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1  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie con notación ''o'' pequeña. : 16/02/2019, 04:43:00 pm
Muchas gracias Masacroso,

Saludos.
2  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie con notación ''o'' pequeña. : 14/02/2019, 07:04:21 pm
Gracias Masacroso, leí su demostración y está genial, pero hay una duda que tengo. ¿Qué significado tiene la función [texx]f(x)[/texx] que emplea?

Voy a escribir la demostración que tengo yo.

Tenemos que [texx]\displaystyle\frac{1}{cos(x)}=\displaystyle\frac{1}{1+(cos(x)-1)}=1-(cos(x)-1)+o(cos(x)-1)[/texx]  [texx]x\rightarrow{0}[/texx]  empleando la fórmula.

Ahora [texx]cos(x)=1-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+o(x^3)[/texx]. Reemplazando, [texx]\displaystyle\frac{1}{1+(1-\displaystyle\frac{x^2}{2}+o(x^3)-1)}=\displaystyle\frac{1}{1-\displaystyle\frac{x^2}{2}+o(x^3)}=1-(1-\displaystyle\frac{x^2}{2}+o(x^3)-1)+o(\displaystyle\frac{-x^2}{2}+o(x^3))[/texx] [texx]=1+\displaystyle\frac{x^2}{2}-o(x^3)+o(\displaystyle\frac{-x^2}{2})+o(f(x))[/texx]. Aquí me quiero detener y explicar que [texx]f(x)[/texx] es una función desconocida [texx]o(x^3)[/texx]. Vale decir [texx]f(x)[/texx] en un entorno de cero converge a cero más rápidamente que [texx]x^3[/texx], por lo tanto la expresión final es  [texx]o(\displaystyle\frac{-x^2}{2}+f(x))[/texx] y aplicando la propiedad [texx]o(f(x)+g(x))=o(f(x))+o(g(x))[/texx], tenemos finalmente que la expresión es igual a [texx]1+\displaystyle\frac{x^2}{2}-o(x^3)+o(\displaystyle\frac{-x^2}{2})+o(f(x))[/texx]. Repitiendo lo anterior, sea [texx]g(x)=o(f(x))[/texx], vale decir [texx]g(x)[/texx] converge a cero, en un entorno de cero más rápidamente que [texx]f(x)[/texx]. Por lo tanto [texx]g(x)=o(x^3)[/texx] también. La expresión es igual a [texx]1+\displaystyle\frac{x^2}{2}-o(x^3)+o(\displaystyle\frac{-x^2}{2})+o(x^3)[/texx]. Por las propiedades de [texx]o[/texx], [texx]-o(x^3)=o(x^3)[/texx], [texx]o(\displaystyle\frac{-x^2}{2})=o(x^2)[/texx], [texx]o(x^3)+o(x^3)=o(x^3)[/texx], y [texx]o(x^2)+o(x^3)=o(x^2)[/texx], se llega finalmente a [texx]\displaystyle\frac{1}{cos(x)}=1+\displaystyle\frac{x^2}{2}+o(x^2)[/texx]

Ojalá esté en lo correcto, agradezco cualquier comentario.

Saludos y muchísimas gracias.
3  Matemática / Cálculo 1 variable / Serie con notación ''o'' pequeña. : 13/02/2019, 07:20:02 pm
Hola: ¿cómo están?

Los últimos días he estado estudiando las series de Taylor con notación de [texx]o[/texx] pequeña de Landau.

Encontré en un libro de Cálculo un ejercicio en donde me piden la serie de [texx]\displaystyle\frac{1}{cos(x)}[/texx]. en ella se utiliza la siguiente fórmula:

[texx]\displaystyle\frac{1}{1+g(x)}=1-g(x)+o(g(x))[/texx]     si     [texx]g(x)\rightarrow{0}[/texx] cuando [texx]x\rightarrow{a}[/texx]

Utilizando el desarrollo de [texx]cos(x)[/texx]      [texx]\displaystyle\frac{1}{cos(x)}=\displaystyle\frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+o(x^3)}=1+\displaystyle\frac{1}{2}x^2+o(x^2)[/texx]    cuando [texx]x[/texx] tiende a [texx]0[/texx].

¿Podrían ayudarme cómo se llega al último paso?

Les agradezco enormemente.   Saludos.
4  Matemática / Cálculo 1 variable / Polinomio de Taylor : 26/01/2019, 09:30:30 pm
Hola:

El polinomio de Taylor de [texx]f(x)=e^{x^2}[/texx] de segundo orden es:

[texx]e^{x^2}=1+x^2+\displaystyle\frac{x^3}{3!}e^{z^2}(12z+8z^3)[/texx]  con  [texx]0<z<x[/texx].  Tomando [texx]x=0.5[/texx] dá [texx]z=0.1322032[/texx].


Sea [texx]e^y=1+y+\displaystyle\frac{y^2}{2!}e^z[/texx] y reemplacemos [texx]y=x^2[/texx].

Se tiene [texx]f(x^2)=e^{x^2}[/texx]   con [texx]e^{x^2}=1+x^2+\displaystyle\frac{x^4}{2!}e^z[/texx]  con [texx]0<z<x^2[/texx]  o bien si [texx]z=w^2[/texx]

 [texx]e^{x^2}=1+x^2+\displaystyle\frac{x^4}{2!}e^{w^2}[/texx]  con [texx]0<w<x[/texx].  Si [texx]x=0.5[/texx]  [texx]w=0.29169919[/texx].


¿Mi pregunta es si ambos métodos son válidos para calcular el error cometido al aproximar [texx]e^{x^2}[/texx] por un polinomio?


Muchas Gracias
5  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Teorema de Taylor e inducción matemática. : 10/01/2019, 11:03:22 pm
Buenas noches.

He estado estudiando hoy el problema, y creo saber en donde cometo el  error. El teorema tiene 3 condiciones como hipótesis, y obviamente no las estoy respetando. Es decir, estoy demostrando por inducción una propiedad, pero dicha propiedad se satisface si se cumplen las hipótesis del teorema.

Dado que se cumplen las hipótesis del teorema, es que puedo demostrar que dicha propiedad se cumple para todo [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] por inducción.

Por ejemplo para el paso inductivo se supone que el teorema es verdadero para [texx]n=k[/texx] (es decir, se cumplen todas las hipótesis del teorema). Por lo tanto es verdadero [texx]R_k=\displaystyle\int_{a}^{x}(x-t)^kf^{(k+1)}(t)dt[/texx]    y directamente se prueba que  [texx]R_{k+1}[/texx]  es verdadero. 



Por favor algún comentario.


Muchísimas gracias.                                                                                                                                                 
6  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Teorema de Taylor e inducción matemática. : 09/01/2019, 03:36:45 pm
Hola Masacroso:

Sabe que no contesté antes por falta de argumentos. Es primera vez que hago este tipo de demostración ya que en mi libro de Cálculo y en general en este tema no se hace referencia a vacuidad. De todas formas me interesa, así que voy a tratar de escribir lo que entiendo.

Demostrar por inducción que [texx]R_n(x)=\displaystyle\frac{1}{n!}\displaystyle\int_{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt[/texx] y supongamos que [texx]f[/texx] admite derivadas continuas hasta orden [texx]7[/texx].

El caso base [texx]R_1[/texx] es válido por lo demostrado anteriormente. Queda probar que  [texx]R_n[/texx] implica [texx]R_{n+1}[/texx] es verdadera para todo[texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx].

Tenemos que dado [texx]R_1[/texx] verdadero tenemos que [texx]R_2[/texx]   es verdadero. Dado que [texx]R_2[/texx] es verdadero  tenemos que [texx]R_3[/texx]  es verdadero. Dado que [texx]R_3[/texx]  es verdadero [texx]R_4[/texx]  es verdadero . Dado que [texx]R_4[/texx]  es verdadero [texx]R_5[/texx]  es verdadero. Dado que [texx]R_5[/texx]  es verdadero, [texx]R_6[/texx] es verdadero.   

El caso [texx]R_6[/texx], [texx]R_7[/texx]  tengo una confusión. [texx]R_7[/texx]  no existe pues toma derivada [texx]f^{(8)}[/texx]   la cual no es continua. ¿Qué hago aquí?

De aquí en adelante : Dado que [texx]R_8[/texx] es falsa, esto implica [texx]R_9[/texx]  verdadero por vacuidad. Dado que [texx]R_9[/texx]   es falsa, implica  [texx]R_{10}[/texx] verdadero por  vacuidad, y así en adelante.

Por lo tanto  todo natural cumple la propiedad [texx]R_n[/texx]    (A excepción del caso [texx]R_6[/texx]  [texx] R_7[/texx]    )     

No sé si está bien, pues hay conceptos que no había visto nunca, o puede ser que haya cosas buenas y otras malas.

Atento a comentarios por favor,

Muchísimas gracias.                                                                                                                                           
7  Matemática / Cálculo 1 variable / Teorema de Taylor e inducción matemática. : 06/01/2019, 09:08:40 pm

Hola, tengo una demostración que me genera algunas dudas así es que la voy a desarrollar.


Teorema de Taylor: Supóngase que [texx]f[/texx] es [texx]n[/texx] veces derivable en un intervalo [texx]I[/texx] que contiene a [texx]x_0[/texx], donde [texx]x\neq{x_0}[/texx] y [texx]f^{n+1}(x)[/texx] existe para todo[texx]x[/texx] de [texx]I[/texx], entre [texx]x[/texx], [texx]x_0[/texx]. Si [texx]T_n[/texx] y [texx]R_n[/texx] están bien definidos, entonces existe un [texx]t\in{I}[/texx]  tal que [texx]R_n(x)=\displaystyle\int_{x_0}^{x}{(x-t)^n}\displaystyle\frac{f^{n+1}(t)}{n!}dt[/texx].

Demostración: Se hará por inducción. Para [texx]n=1[/texx] [texx]R_1(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)[/texx] de donde      [texx]R_1(x)=\displaystyle\frac{1}{1!}((x-x)f'(x)-(x-x_0)f'(x_0)+\displaystyle\int_{x_0}^{x}f'(t)dt)[/texx], luego         [texx]R_1(x)=\displaystyle\frac{1}{1!}(((x-t)f'(t))|_{x_0}^{x}-\displaystyle\int_{x_0}^{x}f'(t)(-dt))[/texx]   y   
      [texx]R_1(x)=\displaystyle\frac{1}{1!}\displaystyle\int_{x_0}^{x}(x-t)f''(t)dt[/texx]     

Ahora se supondrá que es válido para un natural [texx]k[/texx], es decir      [texx]R_k(x)=\displaystyle\int_{x_0}^{x}(x-t)^k\displaystyle\frac{f^{k+1}(t)}{k!}dt[/texx]  y veremos si es válido para [texx]k+1[/texx]


[texx]\displaystyle\int_{x_0}^{x}(x-t)^{k+1}\displaystyle\frac{f^{k+2}(t)}{(k+1)!}dt[/texx]           [texx]=[/texx]   [texx]\displaystyle\frac{1}{(k+1)!}((((x-t)^{k+1}f^{k+1}(t))|_{x_0}^{x}+(k+1)\displaystyle\int_{x_0}^{x}(x-t)^{k}f^{k+1}(t)dt)[/texx]    [texx]=[/texx]             [texx]\displaystyle\frac{1}{(k+1)!}((x-x)^{k+1}f^{k+1}(x)-(x-x_0)^{k+1}f^{k+1}(x_0)+(k+1)\displaystyle\int_{x_0}^{x}(x-t)^{k}f^{k+1}(t)dt)[/texx]              [texx]=-\displaystyle\frac{(x-x_0)^{k+1}f^{k+1}(x_0)}{(k+1)!}+R_k[/texx]   

 [texx]=-\displaystyle\frac{(x-x_0)^{k+1}f^{k+1}(x_0)}{(k+1)!}+f(x)-T_{k}(x)[/texx]            [texx]=-\displaystyle\frac{(x-x_0)^{k+1}f^{k+1}(x_0)}{(k+1)!}+f(x)-\displaystyle\sum_{i=0}^k{\displaystyle\frac{f^{i}(x_0)}{i!}}(x-x_0)^{i}[/texx]    =          [texx]f(x)-\displaystyle\sum_{i=0}^{k+1}{\displaystyle\frac{f^{i}(x_0)}{i!}}(x-x_0)^{i}[/texx]    [texx]=[/texx]   
     
  [texx]f(x)-T_{k+1}(x)=R_{k+1}(x)[/texx]


Se ha probado por inducción que para cualquier natural el residuo cumple con la integral deseada. Pero lo que no comprendo es qué ocurre cuando una función determinada no posee derivada más allá de un [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] determinado. ¿Sigue siendo la inducción un método para demostrar que una propiedad se cumple hasta un determinado [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] finito?.

Por ejemplo la hipótesis del problema establece [texx]f[/texx] es [texx]n[/texx] veces derivable en [texx]I[/texx]. No sé si esto equivale a decir que [texx]f[/texx] tiene como mínimo la existencia de las primeras [texx]n[/texx] derivadas en [texx]I[/texx], como puede suceder que las haya de orden superior. Y aquí me vuelve a surgir la duda de si el método de inducción se puede utilizar para conjuntos finitos de numeros naturales.

A ver si me pueden ayudar por favor,

Muchísimas gracias.
8  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie de potencias con valor cero en un intervalo. : 02/01/2019, 01:19:20 pm
Muchas gracias Masacroso por revisar mi demostración.

Analizaré con mayor profundidad la demostración que Ud. plantea, ya que hay algunas cosas en las que tengo dudas.

Gracias nuevamente

Saludos
9  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie de potencias con valor cero en un intervalo. : 01/01/2019, 09:26:55 am
Gracias Don Fernando.

Hola Masacroso.

Investigué y encontré algo que me puede servir. Agregué algunas cosas para ver si estoy en lo correcto.

Suponga que [texx]f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{b_nx^n}[/texx]    converge para [texx](-R,R)[/texx] y además [texx]f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{b_nx^n}=0[/texx]  para [texx](-S,S)[/texx] con [texx]0<S<R[/texx]. Entonces [texx]b_n=0[/texx]   [texx]\forall{n}\in{\mathbb{N}}[/texx].


Asumamos por contradicción que existe un mínimo [texx]n[/texx] tal que [texx]b_n\neq{0}[/texx]. Es decir [texx]f(x)=\displaystyle\sum_{k=n}^\infty{b_kx^k}[/texx] converge en [texx](-R,R)[/texx],
 [texx]\displaystyle\frac{1}{x}\cdot{\displaystyle\sum_{k=n}^\infty{b_kx^k}}[/texx] [texx]=\displaystyle\sum_{k=n}^\infty{b_kx^{k-1}}[/texx]  [texx]=\displaystyle\sum_{k=n-1}^\infty{b_{k+1}x^k}[/texx]  converge en [texx](-R,R)[/texx].

Nuevamente, [texx]\displaystyle\frac{1}{x}\cdot{\displaystyle\sum_{k=n-1}^\infty{b_{k+1}x^k}}[/texx]  [texx]=\displaystyle\sum_{k=n-1}^\infty{b_{k+1}x^{k-1}}[/texx]  [texx]=\displaystyle\sum_{k=n-2}^\infty{b_{k+2}x^k}[/texx]    converge en [texx](-R,R)[/texx].

Procediendo de la misma manera [texx]\displaystyle\sum_{k=n-n}^\infty{b_{k+n}x^k}[/texx]     [texx]=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{b_{k+n}x^k}[/texx]    converge en [texx](-R,R)[/texx]


Sea [texx]h(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{b_{k+n}x^k}[/texx]

Tenemos entonces que [texx]f(x)=x^n\cdot{h(x)}[/texx]    y             [texx]f(x)=x^n\cdot{h(x)}=0[/texx]   en   [texx]0<|x|<S[/texx]    de esto último    [texx]h(x)=0[/texx]   en    [texx]0<|x|<S[/texx]


Por continuidad en el interior del intervalo de convergencia  de [texx]h(x)[/texx]  se tiene que [texx]h(0)=0[/texx]. Se concluye que [texx]b_n=0[/texx]. Produciéndose una contradicción y la no existencia de tal mínimo.


Me podrían decir por favor si es correcto.

Muchísimas gracias y un feliz año 2019.
10  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie de potencias con valor cero en un intervalo. : 29/12/2018, 08:05:32 pm
Hola Masacroso:

Investigaré lo que Ud. me señala. Si no tengo suerte le vuelvo a preguntar,

Muchísimas gracias

Saludos
11  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie de potencias con valor cero en un intervalo. : 29/12/2018, 05:00:45 pm
Hola Don Fernando:

Si [texx]f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{c_kx^k}[/texx]   [texx]R>0[/texx]

Entonces: [texx]f'(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{\displaystyle\frac{k!}{(k-1)!}c_kx^{k-1}}[/texx]  [texx]R>0[/texx],

y en general [texx]f^{(n)}(x)=\displaystyle\sum_{k=n}^\infty{\displaystyle\frac{k!}{(k-n)!}c_kx^{k-n}}[/texx]   [texx]R>0[/texx]



Ahora [texx]f(0)=c_0\cdot{0^0}=c_0[/texx]. Los términos restantes se cancelan pues cero está elevado a un natural distinto de cero.

[texx]f'(0)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{\displaystyle\frac{k!}{(k-1)!}c_k\cdot{0}^{k-1}}[/texx]   [texx]=[/texx]  [texx]c_1[/texx]  Los términos restantes se cancelan para [texx]0^{k-1}[/texx] donde [texx]k\neq{1}[/texx]

En general [texx]f^{(n)}(0)=\displaystyle\sum_{k=n}^\infty{\displaystyle\frac{k!}{(k-n)!}c_k\cdot{0^{k-n}}}[/texx]   [texx]=[/texx]    [texx]n!c_n[/texx]  . Los demás términos se cancelan si[texx]k\neq{n}[/texx].





Ahora, como [texx]f(x)=0[/texx]   en [texx](-S,S)[/texx]   tenemos por lo tanto para cualquier derivada [texx]n[/texx],   [texx]f^{(n)}(x)=0[/texx]. Se deduce que los coeficientes [texx]c_n=0[/texx]   para todo [texx]n[/texx].

Como los coeficientes son cero en [texx](-S,S)[/texx], también son cero en [texx](-R,R)[/texx] por tratarse de la misma serie de potencias. Y también son cero en [texx]\mathbb{R}[/texx].   (Me podrían confirmar la última idea acerca de los coeficientes cero)

Atento a correcciones y comentarios

Muchísimas gracias.
12  Matemática / Cálculo 1 variable / Serie de potencias con valor cero en un intervalo. : 29/12/2018, 02:25:59 pm
Hola ¿qué tal?

Me gustaría que me ayudaran (o que me dieran alguna pista) de cómo probar lo siguiente:

Sea [texx]f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{c_kx^k}[/texx]  una serie de potencias con radio de convergencia [texx]R>0[/texx], y con la propiedad que [texx]f(x)=0[/texx]  para todo  [texx]|x|<S[/texx]   donde  [texx]0<S<R[/texx]  ( o   [texx]0<S\leq{R}[/texx] si es que influye). Probar que [texx]c_k=0[/texx],  para todo [texx]k[/texx].

A ver si me dan alguna pista por favor,

Muchas gracias.
13  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie de potencia de función discontinua. : 23/12/2018, 04:00:28 pm
Muchas gracias Masacroso, muchas gracias manooooh,

Con el mensaje Añadido, veo ambos problemas mas sencillos.

Nuevamente gracias y saludos.
14  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie de potencia de función discontinua. : 21/12/2018, 10:02:26 pm
Hola, muchas gracias,

tengo otro ejercicio:

[texx]f(t)=\begin{cases} \displaystyle\frac{tan^{-1}(t)}{t} & \text{si}& t\neq{0}\\1 & \text{si}& t=0\end{cases}[/texx]

[texx]f(t)=\begin{cases}\displaystyle\frac{ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{(-1)^n \displaystyle\frac{t^{2n+1}}{2n+1}}}{t} & \text{si}& t\neq{0}\\1& \text{si}& t=0\end{cases}[/texx]

[texx]=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {\displaystyle\frac{(-1)^n t^{2n}}{2n+1}}[/texx]       [texx]\forall{t\in{(-1,1)}}[/texx]


Me gustaría saber si puedo ocupar esta última serie para evaluar la función original en todo el intervalo [texx](-1,1)[/texx] incluyendo el cero.
Yo tengo entendido que si para cada punto de un dominio existen dos funciones con exactamente igual recorrido, quiere decir que las funciones han de ser iguales. El caso de esta última serie, representa tanto a [texx]tan^{-1}/t[/texx] para los casos en que [texx]t\in{(-1,1)}[/texx] excluyendo el cero, y representa a [texx]1[/texx] si [texx]t=0[/texx]

Muchas gracias y atento a comentarios.
15  Matemática / Cálculo 1 variable / Serie de potencia de función discontinua. : 21/12/2018, 07:49:55 pm
Hola, tengo un ejercicio que dice lo siguiente:

Si [texx]f(t)=\begin{cases} \displaystyle\frac{e^t-1}{t} & \text{si}& t\neq{0}\\1& \text{si}& t=0\end{cases}[/texx]

Demuestre que [texx]f(t)[/texx] es continua en [texx]0[/texx]. Utilizando series de  potencias.

Lo que he realizado es: [texx]f(t)=\begin{cases}\displaystyle\frac{(1+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{t^n}{n!}-1})}{t}  & \text{si}& t\neq{0}\\1 & \text{si}& t=0\end{cases}[/texx]

 [texx]=[/texx]  [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{t^{n-1}}{n!}}[/texx]  [texx]\forall{t}[/texx].

Claramente esta serie de potencias sirve para [texx]t\neq{0}[/texx], pero ¿porqué también sirve para [texx]t=0[/texx], si es donde hay discontinuidad?.

A ver si me pueden ayudar por favor

Muchas gracias y saludos
16  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Intervalos anidados. : 21/12/2018, 07:11:27 pm
Muchas gracias manooooh

Saludos.
17  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Intervalos anidados. : 20/12/2018, 12:25:31 am
Gracias manooooh y gracias Don Luis:

Quisiera saber si mi duda tiene algo que ver con lo siguiente que encontré:

[texx]A\subseteq{B}[/texx]      y        [texx]\forall{x}(x\in{A\rightarrow{x\in{B}}})[/texx]   es lo mismo (usando cuantificadores).

Muchas gracias

Saludos.
18  Matemática / Cálculo 1 variable / Intervalos anidados. : 18/12/2018, 11:21:18 pm
Hola, buenas noches:

Estoy estudiando el teorema de los intervalos anidados, y hay algunos conceptos que no entiendo.

Teorema: Sea [texx]A=\{a_n: n\in{\mathbb{N}}\}[/texx]  y   [texx]B=\{b_n: n\in{\mathbb{N}}\}[/texx]. Si [texx]sup A=\alpha[/texx]   e   [texx]inf B=\beta[/texx],   entonces si el intervalo [texx]I_n=[a_n,b_n][/texx]    es una sucesión de intervalos cerrados, acotados y anidados entonces se tiene [texx][\alpha,\beta]= \bigcap_{n=1}^{\infty}{I_n}[/texx].

Demostración: Primero se probará que [texx][\alpha,\beta]\subseteq{ \bigcap_{n=1}^{\infty}{I_n}}[/texx].
Sea [texx]x\in{[\alpha,\beta]}=\{x\in{\mathbb{R}}:\alpha\leq{x\leq{\beta}}\}[/texx]. Pero [texx]a_n\leq{\alpha}[/texx] para todo [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] (por definición de supremo) y [texx]\beta\leq{b_n}[/texx] para todo [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx]  (por definifión de ínfimo). Así [texx]a_n\leq{\alpha\leq{x\leq{\beta\leq{b_n}}}}[/texx] para todo [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx]. Por lo tanto [texx]x\in{[a_n,b_n]}[/texx] para todo [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx], o dicho de otro modo [texx]x\in{ \bigcap_{n=1}^{\infty}{I_n}}[/texx]. Por lo tanto, [texx][\alpha,\beta]\subseteq{ \bigcap_{n=1}^{\infty}{I_n}}[/texx]


i)¿Qué significa el símbolo [texx]\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_n}[/texx]?
ii)Entiendo los pasos pero ¿por qué se concluye que [texx][\alpha,\beta]\subseteq{ \bigcap_{n=1}^{\infty}{I_n}}[/texx] a partir de lo expuesto?

Segundo, se probará que [texx] \bigcap_{n=1}^{\infty}{I_n}\subseteq{[\alpha,\beta]}[/texx]
Sea [texx]x\in{\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_n}}[/texx]. Entonces [texx]a_n\leq{x\leq{b_n}}[/texx] para todo [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx]. También se tiene [texx]a_n\leq{\alpha\leq{\beta\leq{b_n}}}[/texx] para todo [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx]. Suponga que [texx]x[/texx] es tal que [texx]a_n\leq{x\leq{\alpha}}[/texx]. Debido a que [texx]\alpha [/texx]    es supremo de [texx]A[/texx] entonces existe un elemento [texx]a_x \in\{a_n:n\in{\mathbb{N}}\}[/texx] tal que [texx]x<a_x[/texx], de tal forma que [texx]x\not\in{[a_x,b_x]}[/texx] y tampoco a [texx]x\not\in{\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_n}}[/texx] (contradicción). Suponga ahora que [texx]x[/texx] es tal que [texx]\beta\leq{x\leq{b_n}}[/texx]. Como [texx]\beta[/texx] en ínfimo de [texx]B[/texx], entonces existe un [texx]b_x \in\{b_n:n\in{\mathbb{N}}\}[/texx] tal que [texx]b_x<x[/texx], y así [texx]x\not\in{[a_x,b_x]}[/texx]  y  [texx]x\not\in{\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_n}}[/texx]  (contradicción). Por lo tanto debemos tener [texx]a_n\leq{\alpha\leq{x\leq{\beta\leq{b_n}}}}[/texx] y [texx]x\in{[\alpha,\beta]}[/texx] y así [texx]\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_n}\subseteq{[\alpha,\beta]}[/texx]


iii)Aquí nuevamente no entiendo la conclusión final ([texx]\bigcap_{n=1}^{\infty}{I_n}\subseteq{[\alpha,\beta]}[/texx]), entiendo todos los pasos en las  demostraciones, pero en las conclusiones estoy mal).

Por favor, a ver si me pueden dar una ayuda.

Muchísimas gracias

19  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente : 18/12/2018, 09:42:49 pm
Buenas Noches,

Quisiera agradecer (aunque algo tardío), a Masacroso, Don Juan Pablo, y Don Luis, por haberme ayudado con mis dudas. Entendí la mayoría de los mensajes, con la salvedad del Principio de Definición Recursiva, pero no es algo tan importante ya que no es analizado por el libro de Cálculo del cual me guío. Sólo quería entender que significaba construir una sucesión por inducción. Lo cual fue explicado por Don Luis.

Muchísimas gracias.

Saludos.
20  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente : 11/12/2018, 11:33:01 pm
Buenas noches:

Hay una parte en donde Ud. señala que al construir el siguiente intervalo [texx]I_{n+1}[/texx] con las condiciones indicadas, se garantiza la existencia de una sucesión infinita [texx]\{I_n\}[/texx] con las condiciones indicadas. Me gustaría detenerme  allí, que es donde tengo algunos vacíos conceptuales.

Voy a tratar de probar esto último.

Sea [texx]S[/texx] el conjunto de los intervalos que satisfacen las propiedades a) y b)  señaladas anteriormente.

1. Supongamos que [texx]I_0[/texx] pertenece al conjunto.
2. Supongamos que si [texx]I_0, I_1, I_2,...., I_k[/texx]  pertenecen al conjunto, entonces [texx]I_{k+1}[/texx] también pertenece al conjunto.   

Entonces [texx]S=I_n[/texx] [texx]\forall{n\in{\mathbb{N}}}[/texx] 

Demostración:

Sea [texx]T[/texx]  el conjunto de intervalos que no están en [texx]S.[/texx] Suponemos que [texx]T[/texx] es no vacío.  Por lo tanto debe contener un primer intervalo. Sea este intervalo [texx]I_{\alpha}[/texx].

De 1) [texx]I_0<I_{\alpha}[/texx] (aquí me refiero a que el intervalo [texx]I_0[/texx] está antes que el intervalo [texx]I_{\alpha}[/texx] en el proceso de subdivisión).
Debido a que [texx]I_{\alpha}[/texx]  es el primer intervalo en [texx]T[/texx] , esto implica que [texx]I_0,I_1,.....,I_{\alpha-1} \not\in{T}[/texx]  lo cual significa que     [texx]I_0,I_1,.....,I_{\alpha-1} \in{S}[/texx] 

De 2) [texx]S[/texx]  debe contener a [texx]I_{\alpha-1+1}=I_{\alpha}[/texx] Produciéndose una contradicción con  [texx]I_{\alpha}\in{T}[/texx]. Por lo tanto [texx]T[/texx] es vacío y      [texx]S=I_n[/texx] [texx]\forall{n\in{\mathbb{N}}}[/texx] 

Me gustaría saber como evalúa esta demostración, por favor, ya que no estoy del todo seguro.

Muchísimas gracias.                                                                                 
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