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1  Matemática / Matemáticas Generales / Re: ¿Cómo funciona esta aplicación de los logaritmos? : 28/06/2017, 12:21:54 am

Por cierto que, lo mismo es cierto en cualquier otra base, la base 10 no tiene nada de especial, salvo que la empleamos habitualmente:

   El número de dígitos que tiene un natural [texx]N\textrm{ en base }k\textrm{ es }\lfloor\log_{k}N\rfloor+1[/texx]. Lo cual es especialmente útil cuando [texx]k = 2[/texx].

Saludos,

Claro dije base 10 porque es la que acostumbramos a usar, gracias por corregirme.

supongo que debe tener que ver con la notación científica.

Sí, pero no intentes ver la relación tanto con el valor en sí del número, es más la relación con la cantidad de símbolos con que se escribe un número. El logaritmo pregunta “a qué número hay que elevar la base para que nos dé otro número”, lo que puedes pensar también con la idea de símbolos.

Todos los símbolos de los números naturales están encerrados ordenadamente en los intervalos [0,10], (10,100]... sin que se quede ninguno fuera.   De tal forma que [texx]10^2[/texx] significa un 1 y dos ceros, o sea, tres cifras; análogamente tex]10^3[/tex] significa un 1 y 3 ceros, cuatro cifras etc. Es decir, un símbolo delante y dos detrás, uno delante y tres detrás...

Los símbolos asociados a los números [100,1000) todos son de tres cifras, así pues, cuando el logaritmo pregunta “¿a qué potencia hay que elevar 10 para que nos salga un símbolo de tres cifras?”, la parte entera de la potencia siempre será 2, porque la potencia 3 y superiores ya suponen al menos una cifra más. Esto  hace ver lo que dice Ilarrosa, pues da lo mismo que diez represente al valor “diez” o al valor “siete” o cualquiera, la base “k” siempre se va a escribir con este símbolo “10” tenga el valor que tenga y la mecánica no cambia.

Saludos.

Muy interesante, nunca lo había visto así.  Voy a releerlo hasta que me quede incorporado.  :sonrisa_amplia:

Muchas gracias.

Saludos.
2  Matemática / Matemáticas Generales / Re: ¿Cómo funciona esta aplicación de los logaritmos? : 27/06/2017, 01:18:23 am
Lo primero es recordar que logaritmo en base 10 es una función creciente, esto es, si [texx]0<x<y[/texx], entonces [texx]log_{10}x<\log_{10}y[/texx].

- Si [texx]10\leq N<100[/texx] (es decir, si [texx]N[/texx] tiene dos dígitos) entonces

    [texx]10\leq N<10^2\Leftrightarrow 1\leq\log_{10}N<2[/texx]

- Si [texx]100\leq N<1000[/texx] (es decir, si [texx]N[/texx] tiene tres dígitos) entonces

    [texx]10^2\leq N<10^3\Leftrightarrow 2\leq\log_{10}N<3[/texx]

- así, en general, si [texx]10^n\leq N<10^{n+1}[/texx] (es decir, si [texx]N[/texx] tiene [texx]n[/texx] dígitos) entonces

    [texx]10^n\leq N<10^{n+1}\Leftrightarrow n\leq\log_{10}N<n+1[/texx].

Teniendo esto claro, el siguiente resultado es directo


Gracias por la detallada explicación! Ahora si que lo tengo claro. :cara_de_queso:

Saludos
3  Matemática / Matemáticas Generales / Re: ¿Cómo funciona esta aplicación de los logaritmos? : 26/06/2017, 06:29:07 pm
Correcto. Aplicando esta fórmula:


   El número de dígitos que tiene un natural [texx]N[/texx] es [texx]\lfloor\log_{10}N\rfloor+1[/texx]

donde [texx]\lfloor x\rfloor[/texx] es el número natural más grande [texx]M[/texx] tal que [texx]M\leq x[/texx]. En tu caso [texx]N=5^{29}[/texx].

    [texx]\lfloor\log_{10}5^{29}\rfloor+1=\lfloor29\log_{10}5\rfloor+1=\lfloor 29\cdot(1-0.699)\rfloor+1=\lfloor 20.271\rfloor+1=20+1=21[/texx].

Sería interesante que te convenzas de donde viene esa fórmula, porqué funciona. ¿Lo tienes claro?

La verdad que todavía no entiendo del todo bien como se llega al resultado. Como dije antes, supongo que debe tener que ver con la notación científica. Pero más no sé.  :indeciso:
4  Matemática / Matemáticas Generales / Re: ¿Cómo funciona esta aplicación de los logaritmos? : 26/06/2017, 06:07:27 pm
Complemento la respuesta de ingmarov con una propiedad que debieras conocer para terminar el ejercicio:

   El número de dígitos que tiene un natural [texx]N[/texx] es [texx]\lfloor\log_{10}N\rfloor+1[/texx]

donde [texx]\lfloor x\rfloor[/texx] es el número natural más grande [texx]M[/texx] tal que [texx]M\leq x[/texx]. En tu caso [texx]N=5^{29}[/texx].

Sabía que siempre debía ir al número que le sigue pero lo había deducido a prueba y error. Ahora estoy seguro de que debe ser así.
Gracias por explicármelo!

Saludos
5  Matemática / Matemáticas Generales / Re: ¿Cómo funciona esta aplicación de los logaritmos? : 26/06/2017, 06:03:30 pm
Hola

Si lo pones de esta forma. [texx]5^{29}=\left(\dfrac{10}{2}\right)^{29}[/texx]

Ahora calcula el logaritmo ¿entiendes?

Saludos

Para entender la aplicación puedes calcular el logaritmo de algunos números, por ejemplo 19, 9978, 59124, 158905371, y ve qué relación tiene el logaritmo con la cantidad de cifras de cada número.


Mmm, es decir que [texx]29\log_{10}(5)=29(\log_{10}(10)-\log_{10}(2))
[/texx]

Entonces [texx]29*0,699=20,271[/texx]

Y eso daría como resultado la cantidad de cifras, que serían en este caso no 20 sino que 21. ¿Cierto?

Edito: Ya me quedó claro que deben ser 21 gracias a la respuesta de mathtruco.

Gracias a los dos y saludos.
6  Matemática / Matemáticas Generales / ¿Cómo funciona esta aplicación de los logaritmos? : 26/06/2017, 05:35:29 pm
Hola,

Estaba viendo un ejercicio en el cuál me pedían averiguar la cantidad de cifras que tendrá [texx]5^{29}[/texx] sabiendo que [texx]\log_{10}(2)=0,3010[/texx].

Supongo que tiene algo que ver con lo opuesto a la notación científica pero no entiendo bien como es que funciona y no puedo encontrar casi nada acerca de esta aplicación de los logaritmos.

¿Alguien sabría decirme como es que esto funciona?

Gracias.

Saludos
7  Matemática / Trigonometría y Geometría Analítica / Re: Sen(a+b)=... : 26/06/2017, 01:56:44 pm

Querías decir que ambos ángulos eran del primer cuadrante. Es que al decir que los dos eran positivos entendí que las razones que dabas, o quizás las otras dos eran positivas. Si solo conoces el signo del seno o el del coseno de un ángulo, pero no el cuadrante al que pertenece, hay una doble posibilidad para el valor de la otra razón. Como eran dos, nos quedaban hasta cuatro combinaciones posibles.

Es decir, si nos dicen que [texx]\sen a = \dfrac{4}{5}[/texx], tenemos dos posibilidades para el [texx]\cos a[/texx]:

[texx]\cos a = \pm{}\sqrt[ ]{1 - \sen^2 a} = \pm{} \dfrac{3}{5}[/texx]

Si se que el ángulo es del I cuadrante, será [texx]\dfrac{3}{5}[/texx]. Si se que es del II cuadrante, será [texx]-\dfrac{3}{5}[/texx] (del III o el IV no puede ser si el seno es positivo). Pero si no se nada de a que cuadrante pertenece el ángulo, no podemos decidir entre [texx]\pm{} \dfrac{3}{5}[/texx]. Es lo que nos ocurre por ejemplo al buscar el ángulo de un triángulo mediante el teorema del seno. Sin algo más de información, no podemos decidir si el ángulo es agudo u obtuso.

Saludos,

Claro, en esos casos ya no quedaría otra que considerar ambos resultados como respuestas. Comprendido. Gracias!

Saludos.
8  Matemática / Trigonometría y Geometría Analítica / Re: Sen(a+b)=... : 26/06/2017, 10:37:57 am

¿Que es lo que son positivos?¿[texx]\sen a\textrm{ y }\cos b[/texx]? ¿[texx]O \cos a\textrm{ y }\sen b[/texx]? Sin conocer esto último, la respuesta debe ser cuadrúple.

Saludos,

Me refería a que [texx]0\leq{a}\leq{90}[/texx] y que [texx]0\leq{b}\leq{90}[/texx] quizás por no escribirlo de esa forma me expresé erróneamente disculpas.

¿Qué es lo que debe ser cuádruple?

Saludos
9  Matemática / Trigonometría y Geometría Analítica / Re: Sen(a+b)=... : 26/06/2017, 03:27:37 am
Estas confundiendo datos.
[texx]a+b[/texx] es una suma de dos ángulos, y tu has sumado dos razones.

Tenemos que [texx]\sen(a+b)=\sen \ a \ \cos \ b+\cos \ a \ \sen \ b[/texx]

Tenemos que hallar [texx]cos(a)\ y\ sen(b)[/texx] y aplicar la fórmula.
Desconocemos quien es a y b.


Gracias por responder, había aprendido a usar esa formula cuando tenia ángulos entonces no se me paso por la cabeza aplicarla jejeje.  :sonrisa_amplia:
Hola

A ver

[texx]sen(a+b)=sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)[/texx]

Debemos calcular sen(b) y cos(a)

[texx]sen(b)=\sqrt{1-cos^2(b)}=\sqrt{1-9/10}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}[/texx]

[texx]cos(a)=\sqrt{1-sen^2(a)}=\sqrt{1-1/5}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}[/texx]


Entonces me da



Debe haber un error en el problema (o en la respuesta).

Saludos

Ya lo pude resolver y efectivamente me dio el resultado que había dicho. Gracias por la ayuda!

Saludos,
10  Matemática / Trigonometría y Geometría Analítica / Sen(a+b)=... : 26/06/2017, 01:56:10 am
Hola,

Alguien podría decirme cuál es el error en mi procedimiento.

Me dicen que [texx]Sen(a)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{5}}[/texx] y que [texx]Cos(b)=\displaystyle\frac{3}{\sqrt[ ]{10}}[/texx] ambos son positivos.

¿Cuánto es [texx]Sen(a+b)[/texx]?

Yo transformé el coseno a seno obteniendo [texx]\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{10}}{10} [/texx]. Entonces intente sumar [texx]Sen(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{5}}{5}+\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{10}}{10})[/texx]. Pero no llego al resultado real que es
Gracias desde ya.

Saludos.
11  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Averiguar la incógnita de cada vector : 25/06/2017, 04:36:04 pm

Por el teorema de la bisectriz sabes que:

[texx]\displaystyle\frac{AL}{LC}=\displaystyle\frac{BA}{BC}= \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{5}}{\sqrt[ ]{20}}=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]

[texx]\Rightarrow{}\;AL = \dfrac{1}{2}LC=\dfrac{1}{3}AC[/texx]

[texx]\overrightarrow{AL}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\;\Rightarrow{}\;\overrightarrow{BL}=\overrightarrow{BA}+ \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+ \dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{BC}- \overrightarrow{BA}\right)= \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}[/texx]

Alternativamente, considerando el punto [texx]D\textrm{ tal que }\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BA}[/texx], se tiene que [texx]\triangle CBD[/texx] es isósceles y rectángulo en [texx]B[/texx], por lo que la bisectriz de [texx]\angle CBA[/texx] es también la mediana del lado [texx]CD[/texx]. Como [texx]CA[/texx] es la mediana del lado [texx]BD[/texx], se tiene que [texx]L[/texx] es el baricentro del [texx]\triangle CBD[/texx]. Y es sabido que el baricentro divide a cada mediana a [texx]\dfrac{1}{3}\textrm{ del lado y }\dfrac{2}{3}[/texx] del vértice opuesto. Ya se sigue como antes.

Saludos,


Gracias maestro me ayudó mucho su explicación. No sabía eso acerca del baricentro, gracias por la lección de teoría.  :cara_de_queso:

Saludos.
12  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Averiguar la incógnita de cada vector : 25/06/2017, 01:27:52 pm
Hola

Para el primer problema, es conveniente que hagas un croquis del triángulo, teniendo en cuenta las flechas.Cuando se suman dos vectores (segmentos orientados), el inicio del segundo vector, se hace coincidir con el final del primer vector (flecha) y de esta manera el vector suma tendrá como inicio, el inicio del primer vector y como final, el final del segundo vector. Esto significa [texx]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}[/texx]

Ya no dispongo de tiempo, mañana podré responder a cualquier interrogante.

Saludos

Gracias delmar, ya lo pude resolver.

Saludos.

Cita
No, en ese caso sería también la altura y el triángulo isósceles. ¿Conoces el Teorema de la Bisectriz? Con el es muy sencillo. Si no, también se puede hacer teniendo en cuenta que L sería el baricentro del triángulo BCD, con BD−→−=2BA−→−BD→=2BA→.

Saludos,

A partir de teorema de la bisectriz obtuve cuanto valen los el lado [texx]AL[/texx] y [texx]LC[/texx]. Lo que no comprendo es como averiguar cuanto vale el punto [texx]L[/texx] para formar su vector, no termino de entender como averiguar el punto [texx]L[/texx] a partir de lo que usted me dice. Lo que estuve pensando es que podría hacer suma de vectores de tal forma que [texx]\vec{BL}+\vec{LC}=\vec{BC}[/texx]. No se si funcionará realizar esto, por lo que he probado no me sirve pero es probable que sea por algún error mio.

Gracias por la ayuda,

Saludos
13  Matemática / Probabilidad / Re: Probabilidad de exceder en puntos al otro al lanzar una moneda : 25/06/2017, 01:13:34 am

Otra forma de verlo es empezar precisamente por los empates. tenemos [texx]2^6 = 64[/texx] resultados posibles. Pueden empatar con
  • 0 puntos: de [texx]\displaystyle\binom{3}{0}^2 = 1[/texx] forma
  • 1 puntos: de [texx]\displaystyle\binom{3}{1}^2 = 9[/texx] formas
  • 2 puntos: de [texx]\displaystyle\binom{3}{2}^2 = 9[/texx] formas
  • 3 puntos: de [texx]\displaystyle\binom{3}{3}^2 = 1[/texx] forma

En total, [texx]20[/texx] posibilidades. Quedan [texx]44[/texx] y como la probabilidad de que gane A o B es la misma, la probabilidad de A supere a B es de [texx]\dfrac{22}{64} = \dfrac{11}{32}[/texx].

Saludos,


Ese procedimiento era exactamente el que estaba tratando de pensar. Muchas gracias por aclarar como se haría de esa forma.

Saludos,
14  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Averiguar la incógnita de cada vector : 25/06/2017, 01:11:11 am
Hola amigos,

Tengo problemas para realizar unos ejercicios de vectores. Uno dice: En un triángulo [texx]ABC[/texx]
[texx]
\vec{AB}=(x,2,1);   
\vec{BC}=(-1,y,4);   
\vec{CA}=(3,-5,z)[/texx]

¿Cuánto valen x, y , z?

Yo pensé que [texx]\vec{AB}-\vec{BC}=-\vec{CA}[/texx] y a apartir de eso despejar, pero no llego al resultado correcto. :triste:

Luego hay otro que dice asi:

En el pano xy, hay tres puntos: [texx]A(3,4); B(2,2); C(6,0)[/texx]. Cuando el punto [texx]L[/texx] es la intersección de la bisectriz de [texx]\angle ABC[/texx] con el lado [texx]AC[/texx].

[texx]\vec{BL}=k(\vec{BA})+n(\vec{BC})[/texx]

¿Cuánto valen [texx]k[/texx] y [texx]n[/texx]?

Aquí lo que no estoy seguro es cómo averiguar cuanto vale el [texx]\vec{BL}[/texx] pensé que al ser el ángulo de B un ángulo recto entonces al trazar una bisectriz por este formaría una perpendicular con el lado AC por lo que el producto de ambos vectores debería ser 0 y a partir de allí despejar. Pero no llego al resultado tampoco.

Gracias desde ya.

Saludos!
15  Matemática / Probabilidad / Re: Probabilidad de exceder en puntos al otro al lanzar una moneda : 23/06/2017, 10:52:58 pm
Mejor explicado imposible!  Aplauso Muchísimas gracias por tomarte el tiempo de explicarlo tan detalladamente. Me ha quedado perfectamente claro.

Saludos.

 
16  Matemática / Probabilidad / Probabilidad de exceder en puntos al otro al lanzar una moneda : 23/06/2017, 07:55:53 pm
Hola,

Alguien podria darme una ayuda sobre como pensar este problema:

Dos personas [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] lanzan simultáneamente una moneda cada uno. Si sale cara ganan [texx]1[/texx] punto y si sale cruz [texx]0[/texx] puntos. Las probabilidades de que los puntos de [texx]A[/texx] superen a los de [texx]B[/texx] tras tres lanzamientos es de...

No se me ocurre como incluir los posibles empates en la cuenta.

Saludos.
17  Matemática / Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Par ordenado de soluciones para una ecuación : 22/06/2017, 09:32:13 pm
Ya comprendí como funciona. Comprobé y efectivamente ocho resultados.

Gracias a todos por la ayuda.

Saludos  :cara_de_queso:
18  Matemática / Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Par ordenado de soluciones para una ecuación : 22/06/2017, 08:17:08 pm
Hola
¿Que te parece si lo pones de esta forma ?

[texx]x^2-4xy+5y^2+2y-4=0\Rightarrow{(x^2-4xy+4y^2)+(y^2+2y+1)-5=0}\Rightarrow{(x-2y)^2+(y+1)^2=5}[/texx]

Por ser x,y enteros, cada cuadrado es un entero positivo, se ha de buscar, los enteros positivos que son cuadrados, de numero enteros y cuya suma sea 5. Los únicos son el [texx]1=1^2=(-1)^2, \ \ 4=2^2=(-2)^2[/texx]. Luego hay que ver las distintas alternativas válidas de : [texx]x-2y[/texx] y de [texx]y+1[/texx]


Saludos


Hola, gracias por la respuesta.
 
Probando como usted me dijo solo consigo dos resultados y la respuesta es 8. Por lo tanto me fije en WolframAlpha y efectivamente son 8 respuestas. https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2-4xy%2B5y%5E2%2B2y-4%3D0

¿Alguna idea?

Saludos.
19  Matemática / Álgebra y Aritmética Básicas / Par ordenado de soluciones para una ecuación : 22/06/2017, 06:41:51 pm
Buenas.

Alguien me podría dar una ayuda para resolver un problema.

Tengo que encontrar el número de pares ordenados enteros que satisfacen la siguiente ecuación:

[texx]x^2-4xy+5y^2+2y-4=0[/texx]

Intente factorizarla pero no me queda de ninguna forma así que supongo que debe haber un método particular para realizar este tipo de problemas.

Gracias de antemano.

Saludos.
20  Matemática / Trigonometría y Geometría Analítica / Re: Área de un triángulo en intervalos. : 21/06/2017, 03:43:33 pm

Mira lo que agregué en azul a mi mensaje anterior, el triángulo BPO en general no es recto pero el pequeño triángulo sí.

Si ahí lo veo. Supongo que al principio cuesta darse cuenta de ese tipo de cosas. Espero que con la practica le vaya tomando la mano.

Gracias por toda la ayuda.
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