19/09/2019, 08:05:07 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
  Mostrar Mensajes
Páginas: [1]
1  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Órbitas en ecuación diferencial no lineal : 12/09/2018, 05:30:39 am
El problema consiste en probar que el siguiente sistema no tiene órbitas periódicas:
[texx]\begin{cases}
x'=&2x-x^5-xy^4 \\
y'=&y-y^3-x^2y
\end{cases}[/texx]

Lo primero que hice fue calcular las singularidades, ie los puntos en los cuales el campo se anula, de los cuales obtuve los pares reales [texx](0,0); (0,1);(0, -1);(\sqrt[4]{2},0);(\sqrt[4]{2},0)[/texx]. Luego, los clasifiqué si son atractores, silla,.. usando la matriz Jacobiana asociada al campo de vectores e hice un diagrama de fase, pero no logro avanzar más.
Cómo puedo probar ahora que el sistema no tiene órbitas periódicas?
Gracias de antemano, saludos.
2  REGLAS, Herramientas, Tutoriales / Libros / Descargar libros gratis : 01/01/2018, 03:16:45 pm
Hola,
Un pequeño aporte! En la siguiente página se pueden descargar variados libros, tan sólo basta con teclear el nombre del libro y/o el autor (Además de tener suerte si está en el repositorio jaja, pero hay muchísimos)

http://gen.lib.rus.ec/

Saludos.
3  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Re: Subvariedad 2-dimensional : 01/01/2018, 03:00:54 pm
Hola

El planteamiento bien pero creo que falta lo más importante de todo: demostrar que para todo punto de la preimagen del cero de F la matriz jacobiana tiene rango 2, o dicho de otro modo, demostrar que si tiene rango 1 ó 0 entonces el punto no forma parte de la preimagen del cero.
Hola, gracias por responder.
A ver,  he entendido lo siguiente:
se tiene que la matriz jacobiana [texx]DF(x,y,r,t)=\begin{pmatrix}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 & 2a_2y+6a_3xy & 2r & -2t\\
-2a_2y-6a_3xy & -a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 & 2t & 2r\\
\end{pmatrix}[/texx].
Aquí debería suponer que [texx]a_i\neq{0}, i=0,1,2,3[/texx] (*)? ya que si:
[texx]\begin{align*}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 &= 0 \\
2y(a_2+3a_3x) &= 0\\
-a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 &= 0\\
r=t &= 0
\end{align*} \Rightarrow x\neq{0},y\neq{0}[/texx] y la matriz DF tiene rango 2, ya que por (*) [texx](0,0,0,0)\not\in{M}[/texx].
Luego [texx]M[/texx] es una variedad 2-dimensional de [texx]\mathbb{C}^2\cong \mathbb{R}^4[/texx]. (??)

Pero ahí simplemente compruebas que cada término es no nulo; es decir demuestras que tiene rango [texx]1[/texx] o [texx]2[/texx]. Pero no has probado que tenga rango [texx]2[/texx].

De hecho no usas que el polinomio dado no tiene raíces dobles y esa condición es decisiva.

Lo más cómodo es trabajar directamente en los complejos. La diferencial (como variedades complejas) de la aplicación indicada es:

[texx]\begin{pmatrix}{2w}&{f'(z)}\end{pmatrix}[/texx]

Tenemos que ver que tiene rango [texx]1[/texx] en los puntos tales que [texx]w^2-f(z)=0[/texx].

- Si [texx]w\neq 0[/texx] oviamente el rango es 1.
- Si [texx]w=0[/texx] el rango sería cero sólo si [texx]f'(z)=0[/texx]. Pero como además [texx]0=w^2-f(z)=f(z)[/texx] tendríamos que [texx]z[/texx] es una raíz doble del polinomio porque no anula a él y a su derivada. Pero por hipótesis no tiene raíces dobles.

Por tanto el rango es 1, así la variedad indicada es una variedad compleja de dimensión 1 y por tanto una variedad real de dimensión 2.

Saludos.
Hola, tengo una pequeña duda con la diferencial.
Como la variedad [texx]M=\left\{{(z,w)\in \mathbb{C}^2:w^2-f(z)=0}\right\}[/texx], ¿la matriz [texx]\begin{pmatrix}
2w & f'(z)
\end{pmatrix}[/texx] debería ser, estrictamente hablando,
[texx]\begin{pmatrix}
-f'(z) & 2w
\end{pmatrix}[/texx]?, ya que en vez de la función [texx]F(x,y,r,t)[/texx] se puede considerar una función (ahora trabajando en los complejos) [texx]g:\mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{C}[/texx] definida por [texx]g(z,w)=w^2-f(z) \Rightarrow M=g^{-1}(0)[/texx], entonces la matriz jacobiana [texx]Dg(z,w)=\begin{pmatrix}
\dfrac{{\partial g}}{{\partial z}} & \dfrac{{\partial g}}{{\partial w}}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-f'(z) & 2w
\end{pmatrix}[/texx]

¿Es correcto?
Saludos
4  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Campos mutuamente ortogonales : 22/12/2017, 02:56:41 am
El problema consiste en encontrar 3 campos vectoriales de longitud uno en la esfera [texx]S^3[/texx], mutuamente ortogonales en cada punto.

Hola, mi solución es la siguiente (en spoiler por si alguien desea intentarlo)

¿Alguna observación?
Saludos cordiales
5  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Re: Subvariedad 2-dimensional : 21/12/2017, 03:22:00 am
El planteamiento bien pero creo que falta lo más importante de todo: demostrar que para todo punto de la preimagen del cero de F la matriz jacobiana tiene rango 2, o dicho de otro modo, demostrar que si tiene rango 1 ó 0 entonces el punto no forma parte de la preimagen del cero.
Hola, gracias por responder.
A ver,  he entendido lo siguiente:
se tiene que la matriz jacobiana [texx]DF(x,y,r,t)=\begin{pmatrix}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 & 2a_2y+6a_3xy & 2r & -2t\\
-2a_2y-6a_3xy & -a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 & 2t & 2r\\
\end{pmatrix}[/texx].
Aquí debería suponer que [texx]a_i\neq{0}, i=0,1,2,3[/texx] (*)? ya que si:
[texx]\begin{align*}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 &= 0 \\
2y(a_2+3a_3x) &= 0\\
-a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 &= 0\\
r=t &= 0
\end{align*} \Rightarrow x\neq{0},y\neq{0}[/texx] y la matriz DF tiene rango 2, ya que por (*) [texx](0,0,0,0)\not\in{M}[/texx].
Luego [texx]M[/texx] es una variedad 2-dimensional de [texx]\mathbb{C}^2\cong \mathbb{R}^4[/texx]. (??)
6  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Subvariedad 2-dimensional : 19/12/2017, 03:23:08 pm
Sea [texx]f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}[/texx] un polinomio complejo dado por [texx]f=\displaystyle \sum_{i=0}^3a_iz^i[/texx] sin raíces dobles. Considere para [texx]l=2: M=\lbrace (z,w)\in \mathbb{C}^2: w^l-f(z)=0 \rbrace[/texx]. Probar que [texx]M[/texx] es una subvariedad 2-dimensional de [texx]\mathbb{C}^2\cong \mathbb{R}^4[/texx].

Hola, he intentado lo siguiente:
Consideremos [texx]z=(x+yi)\in \mathbb{C}[/texx] y [texx]w=(r+ti)\in \mathbb{C}[/texx]. Entonces, se tiene lo siguiente:
[texx]w^2=(r+ti)^2=r^2-t^2+2rti\ ;\ \ \ (x+yi)^3=x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3i[/texx]
[texx]f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3=a_0+a_1(x+yi)+a_2(x^2-y^2+2xyi)+a_3(x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3i)[/texx]
[texx]\therefore f(z)=(a_0+a_1x+a_2(x^2-y^2)+a_3(x^3-3xy^2))+(a_1y+2xya_2+(3x^2y-y^3)a_3)i[/texx]
[texx]\Rightarrow w^2-f(z)=(r^2-t^2-a_0-a_1x-a_2(x^2-y^2)-a_3(x^3-3xy^2))+(2rt-a_1y-2xya_2-(3x^2y-y^3)a_3)i=0[/texx]
[texx]\Rightarrow r^2-t^2-a_0-a_1x-a_2(x^2-y^2)-a_3(x^3-3xy^2)=0 \ \wedge \ 2rt-a_1y-2xya_2-(3x^2y-y^3)a_3=0[/texx]
[texx]\Rightarrow M=\lbrace (x,y,r,t)\in \mathbb{R}^4:r^2-t^2-a_0-a_1x-a_2(x^2-y^2)-a_3(x^3-3xy^2)=0 \ , \ 2rt-a_1y-2xya_2-(3x^2y-y^3)a_3=0 \rbrace[/texx]
Sea [texx]F:\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2[/texx] función definida por [texx]F(x,y,r,t)=\begin{pmatrix}
r^2-t^2-a_0-a_1x-a_2(x^2-y^2)-a_3(x^3-3xy^2)\\
2rt-a_1y-2xya_2-(3x^2y-y^3)a_3
\end{pmatrix}[/texx], entonces [texx]M=F^{-1}(0)[/texx], luego [texx]DF(x,y,r,t)=\begin{pmatrix}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 & 2a_2y+6a_3xy & 2r & -2t\\
-2a_2y-6a_3xy & -a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 & 2t & 2r\\
\end{pmatrix}[/texx]
Notar además que [texx]DF(x,y,r,t)[/texx] tiene rango 2 para todo [texx](x,y,r,t)\in M[/texx], por lo que [texx]M[/texx] es una subvariedad 2-dimensional de [texx]\mathbb{C}^2\cong \mathbb{R}^4[/texx].

¿Alguna observación?
Gracias de antemano,
Saludos
7  Matemática / Análisis Matemático / Re: Campo vectorial en esfera : 19/12/2017, 02:53:25 pm
Gracias por responder Luis, he intentado nuevamente lo siguiente:

Sean [texx]x^1,y^1,x^2,y^2,...,x^n,y^n[/texx] las coordenadas estándar de [texx]\mathbb{R}^{2n}[/texx]. Para cada [texx]n\in \mathbb{N}[/texx] la esfera impar (unitaria) [texx]S^{2n-1}[/texx] es definida por la ecuación [texx]\displaystyle \sum_{i=1}^n(x^i)^2+(y^i)^2=1[/texx], es decir, [texx]S^{2n-1}=\left \lbrace (x^1,y^1,x^2,y^2,...,x^n,y^n)\in \mathbb{R}^{2n}:\displaystyle \sum_{i=1}^n(x^i)^2+(y^i)^2=1 \right \rbrace[/texx].
Sea [texx]p=(x^1,...,x^n,y^1,...,y^n)\in \mathbb{R}^{2n}[/texx] un punto sobre [texx]S^{2n-1}[/texx], entonces [texx]\Vert p \Vert = (x^1)^2+...+(x^n)^2+(y^1)^2+...+(y^n)^2=1[/texx]. Consideremos el campo vectorial [texx]X=\displaystyle \sum_{i=1}^n-y^i\dfrac{\partial}{\partial x^i}+x^i\dfrac{\partial}{\partial y^i}[/texx]. La notación [texx]X(p)=\displaystyle \sum_{i=1}^n-y^i\dfrac{\partial}{\partial x^i}+x^i\dfrac{\partial}{\partial y^i}[/texx] define al vector [texx](-y^1,-y^2,...,-y^n,x^1,x^2,...,x^n)\in \mathbb{R}^{2n}[/texx] (situado en [texx]p[/texx]). Notar que, como [texx]\left \langle \dfrac{\partial}{\partial x^i},\dfrac{\partial}{\partial x^i} \right \rangle = \left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^i},\dfrac{\partial}{\partial y^i} \right \rangle = 1[/texx] se tiene que:
[texx]\langle X(p),p \rangle = -x^1y^1-x^2y^2-...-x^ny^n+x^1y^1+x^2y^2+...+x^ny^n=0[/texx], es decir, se cumple que [texx]X(p)\bot p[/texx].
Además [texx]\Vert X(p) \Vert^2 = (y^1)^2+(y^2)^2+...+(y^n)^2+(x^1)^2+(x^2)^2+...+(x^n)^2=1 \Rightarrow \Vert X(p)\Vert=1[/texx]. Por lo tanto, [texx]X(p)[/texx] es el campo vectorial que cumple lo pedido.
8  Matemática / Análisis Matemático / Campo vectorial en esfera : 17/12/2017, 12:44:25 am
Hola, quisiera saber si lo que hago es correcto.
El problema consiste en construir un campo vectorial de longitud igual a 1 en cada esfera de dimension impar.

Nosé a que se refieren con ''construir'', pero he intentado lo siguiente:
Veamos, para que el campo buscado tenga longitud 1, podemos considerar la esfera impar (unitaria) como el conjunto [texx]S^{2n-1}= \left\{{X=(x_1,y_1,...,x_n,y_n)\in \mathbb{R}^{2n}: x_1^2+y_1^2+...+x_n^2+y_n^2=1}\right\} [/texx]. Por tanto, si considero el campo vectorial en coordenadas locales [texx]X=\displaystyle \sum_{i=1}^n\left(x_i\dfrac{\partial}{\partial y^{2i-1}}+y_i\dfrac{\partial}{\partial y^{2i}}\right)[/texx] tendrá longitud uno, ya que está en la esfera impar.

Es correcto mi planteamiento?
Saludos
9  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de computación / MATLAB: contar raices de un polinomio : 11/09/2017, 02:35:18 am
Hola, buenos días, necesito ayuda con el siguiente problema por favor
Necesito crear un script en Matlab que me permita saber cuantas raíces reales hay en el intervalo [texx][-4,6][/texx] del polinomio [texx]Q(x)=x^5-4x^4-10x^3+26x^2-11x+30[/texx].

El siguiente código nos entrega las raíces del polinomio:
Código:
clear all
Q=[1 -4 -10 26 -11 30];
roots(Q)

ans =

   5.0000 + 0.0000i
  -3.0000 + 0.0000i
   2.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 1.0000i
   0.0000 - 1.0000i

Y aquí quedo, ¿alguna idea de como contar las raíces reales en ese intervalo?, que en este caso serían 3. :¿eh?:
De antemano gracias, saludos.
10  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Representar una 2-forma : 01/09/2017, 04:48:19 pm
Probar que cada 2-forma [texx]\omega^2 \in \Lambda^2(V^*)[/texx] puede ser representada como:
[texx]\omega^2=\sigma_1\wedge \sigma_2+...+\sigma_{2r-1}\wedge \sigma_{2r}[/texx] para ciertas bases [texx]\sigma_1,...,\sigma_n[/texx] de [texx]V^*[/texx]

Hola, pido ayuda tambien con este problema por favor, saludos..
11  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Re: Fórmula para una k-forma : 01/09/2017, 04:37:57 pm
Gracias por la bienvenida y la ayuda, he entendido lo que has hecho el_manco.. Saludos cordiales
12  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Fórmula para una k-forma : 01/09/2017, 01:01:57 am
Hola, muy buenos días.
Me he visto en aprietos con este problema, a ver si me echan una ayuda, de antemano gracias

Sea [texx]e_1,...,e_n[/texx] una base del espacio vectorial [texx]V[/texx] y [texx]\sigma_1,...,\sigma_n[/texx] la correspondiente base dual. Entonces la siguiente fórmula se aplica para cada [texx]k-[/texx]forma [texx]\omega^k: \sum_{i=1}^n\sigma_i \wedge(e_i\dashv  \omega^k)=k\cdot \omega^k[/texx]

pd: [texx]\dashv [/texx] es el producto interior de [texx]e_i[/texx] con [texx]\omega^k[/texx]
Páginas: [1]
Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!