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1  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Artículos / Método de Acero para factorización de enteros : 11/01/2020, 21:06:21
MÉTODO DE ACERO PARA FACTORIZACIÓN DE ENTEROS

MAURICIO ACERO PATIÑO

1. RESUMEN
En este articulo presento una fórmula de 3 variables que integra la multiplicación, la diferencia de cuadrados y la diferencia de triangulares. La aplicación de esta fórmula sirve para factorizar enteros. Mediante este método se factoriza con relativa facilidad por ejemplo el número  [texx]100895598169[/texx] que fué el número que Mersenne pidió en una carta a Fermat que factorizara.

2. ÁREA
Teoría de números

3. FÓRMULA
[texx]Y(2X-Y-ZY+Z)=N[/texx]

4. EXPLICACIÓN DEL MÉTODO:
Se aplica mediante los siguientes pasos:
a) Dado un número [texx]N[/texx] por ejemplo: [texx]N=1015943[/texx] se da a [texx]Z[/texx] el valor de [texx]0[/texx]
b) Se halla el valor de [texx]X[/texx] aplicando la formula: [texx]X=(\sqrt{N}*\sqrt{(2Z+1)})-Z[/texx] que para este ejemplo da [texx]1007.93[/texx] y se aproxima al siguiente entero que es [texx]1008[/texx]
c) Ya teniendo los valores de [texx]N, X[/texx] y [texx]Z[/texx] [texx](N=1015943)[/texx][texx](X=1008)[/texx][texx](Z=0)[/texx] se reemplazan los valores en la fórmula [texx]Y(2X-Y-ZY+Z)=N[/texx] y se halla [texx]Y[/texx]. Para este caso se cumple la ecuación cuando [texx]Y=997[/texx] y [texx]Y=1019[/texx] Por lo tanto [texx]997[/texx] y [texx]1019[/texx] son los factores de [texx]1015943[/texx] ya que [texx]Y[/texx] representa la multiplicación. También si tomamos el valor de [texx]X[/texx] encontramos que es el valor del primer termino de una diferencia de cuadrados que da como resultado [texx]N[/texx] ya que [texx](1008^2)-(11^2)=1015943[/texx].

 Nota: (Hasta acá se tiene la misma efectividad que se obtendría con una diferencia de cuadrados y al igual que la diferencia de cuadrados hasta este punto solo es eficaz este método cuando los dos factores están muy cerca uno del otro. Sin embargo al cambiar los valores de [texx]Z[/texx] cuando se asigna a [texx]Z[/texx] el valor de [texx]1[/texx], [texx]Y[/texx] sigue representando los factores del número, pero la [texx]X[/texx] pasa a representar el primer termino de una diferencia de números triangulares y en este caso se realiza el mismo procedimiento pero se encuentra la máxima eficiencia cuando un factor es aproximadamente el doble del otro. Si se asigna a [texx]Z[/texx] el valor de [texx]2[/texx], el método es eficiente si uno de los factores es aproximadamente el tripe del otro y así sucesivamente.

Ejemplo: Tomando el número [texx]100895598169[/texx] que fué el número que Mersenne pidió a Fermat factorizar y aún no se entiende como lo pudo factorizar rápidamente en ese tiempo sin computadores. Probablemente Fermat conocía un método similar a este método que he desarrollado.

[texx]N=100895598169[/texx]
Si se aplica la fórmula dando a [texx]Z[/texx] los valores de [texx]0[/texx] a [texx]6[/texx] no se encuentra el resultado pero si cuando se asigna a [texx]Z[/texx] el valor de [texx]7[/texx] y se halla [texx]X[/texx] mediante [texx]X=(\sqrt{N}*\sqrt{(2Z+1)})-Z[/texx] resolviendo [texx]X=898420[/texx] y ya teniendo los valores de [texx]N,Z[/texx] y [texx]X[/texx] [texx](N=100895598169)[/texx][texx](X=898420)[/texx][texx](Z=7)[/texx]se reemplazan en la fórmula: [texx]Y(2X-Y-ZY+Z)=N[/texx] y se despeja [texx]Y[/texx] que para este caso da como resultado [texx]Y=112303[/texx] que es uno de los factores de [texx]N[/texx] ya que [texx]112303*898423=100895598169[/texx]
Gracias.
2  Matemática / Teoría de números / Re: Métodos de factorización de números naturales : 11/04/2018, 13:18:24
Yo propongo este:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=102971cuadrados.0
Se llama factorización de enteros por diferencia de números triangulares. Es muy similar al de Fermat solo que este funciona más rápido cuando un factor es cercano al doble del otro y el de Fermat cuando están muy cerca los dos factores. Saludos.
3  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Artículos / Factorización de enteros por diferencia de números triangulares : 11/04/2018, 12:02:15
FACTORIZACIÓN DE ENTEROS POR DIFERENCIA DE NÚMEROS TRIANGULARES

MAURICIO ACERO PATIÑO

1. RESUMEN
Este artículo aplica un método que he desarrollado, basado en el teorema de factorización de enteros de Fermat, pero reemplazando los números al cuadrado por números triangulares. [texx](T_a - T_b)=n[/texx] Este método es más eficiente que la diferencia de cuadrados, cuando la razón entre los dos factores es mayor a 1.5 y menos eficiente cuando esta razón es menor a 1.5; y alcanza su máxima eficiencia cuando la razón entre factores es cercana a 2.

2. ÁREA
Teoría de números

3. NÚMEROS TRIANGULARES
 Son aquellos que se van componiendo con la forma de un triangulo equilátero. (1,3,6,10,15,21...) son de la forma: [texx](x(x+1))/2[/texx]

4. EXPLICACIÓN DEL MÉTODO:
Se aplica mediante los siguientes pasos:

a) Dado un número [texx]n[/texx] se toma la parte entera del resultado de ([texx]\sqrt[ ]{n}*\sqrt[ ]{2}[/texx]) Este sería el [texx]a[/texx] propuesto de la ecuación [texx](T_a - T_b)=n[/texx] (el subindice de [texx]T[/texx] representa el número triangular al que nos referimos [texx]T_x=(x(x+1))/2 [/texx] Ejemplo: [texx]T_3=(3(3+1))/2=6[/texx]

b) Se comprueba si es una diferencia de triangulares aplicando: [texx](T_a-n)=T_b[/texx] en donde si el resultado de restar [texx]n[/texx] de [texx]T_a[/texx] es un número triangular entonces se ha encontrado la diferencia de triangulares, de lo contrario se va modificando el valor de [texx]a[/texx] en 1+ hasta obtener una diferencia de triangulares.

c) Después de obtener la diferencia de triangulares se aplica [texx](a-b)[/texx] y [texx](a+b+1)[/texx] los resultados son los factores de [texx]n[/texx] (si un resultado es par se divide entre 2).

Nota: Para comprobar si un número es número triangular le hallo la raíz cuadrada y la multiplico por raíz de [texx]2[/texx]. Y reemplazo la parte entera de este resultado por [texx]x[/texx] en la ecuación: [texx]T_x=(x(x+1))/2[/texx] y el resultado debe ser el mismo número inicial. Por ejemplo para saber si [texx]78[/texx] es número triangular aplico: [texx](\sqrt[ ]{78}*\sqrt[ ]{2})=12,48[/texx] tomo la parte entera que es [texx]12[/texx]  la reemplazo por  [texx]x[/texx]  y obtengo: [texx](12(12+1))/2=78[/texx]  por lo tanto  [texx]78=T_{12}[/texx]

5. EJEMPLO
[texx]n=49855027[/texx]

a) Se calcula ([texx]\sqrt[ ]{49855027}*\sqrt[ ]{2})=9985,49[/texx] y se toma la parte entera [texx]9985[/texx]

b) [texx](T_a-n)=T_b\rightarrow{}[/texx] se desarrolla el triangular  [texx]T_{9985}-49855027=T_b[/texx]   [texx]T_{9985}=(9985(9985+1))/2=49855105\rightarrow{}[/texx]  y se reemplaza en la ecuación  [texx](49855105-49855027)=78[/texx]  y  [texx]78[/texx]  es un número triangular. es:  [texx]T_{12}[/texx]  ya que  [texx](12(12+1))/2=78[/texx]

c) Se resulve [texx](a-b)\rightarrow{}(9985-12)=9973[/texx]  Se ha hallado el primer factor de n y el otro factor es [texx](a+b+1)\rightarrow{}(9985+12+1)=9998[/texx]  como ha dado número par se divide en 2   [texx](9998/2)=4999[/texx]  y de esta manera se han obtenido los dos factores de  [texx]n[/texx]   [texx](9973*4999)=49855027[/texx]

6. OTROS EJEMPLOS

[texx]\cdot{}91[/texx]  es  [texx]T_{13}-T_0[/texx]   
[texx](13-0)=13[/texx]   [texx](13+0+1)=14[/texx]   [texx](14/2)=7[/texx] 
También es  [texx]T_{16}-T_9[/texx]   
[texx](16-9)=7[/texx]   [texx](16+9+1)=26[/texx]   [texx](26/2)=13[/texx]

[texx]\cdot{}121[/texx]  es  [texx]T_{16}-T_5[/texx]   
[texx](16-5)=11[/texx]   [texx](16+5+1)=22[/texx]   [texx](22/2)=11[/texx]

[texx]\cdot{}243333313[/texx]  es  [texx]T_{22063}-T_{362}[/texx]   
[texx](22063-362)=21701[/texx]   [texx](22063+362+1)=22426[/texx]   [texx](22426/2)=11213[/texx]

[texx]\cdot{}935[/texx]  es  [texx]T_{44}-T_{10}[/texx]   
[texx](44-10)=34[/texx]   [texx](34/2)=17[/texx]   [texx](44+10+1)=55[/texx] 
También es  [texx]T_{53}-T_{31}[/texx]
[texx](53-31)=22[/texx]   [texx](22/2)=11[/texx]   [texx](53+31+1)=85[/texx] 
y  [texx]T_{63}-T_{46}[/texx]   
[texx](63-46)=17[/texx]   [texx](63+46+1)=110[/texx]   [texx](110/2)=55[/texx]
4  Matemática / Teoría de números / Re: Nuevas formas de expresar un producto. : 09/04/2018, 22:34:03
Gracias Manooooh ya lo arreglé.
5  REGLAS, Herramientas, Tutoriales / Dudas y sugerencias sobre el uso del foro / Reconocimiento de autor. : 09/04/2018, 19:30:03
Buen día, tengo una duda. ¿Si alguien en este foro presentara alguna fórmula o teoría novedosa e importante. Por el hecho de ser en un foro y no en una revista matemática pierde o dificulta el reconocimiento como creador de esa fórmula o teoría? Gracias.
6  Matemática / Criptografía / Re: Utilidad del método de Fermat : 09/04/2018, 19:14:36
Gracias Luis Fuentes y Gracias Feriva, por la información, por cierto Feriva ese programa está excelente.
7  Matemática / Criptografía / Utilidad del método de Fermat : 07/04/2018, 13:00:20
Buen día, quería consultarles si el método de factorización de enteros de Fermat por diferencia de cuadrados. Tiene alguna utilidad en la actualidad. ¿tal vez combinado con otros métodos? Ya qué  desarrollé un método un poco similar, el cual (mi método) tiene su mayor eficiencia cuando uno de los dos factores es el doble del otro factor. Agradezco a quienes me puedan guíar.
8  Matemática / Teoría de números / Nuevas formas de expresar un producto. : 05/04/2018, 19:17:00
Buen día a todos, Un producto como sabemos además de como producto puede ser expresado como una diferencia de cuadrados, me llegué a preguntar si habían otras formas de hacerlo y desarrollé varias. Quiero en este tema presentarles una de esas formas que considero interesante y es la forma:
[texx]2MF-F^2[/texx] En donde M es el promedio entre los dos factores, por lo tanto M es el primer número que se eleva al cuadrado en una diferencia de cuadrados, y F representa a cualquiera de los factores. Ejemplo: [texx]71\times{}173=12283[/texx]
1) Expresado como producto: (Donde X y Y son los dos factores)
[texx](X\times{}Y) = (71\times{}173)=12283[/texx]

2) Expresado como diferencia de cuadrados:(donde M es el promedio de los 2 factores y A la diferencia entre M y cada uno de los factores)
[texx](M^2–A^2)=(122^2–51^2)=12283[/texx]

3) Expresado de la forma [texx]2MF-F^2[/texx]: (Donde M es el promedio de los 2 factores y F es cualquiera de los factores)
[texx](2MF–F^2) = (2\times{}122\times{}71)–(71^2)=12283[/texx]  ó   [texx](2\times{}122\times{}173)–(173^2)=12283[/texx]

Como se ve en el ejemplo F puede tomar el valor del primer factor 71 o también del segundo factor 173. Con cualquiera de los dos, da el resultado. Pueden probarlo con otros productos y comprobar que funciona con todos. (Recuerden para hallar M se suman los dos factores y se divide en 2). Agradezco cualquier consideración al respecto. Buen día.
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