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1  Matemática / Teoría de Conjuntos / Intersecciones y diferencias de productos cartesianos y conjuntos potencia : 16/12/2017, 09:11:59 am
Intersecciones y diferencias de productos cartesianos y conjuntos potencia
Hola de nuevo. Os pido de nuevo ayuda para saber si estoy haciendo correctamente estos ejercicios.
Sean los conjuntos A = [texx] \left\{{0, 1}\right\}[/texx] y B = [texx]\left\{{1, 2}\right\} [/texx], encontrar:

1. [texx](A\times{B})\cap({B\times{B}})[/texx]

[texx]\left\{{(1, 1), (1,2)}\right\}[/texx]

2. [texx](A\times{B}) - ({B\times{B}})[/texx]

[texx]\left\{{(0, 1), (0,2)}\right\}[/texx]

3. [texx](A\times{B})\cap{B}[/texx]
Diría que [texx]\emptyset[/texx] ya que se trata de la intersección entre un conjunto, el producto cartesiano, formado por pares ordenados, y un conjunto formado por dos números naturales.

4. [texx] P (A) \cap{P (B)}[/texx]
Tenemos que P (A) es
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{0}\right\}, \left\{{1}\right\}, \left\{{0, 1}\right\}}\right\}[/texx]

y P (B) es
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{0}\right\}, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{1, 2}\right\} }\right\}[/texx]

Por tanto la intersección es
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{1}\right\}}\right\}[/texx]

5. [texx] P (A) - P (B)[/texx]
[texx]\left\{{\left\{{0}\right\}, \left\{{0, 1}\right\}}\right\}[/texx]

6. [texx] P (A\cap{B})[/texx]
Si [texx]A\cap{B} = \left\{{1}\right\}[/texx] entonces [texx] P (A\cap{B})[/texx] = [texx]\left\{{\emptyset, \left\{{1}\right\}}\right\}[/texx]

7. [texx] P (A\times{B})[/texx]
Este producto cartesiano tiene cuatro pares ordenados, por lo que el conjunto potencia tendrá [texx]2^4[/texx] conjuntos que serían:

[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{(0, 1)}\right\}, \left\{{(0, 2)}\right\}, \left\{{(1, 1)}\right\}, \left\{{(1, 2)}\right\}, \left\{{(0,1), (0, 2)}\right\}, \left\{{(0, 1), (1, 1)}\right\}, \left\{{(0, 1), (1, 2)}\right\}, \left\{{(0, 2), (1, 1)}\right\}, \left\{{(0,2), (1, 2)}\right\}, \left\{{(1, 1), (1, 2)}\right\}, \left\{{(0, 1), (0, 2), (1, 1)}\right\}, \left\{{(0, 1), (0, 2), (1, 2)}\right\}, \left\{{(0, 1), (1, 1), (1, 2)}\right\}}\right\}[/texx]

Gracias n+1 veces.
2  Matemática / Teoría de Conjuntos / Conjuntos de números, productos cartesianos y operaciones sobre ellos : 16/12/2017, 09:09:58 am
Hola de nuevo. Os vuelvo a pedir ayuda para razonar si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. No me piden demostrarlas rigurosamente (todavía no he llegado)

[texx](\mathbb{R}\times{\mathbb{Z}})\cap{(\mathbb{Z}\times{\mathbb{R}})} = \mathbb{Z}\times{\mathbb{Z}}[/texx]

Vamos a ver: el producto cartesiano del conjunto de los números reales con el conjunto de los números enteros es el conjunto de todos los pares ordenados en el que el primer elemento es un número real y el segundo un número entero. Lo mismo se puede decir del segundo producto cartesiano de la intersección con los números enteros en primer lugar y los números reales en el segundo.

Diría que es la afirmación es cierta, ya que el conjunto de los números reales incluye al de los números enteros y al hacer la intersección del enunciado nos quedamos con los pares ordenados en los que no hay números irracionales. (Seguro que esto se puede expresar mejor, suponiendo que esté en lo cierto)

[texx](\mathbb{R}\times{\mathbb{Z}})\cup{}{(\mathbb{Z}\times{\mathbb{R}})} = \mathbb{R}\times{\mathbb{R}}[/texx]

Diría que es falsa, ya que no hay forma de encontrar un par ordenado de números irracionales a partir de la unión de los productos cartesianos dados.

[texx](\mathbb{R}-\mathbb{Z})\times{\mathbb{N}} = (\mathbb{R}\times{\mathbb{N}}) - (\mathbb{Z}\times{\mathbb{N}}) [/texx]

Diría que es verdadera, ya que la diferencia del conjunto de los reales y los enteros es el conjunto de los irraciones, y si hacemos el producto cartesiano de éstos con los naturales nos queda lo mismo que lo que está al otro lado de la igualdad.

Gracias n+1 veces.
3  Matemática / Teoría de Conjuntos / Conjunto potencia : 10/11/2017, 02:40:40 pm
Hola de nuevo.
A ver si he entendido el concepto de conjunto potencia con estos ejercicios, ya que hay algunas diferencias sutiles de notación que es muy probable que me hayan hecho caer en un error.

Gracias por adelantado por n-ésima vez.

1. [texx]P (\left\{{\left\{{a,b}\right\}, \left\{{c}\right\}}\right\})[/texx]
Habra [texx]2^2[/texx] subconjuntos
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{\left\{{a, b}\right\}}\right\}}, \left\{{\left\{{c}\right\}}\right\}, \left\{{\left\{{a, b}\right\}}, \left\{{c}\right\}\right\}\right\}[/texx]

2. [texx]P (\left\{{1, 2, 3, 4}\right\})[/texx]
Habrá [texx]2^4[/texx] subconjuntos
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{3}\right\}, \left\{{4}\right\}, \left\{{1, 2}\right\}, \left\{{1, 3}\right\}, \left\{{1, 4}\right\}, \left\{{2, 3}\right\}, \left\{{2, 4}\right\}, \left\{{3, 4}\right\}, \left\{{1, 2, 3}\right\}, \left\{{1, 2, 4}\right\}, \left\{{1, 3, 4}\right\}, \left\{{2, 3, 4}\right\}, \left\{{1, 2, 3, 4}\right\}}\right\}[/texx]

3. [texx]P (\left\{{\left\{{\emptyset}\right\}, 5}\right\}[/texx]
Habra [texx]2^2[/texx] subconjuntos
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{\emptyset}\right\}, \left\{{5}\right\}, \left\{{\left\{{\emptyset}\right\}}, 5\right\}}\right\}[/texx]

4. [texx]P (\left\{{\mathbb{R, Q}}\right\})[/texx]
Tendremos [texx]2^2[/texx] subconjuntos
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{\mathbb{R}}\right\}, \left\{{\mathbb{Q}}\right\}, \left\{{\mathbb{R, Q}}\right\}}\right\}[/texx]

5. [texx]P (P (\left\{{2}\right\}))[/texx]

Empiezo por [texx]P (\left\{{2}\right\})[/texx]
Tendremos [texx]2^1[/texx] subconjuntos
[texx]P (\left\{{2}\right\}) = \left\{{\emptyset, \left\{{2}\right\}}\right\} [/texx]

Entonces [texx]P (P (\left\{{2}\right\}))[/texx] = [texx]P (\left\{{\emptyset, \left\{{2}\right\}}\right\})[/texx]
Y tendremos [texx]2^2[/texx] subconjuntos que serán
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{\emptyset}\right\}, \left\{{\left\{{2}\right\}}\right\}, \left\{{\emptyset}, \left\{{2}\right\}\right\}}\right\}[/texx]

6. [texx]P (\left\{{1, 2}\right\})\times{P (\left\{{3}\right\}})[/texx]
Por un lado tenemos que [texx]P (\left\{{1, 2}\right\})[/texx] contiene [texx]2^2[/texx] subconjuntos, siendo [texx] \left\{{\emptyset, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{1, 2}\right\}}\right\}[/texx]

Por otro lado tenemos que [texx]P (\left\{{3}\right\})[/texx] contiene [texx]2^1[/texx] subconjuntos, siendo [texx]\left\{{\emptyset, \left\{{3}\right\}}\right\}[/texx]

Entonces [texx]P (\left\{{1, 2}\right\})\times{P (\left\{{3}\right\}})[/texx] será el conjunto de pares ordenados

[texx]\left\{{(\left\{{1}\right\}, \left\{{3}\right\}), (\left\{{2}\right\}, \left\{{3}\right\}), (\left\{{1, 2}\right\}, \left\{{3}\right\})}\right\}[/texx]

A ver si lo he entendido: ¿el conjunto vacío sólo podría formar parte de un par ordenado si es dentro de otro conjunto? Es decir, [texx]\left\{{\emptyset}\right\}[/texx]. Por ejemplo, [texx](\left\{{\emptyset}\right\}, 2)[/texx]

7. [texx]P (\left\{{1, 2}\right\})\times\left\{{3}\right\}[/texx]
A diferencia del anterior, tenemos
[texx]\left\{{(\left\{{1}\right\}, 3), (\left\{{2}\right\}, 3), (\left\{{1, 2}\right\}, 3)}\right\}[/texx]

8. [texx]\left\{{\mathbb{X}\in{P (\left\{{1, 2, 3}\right\})} : \left |{\mathbb{X}}\right |\leq{1}}\right\}[/texx]

Siendo [texx]P (\left\{{1, 2, 3}\right\})[/texx], estará formado por [texx]2^3[/texx] subconjuntos que son:
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{3}\right\}, \left\{{1, 2}\right\}, \left\{{1, 3}\right\}, \left\{{2, 3}\right\}, \left\{{1, 2, 3}\right\}, \left\{{1, 2, 3}\right\}}\right\}[/texx]
Si he entendido bien el enunciado, me piden los conjuntos que pertenecen al conjunto potencia de cardinalidad igual o menor a uno.

La respuesta sería:
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{3}\right\}}\right\}[/texx]

9. [texx]\left\{{\mathbb{X}\subseteq{P (\left\{{1, 2, 3}\right\})} : \left |{\mathbb{X}}\right |\leq{1}}\right\}[/texx]
Relacionado con el anterior.
Aquí diría que sólo el conjunto vacío :¿eh?:
Tendríamos que hablar de un conjunto formado por [texx]\mathbb{X}[/texx] es decir [texx]\left\{{\mathbb{X}}\right\}[/texx]
No sé si me explico...  :sorprendido:


4  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Definición de subconjunto por extensión, y noción de subconjunto : 08/11/2017, 02:53:44 pm
Muchas gracias por la aclaración Fernando Revilla.
5  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Definición de subconjunto por extensión, y noción de subconjunto : 07/11/2017, 02:57:42 pm
Muchas gracias por tu respuesta delmar.
Una duda al hilo de tu corrección: ¿esto es extensible por ejemplo a las ecuaciones? Por ejemplo, ¿las ecuaciones de segundo grado no incluyen a las de primero?
6  Matemática / Teoría de Conjuntos / Definición de subconjunto por extensión, y noción de subconjunto : 06/11/2017, 02:29:30 pm
Hola de nuevo. En estos ejercicios me piden listar los elementos por extensión que componen los siguientes conjuntos. Si no lo he entendido mal, lo que me dan es la definición del subconjunto y tengo que listar cuáles cumplen la condición del enunciado.

1. [texx]\left\{{X : X \subseteq{\left\{{3, 2, a}\right\}}}y \left |{X}\right | = 2\right\}[/texx]
Si lo he leído bien, listar los X que sean subconjuntos de [texx]\left\{{3, 2, a}\right\}[/texx] y que tengan cardinalidad 2.
Serían [texx]\left\{{3, 2}\right\}, \left\{{3, a}\right\}, \left\{{2, a}\right\}[/texx]

2. [texx]\left\{{X \subseteq{\mathbb{N}}} : \left |{X}\right | \leq{1}\right\}[/texx]
[texx]\emptyset, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{3}\right\}, \left\{{4}\right\}, ... [/texx]
Incluyo el vacío por ser cardinalidad menor o igual a 1, y el vacío tiene cardinalidad cero.

3. [texx]\left\{{X : X \subseteq{\left\{{3, 2, a}\right\}}}y \left |{X}\right | = 4\right\}[/texx]
No hay subconjuntos de cardinalidad 4, como mucho de cardinalidad 3

4. [texx]\left\{{X : X \subseteq{\left\{{3, 2, a}\right\}}}y \left |{X}\right | = 1\right\}[/texx]
[texx]\left\{{3}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{a}\right\}[/texx]

En los siguientes me piden contestar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, explicando por qué.
5. [texx]\mathbb{R^3}\subseteq{\mathbb{R^3}}[/texx]
Cierto, porque todo conjunto es subconjunto de sí mismo

6. [texx]\mathbb{R^2}\subseteq{\mathbb{R^3}}[/texx]
Vaya por delante que mis conocimientos sobre demostraciones son muy precarios (espero que no por mucho tiempo)

Si [texx]\mathbb{R^2}=\mathbb{R\times{R}}[/texx]
y [texx]\mathbb{R^3}=\mathbb{R\times{R\times{R}}}[/texx]
podemos decir que [texx]\mathbb{R^3}=\mathbb{R^2\times{R}}[/texx]
Por tanto todos los elementos de [texx]\mathbb{R^2}[/texx] están en [texx]\mathbb{R^3}[/texx]

Muchas gracias n+1 veces.
7  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Subconjuntos de un conjunto dado : 06/11/2017, 12:08:48 pm
Gracias de nuevo Ignacio. Antes de lanzarme a listar subconjuntos verdaderamente es mejor tener en cuenta lo de [texx]2^n[/texx]subconjuntos.
No había caído en lo que comentas de que he listado en un sitio los subconjuntos y en otro el conjunto de las partes.
Parece más legible limitarse a listar los subconjuntos, además se ve más claro el recuento de [texx]2^n[/texx]subconjuntos.
Muchas gracias n+1 veces.
8  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Listar los siguientes conjuntos por comprensión : 06/11/2017, 12:05:50 pm
Muchas gracias, creo que lo he entendido.
9  Matemática / Teoría de Conjuntos / Subconjuntos de un conjunto dado : 04/11/2017, 06:32:00 am
Hola de nuevo. En estos ejercicios se pide listar todos los subconjuntos de los conjuntos dados.
A ver qué tal, muchas gracias de nuevo por adelantado.

1. [texx]\left\{{1, 2, 3, 4}\right\}[/texx]
[texx]\emptyset, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{3}\right\}, \left\{{4}\right\}, \left\{{1, 2}\right\}, \left\{{1, 3}\right\}, \left\{{1, 4}\right\}, \left\{{2, 3}\right\}, \left\{{2, 4}\right\}, \left\{{3, 4}\right\}, \left\{{1, 2, 3}\right\}, \left\{{1, 3, 4}\right\}, \left\{{2, 3, 4}\right\}, \left\{{1, 2, 3, 4}\right\}[/texx]

2. [texx]\left\{{1, 2, \emptyset}\right\}[/texx]
[texx]\emptyset, \left\{{\emptyset}\right\}, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{1, 2}\right\}, \left\{{1, \emptyset}\right\}, \left\{{2, \emptyset}\right\}, \left\{{1, 2, \emptyset}\right\}[/texx]

3. [texx]\left\{{\left\{{\mathbb{R}}\right\}}\right\}[/texx]
[texx]\emptyset, \left\{{\left\{{\mathbb{R}}\right\}}\right\}[/texx]

4. [texx]\emptyset[/texx]
Voy a intentar razonar esto con las definiciones que conozco: el conjunto vacío tiene cardinalidad cero, por lo que no contiene nada, por lo que no puede contener subconjuntos.

5. [texx]\left\{{\emptyset}\right\}[/texx]
Siguiendo con el razonamiento anterior, esto ya es un conjunto que tiene como único elemento el conjunto vacío.
Creo que sería [texx]\emptyset, \left\{{\left\{{\emptyset}\right\}}\right\}[/texx]

6. [texx]\left\{{\mathbb{R}}, \mathbb{Q}, \mathbb{N}\right\}[/texx]
[texx]\emptyset, \left\{{\mathbb{R}}\right\}, \left\{{\mathbb{Q}}\right\}, \left\{{\mathbb{N}}\right\}, \left\{{\mathbb{R, N}}\right\}, \left\{{\mathbb{R, Q}}\right\}, \left\{{\mathbb{Q, N}}\right\}, \left\{{\mathbb{R, Q, N}}\right\}[/texx]

7. [texx]\left\{{\mathbb{R}}, \left\{{\mathbb{Q, N}}\right\}\right\}[/texx]
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{\mathbb{R}}\right\}}, \left\{{\left\{{\mathbb{Q, N}}\right\}}\right\}, \left\{{\mathbb{R}}, \left\{{\mathbb{Q, N}}\right\}\right\}\right\}[/texx]

8. [texx]\left\{{\left\{{0, 1}\right\}, \left\{{0, 1, \left\{{2}\right\}}\right\}, \left\{{0}\right\}}\right\}[/texx]
[texx]\emptyset, \left\{{\left\{{0}\right\}}\right\}, \left\{{\left\{{0, 1}\right\}}\right\}, \left\{{\left\{{0,1}\right\}, \left\{{0}\right\}}\right\}, \left\{{\left\{{0, 1, \left\{{2}\right\}}\right\}}\right\}, \left\{{\left\{{0, 1, \left\{{2}\right\}}\right\}}, \left\{{0}\right\}\right\}, \left\{{\left\{{0, 1}\right\}, \left\{{0, 1, \left\{{2}\right\}}\right\}}\right\}, \left\{{\left\{{0, 1}\right\}, \left\{{0, 1, \left\{{2}\right\}}\right\}, \left\{{0}\right\}}\right\} [/texx]


10  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Productos cartesianos : 03/11/2017, 03:21:59 pm
Efectivamente me faltaban las llaves en el último elemento.
Me acabo de quedar  :sorprendido: con este último resultado...
Si en vez de [texx]\emptyset[/texx] fuese un número no me montaría tanto lío, ahí si veo claro lo de las ternas.
11  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Listar los siguientes conjuntos por comprensión : 03/11/2017, 02:39:51 pm
Es un matriz este último que se me ha escapado totalmente delmar e Ignacio Larrosa.
Muchas gracias.
Al sumatorio que pones, delmar, le tengo que dar un repaso para ver si lo he entendido.

Estoy con un libro para aprender a demostrar y en breve espero llegar a la parte de los conjuntos indizados y sumatorios...
12  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Cardinalidad de los siguientes conjuntos : 03/11/2017, 02:36:16 pm
Pues sí manooooh e Ignacio Larrosa. En el 31 me he mareado con los corchetes.
Muchas gracias de nuevo.
13  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Elementos que integran los siguientes conjuntos : 03/11/2017, 02:34:37 pm
Muchas gracias por corregir lo que parecen despistes en algunos casos y en otros como el 14 que claramente no lo había planteado bien, como es el 14.
14  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Productos cartesianos : 03/11/2017, 02:31:24 pm
Muchas gracias Luis Fuentes e Ignacio Larrosa.
He entendido vuestras aclaraciones sobre la asociatividad del producto cartesiano. Es decir, un producto cartesiano puede tener a su vez como elemento otro producto cartesiano dependiendo de cómo se hayan asociado previamente.

Creo que con el conjunto vacío me he complicado más de lo necesario. ¿Es como el cero al multiplicar números? Es decir, el elemento nulo del producto.

Añado estos otros y os comento mi duda respecto al último, que incluye también al conjunto vacío.

[texx]\{  x\in\mathbb{R} : x^2 = 2  \}\times{(a, c, e)}[/texx]
[texx]\left\{{(\sqrt[ ]{2}, a) ,(\sqrt[ ]{2}, c), (\sqrt[ ]{2}, e), (-\sqrt[ ]{2}, a), (-\sqrt[ ]{2}, c), (-\sqrt[ ]{2}, e)}\right\}[/texx]

[texx]\{  n\in\mathbb{Z} : 2 < n < 5  \}\times{\left\{{n\in\mathbb{Z} : \left |{n}\right | = 5}\right\}}[/texx]
[texx]\left\{{(3, -5), (3, 5), (4, -5), (4, 5)}\right\}[/texx]

[texx]\{  x\in\mathbb{R} : x^2 = 2  \}\times{\left\{{x\in\mathbb{R} : \left |{x}\right | = 2}\right\}}[/texx]
[texx]\left\{{(\sqrt[ ]{2}, -2), (\sqrt[ ]{2}, 2), (-\sqrt[ ]{2}, 2), (-\sqrt[ ]{2}, -2)}\right\}[/texx]

[texx]\{  x\in\mathbb{R} : x^2 = x  \}\times{\left\{{x\in\mathbb{N} : x^2 = x}\right\}}[/texx]
[texx]\left\{{(-1, 1), (0, 1), (1, 1)}\right\}[/texx]

[texx]\left\{{0, 4}\right\}^4[/texx]
[texx]\left\{{(0, 0, 0, 0), (0 , 0, 0, 4), (0, 0, 4, 0), (0, 0, 4, 4), (0, 4, 0, 0), (0, 4, 0, 4), (0, 4, 4, 0), (0, 4, 4, 4)}\right\}[/texx]

Aquí viene
[texx]\left\{{\emptyset}\right\}\times{\left\{{0, \emptyset}\right\}}\times{0, 1}[/texx]

Si [texx]\emptyset[/texx] es el conjunto vacío que se define como [texx]\emptyset = \left\{{}\right\}[/texx] y teniendo en cuenta vuestra corrección anterior, hacer el producto cartesiano de un conjunto que incluya el conjunto vacío con otro/s conjuntos de dos elementos... Se me viene a la cabeza una barbaridad como [texx]\left\{{ \emptyset, \emptyset}\right\}[/texx]
15  Matemática / Teoría de Conjuntos / Productos cartesianos : 02/11/2017, 03:46:16 pm
Buenas tardes. Me gustaría saber si estos productos cartesianos son correctos para saber si he entendido bien el concepto.
Muchas gracias por vuestra ayuda desinteresada.

Suponiendo A = [texx] \left\{{1, 2, 3, 4}\right\}[/texx] y B = [texx]\left\{{a, c}\right\} [/texx], listar los elementos de los siguientes conjuntos

[texx]A\times{B}[/texx]
[texx]\left\{{(1, a), (1, c), (2, a), (2, c), (3, a), (3, c), (4, a), (4, c)}\right\}[/texx]

[texx]B\times{A}[/texx]
[texx]\left\{{(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}\right\}[/texx]

[texx]A\times{A}[/texx]
[texx]\left\{{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}\right\}[/texx]

[texx]B\times{B}[/texx]
[texx]\left\{{(a, a), (a, c), (c, a), (c, c)}\right\}[/texx]

[texx]\emptyset\times{B}[/texx]
[texx]\emptyset[/texx]

[texx](A\times{B})\times{B}[/texx]
[texx]\left\{{(1, a, a), (1, a, c), (1, c, a), (1, c, c),  (2, a, a), (2, a, c),  (2, c, a), (2, c, c), (3, a, a), (3, a, c),  (3, c, a), (3, c, c),  (4, a, a), (4, a, c),  (4, c, a), (4, c, c)}\right\}[/texx]

[texx]A\times{(B}\times{B})[/texx]
[texx]\left\{{(1, a, a), (1, a, c), (1, c, a), (1, c, c), (2, a, a), (2, a, c), (2, c, a), (2, c, c), (3, a, a), (3, a, c), (3, c, a), (3, c, c), (4, a, a), (4, a, c), (4, c, a), (4, c, c)}\right\}[/texx]
Igual que el anterior

[texx]A\times{B}\times{B}[/texx]
¿Sería el mismo resultado que [texx](A\times{B})\times{B}[/texx]?

[texx]B^3[/texx]
[texx]\left\{{(a, a, a), (a, a, c),  (a, c, a), (a, c, c),  (c, a, a), (c, a, c), (c, c, a), (c, c, c)}\right\}[/texx]

[texx]A\times{\emptyset}[/texx]
Diría que [texx]A\times{\emptyset} = A [/texx]
16  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Listar los siguientes conjuntos por comprensión : 02/11/2017, 02:26:33 pm
Muchas gracias por tu rápida respuesta delmar.
Pues yo pensé lo mismo cuando vi la 18, pero lo he comprobado y el enunciado aparece como lo he escrito.
17  Matemática / Teoría de Conjuntos / Cardinalidad de los siguientes conjuntos : 02/11/2017, 02:24:43 pm
Buenas tardes.
Necesitaría de nuevo vuestra ayuda para saber si las cardinalidades de estos conjuntos son correctas.
Gracias por adelantado.

29. [texx]\left |\left\{{{\left\{{1}\right\}, \left\{{2,\left\{{3,4}\right\}}\right\}, \emptyset}}\right\}\right |[/texx]
Cardinalidad 3

30. [texx]\left |\left\{{{\left\{{1,4}\right\},a, b, \left\{{\left\{{3,4}\right\}}\right\}, \left\{{\emptyset}\right\}}}\right\}\right |[/texx]
Cardinalidad 5

31. [texx]\left |\left\{{\left\{{{\left\{{1}\right\}, \left\{{2,\left\{{3,4}\right\}}\right\}, \emptyset}}\right\}}\right\}\right |[/texx]
Cardinalidad 2

32. [texx]\left |\left\{{\left\{{{\left\{{1,4}\right\},a, b, \left\{{\left\{{3,4}\right\}}\right\}, \left\{{\emptyset}\right\}}}\right\}}\right\}\right |[/texx]
Cardinalidad 1. Diría que es una caja que incluye una caja que incluye todos esos elementos.

33. [texx]\{  x\in\mathbb{Z} :\left |{x}\right | < 10 \}[/texx]
Cardinalidad 19, incluyendo el 0; desde -9 a 0 y desde 1 a 9

34. [texx]\{  x\in\mathbb{N} :\left |{x}\right | < 10 \}[/texx]
Cardinalidad 9

35. [texx]\{  x\in\mathbb{Z} :x^2< 10 \}[/texx]
Cardinalidad 7, incluyendo el cero. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

36. [texx]\{  x\in\mathbb{N} :x^2< 10 \}[/texx]
Cardinalidad 3

37. [texx]\{  x\in\mathbb{N} :x^2< 0 \}[/texx]
Cardinalidad cero

38. [texx]\{  x\in\mathbb{N} :5x \leq{20} \}[/texx]
Cardinalidad 4.
18  Matemática / Teoría de Conjuntos / Listar los siguientes conjuntos por comprensión : 02/11/2017, 01:17:22 pm
Buenas tardes.
Os pido ayuda de nuevo para saber si estoy resolviendo bien los siguientes enunciados. Me piden listar los elementos de estos conjuntos por comprensión.
Un saludo y gracias por adelantado.

17. [texx]\{2, 4, 8, 16, 32, 64,  ...    \}[/texx]
[texx]\{2^x | x\in\mathbb{N}\}[/texx]

18. [texx]\{0, 4, 16, 36, 64, 100,  ...    \}[/texx]
[texx]\{a\in\mathbb{N}\ | a=2k^2, k\in\mathbb{Z}\}[/texx]

19. [texx]\{..., -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, 15,  ...    \}[/texx]
[texx]\{a=3k | k\in\mathbb{Z}\}[/texx]

20. [texx]\{... , -8, -3, 2, 7, 12, 17, ...    \}[/texx]
[texx]\{a = 2 + 5n | n\in\mathbb{Z}\}[/texx]

21. [texx]\{0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...    \}[/texx]
[texx]\{x = c^2 | c\in\mathbb{Z}\}[/texx]

22. [texx]\{3, 6, 11, 18, 27, 38, ...    \}[/texx]
[texx]\{a | a = 3 + b, \textrm{siendo b un número impar mayor que 3}\}[/texx]

23. [texx]\{3, 6, 11, 18, 27, 38, ...    \}[/texx]
[texx]\{a | a = 3 + k, 0 \leq {k} \leq {5}\}[/texx]
O también a perteneciente a un intervalo cerrado entre 3 y 8 (no encuentro los intervalos en Latex)

24. [texx]\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2 \}[/texx]
a perteneciente al intervalo cerrado -4 y 2

25. [texx]\{..., \displaystyle\frac{1}{8},\displaystyle\frac{1}{4},\displaystyle\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, ...    \}[/texx]
[texx]\{2^x | x\in\mathbb{Z}\}[/texx]
a diferencia del número 17 que era para exponentes naturales. Aquí se incluirían potencias negativas, que quedan como fracciones

26. [texx]\{..., \displaystyle\frac{1}{27},\displaystyle\frac{1}{9},\displaystyle\frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27, ...    \}[/texx]
[texx]\{3^x | x\in\mathbb{Z}\}[/texx]

27. [texx]\{..., -\pi, -\displaystyle\frac{\pi}{2},0,\displaystyle\frac{\pi}{2}, \pi, \displaystyle\frac{3\pi}{2}, 2\pi, \displaystyle\frac{5\pi}{2}, ...    \}[/texx]
[texx]\{\cos x | \cos x = 0\}[/texx]

28. [texx]\{..., \displaystyle\frac{-3}{2},\displaystyle\frac{-3}{4}, 0, \displaystyle\frac{3}{4}, \displaystyle\frac{3}{2}, \displaystyle\frac{9}{4}, 3, \displaystyle\frac{15}{4}, \displaystyle\frac{9}{2}, ...    \}[/texx]
[texx]\{3 + \displaystyle\frac{3}{4}x | x\in\mathbb{Z}\}[/texx]

19  Matemática / Teoría de Conjuntos / Re: Elementos que integran los siguientes conjuntos : 02/11/2017, 12:22:22 pm
Muchas gracias manooooh y Ignacio Larrosa.
Ya me parecía raro que no hubiese algún error al copiar los enunciados. He cambiado el enunciado del ejercicio número seis, es x al cuadrado igual a nueve.
Efectivamente el enunciado es definir los conjuntos por extensión, listando los elementos que los componen los conjuntos de los enunciados.


Entiendo que se trata de ver si estas definiciones por comprensión y extensión coinciden.

3. [texx]\{  x\in\mathbb{Z} | -2\leq x < 7  \}[/texx]
[texx]\{... , -4, -1, 2, 5, 8,  ...    \}[/texx]

¿[texx]-2 \leq{} -4[/texx]? (y todo lo que le precede en esos puntos suspensivos)

¿[texx]8[/texx], y todo lo que le sigue, es menor que [texx]7[/texx]?

Además, entre [texx]-2\textrm{ y }7[/texx] no hay infinitos enteros, ahí no puedes poner esos puntos suspensivos ilimitados.

4. [texx]\{  x\in\mathbb{N} | -2 < x \leq 7  \}[/texx]
[texx]\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8    \}[/texx]

Por la izquierda bien, si entendemos que [texx]0\not\in{\mathbb{N}}[/texx], ¿pero por la derecha?

5. [texx]\{  x\in\mathbb{R} | x^2 = 3  \}[/texx]
[texx]\sqrt[]{3}[/texx]

y [texx]-\sqrt[ ]{3}[/texx]


Los siguientes, piensatelos un poquito a la luz de lo que te he contestado y pregunta luego solo las dudas concretas que te surjan.

Saludos,

Gracias Ignacio Larrosa. Viendo tu corrección, creo entonces que la respuesta al enunciado 3 sería:
[texx]\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6    \}[/texx]

Con respecto al enunciado 4, efectivamente no incluí el cero en el conjunto de los naturales. Por la derecha creo que se me ha colado el ocho.
Sería entonces:
[texx]\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7    \}[/texx]

Del resto, con los que más dudo son el 9, 10, 15 y 16. Del 9 y el 10 no sé si estoy reflejando todos los valores en mi respuesta; con el 15 y el 16 no sé si me he complicado mucho la vida. ¿El 15 es todo el conjunto de los enteros por ser múltiplos de dos primos, 5 y 2?
20  Matemática / Teoría de Conjuntos / Elementos que integran los siguientes conjuntos : 31/10/2017, 03:36:18 pm
Buenas tardes.
Es mi primera pregunta en el foro y pido disculpas por adelantado por los posibles (muy posibles) errores en LaTex, agradeciendo de antemano cualquier sugerencia y/o corrección sobre estos ejercicios.

1. [texx]\{  5x-1 | x\in\mathbb{Z}  \}[/texx]
[texx]\{... , -11, -6, -1, 4, 9 , 14, ...    \}[/texx]

2. [texx]\{  3x+2 | x\in\mathbb{Z}  \}[/texx]
[texx]\{... , -4, -1, 2, 5, 8,  ...    \}[/texx]

3. [texx]\{  x\in\mathbb{Z} | -2\leq x < 7  \}[/texx]
[texx]\{... , -4, -1, 2, 5, 8,  ...    \}[/texx]

4. [texx]\{  x\in\mathbb{N} | -2 < x \leq 7  \}[/texx]
[texx]\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8    \}[/texx]

5. [texx]\{  x\in\mathbb{R} | x^2 = 3  \}[/texx]
[texx]\sqrt[]{3}[/texx]

6. [texx]\{  x\in\mathbb{R} | x^2 = 9  \}[/texx]
[texx]\{3, -3\}[/texx]

7. [texx]\{  x\in\mathbb{R} | x^2+5x=-6 \}[/texx]
[texx]\{-2, -3\}[/texx]

8. [texx]\{  x\in\mathbb{R} | x^3+5x^2=-6x \}[/texx]
[texx]\{-2, -3\}[/texx]

9. [texx]\{  x\in\mathbb{R} | \sen\pi x = 0 \}[/texx]
Todo [texx]\mathbb{Z}[/texx]

10. [texx]\{  x\in\mathbb{R} | \cos x = 1 \}[/texx]
[texx]\{360º, 720º, 1080º, ...\}[/texx]

11. [texx]\{  x\in\mathbb{Z} | \left |{x}\right | < 5 \}[/texx]
[texx]\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}[/texx]

12. [texx]\{  x\in\mathbb{Z} | \left |{2x}\right | < 5 \}[/texx]
[texx]\{-2, -1, 0, 1, 2\}[/texx]

13. [texx]\{  x\in\mathbb{Z} | \left |{6x}\right | < 5 \}[/texx]
[texx]\{0\}[/texx]

14. [texx]\{  5x | x\in\mathbb{Z} , \left |{2x}\right | \leq{8}\}[/texx]
[texx]\{0\}[/texx]

15. [texx]\{  5a + 2b | a,b\in{\mathbb{Z}}[/texx]
Todo [texx]\mathbb{Z}[/texx]

16. [texx]\{  6a + 2b | a,b\in{\mathbb{Z}}[/texx]
[texx]\{..., -12, -10, -8,..., 0, 2, 4, 6, ...\}[/texx]
Páginas: [1]
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