21/01/2020, 08:54:54 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
  Mostrar Mensajes
Páginas: [1] 2
1  Matemática / Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: Flujo del rotacional de la intersección entre un paraboloide y un plano. : 04/09/2018, 09:19:46 am
Hola

Lamento mi falta de rigurosidad, soy estudiante de ingeniería y estaba ultimando detalles para un examen.

Somos dos :guiño:.

Yo lo que he intentado ha sido calcular la integral de superficie:
[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{} n*rot(F)  dS[/texx] siendo n un vector normal a la superficie apuntando hacia el exterior (escogí el vector [texx](-2,-4,1)[/texx], y procediendo al cálculo de la integral de superficie con la proyección en XY de esa intersección ([texx](x+1)^2 + (y+2)^2 =\color{red} 8^2[/texx]).

¡Está muy bien salvo el radio de la circunferencia (marcada en rojo)! Debería ser [texx]4^2[/texx]. Quizás por eso no salía bien :triste:.

En primer lugar encontremos la curva:

[texx]C\equiv\begin{cases}z=11-x^2-y^2\\z=2x+4y\end{cases}\equiv\begin{cases}2x+4y=11-x^2-y^2\\z=2x+4y\end{cases}\equiv\begin{cases}(x+1)^2+(y+2)^2=\color{red}16\\z=2x+4y\text,\end{cases}\quad\vec N=(-2,-4,1)\text.[/texx]

El rotor del campo es

[texx]\operatorname{rot}{(\vec F)}=\begin{vmatrix}\check i&\check j&\check k\\\partial/\partial x&\partial/\partial y&\partial/\partial z\\0&0&x^2\end{vmatrix}=(0,-2x,0)\text.[/texx]

Ahora bien, aplicando el teorema del rotor tenemos

[texx]\displaystyle\iint\limits_S{\left.\nabla\times\vec F\right|_S\;\text d\vec\sigma}=\displaystyle\iint\limits_{P_{xy}}{(0,-2x,0)\cdot(-2,-4,1)\;\text dx\text dy}=8\displaystyle\iint\limits_{P_{xy}}{x\;\text dx\text dy}\underbrace=_{\text{Usando}\\\text{Polares}}8\displaystyle\int_0^{2\pi}{\text d\theta}\displaystyle\int_0^4{(\rho\cos\theta-1)\cdot\rho\;\text d\rho}\text,[/texx]

y esta última integral, según WolframAlpha, es [texx]\boxed{-128\pi}[/texx], cuatro veces más que tu resultado. ¡Por muy poquito! :sonrisa:.

Saludos

P.D.: diría que esta pregunta se adecúa mejor si está en el subforo Cálculo varias variables.

Gracias de nuevo manooooh, lo cierto es que estaba muy frustrado ayer y no me salía, al final descubrí mi fallo por la noche pero quería venir a comprobarlo.
Un saludo y gracias por echar una mano a los estudiantes de ingeniería que pululan por aquí, pronto me uniré a ti tras los exámenes, ya tengo mucha más confianza con el álgebra lineal y el análisis vectorial (nuestras herramientas básicas, y que los matemáticos me perdonen por escribir eso xD).
2  Matemática / Análisis Real - Integral de Lebesgue / Flujo del rotacional de la intersección entre un paraboloide y un plano. : 03/09/2018, 19:47:00 pm
Hola, ¿qué tal?

La cosa es que me estoy enfrentando a un problema de examen y me tiene loco porque no sé en qué fallo, veréis:

Calcula el flujo del rotacional del campo [texx]F(x, y, z) = (0, 0, x^2)[/texx] a través de la porción de paraboloide [texx]z = 11 − x^2 − y^2[/texx] limitado por el plano [texx]z = 2x + 4y[/texx].

Yo lo que he intentado ha sido calcular la integral de superficie:
[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{} n*rot(F)  dS[/texx] siendo n un vector normal a la superficie apuntando hacia el exterior (escogí el vector [texx](-2,-4,1)[/texx], y procediendo al cálculo de la integral de superficie con la proyección en XY de esa intersección ([texx](x+1)^2 + (y+2)^2 = 8^2[/texx]).
El problema es que parece que esta forma está mal, pues mi resultado es [texx]-32\pi[/texx], y el resultado parametrizando la curva y resolviendo la integral de línea en la curva "borde" de la intersección (Teorema de Stokes).

Lamento mi falta de rigurosidad, soy estudiante de ingeniería y estaba ultimando detalles para un examen.
3  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Hallar la matriz asociada a un endomorfismo dados los vectores respecto base. : 20/08/2018, 10:55:18 am
Pues muchas gracias a todos, me habéis refrescado muy buena parte de bastantes cosillas, este ejercicio tan tonto me ha servido para recordar muchas cosas.

Igualmente reitero que sin saber muy bien a si a eso se refería Delmar, trataré de devolver el favor algún día :p.
4  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Hallar la matriz asociada a un endomorfismo dados los vectores respecto base. : 20/08/2018, 05:28:19 am
Hola a todos.
Finalmente di con la respuesta anoche, es básicamente lo que ha dicho delmar, ya que lo que pasa es que expreso los vectores de w en la base de w que son a su vez los propios vectores de w, ¿se entiende?

No lo había pensado porque en ningún momento me dicen "esto son las bases de cada espacio".

Dicho eso, muchas gracias y gracias por la invitación Delmar! lo cierto es que como estudio ingeniería le tengo algo de respeto a las matemáticas y sé que para mí son sólo una herramienta (no digo que lo sea realmente, me parece un edificio precioso con habitaciones llenas de parques de juego), y por ende las aprendemos mal no, fatal... y me da miedo malinformar a algún usuario si le respondo.

Aún así devolveré el favor en el futuro, tanto aquí en este foro de matemáticas como en otro que utilizo para física :p.
5  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Hallar la matriz asociada a un endomorfismo dados los vectores respecto base. : 19/08/2018, 19:48:51 pm
Hola

ahora sólo me restaría saber por qué no consigo ver de dónde sale la matriz identidad.

Pues yo no lo sé :triste:. En esta página podés encontrar algo al respecto. Lo que me hace ruido es por qué la matriz identidad está del lado derecho del igual si en esa página la ponen dentro de la matriz de cambio de base: [texx]{M(\text{Id})}_{BB'}[/texx] :¿eh?:.

Saludos

[texx]{M(\text{Id})}_{BB'}[/texx] viene a significar que se usa la "aplicación lineal identidad", en este caso: [texx]f(x,y,z) = (x,y,z)[/texx]

En este caso lo que yo busco es saber por qué la matriz asociada a la aplicación respecto a las bases A y B resulta ser igual a la matriz identidad. Creo que no puedo mandar fotos por la normativa del foro ya que está prohibido, pero tengo la solución para que se entienda lo que digo.
6  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Hallar la matriz asociada a un endomorfismo dados los vectores respecto base. : 19/08/2018, 16:47:55 pm
Entiendo que si resuelvo el sistema (cosa que acabo de hacer) debería salirme la matriz que me piden en la base canónica, pero me he dado cuenta de que el resultado difiere de la forma matricial.

Lo que se hace matricialmente es determinar que la matriz [texx]M_{AB}(T) = \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}[/texx] considerando la base A como la que viene dada por los vectores v y la base B como la que viene dada por los vectores w.
Lo que no sé es por qué o de dónde sale esa matriz identidad.

El resultado resolviendo el sistema que planteaste:

[texx]T(e_{1}) = (1,-1/3,-1)[/texx]
[texx]T(e_{2}) = (0,4/9,0)[/texx]
[texx]T(e_{3}) = (0,1/9,2/3)[/texx]

Matricialmente obtengo que:

[texx]M_{C}(T) =  \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{-1/3}&{4/9}&{1/9}\\{-1}&{2/3}&{2/3}\end{bmatrix}[/texx]

No sé si es equivalente y es que soy muy torpe y no lo he visto.

EDITO: ¡Qué bien! manooooh me ha aclarado la primera parte, ahora sólo me restaría saber por qué no consigo ver de dónde sale la matriz identidad.
7  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Hallar la matriz asociada a un endomorfismo dados los vectores respecto base. : 19/08/2018, 11:45:47 am
Hola, qué tal.
Tengo el álgebra lineal oxidado y he visto un ejercicio que tiene pinta de ser fácil pero que yo no consigo sacar.
Dice así:
La transformación lineal T entre vectores de R3 transforma a los vectores [texx]v_{1} = (1, 0, 3)[/texx], [texx]v_{2} =(0, 2, 1)[/texx], [texx]v_{3} = (1, 1, −1)[/texx] en respectivamente [texx]w_{1} = (1, 0, 1)[/texx], [texx]w_{2} = (0, 1, 2)[/texx], [texx]w_{3} = (1, 0, −1)[/texx]. Calcula la matriz de T respecto a la base canónica.

Lo que yo pensé es: bien, tengo que los vectores del espacio de salida (digamos V) son linealmente independientes, por lo que son una base de [texx]R^{3}[/texx], y como tengo los vectores imagen, tengo la matriz asociada a la aplicación [texx]T[/texx], y por ende su matriz asociada, ahora sólo falta pasar esa matriz respecto de la base inicial (dada por los vectores de V) a la base canónica.
Aparentemente mi razonamiento es incorrecto, pero no sé por qué.

Muchas gracias por la ayuda. Merece la pena mentar que soy estudiante de ingeniería y tal vez me pierda con facilidad si la respuesta es muy rigurosa, en cualquier caso agradeceré profundamente cualquier ayuda que podáis prestarme.

Un saludo.

Edito: lo que no sé es por qué la matriz de la transformación respecto a esas bases es la matriz identidad.
8  Matemática / Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: Cálculo del área de la intersección de un cilindro con un plano (elipse). : 25/06/2018, 11:15:57 am
Hola

Muchas gracias! El resultado es correcto, pero me gustaría ver en algún libro de texto el desarrollo de este razonamientos por pura curiosidad.
Lo cierto es que vengo de ciencias sociales por lo que tengo huecos vacíos en todo el tema de geometría.

Edito:

Me acabo de dar cuenta de que en el examen resuelto dicen que el resultado es [texx]\sqrt{2}\pi[/texx].
¿Es una errata?

Edito(2):

Hace un rato dándole vueltas me di cuenta de que tenía delante una superficie, así que calculé el área de la superficie mediante cosenos directores, y en efecto el resultado es [texx]\sqrt{2}\pi[/texx], sin embargo veo que esa fórmula aparece en wikipedia inglés, y no sé dónde estará el fallo. Por cierto, con tu respuesta me has dado una nueva forma de visualizar el problema, de ahí llegué a ciertas conclusiones y pude resolverlo!

Es que a delmar también le da [texx]\sqrt{2}\pi[/texx]. Si completas sus cálculos verás que [texx]cos(\theta)=\sqrt{2}/2[/texx] de donde:

[texx]A=\dfrac{A_p}{\cos(\theta)}=\dfrac{\pi}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}\pi[/texx].

Saludos.

¡Ah, qué torpe por mi parte!
Muchas gracias, Luis.
Tuve un lapsus y no sé por qué pero creí que el área que quería hallar el [texx]A_p[/texx].
9  Matemática / Análisis Real - Integral de Lebesgue / Re: Cálculo del área de la intersección de un cilindro con un plano (elipse). : 23/06/2018, 06:25:25 am
Muchas gracias! El resultado es correcto, pero me gustaría ver en algún libro de texto el desarrollo de este razonamientos por pura curiosidad.
Lo cierto es que vengo de ciencias sociales por lo que tengo huecos vacíos en todo el tema de geometría.

Edito:

Me acabo de dar cuenta de que en el examen resuelto dicen que el resultado es [texx]\sqrt{2}\pi[/texx].
¿Es una errata?

Edito(2):

Hace un rato dándole vueltas me di cuenta de que tenía delante una superficie, así que calculé el área de la superficie mediante cosenos directores, y en efecto el resultado es [texx]\sqrt{2}\pi[/texx], sin embargo veo que esa fórmula aparece en wikipedia inglés, y no sé dónde estará el fallo. Por cierto, con tu respuesta me has dado una nueva forma de visualizar el problema, de ahí llegué a ciertas conclusiones y pude resolverlo!
10  Matemática / Análisis Real - Integral de Lebesgue / Cálculo del área de la intersección de un cilindro con un plano (elipse). : 22/06/2018, 23:24:31 pm
Hola, muy buenas.

Traigo un problema muy básico que me está volviendo loco.
Soy estudiante de ingeniería, por ende mi peregrinaje por las matemáticas es muy pobre (y acelerado), y es algo que quiero ir mejorando con el tiempo.

Al lío:

La cosa es que quiero parametrizar la superficie resultante de la intersección del plano:

[texx]T: z = 2-x[/texx] y el cilindro: [texx]S: (y-1)^2+(z-1)^2 = 1[/texx].

La idea es simplemente eso: poder calcular el área que luego necesitaré para calcular un flujo mediante la definición.

He visto que en la resolución del ejercicio (lo que pasa es que se saltan pasos, por eso me encuentro aquí) sacan los ejes de la elipse, ¿cuál sería el procedimiento a seguir?

Ah, por cierto, lo que yo he intentado ha sido sustituir [texx]z[/texx] en [texx]S[/texx], pero el resultado es un cilindro vertical (la proyección de la elipse sobre el plano XY si considero z=0, lo cual no me es útil).

Muchas gracias de antemano.
11  Matemática / - Otros - / Re: ¿Cómo puedo calcular el área entre estas dos curvas? (Integrales dobles). : 22/06/2018, 23:09:24 pm
Sé que llego tarde (dos meses), pero bueno, aprovecho para darte las gracias por la respuesta, aún me es útil!
12  Matemática / - Otros - / Re: ¿Cómo puedo calcular el área entre estas dos curvas? (Integrales dobles). : 30/04/2018, 18:39:06 pm
Escribo para decir que estoy al 90% seguro de que el resultado es correcto, para no hacerle perder el tiempo a nadie. Gracias a quien lea esto!
13  Matemática / - Otros - / ¿Cómo puedo calcular el área entre estas dos curvas? (Integrales dobles). : 29/04/2018, 07:39:04 am
Hola, muy buenas.

Me reintroduzco para que sepáis mi nivel de matemáticas:
Soy estudiante de Ing. Eléctrica y Electrónica Industrial de primer curso, el nivel de Geometría Diferencial que damos se resume a: calcular el triedro de Frenet, parametrizar por longitud de arco, y saber algunos teoremas de aplicación inmediata para la integración sobre recintos muy concretos (cerrados, simples, continuos a trozos...).
Esto (junto a que me he tenido que adaptar al nivel de matemáticas a lo largo de este curso puesto que antes era estudiante de Ciencias Sociales y no sabía lo que era un binomio al cuadrado...) quiere decir que mi capacidad de abstracción matemática es algo pobre.

Dicho esto, he encontrado un ejercicio que me pide: "calcular el área entre las siguientes curvas:"

[texx](x^2+y^2)^2 = a^2(x^2-y^2)[/texx]
 y
[texx]x^2+y^2=\frac{a^2}{2}[/texx]

Lo que he intentado:
He tratado de despejar [texx]y[/texx] de la primera curva, con el objetivo de hallar los puntos de intersección, o algo. Me gustaría tratar de representar gráficamente (o hacerme una idea) la primera curva para proseguir con el ejercicio.
También me viene muy bien si me decís una forma analítica de hacer este tipo de ejercicios sin necesidad de visualizarlo, aunque supongo que pido demasiado para mi nivel de matemáticas (tal vez).

Gracias de antemano.

Actualizo:

¡Vale! creo que he conseguido resolverlo. Me da de resultado [texx]0,33a^2[/texx]. Mi procedimiento ha sido pasar a coordenadas polares, tratar el radio como una constante, meterlo dentro de la primera curva (que es un lazo), sacar el ángulo considerando un radio de 1 (ya que no depende del radio), y utilizando identidades trigonométricas que resuelto una cosa muy fea que queda, al final me queda una integral doble con limites 0;a y 0; 0,66rad (el ángulo aproximado).
Si alguien puede comprobarlo le estaría muy agradecido.
14  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: ¿Cómo hallar la ecuación de un movimiento? (aplicaciones afines) : 05/02/2018, 08:11:03 am
Gracias Luis Fuentes.

Mañana tengo el examen, creo que el tema de aplicaciones afines no me va a ir bien porque me puse muy tarde, pero al menos lo tengo en el futuro por si me interesa seguir mirando. (En cualquier caso voy bien con espacios vectoriales y aplicaciones lineales, así que apruebo!)

Un saludo.
15  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: ¿Cómo hallar la ecuación de un movimiento? (aplicaciones afines) : 04/02/2018, 11:23:28 am
Hola

Gracias a ambos.
De momento ese enlace no funciona, aún así esperaré pacientemente y gracias por la ayuda de nuevo!

Perdona. Una errata. Faltaba .pdf. Ya lo corregí.

Saludos.

¡¡Muchísimas gracias!! es mucho más sencillo de lo que yo pensaba.
16  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: ¿Cómo hallar la ecuación de un movimiento? (aplicaciones afines) : 03/02/2018, 16:06:59 pm
Gracias a ambos.
De momento ese enlace no funciona, aún así esperaré pacientemente y gracias por la ayuda de nuevo!
17  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: ¿Cómo hallar la ecuación de un movimiento? (aplicaciones afines) : 03/02/2018, 14:24:09 pm
Hola

¿Movimiento de que, de una partícula? En ese caso cuál es su posición inicial en un tiempo [texx]t=0[/texx]. Se puede suponer que inicialmente esta en el origen. Hay que hacer un croquis de lo que sucede, en todo caso, la partícula se moverá en una superficie cilíndrica, cuyo eje de simetría es la recta que dan, su trayectoria es una hélica cilínrdrica, otra cosa que hay que asumir,  es si rota en forma antihoraria u horaria.

Saludos

Hola Delmar.
Es un movimiento rígido (y por ende, una isometría) en el espacio.
Dicho esto, esos son todos los datos de los que dispongo, aunque por convención tomamos el giro en sentido antihorario.
18  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / ¿Cómo hallar la ecuación de un movimiento? (aplicaciones afines) : 03/02/2018, 10:48:04 am
Bueno, tengo el problema de que no tengo ni idea de cómo hallar la ecuación de un movimiento, sólo que sigue la forma [texx]Y = AX + b[/texx].
El tema es que no encuentro información de dicho procedimiento porque tampoco fui a clase, sólo sé clasificar movimientos.

¿Me podríais explicar un poco el procedimiento que se sigue paso a paso? Estudio ingeniería y no hemos hecho mucho hincapié en las demostraciones.

Dicho esto, os dejo un enunciado de ejemplo.

Halla la ecuación del movimiento en el espacio que gira 90 grados alrededor de la recta:
[texx](x,y,z) = (0,0,1) + t(3,4,0)[/texx]
A la vez que se avanza 5 unidades en la misma dirección [texx](3,4,0) [/texx] de esa recta.

Gracias de antemano.
19  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Hallar las coordenadas de la base canónica de una aplicación afín mediante imáge : 30/01/2018, 23:26:44 pm
Vale, creo que el truco estaba en ver la manera ingenieril de las aplicaciones afines (es un examen de ingeniería, a fin de cuentas).
Me faltaba hallar el punto fijo para saber el vector que se suma (que yo llamo [texx]b1[/texx] y [texx]b2[/texx]).

Ya lo he descubierto: es una rotación con centro en [texx](-1,0)[/texx].
20  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Hallar las coordenadas de la base canónica de una aplicación afín mediante imáge : 30/01/2018, 17:51:53 pm
Hola AlejandroCB.

Sospecho que para resolver el problema se pueden aplicar propiedades que desconozco.

Te ayudo hallando la transformación afín, por si te es útil.

Sea [texx]\hat T[/texx] el triángulo de vértines [texx](\hat x_1,\hat y_1)=(0,0)[/texx], [texx](\hat x_2,\hat y_2)=(1,0)[/texx]  y  [texx](\hat x_3,\hat y_3)=(0,1)[/texx]. La transformación afín [texx]F:\hat T\rightarrow T[/texx], donde [texx]T[/texx] es un triángulo de vértices [texx](x_1,y_1)[/texx], [texx](x_2,y_2)[/texx]  y  [texx](x_3,y_3)[/texx] es:

    [texx]\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_2-x_1&x_3-x_1\\ y_2-y_1&y_3-y_1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x_1\\ y_1\end{bmatrix}[/texx].

que en nuestro caso corresponde a:

    [texx]\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\ -1&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\\ -1\end{bmatrix}[/texx].

La función [texx]f[/texx] que buscamos es la inversa de la que acabamos de hallar, así que despejando obtenemos: [texx]f:T\rightarrow\hat T[/texx] tak que

    [texx]\begin{bmatrix}\hat x\\ \hat y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-1\\ 1&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x+1\\ y+1\end{bmatrix}[/texx].

Puedes verificar que [texx]f(-1,-1)=(0,0)[/texx],  [texx]f(-1,2)[/texx]  y  [texx]f(0,-1)=(0,1)[/texx].


Otra forma de haber hallado esta trasformación es usar que es una transformación afín, por lo que:

        [texx]\begin{bmatrix}\hat x\\ \hat y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\ b_{2,1}&b_{2,2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_1\\ b_2\end{bmatrix}[/texx]

que cumple [texx]f(-1,-1)=(0,0)[/texx],  [texx]f(-1,2)[/texx]  y  [texx]f(0,-1)=(0,1)[/texx]   y con esto hallar la transformación.

Ahora es fácil hallar los puntos fijos (si tiene), sólo debemos resolver el sistema

    [texx]\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-1\\ 1&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x+1\\ y+1\end{bmatrix}[/texx]

    [texx]\Leftrightarrow\begin{array}{rcl}x&=&-y-1\\ y&=&x+1\end{array}[/texx]

    [texx]\Leftrightarrow (x,y)=(-1,0)[/texx]

por lo que [texx](-1,0)[/texx] sería el único punto fijo, pero no pertenece a los triángulos, así que no es punto fijo.

Disculpa, Mathtruco.
Tengo una duda sobre cómo calcular en
[texx]\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_2-x_1&x_3-x_1\\ y_2-y_1&y_3-y_1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}x_1\\ y_1\end{bmatrix}[/texx].

la [texx]x_1[/texx] y [texx]x_2[/texx] del vector "sumando".

Es que estoy aprendiendo de forma autodidacta y no encontré un libro donde me explicasen eso (o lo pasé por alto).
Páginas: [1] 2
Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!