14/11/2019, 12:34:25 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
  Mostrar Mensajes
Páginas: [1] 2 3 ... 119
1  Matemática / Análisis Matemático / Re: Encuentre la ecuación del plano que contiene la recta intersección de dos planos : Ayer a las 10:50:19 pm
Hola

Algunos comentarios para hméndez:


Perdón el off-topic.

Saludos
2  Matemática / Álgebra / Re: Sistema de ecuacion : Ayer a las 10:45:13 pm
Hola

[texx]a=b\wedge\forall c[/texx]

y

[texx]a=-b \wedge c=0[/texx]

serían las condiciones completas

Yo pondría

[texx]a=b\wedge\forall c[/texx]

o

[texx]a=-b \wedge c=0[/texx]

porque en caso contrario tendríamos:

[texx]a=b\wedge\forall c\wedge a=-b\wedge c=0\implies b=-b\wedge(\forall c\wedge c=0)\implies b=0\wedge c=0\wedge a=0.[/texx]

Saludos
3  Matemática / Álgebra / Re: Dada una relación definida sobre un conjunto finito probar orden total y hallar : Ayer a las 09:17:13 am
Hola

Luego lo miro con más detalle, pero tengo una duda:

Decís que denotaste la relación [texx]R[/texx] por [texx]\leq[/texx] cuando hablamos de los elementos de la forma [texx]a_i,b[/texx]. Cuando se le aplica la función [texx]f[/texx] pasan a ser naturales y ahí se usa el orden usual de los naturales.

Pero mi duda es: ¿Qué significa entonces [texx]a_1<a_0[/texx]? ¿Significa [texx]a_1\!\!\!\not Ra_0\equiv(a_1,a_0)\notin R[/texx]?

Saludos
4  Matemática / Lógica / Re: El juego de los números naturales: demostraciones asistidas con Lean : 12/11/2019, 09:45:33 pm
Hola

Me ha resultado muy interesante el comentario, no conocía el método WZ. Aunque diría que el enfoque es algo distinto. Aquí lo que se pretende principalmente es tener una especie de "base de datos" de todas las demostraciones, formalizadas en un lenguaje de manera que sea fácil verificar que son correctas. Esto viene porque algunos matemáticos tenían preocupaciones sobre los errores que se cuelan en muchos papers (incluso publicados en revistas de alto impacto) y de los que nadie se da cuenta hasta años más tarde (o quizás nunca).
Un caso muy famoso es el de Vladimir Voevodsky, que fue un matemático de altísimo nivel (ganador de la medalla Fields) que hizo trabajos muy importantes sobre teoría de homotopía aplicada a geometría algebraica. Pues bien, en uno de sus papers (muy difundido y leído por los expertos del campo) había un error en un lema técnico que se le escapó a todo el mundo, y solamente fue detectado años después por el propio Voevodsky cuando los resultados del paper ya habían sido ampliamente citados y usados en otros trabajos. Por suerte se pudo arreglar, pero esto llevó a Voevodsky a empezar a preocuparse por temas de verificación formal de demostraciones y a crear (junto con otra gente) el campo de la "homotopy type theory", que está muy relacionado con estas cosas.

Concuerdo totalmente. De hecho es justo lo que había pensado en su momento y me refrescaste: Tener una especie de DB en donde se alojen todas las demostraciones formales, con el hecho de no repetir lógica y así partir de algunos axiomas y demostrar toda la matemátca que conocemos sin repetir hipótesis (o las menos posible). Armar como una especie de "Mamushkas".

Haskell sí que es un lenguaje tipado. (...)

:sorprendido:. Fui a Wikipedia y tenés razón.

Pero cuando vi Haskell (a principio de año que luego dejé por el trabajo) me hicieron crear sentencias como


esMayor edad = edad > 18

tieneEdadLaboralActiva edad = edad > 18 && edad < 30

estimacionPolicial acto = length (maximum acto) * 1000

consecuencia "campeonato" = "banderazo"
consecuencia "despidos" = "piquete"
consecuencia "Dia de la Memoria" = "banderazo"

moverArriba (x,columna) = (x,columna++"hundido")

pasaronCosas quePaso = (consecuencia,quePaso,estimacionPolicial)


y todas ellas no tienen ningún tipo de dato definido previamente (por ejemplo no dice bool esMayor edad = edad > 18). Haskell lo interpreta sólo. Por eso pensé que era un lenguaje no tipado.

(...) De hecho, como buen representante de los lenguajes de programación funcional, es un lenguaje donde los tipos son realmente importantes. En primera aproximación al menos, puedes considerar Haskell como una implementación del cálculo lambda tipado, que es una versión más débil de las teorías de tipos dependientes. Así que en realidad Lean y todos estos lenguajes se parecen bastante más a Haskell de lo que se parecen a C (que es tipado, pero es un lenguaje imperativo, no funcional).

Las teorías de tipos se pueden pensar de muchas maneras distintas. Puedes pensar en ellas como en un lenguaje de programación abstracta, o también desde el punto de vista lógico, como una fundamentación de la matemática distinta a la usual de lógica de primer orden + teoría de conjuntos.
De hecho, la primera "teoría de conjuntos formal" (la de los Principia Mathematica de Russell y Whitehead) era una teoría de tipos. Para describir la diferencia con la axiomática usual, fíjate que normalmente las matemáticas se construyen en dos "capas": una primera capa que es lógica de primer orden, y sobre esta capa se definen teorías axiomáticas, en particular los axiomas de ZFC. En las teorías de tipos en cambio, solamente tienes una "capa": todo son tipos. Puedes pensar en primera aproximación un tipo como un conjunto (por ejemplo, el tipo de los números naturales, el tipo de los números complejos, el tipo vacío, ...) y sus "elementos" se llaman términos, y la "relación de pertenencia" se denota por dos puntos. Así por ejemplo, [texx]0:Nat[/texx] quiere decir que [texx]0[/texx] es un término del tipo [texx]Nat[/texx]. A diferencia de ZFC, donde todo es un conjunto, aquí hay una distinción importante entre términos y tipos. Un término en general no es un tipo (aunque a veces puede serlo). Por otro lado, tienes una serie de operaciones que puedes realizar con tipos (por ejemplo, la "unión" de dos tipos) y una serie de constructores que te permiten construir términos de estos tipos compuestos a partir de términos de sus componentes (por ejemplo, si [texx]a:A[/texx], y [texx]B[/texx] es otro tipo, puedes definir el tipo "unión" [texx]A+B[/texx] y tienes un constructor [texx]l[/texx] que te permite decir [texx]l(a):A+B[/texx]; cuidado porque a diferencia de en conjuntos decir [texx]a:A+B[/texx] no tiene ningún sentido: un término no puede tener dos tipos distintos).

Hay muchas relaciones entre teoría de tipos, lógica y computación (y también teoría de categorías). Es un tema fascinante, pero muy largo de explicar aquí. Solamente diré que puedes interpretar los tipos como proposiciones (de lógica proposicional, digamos) y sus términos como demostraciones formales de esa proposición. Esto se conoce como "correspondencia de Curry-Howard".

Las teorías de tipos dependientes son aquellas en los que un tipo puede depender de otros tipos. Esto hace que las teorías de tipos dependientes se parezcan más a la lógica de primer orden (tienes análogos para tipos del cuantificador existencial y universal) y por supuesto son mucho más potentes que las teorías de tipos simples.

En fin, espero que esto dé al menos una muy ligera idea de qué va esto de las teorías de tipos y de las diferencias con la lógica usual. Si quieres preguntar algo más o quieres una descripción más concreta de algo, pregunta.

No puedo seguirte mucho pero creo que lo explicaste de forma muy clara Aplauso.

Vamos, que [texx]0\in\Bbb{N}[/texx] es lo mismo que 0 : Nat; "se parecen demasiado", como si yo dijese [texx]S\to b+bS[/texx] que en notación BNF se escribe [texx]\langle S\rangle ::=b\mid b\ \langle S\rangle[/texx]. Quizás sean ejemplos muy simples y por eso se "vean muy parecidos entre sí" pero en el fondo es como decís: son cosas muy distintas.

Para el resto de la cita: ¿El constructor vendría a ser como algo auxiliar, algo que nos permite hacer otras cosas? Lo asemejo a una demostración matemática "clásica", en donde en la prueba se definen funciones auxiliares, variables auxiliares, y luego esas cosas auxiliares se reemplazan para dar lugar a la prueba en sí. Pero puedo estar equivocado.

Saludos
5  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable? : 12/11/2019, 09:19:31 pm
Hola Luis

P.D. Hay algún motivo porque el que si conviene definir la derivabilidad sólo en puntos interiores del dominio. Pero no son ninguno de los que se han citado aquí. Sería otra historia.

Yo creo que deberías de mencionarlo. ¡Es justo lo que busca Buscón!

Saludos
6  Matemática / Teoría de grafos / Re: Demostrar que no existe un grafo bipartito con \(7\) vértices y \(13\) aristas : 12/11/2019, 09:14:57 pm
Hola

No entiendo cómo se sabe que el único grafo bipartito que "tiene como máximo número de aristas" puede ser el [texx]K_{4,3}[/texx] (o el [texx]K_{3,4}[/texx], es irrelevante). ¿Se puede demostrar matemáticamente que cualquier otro grafo bipartito con [texx]7[/texx] vértices necesariamente ha de tener menor número de aristas que el [texx]K_{4,3}[/texx] o sea menor que [texx]12[/texx]?

Y de ahí arribamos a que es imposible que haya uno de [texx]13[/texx]. Pero no veo que se haya demostrado que como máximo pueden haber [texx]12[/texx], porque el nombrar los casos me parece insuficiente (unos cuantos casos no dicen nada acerca de la veracidad o falsedad de algo aunque puede dar algún indicio, no constituye una prueba formal). Y si me dicen "Pero oye, todos los casos posibles son los que dio tu profesor más los "simétricos"" entonces para mí no sigue constituyendo una prueba formal.

Gracias y saludos
7  Matemática / Álgebra / Re: Dada una relación definida sobre un conjunto finito probar orden total y hallar : 12/11/2019, 09:01:50 pm
Hola

¿Y cuál es el "último" impar?. Estamos considerando todos los impares...

Oh. Entonces no tiene "último" impar pues es un conjunto infinito (no está acotado superiormente aunque sí inferiormente, aunque esto es irrelevante para nosotros).



Para demostrar que es relación de orden hice lo siguiente:

Reflexiva: Lo mismo que vos.

Antisimétrica: Si [texx]xRy[/texx] y [texx]yRx[/texx] entonces [texx](x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\vee(\text{\(x\) es impar e \(y\) es par})[/texx] y [texx](y\leq x\wedge\text{\(y+x\) es par})\vee(\text{\(y\) es impar e \(x\) es par})[/texx].

Apliquemos distributiva, obteniendo

\begin{align*}
((x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\wedge(y\leq x\wedge\text{\(y+x\) es par}))&\vee((x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\wedge(\text{\(y\) es impar e \(x\) es par}))\\&\vee((\text{\(x\) es impar e \(y\) es par})\wedge(y\leq x\wedge\text{\(y+x\) es par}))\\&\vee((\text{\(x\) es impar e \(y\) es par})\wedge(\text{\(y\) es impar e \(x\) es par}))
\end{align*}

Vemos que las últimas tres disyunciones son una contradicción. Entonces:

\[
(x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\wedge(y\leq x\wedge\text{\(y+x\) es par})\implies x\leq y\wedge y\leq x\wedge\text{\(x+y\) es par}\implies x\leq y\wedge y\leq x\implies x=y
\]

Transitiva: Si [texx]xRy[/texx] y [texx]yRz[/texx] entonces:

\[\begin{cases}
&(x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\vee(\text{\(x\) es impar e \(y\) es par})\\
&(y\leq z\wedge\text{\(y+z\) es par})\vee(\text{\(y\) es impar e \(z\) es par})
\end{cases}\implies
\Bigl[(x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\vee(\text{\(x\) es impar e \(y\) es par})\Bigr]\wedge\Bigl[(y\leq z\wedge\text{\(y+z\) es par})\vee(\text{\(y\) es impar e \(z\) es par})\Bigr]\]

Volviendo a aplicar distributiva tenemos:

\begin{align*}
((x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\wedge(y\leq z\wedge\text{\(y+z\) es par}))&\vee((x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\wedge(\text{\(y\) es impar e \(z\) es par}))\\
&\vee((\text{\(x\) es impar e \(y\) es par})\wedge(y\leq z\wedge\text{\(y+z\) es par}))\\
&\vee((\text{\(x\) es impar e \(y\) es par})\wedge(\text{\(y\) es impar e \(z\) es par}))
\end{align*}

La primera disyunción es claramente [texx]xRz[/texx], pero no sé cómo descartar (o convertirlas en contradicción) las otras tres disyunciones :¿eh?:. ¿Alguna ayuda?



- Es de orden total. Dados [texx]x,y\in \Bbb Z[/texx]:

 - Si [texx]x[/texx] es impar e [texx]y[/texx] es par, entonces [texx]xRy[/texx].
 - Si [texx]y[/texx] es impar y [texx]x[/texx] es par, entonces [texx]yRx[/texx].
 - En otro caso [texx]x,y[/texx] tienen la misma paridad y por tanto [texx]x+y[/texx] es par. Y además o bien [texx]x\leq y[/texx], en cuyo caso [texx]xRy[/texx] o bien [texx]y\leq x[/texx] en cuyo caso [texx]yRx.[/texx]

De acuerdo. Siempre hacemos lo mínimo e indispensable, que es probar que alguno de los dos lados de la disyunción es verdadera sin tener en cuenta la otra. Para los dos primeros casos usaste el de la derecha, y para el tercer caso ("En otro caso") usaste la de la izquierda.

Muy ingenioso, Luis. :guiño:



Ahora vienen mis problemas que "no me dejan dormir"...:

Finalmente y en cuanto a máximos y supremos, se puede probar que todo conjunto finito no vacío con una relación de orden total tiene máximo.

Sea [texx]A[/texx] de [texx]n[/texx] elementos, con una relación de orden total. Para cada [texx]a\in A[/texx] definimos:

[texx] f(a)=cardinal\{b\in A|b\leq a\}[/texx]

 El conjunto [texx]\{f(a)|a\in A\}[/texx] es un conjunto acotado superiormente por [texx]n[/texx] de números naturales y por tanto tiene máximo [texx]f(a_0)[/texx]. Veamos que [texx]f(a_0)=n[/texx]. En otro caso [texx]cardinal\{b\in A|b\leq a\}<n=card(A)[/texx] y por tanto existe [texx]a_1\in A[/texx] tal que [texx]a_1\not\leq a_0[/texx]. Como la relación es de orden total, necesariamente [texx]a_0<a_1[/texx] y dado que si [texx]b\leq a_0[/texx] entonces [texx]b\leq a_0<a_1[/texx],

[texx]f(a_0)=cardinal\{b\in A|b\leq a_0\}<cardinal(b\in A|b<a_1\}=f(a_1)[/texx]

lo cual contradice que [texx]f(a_0)[/texx] sea máximo. Por tanto:

[texx]cardinal\{b\in A|b\leq a_0\}=n=card(A)[/texx]

y así [texx]A=\{b\in A|b\leq a_0\}[/texx] y [texx]a_0[/texx] es el máximo de [texx]A.[/texx]

De a partes:

Sea [texx]A[/texx] de [texx]n[/texx] elementos, con una relación de orden total.

Hasta aquí te sigo.

Para cada [texx]a\in A[/texx] definimos:

[texx] f(a)=cardinal\{b\in A|b\leq a\}[/texx]

Acá ya me perdí. ¿Quién te da el derecho a elegir esa "función" y por qué? ¿No deberías probar que [texx]f[/texx] es primero función para luego seguir con la demostración (por más trivial que parezca aunque no lo veo tan trivial con ojos de novato)? ¿Por qué no puedo elegir otro objeto matemático?

El conjunto [texx]\{f(a)|a\in A\}[/texx] es un conjunto acotado superiormente por [texx]n[/texx] de números naturales y por tanto tiene máximo [texx]f(a_0)[/texx].

"De acuerdo". ¿Por qué decís "El conjunto [texx]\{f(a)|a\in A\}[/texx]" en vez de "El conjunto [texx]\{b\in A|a\in A\}[/texx]"?

Veamos que [texx]f(a_0)=n[/texx].

¿Eso es porque querés demostrar que [texx]f(a_0)[/texx] es efectivamente la menor de las cotas superiores i.e. es el máximo?

En otro caso [texx]cardinal\{b\in A|b\leq a\}<n=card(A)[/texx] y por tanto existe [texx]a_1\in A[/texx] tal que [texx]a_1\not\leq a_0[/texx].

Entiendo que en otro caso sea [texx]cardinal\{b\in A|b\leq a\}<n[/texx] pues nunca puede ser [texx]>n[/texx], pero no entiendo de dónde sale ese [texx]n=card(A)=|A|[/texx].

Como la relación es de orden total, necesariamente [texx]a_0<a_1[/texx] (...)

¿Por qué [texx]a_0<a_1[/texx] y no [texx]a_1<a_0[/texx]? Yo lo interpretaría así: "necesariamente [texx]f(a_0)<f(a_1)[/texx]".

Gracias y saludos
8  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / Re: Noticias de mí, Marcos Castillo : 12/11/2019, 03:12:13 pm
Hola

Desde el último hilo "Integrales 2" no doy noticia. Es porque en este tiempo he terminado los dos libros de "Matemáticas, Acceso a la Universidad", de la UNED, y porque no me han surgido dudas. A partir de ahora empiezo a estudiar física. Me voy a presentar en enero a los parciales de matemáticas y física. Si me surgen dudas, escribiré en ese subforo.

Se nota tu compromiso con el estudio y con la intriga por querer aprender más, que es lo más importante. ¡¡Éxitos Marcos!! O como aquí se dice, ¡¡mucha merd!!

Saludos
9  Matemática / Álgebra / Re: Dada una relación definida sobre un conjunto finito probar orden total y hallar : 12/11/2019, 04:05:44 am
Hola

Ohh, tenía dudas de si poner los suspensivos al final del último par. Pero debe ser infinito así que está bien cómo lo escribiste.

Si tomamos todos los impares, ¿por qué el supremo no puede ser "el último impar" i.e. [texx]2k+1[/texx]? Ahí sí que tendría máximo pero algo hago mal.

Saludos
10  Matemática / Álgebra / Re: Dada una relación definida sobre un conjunto finito probar orden total y hallar : 12/11/2019, 03:42:25 am
Hola

Me puse a ver por encima la demostración de que todo subconjunto finito de los enteros alcanza un supremo que es máximo pero no me agrada la demostración, sinceramente. Cuando me siente a leerla consultaré.

Con respecto a que dado un subconjunto de un conjunto INFINITO (que no es lo que pide el ejercicio) definimos en este último la misma relación del ejercicio, no veo claro cuál subconjunto podemos tomar.

Noto que el efecto que tiene la relación sobre un conjunto infinito es la de relacionar primero todos los números impares en orden creciente a la izquierda, y luego la de los pares a la derecha: \[1\to3\to5\to7\to\dots\to2k+1\to2\to4\to6\to\dots\to2k\] ¿Un subconjunto con supremo y no máximo es quizás [texx]B=\{2k,2k+1\}[/texx]? :¿eh?:. Ni siquiera sé si la naturaleza del subconjunto que proponés que busque es finito o infinito.

Saludos
11  Matemática / Álgebra / Re: Dada una relación definida sobre un conjunto finito probar orden total y hallar : 11/11/2019, 09:10:37 am
Hola

Ahora lo tengo más claro.

No me pareció tan matador hallar por extensión la relación pero sí los subconjuntos (apartado (b)), por eso quería saber si se podía usar "artillería no tan elemental pero no tan pesada" para demostrarlo :risa:.

Yo tampoco le veo mucho sentido de tomar sólo algunos elementos. Quizás como fue sacado de un examen que incluía varios ejercicios más, para no hacerlo tan pesado pues eligieron tomar uno con pocos elementos, pero por ser examen, sino sería en forma genérica, en donde comparto tu opinión.

Cuando llegue a casa lo miro mejor. Muchas gracias, como siempre.

Saludos
12  Matemática / Álgebra / Re: Dada una relación definida sobre un conjunto finito probar orden total y hallar : 11/11/2019, 08:20:01 am
Hola, muchas gracias!

Yo creo que este ejercicio no pide hacerlo en forma genérica sino por extensión.

Fijate que la relación dada es bastante "compleja" como para el nivel que acostumbro a publicar; por eso se dio un conjunto finito y no infinito, para practicar el diagrama.

No entiendo la relación entre el segundo párrafo y la P.D. ¿Las pruebas son iguales que si [texx]A[/texx] fuese finito o infinito? ¿Por qué, entiendo yo, en la P.D. hablás de "Conjunto con supremo pero no máximo" como si fuera nuevo cuando el apartado (b) es lo que propone?

Me gustaría hacerlo en forma particular pues la relación es "complicada" y además el conjunto tiene pocos elementos. Sí que es cierto que con 1000 elementos se hace imposible, pero no es el caso.

Saludos
13  Matemática / Álgebra / Re: Si una relación se define en los naturales y se toma un subconjunto, ¿cuál es? : 11/11/2019, 01:31:54 am
Hola

Me han dicho que todas las respuestas eran falsas. Cito:

Por un error tomaron que la menor de las cotas superiores era el 30 pero no había cota superior menor porque en la relación había 29 cotas que no se relacionaban entre ellas y eran las más próximas al conjunto (desde el 30 al 59).

Mi interpretación de la cita es que al parecer como los elementos del 30 al 59 no se relacionan entre sí entonces no existe la menor de las cotas superiores (por tanto no hay supremo).

Pero yo creo que está mal porque no tiene nada que ver elementos del conjunto de cotas superiores se relacionen entre sí o no. Lo que importa es que TODAS las cotas superiores se relacionen CON el subconjunto dado (en este caso llamado [texx]A[/texx]). Y eso es cierto porque al menos se relacionan a través de la parte [texx]2x\leq y[/texx] que hace cierta su relación.

¿Es mi argumento correcto o realmente son las cuatro opciones falsas?

Saludos
14  Matemática / Teoría de grafos / Demostrar que no existe un grafo bipartito con \(7\) vértices y \(13\) aristas : 10/11/2019, 09:41:48 pm
Hola!!

Dibujar un grafo que cumpla lo siguiente. En caso de no ser posible justificar:

Un grafo bipartito con siete vértices y trece aristas.



Mi profesor lo justifica así:

No se puede ya que el bipartito completo [texx]K_{4,3}[/texx] tiene [texx]12[/texx] aristas, el [texx]K_{5,2}[/texx] tiene [texx]10[/texx] y el [texx]K_{6,1}[/texx] tiene [texx]6[/texx]. Como los [texx]K_{n,m}[/texx] son simples, no pueden tener [texx]13[/texx] aristas y [texx]7[/texx] vértices.



Yo veo que la demostración es pobre. Lo justificaría así:

Sabemos que si [texx]K_{n,m}[/texx] es un grafo bipartito completo entonces [texx]|V|=n+m[/texx] y [texx]|A|=n\cdot m[/texx]. Hallar tal grafo equivale a resolver el siguiente sistema de ecuaciones: \[\left\lbrace\begin{aligned}&n+m=7\\&n\cdot m=13\end{aligned}\right.\] Como la solución no es entera concluimos que no es posible hallar tal grafo.



Sin embargo no sé por qué mi profesor y yo hablamos de GRAFOS BIPARTITOS COMPLETOS cuando el enunciado sólo habla de GRAFO BIPARTITO. El grafo bipartito completo se lo denota [texx]K_{n,m}[/texx] pero el bipartito a secas no es así :¿eh?:.

Gracias!!
Saludos
15  Matemática / Geometrías No Euclidianas - Geometría Proyectiva / Re: Si \(F:\Bbb{P}^3(\Bbb{R})\longrightarrow\Bbb{P}^3(\Bbb{R})\) responder : 10/11/2019, 09:07:01 pm
Hola

Transcribo el enunciado para cumplir con las normas:


Saludos

16  Matemática / Álgebra / Dada una relación definida sobre un conjunto finito probar orden total y hallar : 10/11/2019, 08:51:58 pm
Hola!!

Se define en \(A=\{n\in\Bbb{Z}\mid1\leq n\leq8\}\) la siguiente relación \(\mathcal{R}\): \[x\mathcal{R}y\iff(x\leq y\wedge\text{\(x+y\) es par})\vee(\text{\(x\) es impar e \(y\) es par}).\]
a) Probar que [texx]\mathcal{R}[/texx] es una relación de orden total.

b) Encontrar, si es posible, un subconjunto de \(A\) que tenga supremo pero no máximo. Justificar.



Mi profesor hace lo siguiente:

Diagrama de Hasse: \[1\to3\to5\to7\to2\to4\to6\to8\] Es de orden total pues es una cadena.

No es posible hallar subconjunto con supremo y no máximo.



Yo lo veo incompleto. ¿Qué les parece a ustedes?

Mi intento:

a) Yo justificaría que es de orden total pues:

1) Es relación de orden. Hallemos la relación por extensión (por ser [texx]A[/texx] finito): \[\begin{align*}\mathcal{R}&=\left\lbrace(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(1,3),(1,5),(1,7),(1,2),\right.\\&(1,4),(1,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,5),(3,7),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),\\&\left.(4,6),(4,8),(5,7),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(6,8),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8)\right\rbrace\end{align*}\]

- Reflexiva. Vemos que están todos los pares reflexivos.
- Antisimétrica. Es cierta ya que tiene antecedente falso, pues por ejemplo [texx]1\mathcal{R}3[/texx] y [texx]3\mathord{\not\mathrel{\mathcal{R}}}1[/texx]. Los elementos se relacionan en un sólo sentido, permitiendo los bucles.
- Transitiva. Lo vemos por el conjunto hallado por extensión.

2) Es orden total. Puesto que dados [texx]x,y\in A[/texx] tenemos que siempre [texx]x\preceq y[/texx] entonces por adición [texx]x\preceq y\vee y\preceq x[/texx], lo que significa precisamente la definición de orden total.

Hagamos el diagrama de Hasse para entender mejor cómo se relacionan los elementos: \[1\to3\to5\to7\to2\to4\to6\to8\]
b) No es posible hallar un subconjunto con supremo y no máximo pues la relación es de orden total. Eso quiere decir que siempre habrá un mínimo y un máximo.

b) Hallemos todos los subconjuntos de [texx]A[/texx] (por ser finito): Ups, acabo de darme cuenta de que hay en total [texx]2^8=256[/texx] subconjuntos posibles de [texx]A[/texx] :enojado: :enojado: :enojado:. No parece viable.

¿Qué opción les parece correcta y más completa?

Yo tengo dudas acerca de cómo justificar la imposibilidad de (b). ¿Podrían dar argumentos?

Gracias!!
Saludos

EDITADO
17  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable? : 10/11/2019, 05:08:43 pm
Hola

Pero entonces se puede llegar a la conclusión de que la función valor absoluto no es derivable en    [texx]x=0[/texx]    y es derivable en    [texx]x=0[/texx].    Es absurdo.

Pero una función consta de tres partes: dominio, codominio y regla de correspondencia o fórmula (la gran mayoría).

Si no especificás las dos primeras es como que yo diga que la función [texx]f(x)=x^2[/texx] es biyectiva. ¿Lo es? Pues no lo sabremos hasta que el dominio y codominio queden absolutamente determinados (sea que lo digamos de forma implícita o explícita).

Saludos
18  Matemática / Lógica / Re: El juego de los números naturales: demostraciones asistidas con Lean : 10/11/2019, 05:03:48 pm
Hola

Hace tiempo le prometí a manooooh hacer un hilo hablando un poco sobre demostraciones asistidas por ordenador. Últimamente estoy bastante mal de tiempo, así que no me he podido mirar todo lo que hubiera querido estas cosas,
Pero a cambio, traigo algo mucho mejor que lo que hubiera podido escribir: un enlace al "natural number game":
http://wwwf.imperial.ac.uk/~buzzard/xena/natural_number_game/.
Esto es esencialmente un tutorial del lenguaje de programación Lean, estructurado en forma de juego. El objetivo es, comenzando con los axiomas de Peano de los números naturales, demostrar teoremas básicos para la suma, multiplicación, potencia y desigualdades de naturales (por ejemplo, que la suma y el producto de naturales son asociativas y conmutativas, etc). Esto no es muy distinto de lo que uno puede encontrar en un libro de lógica, pero es instructivo (y divertido) demostrar estas cosas usando un lenguaje de programación.

Este juego se enmarca en el llamado proyecto Xena (https://xenaproject.wordpress.com/), dirigido por Kevin Buzzard del Imperial College, que se dedica a formalizar matemáticas en Lean. La formalización de matemáticas es un campo que últimamente parece estar en auge, y donde se han conseguido recientemente cosas bastante impresionantes (por ejemplo, una formalización del forcing y la prueba de la independencia de la hipótesis del continuo).

El juego todavía no está en su versión final. Dentro de unos días o semanas probablemente habrá bastantes más "pantallas", incluyendo "mundos" sobre funciones y lógica proposicional (cuidado: estos lenguajes de programación no están basados en lógica proposicional o de primer orden sino en teorías de tipos dependientes, lo que hace que algunas cosas sean un poco raras si solamente se está acostumbrado a la lógica "usual"). Pero con lo que hay de momento se puede tener una idea de cómo funcionan estas cosas.

Espero que os guste tanto como me ha gustado a mí.

¡¡Qué buena noticia!! Ya lo estuve probando y me ha parecido muy interesante.

Sólo una vez me olvidé de la maldita coma :risa: pero el error me ayudó a comprender a leer el panel de demostración que tiene la página. Hay que prestar atención, y eso es importante porque es clave para manejar casi cualquier lenguaje de programación.

Ahora me pregunto, ¿qué son las "teorías de tipos dependientes"?

Tengo conocimiento de que C es un lenguaje tipado, pero por ejemplo Haskell no lo es. Es decir unos necesitan declarar sus variables de algún tipo y otros directamente lo infieren con el tipo de dato que nosotros le asignemos. Pero ahora la palabra "dependiente" me complica las definiciones porque cuando en Lean se lee a b c : mynat estamos declarando tres variables de tipo natural -- por ende es un lenguaje tipado.

Por lo demás, es práctica, aprender a demostrar con lenguaje Lean, que se aproxima bastante a lo que un matemático hace. ¡Me gustó!

Gracias por compartirlo geómetracat.

Saludos
19  Matemática / Lógica / Re: Estudiar validez de un razonamiento con un universal y ¿dos? existenciales : 10/11/2019, 12:55:07 pm
Hola

Quería saber qué te parece la transcripción de la premisa [texx]\neg r(a)[/texx] (junto con la conclusión [texx]p(a)[/texx]) junto con que si esto: [texx]a=\text{Libro de mayor tamaño},\;a\in\mathcal{U}[/texx] lo hubieras escrito textual o cómo, porque me hace ruido poner una coma y decir que tal elemento [texx]a[/texx] pertenece al conjunto universal y que además esté dentro del ámbito "Consideremos las siguiente proposiciones" porque en todo caso será un elemento de un conjunto, NO una proposición. No sé, me parece un poco desprolijo. Hubiese escrito [texx]a=\text{Libro de mayor tamaño}\in\mathcal{U}[/texx] o decime vos. ¿Cómo lo ves?

En mi opinión ya está bien como lo ha escrito tu profesor. Me parece algo más claro que tu propuesta, pero la verdad es que no creo que sea algo demasiado importante. La cuestión es que se entienda lo que quieres decir, y en los dos casos se entiende.

Cita
No me queda bien en claro a qué te referís con "los modelos "pretendidos"". ¿Podrías detallarlo?

Quería decir que con tu formalización puedes pensar en modelos donde la interpretación de [texx]s[/texx] es un conjunto con más de un elemento. Por modelos "pretendidos", me refería a aquellos en los que el universo del modelo es un conjunto de libros y [texx]s[/texx] es realmente el libro de mayor tamaño. En esos modelos, la interpretación de [texx]s[/texx] será siempre un conjunto con un único elemento.

PD: Si no lo has hecho, échale un vistazo al hilo que puse sobre el juego de los números naturales, creo que te puede interesar.

De acuerdo. Muchas gracias!

Saludos
20  Matemática / Esquemas de demostración - Inducción / Re: Demostrar que \(n(n+1)/2\) es un número natural : 08/11/2019, 10:36:31 pm
Hola a todos

Muchas gracias por su ayuda! Logré comprenderlo.

Saludos
Páginas: [1] 2 3 ... 119
Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!