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1  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Subanillos : Ayer a las 07:08:28
Se considera la ecuación [texx]E:x^2-bx+c=0[/texx] con b y c enteros y tales que [texx]b^4-4ac<0[/texx].
Siendo a un número complejo, se define el conjunto [texx]{Z}_a[/texx] de los números complejos de la forma [texx]z=p+qa[/texx] con p y q enteros.
a)Demuestre que si a es una raíz de E, entonces [texx]{Z}_a[/texx] es un subanillo de los complejos.
b)Demuestre que si a es una raíz de E, entonces [texx]G_a[/texx], el conjunto de los elementos de [texx]{Z}_a[/texx] inversibles para la multiplicación es subgrupo multiplicativo
2  Matemática / Álgebra / Re: Ker de una aplicación lineal, apliación inyectiva : 06/02/2020, 08:14:39
Nada, ya he caído, tengo una empanada grandísima.
Podéis borrar la consulta
3  Matemática / Álgebra / Ker de una aplicación lineal, apliación inyectiva : 06/02/2020, 08:06:21
Tengo una duda muy tonta pero ahora no caigo
Siempre he visto que una aplicación lineal es inyectiva, si y solo si, el [texx]Kerf(x)=0[/texx]
Pero, buscando un contraejemplo, ¿Por qué no es inyectiva la aplicación [texx]f(x)=x-1[/texx]?
Gracias
4  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: ejercicio oposición 2019 : 29/01/2020, 11:03:56
Os cuento lo que se me ocurrió en caliente sin pensar mucho

Sabemos que si una función es invertible, es biyectiva, por lo que si multiplicamos por -1 nos quedaría
[texx]-f(x)\circ{f}(x)=Id[/texx]
Por lo tanto -f(x) es la inversa de f(x) por lo que f(x) es biyectiva.
5  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / ejercicio oposición 2019 : 28/01/2020, 16:30:36
Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales, y f una aplicación lineal de E en e tal que
[texx]f^2=-I[/texx]
a)Demostrar que es biyectiva
b)Demostrar que si [texx]A=\{x_1, x_2,...x_n,f(x_1),f(x_2),...,f(x_{n-1})\}[/texx] es un conjunto de vectores linealmente independientes, también [texx]B=\{x_1,x_2,...x_n,f(x_1),f(x_2),...,f(x_n)\}[/texx] es un conjunto de vectores linealmente independientes
6  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Integral : 28/01/2020, 16:12:53
Os cuento una discusión sobre una integral de un examen de oposición
Había que calular la integral de la parábola [texx](y-x)^2=x-3[/texx] cortada por la recta [texx]x=7[/texx]
La parábola tiene el vértice en el punto [texx](\displaystyle\frac{49}{16},\displaystyle\frac{45}{16})[/texx]
Un compañero ha integrado directamente [texx]\displaystyle\int_{3}^{7} (x+\sqrt[ ]{x-3})-(x-\sqrt[ ]{x-3})dx[/texx]
Por qué integrar entre esos dos puntos, y no entre [texx]\displaystyle\frac{49}{16}[/texx] y 7?







7  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Suma de Riemann y Stolz : 11/11/2019, 08:57:29
y por qué?
8  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Suma de Riemann y Stolz : 08/11/2019, 19:32:21
Tengo el límite
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{a_n=\sqrt[n]{\left( 1+\dfrac{2}{n}\right) \left( 1+\dfrac{4}{n}\right) \left( 1+\dfrac{6}{n}\right)...\left( 1+\dfrac{2n}{n}\right)}  } [/texx]

Si lo esctibo como suma de Riemann, el logaritmo del límite sería
[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{n}[Ln\left( 1+\dfrac{2}{n}\right)+Ln\left( 1+\dfrac{4}{n}\right)+\left( 1+\dfrac{6}{n}\right)+....\left( 1+\dfrac{2n}{n}\right)}][/texx] que es igual a la integral
[texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{1}^{3}Ln(x) \cdot dx=xln(x)-x[/texx] entre 1 y 3 por lo que
[texx]=\displaystyle\frac{1}{2}(3Ln3-3+1)=\displaystyle\frac{1}{2}Ln\displaystyle\frac{3^3}{e^2}=Ln\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{3^3}{e^2}}=[/texx]
Que al desacer el logaritmo del límite nos daría:
[texx]\displaystyle\frac{3\sqrt[ ]{3}}{e}[/texx]

Si lo hago por Stolz
[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[n ]{x_n}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{(n+3)(n+5)(n+7)...(3n+1)(3n+3)}{(n+1)^{n+1}}}{\displaystyle\frac{(n+2)(n+4)(n+6)...(3n)}{n^n}}=\displaystyle\frac{3}{e}[/texx]
Solo me falta el [texx]\sqrt[ ]{3}[/texx]
Tengo algún error?
Mañana lo edito para los pasos intermedios, pero se me hace tarde.
Gracias y un saludo
9  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: límite : 08/11/2019, 06:23:45
Me queda una expresión que a ver como se puede simplificar!

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{3n+3}+\displaystyle\frac{1}{3n+2}+\displaystyle\frac{1}{3n+1}-\displaystyle\frac{1}{2n+1}-\displaystyle\frac{1}{2n+2}}{\displaystyle\frac{-1}{n(n-1)}}}[/texx]
10  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / límite : 07/11/2019, 16:30:34
Es otra suma de Riemman, se parece a una que ya puse aquí, pero esta no me sale.
[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty} n \left(\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}+\dfrac{1}{2n+3}+...\dfrac{1}{2n+n}-Ln\dfrac{3}{2}
   \right) [/texx]
11  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Propuestos por todos / Re: Probabilidad elegidos números al azar entre 0 y 1 : 04/11/2019, 10:42:03


Entonces:

[texx]P(N=n)=P(N\geq n)-P(N\neq n+1)[/texx]

Saludos.
Es una errata, verdad?
12  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Propuestos por todos / Probabilidad elegidos números al azar entre 0 y 1 : 04/11/2019, 05:59:51
Cúal es el número medio de números que tenemos que elegir si, eligiendo números al azar entre 0 y 1 su suma sea mayor que 1.
Lo ví alguna vez resuelto, pero no recuerdo la solución.
13  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Suma de Riemann : 04/11/2019, 05:56:47
Gracias!!!!!
14  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Suma de Riemann : 04/11/2019, 04:31:55
Se puede hacer sin hacer el logaritmo, queda mejor.
[texx]x_n=\sqrt[n ]{a_n}[/texx] y entonces
[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[n ]{x_n}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{(n+2)(n+3)(n+4)...(n+1+n+1-1)(n+1+n+1)}{(n+1)^n}}{\displaystyle\frac{(n+1)(n+2)(n+3)...(n+n}{n^n}}=\displaystyle\frac{(2n+1)(2n+2)n^n}{(n+1)(n+1)^{n+1}}=\displaystyle\frac{4}{e}[/texx]
15  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Suma de Riemann : 03/11/2019, 06:34:24
Haciendo un ejercicio de oposiciones que dice, calcular el límite de la sucesión
[texx]x_n=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt[n ]{(n+1)(n+2)(n+3).......(n+n)}}{n}}[/texx]
Yo sé hacer el ejercicio dándose cuenta que se puede expresar por una suma de Riemann, haciendo el logaritmo del límite y llegando a la integral [texx]\displaystyle\int_{0}^{1}Ln(1+x) dx[/texx]
Pero a una compañera le han pasado el ejercicio resuelto por otra persona que le dice.
Por un teorema si [texx] \exists{\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[n]{a_n}}\longrightarrow{\exists{\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}}}}}[/texx] y son iguales!
Qué teorema?
16  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Re: Olimpiada matemática 2000 sucesión recurrente : 24/10/2019, 03:51:14
Si solucionar el problema viendo que módulo 100 se van alternando si lo se.
y se solucionar recurencias estilo [texx]a_n=a_{n+1}+2a_{n+2}[/texx]. Se busca su ecuación característica, y dependiendo de sus raices sale la solución general, que después con las condiciones de contorno se arreglan.
En este ejemplo la ecuación sería [texx]r^2-r-2[/texx] que daría de raíces 2 y -1 con lo que la recurrencia quedaría como
[texx]a_n=c_1 (-1)^n+c_2 2^n[/texx]
Lo que estaba preguntando es si existe alguna forma similar cuando tenemos esta ecuación con un cuadrado.
Gracias!
17  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Olimpiada matemática 2000 sucesión recurrente : 22/10/2019, 15:43:47
Una duda que tengo sobre este ejercicio.
considerese la sucesión definida por [texx]a_1= 3[/texx] y [texx]a_{n+1}=a_n+a_n^2[/texx] determínense las dos últimas cifras de [texx]a_{2000}[/texx]
Quería preguntar si hay alguna forma de conseguir el término general de la sucesión, lo se hacer con una ecuación en recurrencias lineal, pero no con esta. Existe una forma?
18  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / De oposición y olimpíadas / Raíces de un polinomio y de su derivado : 24/08/2019, 06:01:27
Tengo una duda sobre la resolución de un ejercicio de las oposiciones de Galicia de 2019.
El problema dice, consideramos los polinomios [texx]P(x)=x^3+Ax^2+Bx+C[/texx] y [texx]Q(x)=3x^2+2Ax+B[/texx]. a,b y c son las raices de P, las raíces de q son [texx]\displaystyle\frac{a+b}{2}[/texx] y [texx]\displaystyle\frac{b+c}{2}[/texx]. Determinar todos los polinomios posibles P y Q.
Aparte de buscar la solución, que creo que sale de diferentes formas, una persona ha subido su solución y ha puesto, "es sabido que el baricentro de las raices de un polinomio coincide con el de su polinomio derivado", y no he encontrado esta propiedad, parece correcta, pero no estoy seguro.
Gracias
19  Disciplinas relacionadas con la matemática / Foro general / División en LATEX o Word : 23/08/2019, 04:49:02
Quería hacer una serie de divisiones sucesivas, para hacer un ejercicio de cambio de base, pero no se como escribir el grafo de la división, ni en word ni en LATEX, como se hace?
gracias
20  Revista, Técnicas, Cursos, Problemas / Problemas y Desafíos / Re: Función de densidad : 07/08/2019, 03:18:18
Está mal el enlace
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