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1  Matemática / Matemáticas Generales / Re: Igualdad de conjuntos : 25/10/2018, 04:31:12 pm
Hola, no lo entiendo muy bien, ¿no tendría que ver que hay una doble contención entre los dos conjuntos?
Un saludo
2  Matemática / Matemáticas Generales / Igualdad de conjuntos : 25/10/2018, 03:54:00 pm
Hola, a la hora de resolver un ejercicio necesito demostrar que este conjunto
[texx]\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbb{N}} n\geq{}2}^{}{[\displaystyle\frac{1}{n},1-\displaystyle\frac{1}{n}] }[/texx]
 es el [texx](0,1)[/texx], es muy fácil de ver, pero no se cómo demostrarlo  :¿eh?:
Muchas gracias
Un saludo.
3  Matemática / Matemáticas Generales / Re: Aplicaciones sobreyectivas : 22/10/2018, 07:57:27 am
Entendido, muchas gracias por la ayuda.
4  Matemática / Matemáticas Generales / Re: Aplicaciones sobreyectivas : 20/10/2018, 06:10:52 pm
Hola, me estoy liando al probarlo
Veo que se cumple para [texx]n=1[/texx]
[texx]\displaystyle\sum_{j=0}^{1-1}(-1)^j\displaystyle\binom{1}{j}(1-j)^{1}=1![/texx]
Pero ahora tengo que ver que suponiendo cierto para n=k[texx]\Rightarrow{}[/texx] cierto para n=k+1.
Entonces se tiene:
[texx](-1)^{0}\displaystyle\binom{k}{0}(k-0)^k+(-1)^{1}\displaystyle\binom{k}{1}(k-1)^k+(-1)^{2}\displaystyle\binom{k}{2}(k-2)^k+...+(-1)^{k-1}\displaystyle\binom{k}{k-1}(k-k+1)^k=k![/texx]
He de ver que implica que se cumple:
[texx]\displaystyle\sum_{j=0}^k{}(-1)^j\displaystyle\binom{k+1}{j}(k+1-j)^k=(k+1)![/texx]
[texx](-1)^{0}\displaystyle\binom{k+1}{0}(k+1)^k+(-1)^{1}\displaystyle\binom{k+1}{1}(k)^k+(-1)^{2}\displaystyle\binom{k+1}{2}(k-1)^k+...+(-1)^{k}\displaystyle\binom{k+1}{k}(1)^k=(k+1)![/texx]
5  Matemática / Matemáticas Generales / Aplicaciones sobreyectivas : 20/10/2018, 10:54:17 am
Hola, sean [texx]A[/texx], [texx]B[/texx] dos conjuntos tales que [texx]|A|=n[/texx], [texx]|B|=k[/texx], [texx]k<n[/texx], me piden,
(a) Demostrar que el número de aplicaciones sobreyectivas [texx]f:A\rightarrow{}B[/texx] es
[texx]\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}{}(-1)^j\displaystyle\binom{k}{j}(k-j)^n[/texx]
(b) ¿Qué ocurre si [texx]k=n[/texx]?


Para (a) he utilizado el complementario: las aplicaciones que no sean sobreyectivas, o bien se saltarán el elemento 1, o bien el 2, etc., así hasta el k. Así que, si defino los conjuntos
[texx]A_{j}=[/texx][texx]\{[/texx]aplicaciones [texx]A\rightarrow{}B[/texx] que se saltan el elemento j[texx]\}[/texx], para cada [texx]j=1,...,k[/texx],
el número de aplicaciones sobreyectivas resulta ser [texx]k^n-|A_{1}\cup A_{2}\cup ... \cup A_{k}|[/texx]
Calculo, en primer lugar, el tamaño de cada uno de los [texx]A_{j}[/texx]. Una aplicación que esté en [texx]A_{j}[/texx] no toma el valor [texx]j[/texx] como imagen. En términos de listas, es una n-lista en la que podemos utilizar cualquier elemento de B menos el símbolo [texx]j[/texx]. Esto nos dice que
[texx]|A_{j}|=(k-1)^n[/texx], para cada [texx]j=1,...,k[/texx].
Si una aplicación está en [texx]A_{i}\cap A_{j}[/texx], entonces no tomará como imagen ni a i ni a j. Es decir, la lista correspondiente se formará con cualesquiera de los otros[texx] k-2[/texx] símbolos. Por tanto,
[texx]|A_{i}\cap A_{j}|=(k-2)^n[/texx], para cada [texx]i\not=j[/texx].
El mismo argumento para las intersecciones tres a tres, cuatro a cuatro, etc. Como el número de sumandos en cada suma de la expresión del principio de inclusión/exclusión viene dado por un coeficiente binómico, se tiene que, si [texx]|A|=n[/texx] y [texx]|B|=k[/texx], con [texx]n\geq{k}[/texx],
El número de aplicaciones sobreyectivas de [texx]A\rightarrow{}B[/texx] es
[texx]k^n-|A_{1}\cup A_{2}\cup ... \cup A_{k}|=[/texx]
[texx]=k^n-\left[\displaystyle\binom{k}{1}(k-1)^n-\displaystyle\binom{k}{2}(k-2)^n+...\pm \displaystyle\binom{k}{k}(k-k)^n\right]=[/texx]
[texx]=\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}{}(-1)^j\displaystyle\binom{k}{j}(k-j)^n[/texx]
Mi pregunta es sobre el apartado (b), qué hay de diferente con (a), el caso en que [texx]k=n[/texx] se podría utilizar también lo visto en (a).? El número de aplicaciones sobreyectivas debería de ser [texx]n![/texx], ya que una vez que he fijado la imagen del primer elemento(n posibles) tengo n-1 para el segundo, n-2 para el tercero y así sucesivamente.

Muchas gracias, un saludo.
6  Matemática / Matemáticas Generales / Re: Demostración particiones : 20/10/2018, 09:54:02 am
Hola, entiendo la formalización, pero no tendría que demostrarlo de alguna forma?
Gracias,
un saludo
7  Matemática / Matemáticas Generales / Re: Demostración particiones : 18/10/2018, 01:35:42 pm
¿A qué te refieres con comprobar si funciona? ¿Cómo puedo definir la biyección que hay entre la partición y su conjugada?
Muchas gracias por la ayuda.
8  Matemática / Matemáticas Generales / Demostración particiones : 17/10/2018, 01:06:42 pm
Hola, me piden demostrar que el número de particiones de un número natural n cuyos
sumandos son menores o iguales que a, es igual al número de particiones de n con
un número de sumandos menor o igual que a.   


por ejemplo 4 tiene 8 composiciones: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+3, 1+2+1, 1+1+2, 1+1+1+1
pero 4 solo tiene estas particiones: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1.
si tomo a=2, las particiones cuyos sumandos son menores o iguales que a son 3: 2+2, 2+1+1 y 1+1+1+1
y el número de particiones de 4 con un numero de sumandos menor o igual que 2 tambien es 3 (4, 3+1, 2+2), pero cómo puedo probarlo de forma general? Muchas gracias
9  Matemática / Estructuras algebraicas / duda subgrupos : 23/04/2018, 08:57:30 am
Hola
¿Cómo puedo hallar un subgrupo de [texx]\mathbb{Z_{3}xZ_{6}}[/texx] que no sea de la forma [texx]H_{1}xH_{2}[/texx] con
[texx]H_{1}\leq{\mathbb{Z_{3}}}[/texx] y [texx]H_{2}\leq{\mathbb{Z_{6}}}?[/texx]
¿Valdría [texx]\mathbb{Z_{3}xZ_{2}}[/texx]?
Un saludo
10  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Grupos : 23/04/2018, 08:43:19 am
Hola,
Gracias por la ayuda. La implicación a la derecha ya la veo, utilizas la identidad de Bezout, pruebas que [texx]\left<{a^{s}}\right>=\left<{a^{d}}\right>[/texx], y después se demuestra que  [texx]\left<{a^{r}}\right>\subseteq{}\left<{a^{d}}\right>\Rightarrow{d/r}[/texx]
¿pero cómo ves la implicación en el sentido contrario, si [texx]d/r[/texx] probar que [texx]\left<{a^{r}}\right>\subseteq{}\left<{a^{s}}\right>[/texx]
11  Matemática / Estructuras algebraicas / Grupos : 21/04/2018, 11:45:31 am
Hola necesito ayuda con esta demostración

Sea a un elemento de orden n de un grupo G.
Si r, s son enteros y d=mc.d.(n,s) me piden probar que
[texx]\left<{a^{r}}\right>\subseteq{\left<{a^{s}}\right>}\iff d\mid r[/texx]

Muchas gracias de antemano.
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