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1  Matemática / Análisis Matemático / Re: Halle el valor de la integral doble : 29/07/2019, 01:13:57 am
Saludos a todos, tengo esta integral doble y la verdad nadie sabe como resolverlo porque todos obtuvimos diferentes respuestas, dice así:
Halle la integral
[texx] \displaystyle\int \displaystyle\int \left | x+y \right |  dxdy [/texx] definida en el conjunto [texx] (x,y)\in\mathbb{R^2} / \left |{x}\right |\leq{1}, \left |{y}\right |\leq{1} [/texx]
¿Cómo lo puedo puedo resolver?




De la imagen, tienes que tanto la región de integración como el integrando se comportan
simétricamente respecto a la recta [texx]y=-x[/texx], por tanto el cálculo de la integral se puede
"aligerar" por ejemplo desarrollando una integral sobre la región 1 (ilustrada) y multiplicando luego
por 2, es decir:

[texx]\displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}|x+y|dydx= 2\; \displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{-x}^{1}(x+y)dydx[/texx]

Saludos


Muchas gracias por tu ayuda.
2  Matemática / Análisis Matemático / Re: Halle el valor de la integral doble : 27/07/2019, 04:28:13 pm

La recta a 135°  [texx]x+y=0[/texx]  es la que separa las regiones positiva y negativa.  Podemos descomponer la región de integración en 6 regiones, 2 cuadradas en 1ro  y 3er cuadrante y 4 triangulares en el 2do y 4to. Pero como por simetría en las dos cuadradas  [texx]|x+y|[/texx] vale lo mismo y en las triangulares [texx]|x-y|[/texx] también , resulta:

[texx]\displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}|x+y|dydx= 2\; \underbrace{\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x+y)dydx}_{=1} + 4 \;\underbrace{\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}(x-y)dydx}_{=1/6} = \dfrac{8}{3} [/texx]
Podrías explicarme mejor las regiones de integración por favor?
3  Matemática / Análisis Matemático / Halle el valor de la integral doble : 26/07/2019, 05:47:45 pm
Saludos a todos, tengo esta integral doble y la verdad nadie sabe como resolverlo porque todos obtuvimos diferentes respuestas, dice así:
Halle la integral
[texx] \displaystyle\int \displaystyle\int \left | x+y \right |  dxdy [/texx] definida en el conjunto [texx] (x,y)\in\mathbb{R^2} / \left |{x}\right |\leq{1}, \left |{y}\right |\leq{1} [/texx]
¿Cómo lo puedo puedo resolver?
4  Matemática / Análisis Matemático / Re: Función diferenciable en el origen : 26/07/2019, 09:46:09 am
Un avance para averiguar si [texx]\displaystyle\lim_{v \to{}\vec{O}}{E(\vec{O},v)}=0[/texx]

Despejando E de la Ec. 1 :

[texx]E(\vec{O},v)=\displaystyle\frac{f(\vec{O}+\vec{v})-f(\vec{O})- \nabla f(\vec{O})\cdot{\vec{v}}}{ \left\|{\vec{v}}\right\|}[/texx]

Pero [texx]f(\vec{O})=0, \ \nabla f(\vec{O})=(0,0)[/texx] entonces :

[texx]E(\vec{O},v)=\displaystyle\frac{f(\vec{v})}{ \left\|{\vec{v}}\right\|}[/texx]

Considerando [texx]\vec{v}=(x,y), \ x\neq{0}[/texx] se tiene :

[texx]E(\vec{O},v)=\displaystyle\frac{(\left |{x}\right |-\left |{y}\right |) \ e^{\displaystyle\frac{-1}{x^2}}}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}[/texx]

Partiendo de : [texx]x^2\leq{x^2+y^2}\Rightarrow{0\leq{\left |{x}\right |}\leq{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}}\Rightarrow{0\leq{\displaystyle\frac{\left |{x}\right |}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}}\leq{1}}[/texx]

En forma semejante [texx]0\leq{\displaystyle\frac{\left |{y}\right |}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}}\leq{1}\Rightarrow{-1\leq{\displaystyle\frac{-\left |{y}\right |}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}}\leq{0}}[/texx]

Sumando se llega :

[texx]-1\leq{\displaystyle\frac{(\left |{x}\right |-\left |{y}\right |)}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}}\leq{1}\Rightarrow{-e^{\displaystyle\frac{-1}{x^2}}\leq{\displaystyle\frac{(\left |{x}\right |-\left |{y}\right |)}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}} \ e^{\displaystyle\frac{-1}{x^2}}}\leq{e^{\displaystyle\frac{-1}{x^2}}}}[/texx]

Pero [texx]\displaystyle\lim_{(x,y) \to{}\vec{O}}{e^{\displaystyle\frac{-1}{x^2}}}=0[/texx]

En consecuencia por la regla del sandwich el límite es cero, esto es válido incluyendo a [texx]\vec{v}=(0,y)[/texx]. Por lo tanto [texx]\displaystyle\lim_{v \to{}\vec{O}}{E(\vec{O},v)}=0[/texx]. f es diferenciable en (0,0)

El apartado b) hay que aplicar la regla de la cadena.

Saludos

Muchas gracias.
5  Matemática / Análisis Matemático / Re: Encuentre los extremos absolutos de la función : 24/07/2019, 10:19:31 pm
Hola,

Para el máximo:

[texx]\left ( x-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \right )^2+\left ( y-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \right )^2\geq{0}[/texx]

[texx]\Leftrightarrow{x^2+y^2+1\geq{\sqrt[ ]{2}(x+y)}}[/texx]
por lo tanto [texx]x+y+z\leq{1+\sqrt[ ]{2}}[/texx] la igualdad ocurre cuando [texx]x=y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}},z=1[/texx]

Para el mínimo:

notemos que  [texx]x+y+z\geq{x+y+x^2+y^2=\left ( x+\displaystyle\frac{1}{2} \right )^2+\left ( y+\displaystyle\frac{1}{2} \right )^2}-\displaystyle\frac{1}{2}\geq{-\displaystyle\frac{1}{2}}[/texx]
con igualdad cuando [texx]x=y=-\displaystyle\frac{1}{2},z=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]


Disculpa podrías explicar mejor tu solución por favor?
6  Matemática / Análisis Matemático / Encuentre los extremos absolutos de la función : 23/07/2019, 01:47:44 pm
Saludos, este ejercicio me ha dejado muchas dudas ya que no sé si lo resolví de manera correcta porque no me convence la solución, dice así:
Hallar los extremos absolutos de la función [texx] h(x,y,z)=x+y+z [/texx] bajo el conjunto [texx] C={(x,y,z)\in{\mathbb{R}^3} / x^2+y^2\leq{z}\leq{1} } [/texx]
Use multiplicadores de Lagrange pero obtuve dos puntos [texx]  ( \pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}, \pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} [/texx] pero no me convence porque excluye muchos puntos, ¿pueden ayudarme?
7  Matemática / Análisis Matemático / Re: Función diferenciable en el origen : 18/07/2019, 09:30:47 pm
Hola

Para saber si es diferenciable, una de las formas puede ser :

¿Esta definida f en (0,0)? Sí lo esta, f(0,0)=0

¿Existe el gradiente [texx](D_1f(0,0),D_2f(0,0))[/texx]?

[texx]D_1f(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{ }0}{\displaystyle\frac{\left |{h}\right | \ e^{\displaystyle\frac{-1}{h^2}}}{h}}=0[/texx]

[texx]D_2f(0,0)=\displaystyle\lim_{k \to{}0}{\displaystyle\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}}=0[/texx]

Creo que no es necesario explicar los resultados de los límites, en caso contrario plantear las interrogantes.

El gradiente existe. ¿Existe el diferencial?

Para que exista el diferencial es necesario que exista una 2-bola de radio r en torno (0,0) tal que  si [texx] \left\|{v}\right\|<r[/texx]:

[texx]f((0,0)+v)-f(0,0)- \nabla f(0,0)\cdot{v}= \left\|{v}\right\|E((0,0),v)[/texx] de tal manera que

[texx]\displaystyle\lim_{v \to{}(0,0)}{E((0,0),v)}=0[/texx]

Esta parte que te parece si la desarrollas o muestras un avance. Ojo que el gradiente ya se tiene es el vector nulo y [texx] \left\|{v}\right\|>0[/texx]

Saludos

Podrías explicarme desde el penúltimo paso antes de llegar al límite? No logro comprender bien esto de diferenciabilidad; además, no influyen en algo los valores absolutos de la función original?
8  Matemática / Análisis Matemático / Función diferenciable en el origen : 18/07/2019, 06:35:55 pm
Saludos a todos, tengo este ejercicio el cual no logro llegar a una solución que me satisfaga, y se me hace difícil manejarlo, dice así:
Dada la función
[texx] f(x,y)= (\left |{x}\right | - \left |{y}\right |)e^{-\displaystyle\frac{1}{x^2} }[/texx]           si [texx] x\neq{0} [/texx]
[texx] f(0,y) = 0 [/texx]                                 si [texx] x=0 [/texx]

a) ¿ Es la función diferenciable en (0,0)?
b) Dada [texx] F(x,y) = (f(x,y)+x , f(x,y)+3y) [/texx]
Calcular [texx] (F_0 F_0 F)'(0,0) [/texx]

Tengo complicaciones debido al valor absoluto, y al literal b), ¿podrían ayudarme?
9  Matemática / Matemática Aplicada / Re: Verificar que la siguiente función es una función de probabilidad : 16/06/2019, 02:08:52 pm
Para el 1) lo único que debes comprobar es que la suma de  las probabilidades para todos los puntos es [texx]1[/texx].
Es decir, hay que ver que:
[texx]\displaystyle \sum_{k=a+1}^\infty Pr(Y=k) = \sum_{k=a+1}^\infty \left( \frac{a}{k-1} - \frac{a}{k} \right) = 1[/texx].
Para calcular la serie puedes usar que es telescópica.

El apartado 2) es parecido.
Se trata de calcular:
[texx]\displaystyle Pr(Y >k) = \sum_{i=k+1}^\infty \left( \frac{a}{i-1} - \frac{a}{i} \right) [/texx],
donde de nuevo puedes usar que es telescópica.
Otra manera de hacer el apartado es usar:
[texx]Pr(Y>k) = 1-Pr(Y \leq k) =1- \sum_{i=a+1}^k \left( \frac{a}{i-1} - \frac{a}{i} \right) [/texx].

Muchas gracias por tu ayuda.
10  Matemática / Matemática Aplicada / Verificar que la siguiente función es una función de probabilidad : 11/06/2019, 02:37:01 pm
Buenos días, me he topado con este ejercicio y de verdad que no sé cómo resolverlo, aunque tengo algunas ideas, dice así:
Una variable aleatoria [texx] Y [/texx] se define para un entero positivo fijo [texx] a, (a\geq{1}) [/texx] cualquiera mediante:
[texx] Pr(Y=k)=\frac{a}{k-1} - \frac{a}{k} [/texx] con [texx] k=a+1,a+2,...[/texx]
Se pide:
1. Verificar que es una función de probabilidad
2. Demuestre que [texx] Pr(Y>k)=\frac{a}{k}[/texx] para [texx]k=a,a+1,...[/texx]
3. Fije un valor para el parámetro [texx] a [/texx] y grafique la función de probabilidad.

Para el tercer ítem no creo tener ningún problema, pero son el primero y segundo los que me crean conflicto, vista la forma de la expresión empecé a descomponerla como una serie telescópica, pero no es una suma y no llegué muy lejos... ¿Podrían ayudarme?
11  Matemática / Matemática Aplicada / Re: Determinar la distribución de probabilidad : 11/06/2019, 12:48:18 pm
Si llamas [texx]p_1,p_2,p_3[/texx] a esas probabilidades, tendrás que:

[texx]P(X=0)=(1-p_1)(1-p_2)(1-p_3)[/texx]
[texx]P(X=1)=p_1(1-p_2)(1-p_3)+(1-p_1)p_2(1-p_3)+(1-p_1)(1-p_2)p_3[/texx]

Continúa.

Pues ha estado más complicado de lo que pensaba, pero he entendido perfectamente. Muchas gracias.
12  Matemática / Matemática Aplicada / Determinar la distribución de probabilidad : 11/06/2019, 11:51:24 am
Saludos a todos, tengo este ejercicio y no se me ocurre cómo resolverlo ya que las respuestas no me coinciden con lo que debo obtener, dice así:
Una chapa para puertas consta de tres piezas mecánicas. Suponga que las probabilidades de que la primera, la segunda y la tercera piezas cumplan las especificaciones son de 0.95, 0.98 y 0.99 respectivamente. Determine la distribución de probabilidad del numero de piezas que cumplen las especificaciones en una chapa.

Para X=0 piezas que cumplan, ya obtuve el valor haciendo el producto de 0.05, 0.02 y 0.01 pero para X=1,2,3 no me salen las respuestas, ¿pueden ayudarme?
13  Matemática / Análisis Matemático / Re: Curvatura y torsión en el punto donde el plano normal es paralelo a otro plano : 15/05/2019, 09:42:19 am
Hola

Disculpa por la demora pero es que mañana entrego estos ejercicios y quería acabar los que me faltaban. He hecho los pasos que indicaste y obtuve el punto [texx] (0,0,\frac{2\pi}{3}) [/texx] sin embargo al querer usar ese punto llego a la contradicción de que [texx] t=0 [/texx] y [texx] t=\arcsin\frac{\pi}{6} [/texx] lo cual es contradictorio, y si tomo el valor nulo la curvatura me da 0 y la torsión [texx] \frac{0}{0} [/texx] lo cual obviamente es indefinido, ¿qué hice mal?

No entiendo lo que haces. De:

[texx]1-cos(t)=0[/texx]
[texx]sin(t)=0[/texx]

(la tercera ecuación es indiferente porque [texx]\lambda[/texx] puede ser cualquier valor), lo que obtienes es que [texx]t=2k\pi[/texx] con [texx]k[/texx] entero. Es decir hay infinitos puntos:

[texx]r(2k\pi)=(2k\pi,0,0)[/texx] para [texx]k[/texx] entero

Saludos.
Por qué pones el valor en X? Puedes explicarme?
14  Matemática / Análisis Matemático / Re: Probar que se cumple la igualdad en dos curvas con igual curvatura en un punto. : 15/05/2019, 08:18:23 am
Hola

Buenas noches, tengo este ejercicio y la verdad no me queda claro como hacerlo, dice:
Si dos curvas de ecuaciones cartesianas [texx] y=f(x) [/texx] y [texx] y= g(x) [/texx] son tangentes en el punto [texx] (a,b) [/texx] y tienen la misma curvatura en ese punto, pruebe que:
[texx]     \left | f''(a) \right | =     \left | g''(a) \right | [/texx]
 
Entiendo que ambas se topan en el punto (a,b) pero, ¿cómo me ayuda eso a demostrar? o ¿qué podría hacer? Espero puedan ayudarme porque no entiendo cómo hacer o empezar.

Para una curva plana [texx]y=f(x)[/texx], la curvatura en un punto [texx](a,b)[/texx] es:

[texx]\chi=\dfrac{|f''(a)|}{(1+f'(a)^2)^{3/2}}[/texx]

y su vector tangente [texx](1,f'(a))[/texx].

Entonces de tus hipótesis:

[texx]\dfrac{|f''(a)|}{(1+f'(a)^2)^{3/2}}=\dfrac{|g''(a)|}{(1+g'(a)^2)^{3/2}}[/texx]

[texx](1,f'(a))[/texx] paralelo a [texx](1,g'(a))[/texx]

Concluye...

Saludos.



Al decir que son paralelos, significa que uno es múltiplo de otro, por lo que podría simplificar, pero los denominadores son sumas de esos puntos, además de que el 1 solo se obtendría al multiplicar por sí mismo ¿ qué puedo hacer con ellos?
15  Matemática / Análisis Matemático / Probar que se cumple la igualdad en dos curvas con igual curvatura en un punto. : 14/05/2019, 11:34:46 pm
Buenas noches, tengo este ejercicio y la verdad no me queda claro como hacerlo, dice:
Si dos curvas de ecuaciones cartesianas [texx] y=f(x) [/texx] y [texx] y= g(x) [/texx] son tangentes en el punto [texx] (a,b) [/texx] y tienen la misma curvatura en ese punto, pruebe que:
[texx]     \left | f''(a) \right | =     \left | g''(a) \right | [/texx]
 
Entiendo que ambas se topan en el punto (a,b) pero, ¿cómo me ayuda eso a demostrar? o ¿qué podría hacer? Espero puedan ayudarme porque no entiendo cómo hacer o empezar.
16  Matemática / Análisis Matemático / Re: Curvatura y torsión en el punto donde el plano normal es paralelo a otro plano : 14/05/2019, 11:20:31 pm
Hola

El vector tangente es : [texx]r'(t)=(1-cos t,sen t,2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}))[/texx] y ha de ser paralelo al vector [texx]\overrightarrow{k}[/texx]

A partir de aquí, hay varias formas, una de ellas, se basa en que si dos vectores son paralelos, por ejemplo [texx]r'(t)[/texx] y [texx]\overrightarrow{k}[/texx], ha de existir un escalar [texx]\lambda[/texx] tal que [texx]r'(t)=\lambda \ \overrightarrow{k}\Rightarrow{(1-cos t)\overrightarrow{i}+sent \overrightarrow{j}+2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}) \overrightarrow{k}=\lambda \overrightarrow{k}}[/texx]

Esto implica :

[texx](1-cos t)\overrightarrow{i}+sent \overrightarrow{j}+(2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}) -\lambda) \overrightarrow{k}=\overrightarrow{O}[/texx]

Por ser [texx]\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}[/texx] vectores linealmente independientes; para que la combinación lineal de ellos sea igual al vector nulo, las constantes han de ser cero, en consecuencia :

[texx]1-cos t=0[/texx]

[texx]sent =0[/texx]

[texx]2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}) -\lambda=0[/texx]

De estas ecuaciones despejas t, pueden haber varios puntos y para la curvatura y torsión, hay fórmulas ya establecidas.

Saludos
Muchísimas gracias de verdad.

Disculpa por la demora pero es que mañana entrego estos ejercicios y quería acabar los que me faltaban. He hecho los pasos que indicaste y obtuve el punto [texx] (0,0,\frac{2\pi}{3}) [/texx] sin embargo al querer usar ese punto llego a la contradicción de que [texx] t=0 [/texx] y [texx] t=\arcsin\frac{\pi}{6} [/texx] lo cual es contradictorio, y si tomo el valor nulo la curvatura me da 0 y la torsión [texx] \frac{0}{0} [/texx] lo cual obviamente es indefinido, ¿qué hice mal?
17  Matemática / Análisis Matemático / Re: Curvatura y torsión en el punto donde el plano normal es paralelo a otro plano : 10/05/2019, 12:54:34 pm
Hola

El vector tangente es : [texx]r'(t)=(1-cos t,sen t,2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}))[/texx] y ha de ser paralelo al vector [texx]\overrightarrow{k}[/texx]

A partir de aquí, hay varias formas, una de ellas, se basa en que si dos vectores son paralelos, por ejemplo [texx]r'(t)[/texx] y [texx]\overrightarrow{k}[/texx], ha de existir un escalar [texx]\lambda[/texx] tal que [texx]r'(t)=\lambda \ \overrightarrow{k}\Rightarrow{(1-cos t)\overrightarrow{i}+sent \overrightarrow{j}+2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}) \overrightarrow{k}=\lambda \overrightarrow{k}}[/texx]

Esto implica :

[texx](1-cos t)\overrightarrow{i}+sent \overrightarrow{j}+(2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}) -\lambda) \overrightarrow{k}=\overrightarrow{O}[/texx]

Por ser [texx]\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}[/texx] vectores linealmente independientes; para que la combinación lineal de ellos sea igual al vector nulo, las constantes han de ser cero, en consecuencia :

[texx]1-cos t=0[/texx]

[texx]sent =0[/texx]

[texx]2 cos (\displaystyle\frac{t}{2}) -\lambda=0[/texx]

De estas ecuaciones despejas t, pueden haber varios puntos y para la curvatura y torsión, hay fórmulas ya establecidas.

Saludos
Muchísimas gracias de verdad.
18  Matemática / Análisis Matemático / Re: Curvatura y torsión en el punto donde el plano normal es paralelo a otro plano : 10/05/2019, 12:12:37 am
Solo tienes que pensar que si el plano normal es paralelo es paralelo al plano [texx]z=1[/texx] entonces el vector tangente debe ser paralelo al eje Z.

[texx]d\vec r[/texx] debe ser entonces paralelo al eje Z.

Fácil ¿no?

Salu2

Sí, eso lo sé, pero lo que no sé es cómo aplico eso o que ecuación me ayudaría a encontrar dicho punto, ya que para perpendicularidad existe el producto punto igual a 0, pero ¿qué se hace con el paralelismo?
19  Matemática / Análisis Matemático / Curvatura y torsión en el punto donde el plano normal es paralelo a otro plano : 09/05/2019, 07:54:54 pm
Saludos a todos, disculpas por tanta pregunta pero es que tengo docenas de ejercicios por hacer y este me está dando dolores de cabeza, dice así:
Dada la curva [texx] \overrightarrow{r}(t)=(t-sent,1-cost,4sen(\frac{t}{2})) [/texx] halle la curvatura y la torsión de la curva en el punto donde el plano normal a la curva es paralelo al plano [texx] z=1 [/texx]
Estuve pensando en cómo hacer para resolverlo, primero intente aplicar la ecuación de curvatura y torsión y luego reemplazar con el punto, pero es que es demasiado largo obtener la curvatura aún con identidades, así que pensé en sacar el punto primero, pero tampoco puedo, sé que el vector es paralelo al del plano z (0,0,1) pero es toda la información que tengo, ¿pueden ayudarme?
20  Matemática / Análisis Matemático / Re: Hallese la curvatura y la torsión a lo largo de la curva : 09/05/2019, 03:45:31 pm
Hola

Si dices que el determinante es 216, entonces tampoco me coincidiría con la curvatura, o me equivoco? podrías revisar si mi curvatura está bien obtenida?

Si. Está bien:

[texx]r(t)=(3t-t^3,3t^2,3t+t^3)[/texx]
[texx]r'(t)=(3-3t^2,6t,3+3t^2)=3(1-t^2,2t,1+t^2)[/texx]
[texx]r''(t)=3(-2t,2,2t)=6(-t,1,t)[/texx]
[texx]r'''(t)=3(-2t,2,2t)=6(-1,0,1)[/texx]

[texx]\|r'(t)\|=3\sqrt{(1-t^2)^2+(2t)^2+(1+t^2)^2}=3\sqrt{(2t^2+4t^2+2)}=3\sqrt{2}(t^2+1)[/texx]

[texx]r'(t)\times r''(t)=18\left|\matrix{e_1&e_2&e_3\\1-t^2&2t&1+t^2\\-t&1&t}\right|=18(t^2-1,-2t,t^2+1)[/texx]

[texx]\|r'(t)\times r''(t)\|=18\sqrt{(1+t^2)^2+(-2t)^2+(t^2+1)^2}=18\sqrt{(2t^2+4t^2+2)}=18\sqrt{2}(t^2+1)[/texx]

[texx]\kappa(t)=\dfrac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^3}=\dfrac{18\sqrt{2}(t^2+1)}{54\sqrt{2}(t^2+1)^3}=\dfrac{1}{3(t^2+1)^2}[/texx]

[texx]det(r'(t),r''(t),r'''(t))=3\cdot 6^2\cdot \left|\matrix{1-t^2&2t&1+t^2\\-t&1&t\\-1&0&1}\right|=
3\cdot 6^2\cdot \left|\matrix{2&2t&1+t^2\\0&1&t\\0&0&1}\right|=6^3[/texx]

[texx]\tau(t)=\dfrac{det(r'(t),r''(t),r'''(t))}{\|r'(t)\times r''(t)\|^2}=\dfrac{6^3}{2\cdot 18^2(t^2+1)^2}=\dfrac{1}{3(t^2+1)^2}[/texx]

Saludos.

Vale, he notado mi error, al calcular la torsión he hecho mal el producto cruz, fallo mío al tener tantos ejercicios por hacer y hacerlos rápido, muchas gracias.

Una última consulta, cómo podría demostrar que curvatura y torsion son iguales sin basarme en los resultados? O con ellos ya se demuestra?
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