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1  Matemática / Cálculo varias variables / Integral de línea : Hoy a las 12:03:08 pm
Tengo este problema, que me lo pusieron el Miercoles en un control de calculo, la verdad no entendí el enunciado o el problema, me gustaría que me pudieran ayudar.
Considerar los puntos [texx]O(0,0), A(1,0), B(0,1),[/texx] y [texx]C(1,1)[/texx],  y la curva [texx]E[/texx] cerrada que muestra la figura. El arco que une [texx]B[/texx] con [texx]C[/texx] es un semicírculo. Sean [texx]P(x,y)[/texx] y [texx]Q(x,y)[/texx] funciones de clase C1, tales que para todo [texx]x[/texx], [texx]y[/texx] se cumple que:
[texx]\frac{{\partial P}}{{\partial x}}=1, \frac{{\partial P}}{{\partial y}}=2, \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}=-1, \frac{{\partial Q}}{{\partial y}}=-3[/texx]
Calcular la integral
[texx]\displaystyle\int_{}^{}(P+2Q)dx+(Q-P)dy[/texx]
No entendí este problema, no pude hacer nada, se me ha hecho una eternidad entender esta materia, adjunto la curva E


2  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Curva en un cilindro : 22/11/2017, 12:07:00 pm
Hola

Sea [texx]F(x,y,z)= (e^xcos(y)+yz,xz-e^xsen(y),xy+z)[/texx] y C la curva compuesta del arco [texx]y^2+z^2=9[/texx] que une los puntos [texx](0,3,0)[/texx] y el [texx](0,0,3)[/texx] y del segmento de recta que une [texx](0,0,3)[/texx] con [texx](2,1,2)[/texx]. Hallar el trabajo que realiza el campo [texx]F[/texx] para mover una particula sobre C desde [texx](0,3,0)[/texx] a [texx](2,1,2)[/texx]
Como podría integrar ese arco de curva? porque no tengo como saber si es una elipse, arco de circunferencia, etc, entonces como lo debo hacer en este caso?

Independientemente de que el campo es conservativo (no lo he comprobado, pero me creo a alucard  ) y por tanto el trabajo sólo depende del punto inicial o final, el arco de curva te dicen exactamente cual es.

Es el arco sobre la circunferencia [texx]y^2+z^2=9[/texx], [texx]x=0.[/texx] El tramo de [texx](0,3,0)[/texx] a [texx](0,0,3)[/texx] podrías parametrizarlo entonces como:

[texx]x=0,\quad y=3cos(t),\quad z=3sin(t),\qquad t\in [0,\pi/2][/texx]

El segundo tramo sería el segmento entre [texx](0,0,3)[/texx] y [texx](2,1,2)[/texx] que puede parametrizarse como:

[texx](x,y,z)=(1-t)(0,0,3)+t(2,1,2)[/texx] con [texx]t\in [0,1][/texx]

Saludos.
Hola, gracias, no entendí la última parametrización de la recta que hiciste, porque yo lleve a una ecuación vectorial [texx](x,y,z)=(0,0,3)+t(2,1,-1)[/texx] y ahí ya estaría parametrizado en función de t cada coordenada
3  Matemática / Cálculo varias variables / Curva en un cilindro : 22/11/2017, 01:48:23 am
Sea [texx]F(x,y,z)= (e^xcos(y)+yz,xz-e^xsen(y),xy+z)[/texx] y C la curva compuesta del arco [texx]y^2+z^2=9[/texx] que une los puntos [texx](0,3,0)[/texx] y el [texx](0,0,3)[/texx] y del segmento de recta que une [texx](0,0,3)[/texx] con [texx](2,1,2)[/texx]. Hallar el trabajo que realiza el campo [texx]F[/texx] para mover una particula sobre C desde [texx](0,3,0)[/texx] a [texx](2,1,2)[/texx]
Como podría integrar ese arco de curva? porque no tengo como saber si es una elipse, arco de circunferencia, etc, entonces como lo debo hacer en este caso?
4  Matemática / Cálculo varias variables / Integral de línea : 20/11/2017, 09:32:23 pm
Sea [texx]F(x,y,z)=(2x\ln(yz)-5ye^x,\displaystyle\frac{x^2}{y}-5e^x,\displaystyle\frac{x^2}{z}+2z)[/texx] y sea C una curva simple que une [texx]A(2,2,1) B(3,1,e)[/texx]. Calcular [texx]\displaystyle\int_{}^{}F*dl[/texx] No sé como resolverlo, porque aplicar Green no sirve para [texx]\mathbb{R^3}[/texx], entonces como se debe hacer para cuando hay una línea en el espacio?
5  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Teorema de green ejercicio : 12/11/2017, 07:30:48 pm
Hola

Calcule [texx]\displaystyle\oint_{}^{} \displaystyle\frac{-y^3 dx}{(x^2+y^2)^2}+\displaystyle\frac{xy^2 dy}{(x^2+y^2)^2}[/texx] sobre la elipse [texx]x^2+4y^2=4[/texx], recorrida en sentido antihorario

Este ejercicio lo hicimos en clases pero no entendí algo, yo empecé por tratar de aplicar el teorema de green que era la idea, asi que hice el primer paso que nos enseñaron, que es parametrizar la curva, asi que lleve la elipse a polares, [texx]x=2rcos(\theta)[/texx], [texx]y=rsen(\theta)[/texx] y el jacobiano [texx]J=2r[/texx] pero aqui el profe dijo que este camino no sirve, pues la elipse contiene al [texx](0,0)[/texx] que indetermina el integrando, asi que lo resolvió inscribiendo una circunferencia de centro en el origen y con sentido horario [texx]x^2+y^2=a^2 [/texx]con [texx]0<a<1[/texx] y reescribio todo asi

[texx]\displaystyle\oint_{}^{} Pdx+Qdy + \displaystyle\int_{}^{} Pdx+Qdy=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}+\frac{{\partial P}}{{\partial y}} dA[/texx] con dA diferencial de área

Y pues es eso mismo lo que no entendí nunca, no entendí nunca la idea de inscribir una circunferencia ni el sentido horario

El problema está en que para poder aplicar el Teorema de Green (para que se cumpla) el campo tiene que estar definido todo el interior de la curva. Pero en tu caso el campo no está definido en el origen.

El truco es entonces aplicarlo en dos curvas cerradas que "salven" ese punto singular. Observa el dibujo:



Aplicamos el Teorema de Green en la región naranja cuya frontera es la semielipse superior, la semicircunferencia superior y los segmentos que las unes, todos ellos orientados como indican las flechas en rojo.

También aplicamos el Teorema de Green en la región azul cuya frontera es la semielipse inferior, la semicircunferencia inferior y los segmentos que las unen, todos ellos orientados como indican las flechas en azul.

Si sumamos ambas, los tramos en los segmentos recorridos en azul en un sentido y en rojo en el opuesto, se anulan, Y lo que queda es la suma de las circulaciones en la elipse exterior sentido antihorario más la circunferencia interior sentido horario.

Saludos.

Hola, muchas gracias, igual me sigue quedando la duda, porque la circunferencia tambien incluye el origen, entonces igualmente sigue anulandose el denominador, entonces no logro entender cual es la idea de hacer más fronteras
6  Matemática / Cálculo varias variables / Teorema de Green ejercicio : 07/11/2017, 08:38:59 pm
Calcule [texx]\displaystyle\oint_{}^{} \displaystyle\frac{-y^3 dx}{(x^2+y^2)^2}+\displaystyle\frac{xy^2 dy}{(x^2+y^2)^2}[/texx] sobre la elipse [texx]x^2+4y^2=4[/texx], recorrida en sentido antihorario

Este ejercicio lo hicimos en clases pero no entendí algo, yo empecé por tratar de aplicar el teorema de Green que era la idea, asi que hice el primer paso que nos enseñaron, que es parametrizar la curva, asi que lleve la elipse a polares, [texx]x=2rcos(\theta)[/texx], [texx]y=rsen(\theta)[/texx] y el jacobiano [texx]J=2r[/texx] pero aqui el profe dijo que este camino no sirve, pues la elipse contiene al [texx](0,0)[/texx] que indetermina el integrando, asi que lo resolvió inscribiendo una circunferencia de centro en el origen y con sentido horario [texx]x^2+y^2=a^2 [/texx]con [texx]0<a<1[/texx] y reescribio todo asi

[texx]\displaystyle\oint_{}^{} Pdx+Qdy + \displaystyle\int_{}^{} Pdx+Qdy=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}+\frac{{\partial P}}{{\partial y}} dA[/texx] con dA diferencial de área

Y pues es eso mismo lo que no entendí nunca, no entendí nunca la idea de inscribir una circunferencia ni el sentido horario
7  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Re: Ejercicio capacitancia : 07/11/2017, 07:53:30 pm
Una demostración es así

La carga Q de los capacitores es igual y el voltaje Total es la suma de los voltajes de los capacitores


Así   [texx]V_T=V_1+V_2=\dfrac{Q}{C_1}+\dfrac{Q}{C_2}=\bf Q\cdot\left(\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}\right)[/texx]

Entonces      [texx]C_{eq}=\dfrac{Q}{V}=\left(\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}\right)^{-1}[/texx]


Saludos

Gracias, la respuesta que da el solucionario es [texx]\displaystyle\frac{c}{l}=\displaystyle\frac{2\pi\epsilon 0}{ln(\displaystyle\frac{RaRc}{RbRd})}[/texx]
que es parecida a la formula de la capacitancia de un cilindro coaxial pero no se como llegar al argumento de [texx]ln[/texx]
8  Disciplinas relacionadas con la matemática / Temas de física / Ejercicio capacitancia : 06/11/2017, 08:13:48 pm
Un capacitor cilindrico largo consiste en cuatro cilindros concéntricos, radios respectivos [texx]Ra, Rb, Rc[/texx] y [texx]Rd[/texx]. Los cilindros [texx]b[/texx] y [texx]c[/texx] están unidos por bandas metálicas de metal. Determine la capacitancia por unidad de longitud de este arreglo (considere que hay cargas opuestas e iguales en el cilindro más interno y en el cilindro más externo)

Yo se calcular la capacitancia de un cilindro coaxial, pero en este caso cuando hay 4 cilindros no se como hacerlo, no se que relevancia tiene que los cilindros b y c estén unidos, en fin, necesito ayuda a plantear este ejercicio.
9  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Edo con una función a tramos Laplace : 02/11/2017, 12:27:32 pm
Hola

¿Ya estudiaste la función escalón de Heaviside?

https://es.m.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_escal%C3%B3n_de_Heaviside


En resumen, un escalón unitario vale uno si su argumento es no negativo y cero en otro caso. En este caso tenemos

[texx]u(t)-u(t-1)[/texx].    El primer escalón vale uno a partir de t=0, para [texx]t\geq 1[/texx] el segundo escalón vale uno pero multiplicado por -1 vale -1. Al sumar los escalones vemos que su comportamiento es igual a la función a trozos.

Espero te sirva (estoy desde el móvil).

Saludos

Muchas gracias, si me hubieran dicho antes que vale 1 para todo t positivo y cero para todo t negativo, este ejercicio lo habría hecho de inmediato, y de todas partes que leí en ninguna decía eso
10  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Edo con una función a tramos Laplace : 02/11/2017, 11:04:22 am
Hola

La ecuación es equivalente a

[texx]y''+16y=u(t)-u(t-1)[/texx]

¿Entiendes?

Saludos

Hola, gracias, entiendo que u es una función unitaria pero no comprendo como llegaste a esa manera de reescribir la ecuación
11  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Edo con una función a tramos Laplace : 01/11/2017, 08:54:44 pm
Tengo la siguiente ecuación diferencial

[texx]y''+16y= \displaystyle\binom{1, 0\leq{t}<1}{0, t\geq{1}}[/texx]

Resolver usando transformada de Laplace, yo sé calcular la transformada de una función a tramos pero cuando hay una ecuación no sé como hacerlo, mi profe enseñó llevarlo a función escalón unitario pero no entendí nunca de como transformar una función a eso.
12  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Volumen : 19/10/2017, 11:40:05 am
Hola

En Polares (cilíndricas) es

[texx]V=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2cos(\varphi)}\,\displaystyle\int_{0}^{r^2}{\bf\color{blue}r} dz\, dr\, d\varphi[/texx]



En cartesianas como integral triple es:

[texx]V=\displaystyle 2\int_{0}^{2}\int_{\bf 0}^{\sqrt{1-(x-1)^2}}\int_{0}^{ x^2+y^2}\, dz\, dy\;dx[/texx]


Es esféricas no me atrevo a intentarlo, me parece raro (más complicado) utilizar ese cambio.


Saludos
Gracias nuevamente, me podrías explicar como lo hiciste en cilindricas? no me queda claro los límites de integración
13  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Volumen : 19/10/2017, 12:00:57 am
Hola

Respecto a tu inquietud realmente la superficie de la primera ecuación es un cilindro, mostrando : [texx]x^2+y^2=2x\Rightarrow{x^2-2x+1+y^2=1}\Rightarrow{(x-1)^2+y^2=1}[/texx], observa que para todo z, los puntos constituyen una circunferencia de centro (1,0,z) y de radio 1, luego es un cilindro cuyo eje es paralelo al eje Z, su radio es 1 y pasa por el punto (1,0,0), demás esta decirlo que su proyección sobre el plano XY, es una circunferencia de radio 1 y centro (1,0,0). Adjunto un esquema que muestra la proyección y el sólido.

Si te piden en coordenadas esféricas, hay que elegir el sistema europeo o estadounidense, particularmente prefiero el europeo [texx](r,\theta,\varphi)[/texx] ¿se puede utilizar integral doble o necesariamente triple?

Veo el aporte de ingmarov, de hecho que te ayuda.

Saludos

Hola, entendí lo del cilindro, ahora con respecto a las coordenadas, a mi me lo enseñaron de la forma [texx] r^2sen(\varphi)dr*d
\varphi*d\theta[/texx] para volumenes, y creo que si, es necesario ocupar integrales triples, porque asi lo hemos estado haciendo en clases
14  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Volumen : 18/10/2017, 11:44:59 pm
Hola

A ver

[texx]x^2+y^2=2x\quad\Rightarrow\quad (x-1)^2+y^2=1\quad\Rightarrow\quad \bf y=\pm\sqrt{1-(x-1)^2}[/texx]


El volumen es

[texx]V=\displaystyle\int_{0}^{2}\int_{-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{1-(x-1)^2}} x^2+y^2\, dy\;dx=2\int_{0}^{2}\int_{\bf 0}^{\sqrt{1-(x-1)^2}} x^2+y^2\, dy\;dx[/texx]



Hola, gracias, pero necesito expresarlas en coordenadas esféricas, porque en cartesianas entiendo el asunto, y en esféricas el ángulo fi no se como se mueve porque como es una parabola, barre volumen que esta afuera de la región
15  Matemática / Cálculo varias variables / Volumen : 18/10/2017, 09:27:56 pm
Calcular el volumen usando coordenadas esféricas del sólido acotado por el cilindro [texx]x^2+y^2=2x[/texx] sobre el plano [texx] z=0[/texx] y bajo el paraboloide [texx]z=x^2+y^2[/texx]

Me cuestan estos tipos de ejercicio de calcular volumenes, porque al inicio me cuesta ubicar la zona comprendida, me cuesta ubicar los límites de integración, yo manejo coordenadas esféricas, pero se me hacen dificles aplicarlas en estos ejercicios, agradecería que me ayudaran. Además, yo se que un cilindro viene dado como ecuación de circunferencia, entonces como dicen que esa ecuación que esta igualada a 2x es un cilindro, como se donde esta centrada?
16  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Volumen : 03/10/2017, 02:34:54 pm
Muchas gracias, logré comprender el ejercicio, se pasaron  Aplauso  :sonrisa_amplia:
17  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Volumen : 02/10/2017, 11:44:07 pm
Hola

Perdón por la interrupción. Con fines aclaratorios, tu planteamiento es incorrecto, con esa integral triple se esta calculando el volumen del octante positivo de la esfera, mas no del sólido del problema.

Adjunto un croquis del sólido .

El sólido es la parte del 1er octante de la esfera, que esta debajo de la superficie cónica. A Grosso modo en su parte superior esta limitado por la superficie cónica, en su parte frontal  por la superficie esférica, por la  parte inferior por el plano XY, por la parte lateral izquierda y por la parte posterior, por los planos coordenados XZ, YZ respectivamente (El ojo y la mirada coinciden con la dirección de la flecha).

En consecuencia el volumen del sólido es la diferencia entre el volumen  del OCTANTE DE LA ESFERA QUE LO CONTIENE  y  el volumen del  SOLIDO COMPRENDIDO ENTRE LA SUPERFICIE CONICA Y LA SUPERFICIE ESFERICA, tal como lo ha mostrado  Ignacio Larrosa

Saludos

Entiendo lo que quiere hacer, que es restar 2 volumenes, ahora el problema es que no entiendo la integral, no entiendo el porque de los límites, me lo podrías explicar?
18  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Volumen : 02/10/2017, 09:46:03 pm
Sea [texx]\displaystyle\prod_{}^{}{}[/texx] la región del primer octante dentro de la esfera [texx]x^2+y^2+z^2=4[/texx] sobre el plano xy y por debajo del cono [texx] z\sqrt[ ]{3}=\sqrt[ ]{x^2+y^2}[/texx]. Exprese el volumen de [texx]\displaystyle\prod_{}^{}{} [/texx]en cartesianas integrales triples.

Mi parte debil de estos tipos de ejercicio es no reconocer la región, puedo dejar las ecuaciones en su forma canónica, encontrar algunos puntos de intersección pero no reconocer la region al dibujarla y obviamente sin eso no se podría calcular el volumen, entonces algun consejo de sobre como hallar la región, o como hacerse una referencia de como plantear estos tipos de ejercicio?

La región está en el primer octante de la esfera, que tiene centro en el origen y radio 2. Esta limitada inferiormente por el cuarto de círculo x[texx]^2 + y^2 = 4[/texx] situado en el primer cuadrante del plano [texx]Oxy[/texx]. Por encima esta limitado en parte por el cono, que tiene vértice en el origen, y parte por la esfera. La intersección de ambos es

[texx]\left. \begin{matrix}  x^2+y^2+z^2=4 \\ 3z^2 = x^2 + y^2 \end{matrix} \right\}\; \Longrightarrow{} \;4z^2 = 4\; \Longrightarrow{}\; z= \pm{}1[/texx]

Como estamos en el primer cuadrante, solo nos interesa [texx]z = 1[/texx]. La intersección es la circunferencia [texx]x^2 + y^2 = 3, z = 1[/texx]. Entonces, llamando [texx]r=\sqrt[ ]{x^2 + y^2}[/texx], para [texx]r \in{}[0, \sqrt[ ]{3}][/texx], el volumen está limitado superiormente por el cono, y par [texx]r \in{}[\sqrt[ ]{3}, 2][/texx] po0r la esfera.

La forma lógica de calcular este volumen sería en esféricas o cilíndricas, pero si tiene que ser en cartesianas, yo lo haria como la diferencia entre el volumen del octante de esfera menos el volumen comprendido entre cono y esfera cuando [texx]r \leq{} \sqrt[ ]{3}[/texx].

[texx]\displaystyle\prod = \displaystyle\frac{1}{8}\displaystyle\frac{4}{3}\pi 2^3 - \displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{3}}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{4-x^2}}\displaystyle\int_{\displaystyle\sqrt[ ]{\dfrac{1}{3}(x^2 + y^2)}}^{\sqrt[ ]{4-x^2-y^2}} dz\,dy\,dx[/texx].

No se si el applet te ayudará o no. Aparte de la figura en el espacio, se incluye las proyecciones sobre el plano Oxy. Siempre debe considerarse solo el primer octante: [texx]x\geq{}0, y\geq{}0, z\geq{}0[/texx].


Saludos,



Gracias por tu respuesta, quisiera saber que opinas de mi planteamiento

[texx]V=\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{4-x^2}}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{4-x^2-y^2}}dzdydx[/texx] como el volumen preguntado esta por debajo del cono, entonces en Z, se desplaza segun la función de la esfera, osea [texx]\sqrt[ ]{4-x^2-y^2}[/texx], en y se desplaza segun la circunferencia que esta encima del eje XY, osea de 0 a [texx]\sqrt[ ]{4-x^2}[/texx] y en x se desplaza el radio de éste, osea 2. Quisiera saber si mi planteamiento es correcto o tiene una falla, estoy seguro de todo menos en Z que no se si es asi
19  Matemática / Cálculo varias variables / Volumen : 02/10/2017, 06:49:17 pm
Sea [texx]\displaystyle\prod_{}^{}{}[/texx] la región del primer octante dentro de la esfera [texx]x^2+y^2+z^2=4[/texx] sobre el plano xy y por debajo del cono [texx] z\sqrt[ ]{3}=\sqrt[ ]{x^2+y^2}[/texx]. Exprese el volumen de [texx]\displaystyle\prod_{}^{}{} [/texx]en cartesianas integrales triples.

Mi parte debil de estos tipos de ejercicio es no reconocer la región, puedo dejar las ecuaciones en su forma canónica, encontrar algunos puntos de intersección pero no reconocer la region al dibujarla y obviamente sin eso no se podría calcular el volumen, entonces algun consejo de sobre como hallar la región, o como hacerse una referencia de como plantear estos tipos de ejercicio?
20  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Metodo anulador : 02/10/2017, 04:52:43 pm
[texx]y^{iv)}-y=e^x+3cos(x)[/texx] resolver usando anuladores, mi duda es si tengo que multiplicar por [texx]2[/texx] anuladores que cancelen el [texx]e^x[/texx] y [texx]cos(x)[/texx] respectivamente o hay que hacerlo de otro método
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