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Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
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1  Matemática / Análisis Matemático / Re: Hallar los extremos absolutos de la función de dos variables : 23/01/2020, 23:18:44 pm
Hola

Verificando los puntos críticos : [texx]D_xg(x,y)=y^2, \ D_yg(x,y)=2xy[/texx] los (x,y) tales que las derivadas son cero, son los puntos (x,0), estos son puntos de frontera de B. En consecuencia en el interior de B, no hay máximo ni mínimo. Estos valores se alcanzan en la frontera. El valor mínimo se alcanza en los puntos [texx](x,0), \  \   (0,y)[/texx] de la frontera de B y el máximo en el que has hallado.

Saludos

Muchas gracias por tu ayuda.
2  Matemática / Análisis Matemático / Hallar los extremos absolutos de la función de dos variables : 23/01/2020, 21:20:16 pm
Saludos a todos, tengo este ejercicio, ya lo resolví de acuerdo a como nos explicaron, sin embargo tengo muchas dudas al respecto ya que desde el inicio algo no me cuadra. Dice así: hallar los extremos absolutos de la función [texx] g(x,y)=xy^2 [/texx] sobre el conjunto [texx] B=((x,y)/x \geq{0}, y \geq{0}, x^2+y^2 \leq{1})[/texx]. Al encontrar el punto crítico con derivadas parciales me dió que era [texx] (0,0) [/texx] pero nos habían explicado que este P.C. debe ser interior al conjunto, y es un punto frontera, además, resolviendo el problema por sus 3 regiones (cuando [texx] x=0 [/texx], cuando [texx] y=0 [/texx] y cuando [texx] y=\sqrt{1-x^2} , 0\leq{x}\leq{1} [/texx] ) y en las dos primeras me dio que cuando X e Y son 0 ([texx](1,0);(0,1)[/texx]), se alcanza un mínimo, y de la tercera región me salieron 4 puntos, pero sólo [texx]  (\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{\displaystyle\frac{2}{3}}) [/texx] pertenece a la región y es un máximo. Mi pregunta es, ¿son mis cálculos correctos? ¿Por qué el primer punto crítico no es elemento del interior de B?, ¿cambia en algo la solución?. Espero puedan ayudarme, gracias
3  Matemática / Análisis Matemático / Duda sobre intersección de planos : 14/11/2019, 18:00:04 pm
Saludos a todos, leyendo este ejercicio me doy cuenta de que o esta mal planteado o se lo resuelve de una manera especial, dice:
Encontrar el plano que pasa por el origen y que corta al plano [texx] 2x+3y+z=12 [/texx] en el punto [texx] (1,2,4) [/texx]

Según entiendo la intersección de planos forma una recta, no un punto, en todo caso, sería intersección de una recta y un plano, pero no estoy seguro por las condiciones que tiene. ¿ cómo lo entienden?
4  Matemática / Análisis Matemático / Re: Encuentre la ecuación del plano que contiene la recta intersección de dos planos : 14/11/2019, 17:54:17 pm
Saludos a todos, tengo un problema, me plantea lo siguiente:
Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto [texx] (1,3,-2) [/texx]  y contiene la recta intersección de los planos [texx] x-y+z=1 [/texx] y [texx] x+y-z=1 [/texx].
Hice los cálculos utilizando los vectores normales de los planos, genere otro haciendo su producto cruz y asumiendo que era el vector director de la recta, y genere un punto haciendo sistemas de ecuaciones, y la recta me quedo así: [texx] x=1, y= 2t, z=2t [/texx] con un t elemento de los reales. Luego, tomando el punto del enunciado, y el punto de la recta, genere otro vector, e hice producto cruz entre dicho vector y el vector director de la recta, generando el vector normal del plano, luego tome el punto del enunciado y genere el plano [texx] x=1 [/texx], sin embargo en la gráfica no contiene la recta intersección, ¿pueden ayudarme?

El plano buscado esta bien, es  [texx] x=1 [/texx] y una forma rápida y sencilla de conseguirlo es como te ha dicho feriva con la ecuación del haz de plano https://aga.frba.utn.edu.ar/haz-de-planos/.

La recta que consigues [texx] x=1, y= 2t, z=2t [/texx] también esta bien y se puede escribir simplemente como [texx] x=1, y= u, z=u [/texx] donde  [texx] u \in{}\mathbb{R}[/texx] y esa recta si que esta contenida en el plano [texx] x=1 [/texx].

Sin gráfico que por aquí ya es hora de que quiten la luz  :enojado:

Saludos

Muchas gracias, viendo Geogebra 3D la recta no está contenida en el plano y pensé que estaba mal.
5  Matemática / Análisis Matemático / Re: Encuentre el punto cuya tangente es paralela al plano : 14/11/2019, 17:52:37 pm
[texx]C'(t)\cdot{\vec{n}}=0=(1,2t,3t^2)\cdot(1,2,1)=1+4t+3t^2[/texx]

resolviendo la cuadrática se obtienen dos soluciones.[texx]t=-1 [/texx]y [texx]t=-\frac 13[/texx]

así los dos vectores directores son

[texx]\vec v_1=(1,-2,3)[/texx]

[texx]\vec v_2=(1,-\frac23,\frac13)[/texx]

los puntos donde la tangente es paralela al plano son

[texx]C(t=-1)=(t+1,t^2+1,t^3)=(-1+1,(-1)^2+1,(-1)^3)=(0,2,-1)[/texx]

[texx]C(t=-\frac 13)=(t+1,t^2+1,t^3)=(-\frac 13+1,(-\frac 13)^2+1,(-\frac 13)^3)=(\frac 23,\frac {10}9,-\frac 1{27})[/texx]


cuyas rectas son

[texx](x,y,z)=(0,2,-1)+\alpha(1,-2,3)\quad\Longrightarrow{\quad}\alpha=\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z+1}{3}[/texx]

[texx](x,y,z)=(\frac 23,\frac {10}9,-\frac 1{27})+\beta(1,-\frac23,\frac13)\quad\Longrightarrow{\quad}\beta=\dfrac{x-\frac 23}{1}=\dfrac{y-\frac {10}9}{-\frac23}=\dfrac{z+\frac 1{27}}{\frac13}[/texx]




Míl gracias.
6  Matemática / Análisis Matemático / Encuentre el punto cuya tangente es paralela al plano : 13/11/2019, 18:06:17 pm
Saludos, tengo este ejercicio y no tengo idea de cómo resolverlo, dice:
En la curva [texx] C: (t+1, t^2 +1, t^3) [/texx] encuentre el punto cuya tangente es paralela al plano [texx] x+2y+z=1 [/texx]
Cómo se resuelve?
7  Matemática / Análisis Matemático / Encuentre la ecuación del plano que contiene la recta intersección de dos planos : 13/11/2019, 17:43:06 pm
Saludos a todos, tengo un problema, me plantea lo siguiente:
Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto [texx] (1,3,-2) [/texx]  y contiene la recta intersección de los planos [texx] x-y+z=1 [/texx] y [texx] x+y-z=1 [/texx].
Hice los cálculos utilizando los vectores normales de los planos, genere otro haciendo su producto cruz y asumiendo que era el vector director de la recta, y genere un punto haciendo sistemas de ecuaciones, y la recta me quedo así: [texx] x=1, y= 2t, z=2t [/texx] con un t elemento de los reales. Luego, tomando el punto del enunciado, y el punto de la recta, genere otro vector, e hice producto cruz entre dicho vector y el vector director de la recta, generando el vector normal del plano, luego tome el punto del enunciado y genere el plano [texx] x=1 [/texx], sin embargo en la gráfica no contiene la recta intersección, ¿pueden ayudarme?
8  Matemática / Estadística / Re: Cálculo de una probabilidad en base a dos distribuciones normales : 24/10/2019, 08:10:52 am
Hola

Saludos a todos, tengo este ejercicio y no consigo dar con la respuesta, dice:

En una ciudad, el peso de los esposos y las esposas se distribuye según las leyes [texx] N(80,100) [/texx] y [texx] N(64,69) [/texx] respectivamente, y son independientes. Si se eligen 25 matrimonios al azar de dicha ciudad, calcule la probabilidad de que el promedio de los pesos sea a lo más 137kg.

Ya intenté tomando los [texx] \mu [/texx] de cada distribución y nada, los sumé, dividí para 2, incluso los 137kg los partí en dos pero o me sale una función de acumulación ilógica, o me da un valor demasiado alejado de la respuesta, que es 0,0036. ¿Pueden ayduarme?

Utiliza que si [texx]X_i\in N(u_i,\sigma_i^2)[/texx] para [texx]i=1,2[/texx] son dos variables independientes normales entonces su combinación lineal es una normal:

[texx]a_1X_1+a_2X_2\in N(a_1u_1+a_2u_2,a_1^2\sigma_1^2+a_2^2\sigma_2^2)[/texx]

En tu caso [texx]a_1=a_2=1[/texx].

Después la media de [texx]n[/texx] normales [texx]N(\mu,\sigma^2)[/texx] es una normal [texx]N(\mu,\sigma^2/n)[/texx].

Con todo esto la variable [texx]X[/texx] promedio de los pesos totales medios de los [texx]25[/texx] matrimonios es una normal de media [texx]144[/texx] y varianza [texx]\sigma^2=6,76[/texx]. Tienes que hallar [texx]P(X\leq 137)[/texx].

Termina.

Saludos.

Disculpa pero tengo una complicación, la fórmula que uso es [texx] Pr(X\leq{t})=Pr(Z\leq{\frac{t-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}}) [/texx] por lo que al valor de 6.76 saqué su raíz pero me salió un número demasiado grande, calculando sin sacar su raíz me salió -5.17 que está fuera del rango de la tabla de distribución normal, ¿puedes ayudarme?
9  Matemática / Estadística / Cálculo de una probabilidad en base a dos distribuciones normales : 24/10/2019, 00:24:08 am
Saludos a todos, tengo este ejercicio y no consigo dar con la respuesta, dice:

En una ciudad, el peso de los esposos y las esposas se distribuye según las leyes [texx] N(80,100) [/texx] y [texx] N(64,69) [/texx] respectivamente, y son independientes. Si se eligen 25 matrimonios al azar de dicha ciudad, calcule la probabilidad de que el promedio de los pesos sea a lo más 137kg.

Ya intenté tomando los [texx] \mu [/texx] de cada distribución y nada, los sumé, dividí para 2, incluso los 137kg los partí en dos pero o me sale una función de acumulación ilógica, o me da un valor demasiado alejado de la respuesta, que es 0,0036. ¿Pueden ayduarme?
10  Matemática / Análisis Matemático / Re: Halle el valor de la integral doble : 29/07/2019, 01:13:57 am
Saludos a todos, tengo esta integral doble y la verdad nadie sabe como resolverlo porque todos obtuvimos diferentes respuestas, dice así:
Halle la integral
[texx] \displaystyle\int \displaystyle\int \left | x+y \right |  dxdy [/texx] definida en el conjunto [texx] (x,y)\in\mathbb{R^2} / \left |{x}\right |\leq{1}, \left |{y}\right |\leq{1} [/texx]
¿Cómo lo puedo puedo resolver?




De la imagen, tienes que tanto la región de integración como el integrando se comportan
simétricamente respecto a la recta [texx]y=-x[/texx], por tanto el cálculo de la integral se puede
"aligerar" por ejemplo desarrollando una integral sobre la región 1 (ilustrada) y multiplicando luego
por 2, es decir:

[texx]\displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}|x+y|dydx= 2\; \displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{-x}^{1}(x+y)dydx[/texx]

Saludos


Muchas gracias por tu ayuda.
11  Matemática / Análisis Matemático / Re: Halle el valor de la integral doble : 27/07/2019, 16:28:13 pm

La recta a 135°  [texx]x+y=0[/texx]  es la que separa las regiones positiva y negativa.  Podemos descomponer la región de integración en 6 regiones, 2 cuadradas en 1ro  y 3er cuadrante y 4 triangulares en el 2do y 4to. Pero como por simetría en las dos cuadradas  [texx]|x+y|[/texx] vale lo mismo y en las triangulares [texx]|x-y|[/texx] también , resulta:

[texx]\displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}|x+y|dydx= 2\; \underbrace{\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x+y)dydx}_{=1} + 4 \;\underbrace{\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}(x-y)dydx}_{=1/6} = \dfrac{8}{3} [/texx]
Podrías explicarme mejor las regiones de integración por favor?
12  Matemática / Análisis Matemático / Halle el valor de la integral doble : 26/07/2019, 17:47:45 pm
Saludos a todos, tengo esta integral doble y la verdad nadie sabe como resolverlo porque todos obtuvimos diferentes respuestas, dice así:
Halle la integral
[texx] \displaystyle\int \displaystyle\int \left | x+y \right |  dxdy [/texx] definida en el conjunto [texx] (x,y)\in\mathbb{R^2} / \left |{x}\right |\leq{1}, \left |{y}\right |\leq{1} [/texx]
¿Cómo lo puedo puedo resolver?
13  Matemática / Análisis Matemático / Re: Función diferenciable en el origen : 26/07/2019, 09:46:09 am
Un avance para averiguar si [texx]\displaystyle\lim_{v \to{}\vec{O}}{E(\vec{O},v)}=0[/texx]

Despejando E de la Ec. 1 :

[texx]E(\vec{O},v)=\displaystyle\frac{f(\vec{O}+\vec{v})-f(\vec{O})- \nabla f(\vec{O})\cdot{\vec{v}}}{ \left\|{\vec{v}}\right\|}[/texx]

Pero [texx]f(\vec{O})=0, \ \nabla f(\vec{O})=(0,0)[/texx] entonces :

[texx]E(\vec{O},v)=\displaystyle\frac{f(\vec{v})}{ \left\|{\vec{v}}\right\|}[/texx]

Considerando [texx]\vec{v}=(x,y), \ x\neq{0}[/texx] se tiene :

[texx]E(\vec{O},v)=\displaystyle\frac{(\left |{x}\right |-\left |{y}\right |) \ e^{\displaystyle\frac{-1}{x^2}}}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}[/texx]

Partiendo de : [texx]x^2\leq{x^2+y^2}\Rightarrow{0\leq{\left |{x}\right |}\leq{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}}\Rightarrow{0\leq{\displaystyle\frac{\left |{x}\right |}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}}\leq{1}}[/texx]

En forma semejante [texx]0\leq{\displaystyle\frac{\left |{y}\right |}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}}\leq{1}\Rightarrow{-1\leq{\displaystyle\frac{-\left |{y}\right |}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}}\leq{0}}[/texx]

Sumando se llega :

[texx]-1\leq{\displaystyle\frac{(\left |{x}\right |-\left |{y}\right |)}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}}\leq{1}\Rightarrow{-e^{\displaystyle\frac{-1}{x^2}}\leq{\displaystyle\frac{(\left |{x}\right |-\left |{y}\right |)}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}} \ e^{\displaystyle\frac{-1}{x^2}}}\leq{e^{\displaystyle\frac{-1}{x^2}}}}[/texx]

Pero [texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{}\vec{O}}{e^{\displaystyle\frac{-1}{x^2}}}=0[/texx]

En consecuencia por la regla del sandwich el límite es cero, esto es válido incluyendo a [texx]\vec{v}=(0,y)[/texx]. Por lo tanto [texx]\displaystyle\lim_{v \to{}\vec{O}}{E(\vec{O},v)}=0[/texx]. f es diferenciable en (0,0)

El apartado b) hay que aplicar la regla de la cadena.

Saludos

Muchas gracias.
14  Matemática / Análisis Matemático / Re: Encuentre los extremos absolutos de la función : 24/07/2019, 22:19:31 pm
Hola,

Para el máximo:

[texx]\left ( x-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \right )^2+\left ( y-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \right )^2\geq{0}[/texx]

[texx]\Leftrightarrow{x^2+y^2+1\geq{\sqrt[ ]{2}(x+y)}}[/texx]
por lo tanto [texx]x+y+z\leq{1+\sqrt[ ]{2}}[/texx] la igualdad ocurre cuando [texx]x=y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}},z=1[/texx]

Para el mínimo:

notemos que  [texx]x+y+z\geq{x+y+x^2+y^2=\left ( x+\displaystyle\frac{1}{2} \right )^2+\left ( y+\displaystyle\frac{1}{2} \right )^2}-\displaystyle\frac{1}{2}\geq{-\displaystyle\frac{1}{2}}[/texx]
con igualdad cuando [texx]x=y=-\displaystyle\frac{1}{2},z=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]


Disculpa podrías explicar mejor tu solución por favor?
15  Matemática / Análisis Matemático / Encuentre los extremos absolutos de la función : 23/07/2019, 13:47:44 pm
Saludos, este ejercicio me ha dejado muchas dudas ya que no sé si lo resolví de manera correcta porque no me convence la solución, dice así:
Hallar los extremos absolutos de la función [texx] h(x,y,z)=x+y+z [/texx] bajo el conjunto [texx] C={(x,y,z)\in{\mathbb{R}^3} / x^2+y^2\leq{z}\leq{1} } [/texx]
Use multiplicadores de Lagrange pero obtuve dos puntos [texx]  ( \pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}, \pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} [/texx] pero no me convence porque excluye muchos puntos, ¿pueden ayudarme?
16  Matemática / Análisis Matemático / Re: Función diferenciable en el origen : 18/07/2019, 21:30:47 pm
Hola

Para saber si es diferenciable, una de las formas puede ser :

¿Esta definida f en (0,0)? Sí lo esta, f(0,0)=0

¿Existe el gradiente [texx](D_1f(0,0),D_2f(0,0))[/texx]?

[texx]D_1f(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{ }0}{\displaystyle\frac{\left |{h}\right | \ e^{\displaystyle\frac{-1}{h^2}}}{h}}=0[/texx]

[texx]D_2f(0,0)=\displaystyle\lim_{k \to{}0}{\displaystyle\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}}=0[/texx]

Creo que no es necesario explicar los resultados de los límites, en caso contrario plantear las interrogantes.

El gradiente existe. ¿Existe el diferencial?

Para que exista el diferencial es necesario que exista una 2-bola de radio r en torno (0,0) tal que  si [texx] \left\|{v}\right\|<r[/texx]:

[texx]f((0,0)+v)-f(0,0)- \nabla f(0,0)\cdot{v}= \left\|{v}\right\|E((0,0),v)[/texx] de tal manera que

[texx]\displaystyle\lim_{v \to{}(0,0)}{E((0,0),v)}=0[/texx]

Esta parte que te parece si la desarrollas o muestras un avance. Ojo que el gradiente ya se tiene es el vector nulo y [texx] \left\|{v}\right\|>0[/texx]

Saludos

Podrías explicarme desde el penúltimo paso antes de llegar al límite? No logro comprender bien esto de diferenciabilidad; además, no influyen en algo los valores absolutos de la función original?
17  Matemática / Análisis Matemático / Función diferenciable en el origen : 18/07/2019, 18:35:55 pm
Saludos a todos, tengo este ejercicio el cual no logro llegar a una solución que me satisfaga, y se me hace difícil manejarlo, dice así:
Dada la función
[texx] f(x,y)= (\left |{x}\right | - \left |{y}\right |)e^{-\displaystyle\frac{1}{x^2} }[/texx]           si [texx] x\neq{0} [/texx]
[texx] f(0,y) = 0 [/texx]                                 si [texx] x=0 [/texx]

a) ¿ Es la función diferenciable en (0,0)?
b) Dada [texx] F(x,y) = (f(x,y)+x , f(x,y)+3y) [/texx]
Calcular [texx] (F_0 F_0 F)'(0,0) [/texx]

Tengo complicaciones debido al valor absoluto, y al literal b), ¿podrían ayudarme?
18  Matemática / Matemática Aplicada / Re: Verificar que la siguiente función es una función de probabilidad : 16/06/2019, 14:08:52 pm
Para el 1) lo único que debes comprobar es que la suma de  las probabilidades para todos los puntos es [texx]1[/texx].
Es decir, hay que ver que:
[texx]\displaystyle \sum_{k=a+1}^\infty Pr(Y=k) = \sum_{k=a+1}^\infty \left( \frac{a}{k-1} - \frac{a}{k} \right) = 1[/texx].
Para calcular la serie puedes usar que es telescópica.

El apartado 2) es parecido.
Se trata de calcular:
[texx]\displaystyle Pr(Y >k) = \sum_{i=k+1}^\infty \left( \frac{a}{i-1} - \frac{a}{i} \right) [/texx],
donde de nuevo puedes usar que es telescópica.
Otra manera de hacer el apartado es usar:
[texx]Pr(Y>k) = 1-Pr(Y \leq k) =1- \sum_{i=a+1}^k \left( \frac{a}{i-1} - \frac{a}{i} \right) [/texx].

Muchas gracias por tu ayuda.
19  Matemática / Matemática Aplicada / Verificar que la siguiente función es una función de probabilidad : 11/06/2019, 14:37:01 pm
Buenos días, me he topado con este ejercicio y de verdad que no sé cómo resolverlo, aunque tengo algunas ideas, dice así:
Una variable aleatoria [texx] Y [/texx] se define para un entero positivo fijo [texx] a, (a\geq{1}) [/texx] cualquiera mediante:
[texx] Pr(Y=k)=\frac{a}{k-1} - \frac{a}{k} [/texx] con [texx] k=a+1,a+2,...[/texx]
Se pide:
1. Verificar que es una función de probabilidad
2. Demuestre que [texx] Pr(Y>k)=\frac{a}{k}[/texx] para [texx]k=a,a+1,...[/texx]
3. Fije un valor para el parámetro [texx] a [/texx] y grafique la función de probabilidad.

Para el tercer ítem no creo tener ningún problema, pero son el primero y segundo los que me crean conflicto, vista la forma de la expresión empecé a descomponerla como una serie telescópica, pero no es una suma y no llegué muy lejos... ¿Podrían ayudarme?
20  Matemática / Matemática Aplicada / Re: Determinar la distribución de probabilidad : 11/06/2019, 12:48:18 pm
Si llamas [texx]p_1,p_2,p_3[/texx] a esas probabilidades, tendrás que:

[texx]P(X=0)=(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)[/texx]
[texx]P(X=1)=p_1(1-p_2)(1-p_3)+(1-p_1)p_2(1-p_3)+(1-p_1)(1-p_2)p_3[/texx]

Continúa.

Pues ha estado más complicado de lo que pensaba, pero he entendido perfectamente. Muchas gracias.
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