la desviación de la media del promedio de los números primos.

Conocemos la expresión para cuantificar los primos hasta un valor de (x) [texx]\pi(x)\cong\frac{x}{logx}[/texx]; sabemos de sus errores y que estos se incrementa cuanto mayor sea (x).

Por la intuición de Riemann y las series convergentes podemos cuantificar primos en la forma [texx]\pi (n) \cong \frac{n}{n(0)}[/texx].

Es decir:
[texx]\pi(n)\cong(\frac{6}{1}; \frac{18}{2}; \frac{72}{3}; \frac{648}{4}; ......)[/texx], serie [texx]\frac{1}{2}[/texx].

[texx]\pi(n)\cong(\frac{12}{1}; \frac{36}{2}; \frac{108}{3};\frac{324}{4}; ......) [/texx], serie [texx]\frac{1}{3}[/texx].

Demuestro la hipótesis de Rieman porque no existen ceros absolutos en la funcion[texx]\zeta[/texx]. Los únicos ceros para la función [texx]\zeta[/texx] están en las series convergentes.

Es decir que:

[texx](a + ib; b = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}) \neq (a + ib = 0; b = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n+1})[/texx].
14  Matemática / Teoría de números / Hipótesis de Riemann probada. : 06/06/2018, 07:35:14 am
Hipótesis de Riemann: Todos los ceros de la función zeta están en la línea recta, con s=1.

[texx]\zeta(s) = a+ib = 0 \Rightarrow (a= \frac{1}{n}; b = \sum_{n}^{\infty)}\frac{1}{n})[/texx]

[texx]\left|\frac{1}{n}\right|^{2} + \left|i\left(\sum_{n}^{\infty}\frac{1}{n}\right)\right|^{2} = 0[/texx]

[texx]f(x) = \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n} = \frac{1}{2}[/texx]
[texx]f(x) = \sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{n} = \frac{1}{3}[/texx]

Todo numero real tiene su inicio en la serie en la forma: [texx]\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}[/texx] para todo y cada una de las series convergentes.

La extensión  de cada serie parte de los dos sumandos de inicio, su expansión se forma con el método de sustitución progresiva para mantener la raíz de origen; esto se obtiene factorizando el último de los denominadores progresivamente en la serie.

[texx]\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{n}[/texx]

con [texx](c > b)[/texx] factorizamos (c), si [texx]c = 2*3[/texx] incrementamos en una unidad cada uno de los factores (2+1,3+1,6+1), los multiplicamos por (c); c(2+1); c(3+1); c(6+1).

A continuación sustituimos cada uno de estos valores en la fracción [texx]\frac{1}{c}[/texx].

[texx]\frac{1}{c} - \frac{1}{c(2+1)} = \frac{1}{n_{1}}[/texx]
[texx]\frac{1}{c} - \frac{1}{c(3+1)} = \frac{1}{n_{2}}[/texx]
[texx]\frac{1}{c} - \frac{1}{c(6+1)} = \frac{1}{n_{3}}[/texx]

Sustituimos estos tres sumandos de [texx]\frac{1}{c}[/texx] en la fracción de origen.

[texx]\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{n}[/texx]
[texx]\frac{1}{b} + \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{c(2+1)} = \frac{1}{n}[/texx]
[texx]\frac{1}{b} + \frac{1}{n_{2}} + \frac{1}{c(3+1)} = \frac{1}{n}[/texx]
[texx]\frac{1}{b} + \frac{1}{n_{3}} + \frac{1}{c(6+1)} = \frac{1}{n}[/texx]

Veamos el desarrollo con ejemplos: [texx]a = \frac{1}{2}[/texx]

[texx]\left|\frac{1}{2}\right|^{2} + \left|i\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)\right|^{2} = 0[/texx]

[texx]\left|\frac{1}{2}\right|^{2} + \left|i\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18}\right)\right|^{2} = 0[/texx]

[texx]\left|\frac{1}{2}\right|^{2} + \left|i\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{24} + \frac{1}{72}\right)\right|^{2} = 0[/texx]

[texx]\left|\frac{1}{2}\right|^{2} + \left|i\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{24} + \frac{1}{84} + \frac{1}{648}\right)\right|^{2} = 0[/texx]

[texx]\left|\frac{1}{2}\right|^{2} + \left|i\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{24} + \frac{1}{84} + ...+..\right)\right|^{2} = 0[/texx]

Y para [texx]\frac{1}{3}[/texx] tenemos.

[texx]\left|\frac{1}{3}\right|^{2} + \left|i\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{12}\right)\right|^{2} = 0
[/texx]

[texx]\left|\frac{1}{3}\right|^{2} + \left|i\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{18} + \frac{1}{36}\right)\right|^{2} = 0[/texx]

[texx]\left|\frac{1}{3}\right|^{2} + \left|i\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{18} + \frac{1}{54} + \frac{1}{108}\right)\right|^{2} = 0[/texx]

[texx]\left|\frac{1}{3}\right|^{2} + \left|i\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{18} + \frac{1}{54} + \frac{1}{162} + \frac{1}{324}\right)\right|^{2} = 0[/texx]

[texx]\left|\frac{1}{3}\right|^{2} + \left|i\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{18} + \frac{1}{54} + \frac{1}{162} + .... + ...\right)\right|^{2} = 0[/texx]

También existen series exponenciales convergentes para cada uno los números reales con [texx](n = 2,3,4,5....\infty)[/texx] y [texx](k = 1,2,3,4,5....\infty)[/texx].

[texx]\frac{1}{n} = \sum_{n}^{n(n+1)\rightarrow\infty}\frac{1}{(n+1)^{k}}[/texx]

Ejemplo: n= 2.

[texx]\frac{1}{3^{1}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{2*3^{2}} = \frac{1}{2}[/texx]
[texx]\frac{1}{3^{1}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{2*3^{3}} = \frac{1}{2}[/texx]
[texx]\frac{1}{3^{1}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + ... + \frac{1}{3^{k}} + \frac{1}{2*3^{k}} = \frac{1}{2}[/texx]

y para  n=3.

[texx]\frac{1}{4^{1}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{3*4^{2}} = \frac{1}{3}[/texx]
[texx]\frac{1}{4^{1}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{4^{3}} + \frac{1}{3*4^{3}} = \frac{1}{3}[/texx]
[texx]\frac{1}{4^{1}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{4^{3}} + \frac{1}{4^{4}} + ... + \frac{1}{4^{k}} + \frac{1}{3*4^{k}} = \frac{1}{3}[/texx]

Esto verifica que el numero de ceros de la función zeta en todas y cada una de las series es:

[texx]N(0) = N_{s} - 1[/texx]

[texx]N_{s}[/texx] es el numero de sumandos.
15  Matemática / Teoría de números / Conjetura de Collatz probada : 01/06/2018, 08:16:21 am
Dado cualquier número entero: si es par lo dividimos entre potencia de dos y si es impar lo multiplicamos por tres le sumamos la unidad y lo dividimos por potencia de dos. Siempre absolutamente siempre con todo número llegamos al ciclo 4,2,1; porque.

1 - No existe un valor de (a) que sea ciclo de (a).
2- Todo número impar [texx](2a+1 \neq 3a) \in (3a + (1,2)) [/texx]

1- con [texx]a > 1[/texx] tenemos que:

[texx]\frac{3a+1}{2} \neq a[/texx] ya que [texx]3a - 2a = a*1[/texx]

Esto es trivial pero fundamental ya que viene a indicar que el número de operaciones a de ser finito. Como [texx]2a+1 \in (3a + (1,2))[/texx] entonces tendrá que haber infinitos valores de (a) que nos lleven a unos valores de ((a) que sea el punto de inicio) para el descenso continuo a la unidad; bien directamente ó a través del punto convergente (a = 5).

Para definir todos los ((a) puntos de inicio) tenemos los dos siguientes algoritmos; [texx] x \geq 1[/texx].

[texx] (3*4^{x} + 4^{x-1} + 4^{x-2} + ......+ 4^{x-x}) = a[/texx]

[texx] (5*4^{x} + 4^{x-1} + 4{x-2} + ........+ 4^{x-x}) = a[/texx]

Ejemplos respectivos.

[texx] a = 13 [/texx]                            [texx] a = 21 [/texx]
[texx] a = 53 [/texx]                            [texx] a = 85 [/texx]
[texx] a = 213 [/texx]                          [texx] a = 341 [/texx]
[texx] a = 853 [/texx]                          [texx] a =1365 [/texx]                         
[texx] a = 3413 [/texx]                        [texx] a = 5461[/texx]
  ...............                                              .............

Una vez conocidos los ((a) puntos de inicio) haremos la operación inversa sobre cada uno de ellos para conocer la magnitud numérica para cada (a); es decir pasamos a determinar ((a) conductores) para los puntos de inicio.

[texx]\frac{2^{n}*a - 1}{3} = a_{1} \rightarrow \frac{2^{n}*a_{1} - 1}{3} = a_{2}[/texx]
[texx]\rightarrow \frac{2^{n}* a_{2} - 1}{3} = a_{3} \rightarrow ......... lim (a_{x} = 3b)[/texx]
16  Matemática / Teoría de números / Re: Conjetura de Goldbach. : 22/05/2018, 12:42:25 pm


Hola, Andri.

A partir de la respuesta del spoiler


entonces, tomando un ejemplo paralelo, tenemos [texx]2(2*14)=56
 [/texx] y tenemos también que existe al menos una suma de dos primos que cumplen lo que queremos [texx]5+23=2*14
 [/texx]; ¿Cómo busco aquí dos compuestos tales que [texx](2a+1)+(2b+1)=56
 [/texx] o bien, si no pudiera ser, tales que [texx](2a+1)+(2b+1)=28
 [/texx]?

Por otra parte como sé que siempre hay primos; escoges ejemplos con números pequeños, pero si tomamos, por poner un caso, [texx]2n=13082761331670030[/texx] resulta que [texx]2n-3[/texx] no es primo, es múltiplo de 3, y [texx]2n-5[/texx] es múltiplo de 5, y análogamente lo mismo con [texx]2n-7[/texx], con [texx]2n-11[/texx], con [texx]2n-13[/texx], con [texx]2n-17[/texx]... y, si se quiere elegir un número más grande, hay una cantidad sin límite de primos consecutivos que no cumple la conjetura fuerte de Goldbach (lo cual no implica ni mucho menos que no se cumpla la conjetura pero, sí implica que podemos “componer” números en los que puede ser hasta completamente imposible con la tecnología actual encontrar ejemplos de dos primos que sumen el par).

Saludos. 


Hola Feriva.

Me parece bien tú inquietud; aunque está no hace falta ya que las ecuaciones afirman que es correcta para cada uno de los valores 2n.

No obstante  te indicare formas aplicables para (n) excesivamente grandes.

Si 2n tiene como sumandos dos primos gemelos, siempre se determinan los sumandos compuestos en la forma (me disculparas pero por conflicto de intereses no puedo hacer el desarrollo, como te indique anteriormente se publicará en Agosto) y si te indicaré.

si los dos sumandos son primos gemelos [texx]p < p_{n}[/texx]; entonces:

[texx] p - 2 = 2a+1[/texx] y [texx] p_{n} + 2= 2b+1[/texx].

Y si los dos sumandos no son primos gemelos, entonces:

[texx] p -2 = 2a+1[/texx] ; [texx]p_{n} -2 = 2b+1[/texx]

ó [texx] p + 2 = 2b+1[/texx] ; [texx] p_{n} + 2 = 2b+1[/texx].


También para esto último tenemos: elegir valores de (1, n) que sean primos gemelos y a continuación formar cuatro de sus filas: sean [texx]( p ; p_{n})[/texx]

[texx] 2n - p + p = 2n [/texx]

[texx] 2n - p_{n} + p_{n} = 2n[/texx] ; sabemos que siempre que [texx](p y p_{n})[/texx] sean primos gemelos si hacemos.

[texx] p - 2 = 2a+1[/texx] y [texx] p_{n} + 2 = 2b+1[/texx]

Por lo tanto tenemos que:

[texx] [2n - (p-2)  + (p-2) ] < 2n-p + p = 2n[/texx]

y

[texx] [2n - (p_{n} + 2) + (p_{n} +2)] > 2n-(p_{n} + p_{n} = 2n[/texx]

es la única opción de tener compuestos; si no se obtienen aquí probaremos con las siguientes parejas de primos gemelos; sabiendo de antemano que siempre habrá como mínimo una que lo cumpla.

Esto implica la solución del problema de paridad. Es decir poder separar (tamiz)en todo 2n parejas de compuestos , parejas primos.
 
saludos.

Andri Lopez

17  Matemática / Teoría de números / Re: Conjetura de Goldbach. : 15/05/2018, 07:20:38 am
Hola, Andri.


Insisto partimos de ASUMIR negando, lo que existe para demostrar que existe.

En todo 2n se cumple: [texx](2a+1) + (2b +1) = p + p_{n} = 2n.[/texx]

Es decir siempre hay, una única fila por par, con dos sumandos compuestos y otra con sumandos primos [texx](p,p_{n}) > 2.[texx] Debéis refutar esto (si tenéis mente abierta os daréis cuenta de la trascendencia de esta igualdad).
[/texx][/texx]

¿Quieres decir que para todo par siempre hay dos compuestos “2a+1” y “2b+1” que suman “2n”? Si afirmas eso, es falso:

6 no tiene parejas de compuestos impares que sumen “2n=6”

10 no tiene parejas de compuestos...

14 no tiene parejas de compuestos...

22 no tiene parejas de compuestos...

26 no tiene parejas de compuestos...

38 no tiene parejas de compuestos...

etc.

Y estoy quitando los casos donde sólo se da una única suma de compuestos con el mismo compuesto; como 8=4+4... Si no quitos éstos vamos encontrando bastantes más (que, por cierto, aun así no tenía que haber quitado los casos como éste donde el compuesto es par, pero bueno, lo dejo así)

Por otro lado no entiendo eso de la fila por cada par que dices, tú escribes esto:

[texx]2n - 1 + 1 = 2n[/texx]

[texx]2n - 2 + 2 = 2n[/texx]

[texx]2n - 3 + 3 = 2n[/texx]

...

y añades “Si observamos la columna central vemos que siempre existen primos en todo y cada uno de los valores de 2n”, pero yo no sé qué quiere decir eso, porque si sigo me encuentro el 4 en la columna central:

[texx]2n - 4 + 4 = 2n[/texx]

Explica a ver qué es eso de que siempre encontramos primos, en qué sentido.

...

El otro día te puse un ejemplo con dos primos menores que “n”, hoy te pongo un ejemplo con un primo menor que “n” y otro mayor, por si fuera eso lo que dices:

[texx]2n=26
 [/texx]

[texx]n=13
 [/texx]

[texx]2a+1=9
 [/texx]

[texx]2b+1=21
 [/texx]

[texx]p=17
 [/texx]

[texx]p_{n}=5
 [/texx]

[texx]9+17=26
 [/texx]

[texx]21+5=26
 [/texx]

Y se cumple esto que dices

[texx](2a+1)+p=(2b+1)+p_{n}=2n
 [/texx]

pero no implica lo otro que dices, pues

[texx](2a+1)+(2b+1)=9+21=30\neq26
 [/texx]

y

[texx]p+p_{n}=17+5=22\neq26
 [/texx]

Otra cosa más

Cita

2- No existen mas de tres primos consecutivos.


Ni más de dos tampoco, sólo existen el 2 y el 3, los gemelos no son consecutivos.

Saludos.




Hola Feriva.

Es correcto que siempre tengamos en la columna central de todo 2n pares porque (n) siempre toma valores de 1 hasta (n); lo que aquí interesa son los impares.

Retomemos la expresión: [texx] (2a+1) + p + (2b+1) + p_{n} = 2(2n)[/texx]

Afirma lo siguiente:

1 - En todo [texx] 2(2n)[/texx] siempre tendremos en la columna central dos primos que son sumandos de 2n y a su vez, están en una misma fila de 2n.

2- Que existe: [texx] (2a+1) + (2b+1) = p + p_{n} = 2n[/texx]

En todo 2n que cumpla esta igualdad siempre tendremos en una de sus filas dos sumandos compuestos y, en la penúltima fila dos sumandos primos; concretamente siempre serán primos gemelos.

ejemplo para el primer punto.

[texx] 2(2*6) = 24[/texx]

en la columna central tenemos (1,3,5,7,9,11).

[texx] 7 + 5 = 12[/texx]

y en la descomposición de [texx] 2*6[/texx] tenemos en una de sus filas.

[texx]2*6 - 5 + 5 = 2*6[/texx]

[texx]2*6 - 5 = 7[/texx]

[texx] 7 + 5 = 12[/texx]

Ejemplo para segundo punto; en la descomposición de [texx]2(2*6)= 24[/texx] tenemos en una de sus filas.

[texx] 2(2*6) - 9 + 9 = 2(2*6)[/texx]

[texx]2*12 - 9 = 15[/texx]

[texx]15 + 9 = 24[/texx]

y, en la penúltima  fila .

[texx]2*12 - (n-1) + (n-1) = 2*12[/texx]

[texx]2*12 - (12-1 ) + (12-1) = 2*12[/texx]

[texx]2*12 - (12-1) = 13 [/texx]

[texx]13 + 11 = 24[/texx]

Recuerda que todos los sumandos que estén en 2n no son los mismos que están en [texx] 2n_{i}[/texx]; [texx](2n < 2n_{i}).[/texx]
18  Matemática / Teoría de números / Re: Conjetura de Goldbach. : 09/05/2018, 12:03:29 pm
Hola

Sumando ambos términos:

[texx]((2a+1)) + p ) + ((2b+1) + p_{n}) = 2(2n)[/texx]

Directamente implica que:

[texx](2a+1) + (2b+1) = 2n[/texx]

y

[texx]p + p_{n} = 2n[/texx]


Es FALSO en general que la ecuación en azul implique las dos marcadas en rojo.

Feriva te ha puesto un ejemplo concreto con [texx]p=23[/texx], [texx]2a+1=177[/texx], [texx]p_n=17[/texx], [texx]2b+1=183[/texx].

Saludos.

P.D. El artículo ya fue comentado aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=85275.0
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=90519.5

Es bueno que leas lo que comenté sobre la ""revista"" donde lo publicaste, para evitar en el futuro la trampa de las revistas timo.

Buenas tardes.

No necesito ver lo que indicas.

Insisto partimos de ASUMIR negando, lo que existe para demostrar que existe.

En todo 2n se cumple: [texx](2a+1) + (2b +1) = p + p_{n} = 2n.[/texx]

Es decir siempre hay, una única fila por par, con dos sumandos compuestos y otra con sumandos primos [texx](p,p_{n}) > 2.[texx] Debéis refutar esto (si tenéis mente abierta os daréis cuenta de la trascendencia de esta igualdad).

Por ultimo:

1- Abstente de juzgar a revisores y a sus revistas.
2- Se paga para que cualquiera acceda al articulo libremente (entre ello para refutarlo).
3- Todos, absolutamente todos, somos superables.

Quedáis invitados a pagar para ver el articulo.

International Journal of Mathematic and Computation Vol 29 (4) 2018; a partir de Agosto.

Tema: DEMOSTRACIÓN.

1- Existen infinitos primos gemelos.
2- No existen mas de tres primos consecutivos.
3- El único triplete de primos consecutivos es (3,5,7).
[/texx][/texx]
19  Matemática / Teoría de números / Re: Conjetura de Goldbach. : 02/05/2018, 11:59:05 am
Hola, Andri.

Cita

[texx]2n-p=2a+1
 [/texx] numero compuesto.

y

[texx]2n-p_{n}=2b+1
 [/texx] numero compuesto.

[/texx]

Es que también existen compuestos y primos que cumple eso; por ejemplo, con “2n” igual a 200:

[texx]200-p=2a+1=177
 [/texx]; donde 177 es compuesto, sus cifras suman 15, múltiplo de 3.

[texx]200-p_{n}=2b+1=183
 [/texx]; donde 183 es compuesto, sus cifras suman 12, múltiplo de 3.

Qué pasa, ¿crees que no pueden entonces existir dos primos “p” y “p sub n” que sumen 200 con ésos? Veamos que sí:

[texx]23+177=200
 [/texx]

[texx]17+183=200 [/texx]

pero ocurre que

[texx]17+23\neq200 [/texx]

Luego tu deducción no es cierta, eso puede pasar y pasa; tanto si se cumple la conjetura como si no se cumple. No puedes considerar la reducción al absurdo (al menos de esta manera) porque el hecho de que un número se pueda escribir como suma de dos primos no implica, ni mucho menos, que no se pueda escribir también como suma de un primo y un compuesto. 

Saludos.

Hola Feriva.

Veras, lo que dices está indicado en (i).

Observa que indico ASUMIR  que no exista en ninguna de las filas que tengan un primo, el sumando [texx](2n - p = p_{n})[/texx].

En base a esto se llega a la demostración de que en todos y cada uno de los pares  hay dos sumandos primos.

Segundo: 17,23 no están en una misma fila de 200 y por lo tanto no pueden sumar 200.

Andri Lopez
20  Matemática / Teoría de números / Conjetura de Goldbach. : 30/04/2018, 01:35:56 pm
Les presento mi demostración para la conjetura de Goldbach. Será un placer conocer a alguien que la refute (de manera matemática).

1- Todo numero entero 2n se descompone en parejas de sumandos; se inicia con la unidad hasta el limite de (n).

(i)

[texx]2n - 1 + 1 = 2n[/texx]
[texx]2n - 2 + 2 = 2n[/texx]
[texx]2n - 3 + 3 = 2n[/texx]
[texx]................ = 2n[/texx]
[texx]2n - n + n = 2n[/texx]

Si observamos la columna central vemos que siempre existen primos en todo y cada uno de los valores de 2n.
Por lo tanto necesitamos conocer si en cualquiera de las filas de 2n hay una, que tenga como sumando dos primos.

es decir:

[texx](2n - p + p = 2n[/texx] con lo cual [texx]2n - p = p_{n}[/texx]

Si esto es cierto, la conjetura es correcta.

Para empezar la demostración asumimos que la expresión anterior no existe y por lo tanto tendremos en todas las filas de (i).

[texx]2n - p + p = 2n[/texx]; [texx]2n - p = 2a+1[/texx] numero compuesto.

y

[texx]2n - p_{n}= 2b+1[/texx]; [texx]2n - p_{n} = 2b +1[/texx] numero compuesto.

Por la igualdad de 2n queda:

[texx](2a+1) + p = (2b+1) + p_{n}[/texx]

Sumando ambos términos:

[texx]((2a+1)) + p ) + ((2b+1) + p_{n}) = 2(2n)[/texx]

Directamente implica que:

[texx](2a+1) + (2b+1) = 2n[/texx]

y

[texx]p + p_{n} = 2n[/texx]

queda probado en todas y cada uno de las expresión de 2n siempre existe, una fila, con los dos sumandos primos.

Universal Journal of Computational mathematics Vol 3 (3) 2015.

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