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Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
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1  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Curva parametrizada : 22/11/2018, 08:16:34 pm
Una curva parametrizada [texx]a(t)[/texx] tiene la propiedad que su segunda derivada [texx]a''(t)[/texx] es identicamente cero. ¿que puede decir de [texx]a[/texx]?

Int: Sea [texx]a(t) = (a_1(t),a_2(t),a_3(t))\in \mathbb{R}^3 \Rightarrow a''(t)=(a_1''(t),a_2''(t),a_3''(t)) \Rightarrow a'' \equiv 0 \Leftrightarrow a_i'' = 0; i=1,2,3 \Rightarrow a_i = m_it+n_i; i=1,2,3[/texx]. Es decir, la curva [texx]a[/texx] es la ecuación de una recta.  :¿eh?:
2  Matemática / Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Factorización en Fq[x] : 03/09/2018, 04:02:39 pm
Hola. Respondiendo a tu pregunta, es si, pues es la idea del curso ahora.
Anteriormente aprendimos a factorizar ''normalmente'' por así decirlo, es decir, buscar los ceros (los cuáles en mi problema son 2 y 3) y luego factorizar usando la idea de Ruffini, pero en mod 5. No sé si me explico.

Saludos cordiales :sonrisa_amplia:
3  Matemática / Matemática Discreta y Algoritmos / Factorización en Fq[x] : 03/09/2018, 01:51:46 pm
Hola, estoy teniendo problemas al factorizar el siguiente polinomio en [texx]\mathbb{F}_5\left [ x \right ][/texx], alguien podria orientarme por favor :llorando:
[texx]x^5+2x^4+3x^3+x^2+2x+4 \in \mathbb{F}_5\left [ x  \right ][/texx].

He aquí mi intento de lo que he podido entender: La idea es usar el algoritmo de Cantor&Zasenhauss.

Sea [texx]f(x) := x^5+2x^4+3x^3+x^2+2x+4 \in \mathbb{F}_5\left [ x  \right ] \Rightarrow f'(x) = 3x^3+4x^2+2x+2 \in \mathbb{F}_5\left [ x  \right ][/texx]. Luego, comprobamos que [texx]f(x)[/texx] sea libre de cuadrados, ie que [texx]\gcd(f(x),f'(x))=1[/texx], lo cual no se verifica, ya que [texx]\gcd(f(x),f'(x))=x+2[/texx], por ende, hacemos [texx]g(x) := \dfrac{f(x)}{\gcd(f(x),f'(x))}=x^4+3x^2+2 \Rightarrow g'(x)=4x^3+x[/texx] y así obtenemos que [texx]\gcd(g(x),g'(x))=1[/texx], ie [texx]g(x)[/texx] es libre de cuadrados.

De aquí me empiezo a complicar: (Para los sgtes pasos me estoy guiando de acá http://planetmath.org/cantorzassenhaussplit)
Usaré las mismas notaciones de la página anexa:

[texx]B_1 = A, \ B_{k+1} := \displaystyle\frac{A}{\gcd(B_k, x^{5^k}-x)}  [/texx]

Entonces, tenemos:

[texx]B_1 := x^4+3x^2+2 [/texx]
[texx]B_2 := \displaystyle\frac{x^4+3x^2+2}{\gcd(B_k, x^5-x)}=x^3+2x^2+2x+4[/texx]
[texx]B_3 := \displaystyle\frac{x^4+3x^2+2}{\gcd(B_k, x^{25}-x)}=x^2+1[/texx]

Y luego cómo prosigo?? alguien puede ayudarme por favor
de antemano gracias
saludoss  :risa:
4  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Sistema hiperbólico : 21/08/2018, 12:34:00 pm
Sea [texx]\mathcal{M}_n[/texx] el conjunto de todas las matrices [texx]n\times n[/texx] identificadas con [texx]\mathbb{R}^{n^2}[/texx] y [texx]S:=\lbrace A\in \mathcal{M}_n : x′=Ax \text{ es hiperbólico}\rbrace.[/texx] Muestre que [texx]S[/texx] es abierto y denso en [texx]\mathcal{M}_n[/texx].

¿Alguien puede ayudarme con este problema, por favor?  :llorando: El ejercicio es extracto del libro: Lições de equações diferenciais ordinárias - Jorge Sotomayor: exercise 28, page 101.
De antemano muchas gracias.
5  Matemática / Topología (general) / Re: Espacio metrizable : 13/08/2018, 05:34:19 pm
Gracias Eparoh por contestar y por la ayuda; había entendido lo anterior dicho y por eso borré parte del mensaje.
Aún así, con tu respuesta me quedó más claro aún.

Saludos.
6  Matemática / Topología (general) / Re: Espacio metrizable : 13/08/2018, 05:09:33 pm
Gracias por responder. Me quedó más claro.
7  Matemática / Topología (general) / Espacio metrizable : 13/08/2018, 12:56:04 pm
Sean [texx]X,Y[/texx] espacios topológicos. Let [texx]f:X\rightarrow Y[/texx] función tal que para cada sucesión convergente [texx]x_n\rightarrow x[/texx] en [texx]X[/texx], [texx](f(x_n))[/texx] converge a [texx]f(x)[/texx]. Demuestre que si el espacio [texx]X[/texx] es metrizable [texx]\Rightarrow f[/texx] es continua.
8  Matemática / Matemática Discreta y Algoritmos / Regla de Cramer con magma : 28/06/2018, 05:52:33 am
Hola.

Estoy estudiando aplicaciones de la aritmética modular, en particular sistemas lineales sobre los racionales.
 
Tengo un lío con este problema: La idea es que, con ayuda de MAGMA calculator, se resuelvan sistemas lineales sobre los racionales [texx]\mathbb{Q}[/texx] con la regla de Cramer y el método de computación modular (más bien diría yo entender el proceso que hace la calculadora magma).

El primer ejercicio que se da es para una matriz [texx]A\in \mathcal{M}_{7\times 7}(\mathbb{Q})[/texx] y un vector [texx]b\in \mathbb{Q}^7[/texx] para el cuál se pide encontrar lo siguiente:
1) un sistema equivalente con coeficientes enteros.   (LISTO) [texx]\checkmark[/texx]
2) una cota para valores absolutos de numeradores y denominadores reducidos de cada [texx]x_i[/texx].   (LISTO) [texx]\checkmark[/texx]
3) un conjunto de números primos [texx]p_j[/texx] para resolver el sistema[texx]\mod p_j[/texx].

Con este último ítem tengo problemas. Como ahora el nuevo sistema matriz-vector se trabaja en enteros, tenemos [texx]A'\in \mathcal{M}_{7\times 7}(\mathbb{Z})[/texx] y [texx]b'\in \mathbb{Z}^7[/texx], entonces ¿cuáles números primos elijo?.
Mi idea es encontrar [texx]p_1,p_2,...,p_n[/texx] enteros positivos tales que [texx]gcd(p_i,p_j)=1[/texx] para [texx]i\neq j[/texx]. Luego, tenemos los números enteros [texx]b_1,b_2,...,b_7[/texx] del vector [texx]b'[/texx], por lo que el sistema formado por las congruencias [texx]x_i\equiv b_1(\mod m_1)[/texx], [texx]x_i\equiv b_2(\mod m_2)[/texx],...,[texx]x_i\equiv b_7(\mod p_n)[/texx] ([texx]i=1,...7[/texx]) tiene sol. única salvo [texx]p=p_1p_2...p_n[/texx] (Esto último que escribí lo saqué de un corolario en internet --- Teo. chino de los restos).

Estoy en confusión con este apartado 3, ¿alguién podría orientarme mejor? o ayudarme verlo de otra mejor manera para abordarlo mejor, porfavor, de antemano gracias.

Saludos cordiales.
9  Matemática / Topología (general) / Re: Topología sobre e.v. : 31/03/2018, 09:32:28 am
Fíjate que para todo [texx]x\in\bigcup_{\alpha\in I} A_\alpha[/texx] se cumple que existe un [texx]r>0[/texx] tal que [texx]B(x,r)\subset\bigcup_{\alpha\in I} A_\alpha[/texx], por tanto...
Por tanto, como cada [texx]A_\alpha \in \tau_d \Rightarrow \displaystyle \bigcup_\alpha A_\alpha \in \tau_d[/texx]  :¿eh?:
Cita
Por otro lado es en general falso que [texx]\bigcap_{\alpha\in I} A_\alpha\in\tau_d[/texx]. El axioma sobre intersecciones dice que sólo las intersecciones finitas entre abiertos pertenecen necesariamente a la topología. Por tanto si [texx]|I|\ge\aleph_0[/texx] entonces no se cumple necesariamente que [texx]\bigcap_{\alpha\in I} A_\alpha\in\tau_d[/texx].
Verdad. Podría tomar entonces [texx]A_1,...,A_n \in \tau_d[/texx]. Se debe demostrar entonces que [texx]\displaystyle \bigcap_{i=1}^nA_i \in \tau_d[/texx]. Sea [texx]x\in \displaystyle \bigcap_{i=1}^nA_i[/texx], entonces para cada [texx]i=1,...,n[/texx] se tiene que [texx]x[/texx] pertenece a cada [texx]A_i\in \tau_d[/texx], por lo que [texx]\displaystyle \bigcap_{i=1}^nA_i \in \tau_d[/texx]. Es decir, [texx]\tau_d[/texx] es una topología sobre el conjunto [texx]X[/texx].
10  Matemática / Topología (general) / Topología sobre e.v. : 31/03/2018, 06:20:34 am
Sea [texx]X[/texx] un conjunto y [texx]d:X\times{X}\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] una distancia en [texx]X[/texx], donde [texx](X,d)[/texx] es un espacio métrico. Demuestre que [texx]\tau_d=\left\{A\subseteq{X}\ ;\  \forall{a\in A},\ \exists{r>0}\ \text{tal que}\ B(a,r)\subset{A}\right\} [/texx] es una topología sobre [texx]X[/texx].

Hola, tengo un enredo con este problema. He intentado lo siguiente:
Notemos primero que [texx]\emptyset \in{\tau_d},\ X\in \tau_d[/texx]. Ahora, consideremos una familia [texx]\left\{{A_\alpha}\right\}_{\alpha \in I} \subset{\tau_d}[/texx]. Debemos demostrar que [texx]\displaystyle \bigcup_{\alpha}A_\alpha \in \tau_d[/texx] y también que [texx]\displaystyle \bigcap_{\alpha}A_\alpha \in \tau_d[/texx].
Sabemos que [texx]B(a,r)=\left\{{x\in X;\ d(a,x)<r}\right\}[/texx]. Como [texx]A_\alpha \in \tau_d \Rightarrow A_\alpha \subseteq{X}\ ;\  \forall a\in A_\alpha,\ \exists r>0 \ \text{tal que } B(a,r)\subset{A_\alpha}[/texx], es decir, podemos considerar que para cada [texx]i=1,...,n[/texx] se tiene [texx]A_i\in \tau_d \Longleftrightarrow A_i \subseteq{X};\ \forall a_i\in A_i,\ \exists r_i>0\ \text{tal que}\ B(a_i,r_i)\subset{A_i}[/texx]. Primero demostraremos que [texx]\displaystyle \bigcup_\alpha A_\alpha \in \tau_d[/texx], donde [texx]\displaystyle \bigcup_{i=1}^nB(a_i,r_i)\subset \bigcup_{i=1}^nA_i[/texx]. Notemos que [texx]\displaystyle \bigcup_{i=1}^n B(a_i,r_i)=\bigcup_{i=1}^n \left\{{x\in X: d(a_i,x)<r_i}\right\}[/texx].

Y aquí he quedado, no he logrado finalizar esa parte de la demostración.
Algún hint? :¿eh?: De antemano gracias
11  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Re: Integrales en variedades : 21/12/2017, 03:58:57 am
Hola
Para no dejar respuestas en blanco, aquí mis soluciones, espero que estén bien si mis calculos no me fallan:

a) [texx]\displaystyle \int_M(x+y+z)dM[/texx] para [texx]M=\left\{{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=a^2, z \geq 0}\right\}[/texx].


b) [texx]\displaystyle \int_M(x^2+y^2)\ dM[/texx] donde [texx]M[/texx] es la frontera del subconjunto de [texx]\mathbb{R}^3[/texx] descrito por la desigualdad [texx]\sqrt{x^2+y^2}\leq z \leq 1[/texx].


Saludos.
12  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Ecuación del calor : 03/12/2017, 04:17:13 pm
Sea [texx]M\subset \mathbb{R}^n[/texx] una variedad compacta y orientada, y asuma que [texx]f:M\times{[0,\infty)} \rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] es suave. La ecuación de calor es [texx]\Delta_x f(x,t)=\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial t}[/texx]. Pruebe que si [texx]f[/texx] es una solución de la ecuación de calor que satisface [texx]f(x,0)=0, \forall{x\in M}[/texx] y [texx]f(y,t)=0, \forall{y\in \partial M}, \forall{t\in [0,t_0]}[/texx], entonces [texx]f\equiv{0}[/texx] en el conjunto [texx]M\times [0,t_0][/texx].

Hola, alguien podría darme una mano con este problema?
He intentado lo siguiente: [texx]f(x,t)=\displaystyle \int_{M\times [0,\infty)} \Delta_x f(x,t) \partial t = \int_{M\times [0,\infty)} \dfrac{\partial^2 f(x,t)}{\partial x^2} \partial t =
 \int_{M\times [0,\infty)} div_x(grad_x (f(x,t))) \partial t[/texx]   :¿eh?:

De aquí me complico, no se me ocurre una idea de como seguir  :llorando:
Saludos y gracias deantemano
13  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Re: Subvariedad compacta : 02/12/2017, 05:19:35 pm
Gracias Luis, he intentado lo siguiente:

Teo: Sea [texx]M[/texx] variedad compacta y orientada y sea [texx]N[/texx] el campo de vectores normal exterior unitario a su frontera.
Entonces para todo campo de vectores [texx]X\in \mathcal{X}(M)[/texx] se tiene [texx]\displaystyle \int_M div(X)dM = \int_{\partial M}\left<{X,N}\right>d(\partial M)[/texx]

Sea [texx]T[/texx] subvariedad compacta [texx]n-[/texx]dimensional de [texx]\mathbb{R}^n[/texx] y [texx]V\in \mathbb{R}^n[/texx] un vector constante. Entonces:
[texx]\displaystyle \int_{M^{n-1}} \left<{N(x),V}\right>dM^{n-1} = \int_{\partial T} \left<{N(x),V}\right>d(\partial T) = \int_T div(V) dT = \int_T 0 dT = 0 [/texx]
14  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Subvariedad compacta : 29/11/2017, 08:25:04 pm
Sea [texx]M^{n-1}[/texx] la frontera de una subvariedad compacta [texx]n-[/texx]dimensional de [texx]\mathbb{R}^n[/texx] y [texx]N(x)[/texx] el campo de vectores normal unitario (exterior).
Si [texx]V\in \mathbb{R}^n[/texx] es un vector constante, entonces [texx]\displaystyle \int_{M^{n-1}} \left<{N(x),V}\right>dM^{n-1} = 0[/texx]

Hola, estoy algo complicada con este ejercicio, espero puedan ayudarme.
Verán, sea [texx]V = (v_1,...,v_n) \in \mathbb{R}^n[/texx] el vector constante, [texx]\displaystyle X = (x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n \Rightarrow N(X)=x_1 \frac{{\partial}}{{\partial x_1}}+...+x_n\frac{{\partial}}{{\partial x_n}}[/texx] será el campo vectorial exterior normal unitario.
Aquí es donde me complico, en el producto interior:
Saludos
15  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Re: Integrales en variedades : 26/11/2017, 08:46:59 pm
Si, fué error de tipeo, gracias por la ayuda, pude lograr hacerlo  Aplauso

Para la parte b) al integrar en los dos trozos, la integral resultante pedida sería sumar ambas contribuciones?  :rodando_los_ojos:
16  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Integrales en variedades : 22/11/2017, 04:25:40 am
Calcule las siguientes integrales de superficie:
a) [texx]\displaystyle \int_M(x+y+z)\ dM[/texx] para [texx]M=\left\{{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=a^2, z \geq 0}\right\}[/texx]
b) [texx]\displaystyle \int_M (x^2+y^2)\ dM[/texx], donde [texx]M[/texx] is the boundary del subconjunto de [texx]\mathbb{R}^3[/texx] descrito por la desigualdad [texx]\sqrt{x^2+y^2}\leq z \leq 1[/texx].

Para la a) he hecho lo siguiente: corregirme por favor :triste:
Hay que integrar en variedades.

[texx]M=\left\{{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\geq 0, x^2+y^2\leq a^2}\right\}[/texx] es una superficie compacta orientable con borde.
Si [texx]h:V\subset{\mathbb{R}^2} \rightarrow M[/texx] es una parametrización de [texx]M[/texx], entonces, usando los coeficientes de la métrica Riemanniana, se tiene que [texx]\sqrt{g} = a^2 cos(\phi) [/texx], donde [texx]h(a,\theta,\phi)=(asin(\theta)cos(\phi),asin(\theta)sin(\phi),acos(\phi)); a>0, \theta \in [0,2\pi], \phi \in [0, \pi /2] [/texx]

Acá no estoy muy segura de mi procedimiento:
Sea [texx]f:M\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] definida por [texx]f(x,y,z)=x+y+z \Rightarrow \displaystyle \int_MfdM=\int f(h(r,\theta,\phi))\sqrt{g(r,\theta,\phi)}drd\theta d\phi; r\in [0,a], \theta \in [0, 2\pi], \phi \in [0, \pi /2][/texx]
En donde esta última integral es 0.  :¿eh?: :¿eh?:
Para la b) podrían darme algún hint?

gracias de antemano
Saludos,
17  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / n-forma exterior dV : 31/08/2017, 05:32:59 pm
Demuestre que [texx]dV\in \Lambda^n(V^*)[/texx] y que su definición es independiente de la base ortonormal positiva que se considere.

Idea: Sea [texx](V,g)[/texx] espacio vectorial sobre [texx]\mathbb{R}[/texx] con un producto escalar no degenerado [texx]g[/texx], y [texx]e_1,...,e_n[/texx] base ortonormal de [texx]V[/texx] con respecto a [texx]g[/texx] positivamente orientada.
Sea [texx]dV: \underset{n-veces}{\underbrace{V\times ... \times V}} \rightarrow \mathbb{R}[/texx] la aplicación definida por [texx]dV(v_1,...,v_n)=det \begin{pmatrix}
g(v_1,e_1) & ... & g(v_n,e_1)\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
g(v_1,e_n) & ... & g(v_n,e_n)
\end{pmatrix} \Rightarrow dV \in \Lambda^n(V^*)[/texx]
Ahora, el lío es el siguiente ¿porque es independiente de la base ortonormal positiva que se considere? :sorprendido: Saludos...
18  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Producto interior con forma exterior : 31/08/2017, 05:00:27 pm
Sea [texx]\omega \in \Lambda^k(V^*)[/texx] y [texx]v_o\in V[/texx]. Pruebe que [texx]i_{v_0}(\omega)\in \Lambda^{k-1}(V^*)[/texx].

[texx]i_{v_0}(\omega)[/texx] se llama el producto interior del vector [texx]v_0[/texx] con la [texx]k-[/texx]forma exterior [texx]\omega[/texx].
A ver, por la definición supongo debiera bastar.. es decir, si dados [texx]\omega \in \Lambda^k(V^*)[/texx] y [texx]u_0 \in V[/texx] se define
[texx]i_{u_0}(\omega):\underset{(k-1)-veces}{\underbrace{V\times ... \times V}} \rightarrow \mathbb{K}[/texx] por [texx]i_{u_0}(\omega)(v_1,...,v_{k-1})=\omega(u_0,v_1,...,v_{k-1}) \Rightarrow i_{u_0}(\omega) \in \Lambda^{k-1}(V^*)[/texx], luego si [texx]u_0=v_0[/texx] estamos.   :¿eh?:
19  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / forma de volumen : 31/08/2017, 04:10:48 pm
Sea [texx]e_1,...,e_n[/texx] base ortonormal positiva de [texx]V[/texx] con respecto a un producto escalar no degenerado [texx]g[/texx] de índice [texx]q[/texx]. Demuestre que [texx]g(dV,dV)=(-1)^q[/texx] y además, si [texx]\sigma_1,...,\sigma_n[/texx] es la base dual correspondiente, entonces [texx]dV=(-1)^q\sigma_1 \wedge ... \wedge \sigma_n[/texx]

Tengo lo siguiente: [texx]M(g)=\begin{pmatrix}
1 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\
0 & 1 & ... & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\
\vdots  & \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & ... & 1 & 0 & 0 & ... & 0\\
0 & 0 & ... & 0 & -1 & 0 & ... & 0\\
0 & 0 & ... & 0 & 0 & -1 & ... & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & ... & -1
\end{pmatrix}, \ dV(e_1,...,e_n)=det(M(g))=(+1)^p(-1)^q=(-1)^q[/texx], ya que hay [texx]p[/texx] entradas [texx]+1[/texx] y [texx]q[/texx] entradas [texx]-1[/texx] en la diagonal.
Luego, [texx](\sigma_1 \wedge ... \wedge \sigma_n)(e_1,...,e_n)=1[/texx] y [texx]\sigma_1 \wedge ... \wedge \sigma_n[/texx] es base de [texx]\Lambda^n(V^*)[/texx], por lo tanto [texx]dV[/texx] es base de [texx]\Lambda^n(V^*) \Rightarrow{} dV=(-1)^q \sigma_1 \wedge ... \wedge \sigma_n[/texx]
20  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Re: (n-1)-forma : 31/08/2017, 02:39:29 pm
[texx]w=a_1(g_2+(a_2/a_1)g_1)\wedge (g_3-(a_3/a_1)g_1)\wedge \ldots \wedge (g_n+(-1)^n(a_n/a_1)g_1)[/texx]

Tenía un grave error de concepto, comprendo tu idea el_manco... estoy trabajando para comprobar lo marcado en rojo, como [texx]g_1 \wedge g_2 \wedge ... \wedge g_n=0[/texx] si para algún par de índices [texx]i \neq j, g_i=g_j[/texx], luego se irán eliminando varios términos..
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