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1  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Recta contenida en un conjunto. : 30/06/2019, 05:25:15 pm
Gracias Mateman, debo disculparme por haber estado tanto tiempo desconectado del foro, y no haber leído tu último escrito a tiempo.
Luis me ha dado una respuesta donde me ha quedado todo bien claro.

Gracias nuevamente

Saludos.
2  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Recta contenida en un conjunto. : 20/06/2019, 02:00:01 pm
Muchas gracias,

Saludos.
3  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Recta contenida en un conjunto. : 18/06/2019, 09:12:12 pm
Muchas gracias, de gran utilidad.

Sólo una pregunta,

¿Existen rectas que satisfagan [texx]x^2+y^2-z^2=1[/texx], y que no estén incluidas en 1) [texx]\begin{cases} x-z=a(1-y) & \text{}&\\a(x+z)=1+y & \text{}& \end{cases}[/texx]ó en 2) [texx]\begin{cases} x+z=a(1-y) & \text{}& \\a(x-z)=1+y & \text{}& \end{cases}[/texx]?

Muchas gracias.
4  Matemática / Cálculo varias variables / Re: Recta contenida en un conjunto. : 14/06/2019, 10:48:50 pm
Hola Mateman, hola ingmarov,

muchas gracias, entendido,

Saludos
5  Matemática / Cálculo varias variables / Recta contenida en un conjunto. : 14/06/2019, 09:15:40 pm
Hola:

Tengo un problema, que dice lo siguiente:

Hallar una línea que se encuentre totalmente en el conjunto definido por la ecuación [texx]x^2+y^2-z^2=1[/texx]

Según el autor de la respuesta al ejercicio, señala que la línea debe ser oblicua y que no puede ser paralela a ningún plano coordenado [texx](xz, yz, xy)[/texx].

Bueno, con respecto a ésto último, había pensado que la recta no puede ser paralela al plano [texx]xy[/texx], ya que para diferentes valores de [texx]z[/texx], la linea recta describiría una circunferencia.
Sin embargo, la recta descrita por [texx](1,0,0)+t(0,1,1)[/texx]  [texx]t\in{\mathbb{R}}[/texx] es paralela al plano  [texx]yz[/texx], y satisface la ecuación.

Deseo saber si el autor está bien en lo que señala, o si estoy yo equivocado.

Muchas gracias

Saludos.
6  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Ecuaciones Paramétricas y Cicloide : 30/05/2019, 10:41:06 pm
Ok,  Muchas Gracias Delmar,

Saludos.
7  Matemática / Cálculo 1 variable / Ecuaciones Paramétricas y Cicloide : 30/05/2019, 08:44:05 pm
Hola ¿qué tal?

Hay dos preguntas relacionadas con ecuaciones paramétricas que me gustaría hacer.

1) Si [texx]x=f(t)[/texx] es una función continua de [texx]t[/texx], e [texx]y=g(t)[/texx] es otra función continua de [texx]t[/texx]. ¿Por qué la curva [texx](x,y)[/texx] que describen estas dos ecuaciones en el plano cartesiano, también es continua?



2)

        La imagen que aparece en el diagrama es una cicloide. Entre ambos puntos [texx]P[/texx] sobre el eje [texx]x[/texx], la curva descrita por la cicloide es continua en un intervalo cerrado y no hay [texx]x[/texx] en el intervalo con dos o más imágenes. Es decir, la curva es una función. ¿Por qué para saber el área bajo la curva hay que recurrir a integración paramétrica, si ya sabemos que se trata de una función integrable continua en un intervalo cerrado?


Muchas Gracias.
8  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Ecuaciones Paramétricas : 29/05/2019, 08:02:03 pm
Ok, entendido,

Muchas Gracias,

Saludos.
9  Matemática / Cálculo 1 variable / Ecuaciones Paramétricas : 24/05/2019, 09:00:44 pm
Hola ¿qué tal?

Estoy estudiando ecuaciones paramétricas y tengo una duda sobre calcular el área bajo la curva que estas ecuaciones describen.

Sea [texx]y=f(x)[/texx] en [texx][a,b][/texx]   y   [texx]x=\phi(t)[/texx]   e   [texx]y=\gamma(t)[/texx]

Utilizado sustitución para integrales definidas:  [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(\phi(t))*\phi'(t)dt=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\gamma(t)*\phi'(t)dt[/texx]   con   [texx]\phi(t_1)=a[/texx]  y     [texx]\phi(t_2)=b[/texx].

No tengo claro porqué [texx]y=f(x)=f(\phi(t))=\gamma(t)[/texx], es decir por qué dadas dos ecuaciones paramétricas, [texx]f(\phi(t))=\gamma(t)[/texx].

Muchas gracias

Saludos.
10  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Longitud de arco de una curva plana. : 01/05/2019, 12:35:28 am
Gracias Juan Pablo:

Permíteme hacerte unas preguntas:

¿Qué ocurre con aquellas particiones en donde no están los [texx](t,t)[/texx]?, ¿Sólo debo tomar los [texx](x,y)[/texx] en aquellas particiones donde se encuentran los [texx](t,t)[/texx]?

¿Cuando señalas que [texx] \left\|{(x,y)-(t,t)}\right\|<\tau[/texx], entonces [texx]\left |{H(x,y)-H(t,t)}\right |<\displaystyle\frac{\epsilon}{b-a}[/texx]. ¿Debo incluir a todos los [texx](t,t)[/texx] de aquella partición. (con partición en este caso me refiero a [texx][t_{i-1},t_i]\times{[t_{i-1},t_i]}[/texx]?

Ojalá me haya dado a entender.

Muchas Gracias.
11  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Longitud de arco de una curva plana. : 29/04/2019, 10:18:24 pm
Hola ciberalfil: al leer tu último mensaje deduzco que entiendes la demostración que plantea Juan Pablo. ¿Podrías explicarme que significado tiene la expresión: [texx]H(x,y)=\sqrt[ ]{(F(x))^2+(G(y))^2}[/texx] y la expresión [texx]0< \left\|{(x,y)-(t,t)}\right\|<\tau[/texx], por favor?

Por otro lado, había comenzado con una demostración en mi mensaje anterior, y me gustaría terminarla para no dejarla inconclusa. Puede que esté mala, pero estoy seguro que algunos conceptos están bien.

Había quedado aquí:


[texx]\left |{\sqrt[ ]{(\triangle x_j)^2+(\triangle y_j)^2}-\sqrt[ ]{f'(t_j)^2+g'(t_j)^2}\triangle t_j}\right |[/texx] [texx]\leq{}[/texx] [texx]\sqrt[ ]{(\triangle x_j-f'(t_j)\triangle t_j)^2+(\triangle y_j-g'(t_j)\triangle t_j)^2}[/texx]  [texx]<[/texx]  [texx]\sqrt[ ]{2}\epsilon \triangle t_j[/texx]

Luego:     [texx]\left |{\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}{\sqrt[ ]{(\triangle x_j)^2+(\triangle y_j)^2}}-\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}{\sqrt[ ]{f'(t_j)^2+g'(t_j)^2}\triangle t_j}}\right |[/texx]  [texx]\leq{}[/texx] [texx]{\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}}[/texx]  [texx] \left |{{\sqrt[ ]{(\triangle x_j)^2+(\triangle y_j)^2}-\sqrt[ ]{f'(t_j)^2+g'(t_j)^2}\triangle t_j}}\right |[/texx]  [texx]<[/texx]  [texx]\sqrt[ ]{2}\epsilon \displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}{\triangle t_j}[/texx] [texx]=[/texx]  [texx]\sqrt[ ]{2}\epsilon (b-a)[/texx].

Ahora:  si [texx]n[/texx] es lo suficientemente grande y [texx]\delta[/texx] lo suficientemente pequeña, [texx]\left |{\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}{\sqrt[ ]{f'(t_j)^2+g'(t_j)^2}\triangle t_j}-\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt[ ]{f'(t)^2+g'(t)^2}dt}\right |<\epsilon[/texx], por lo tanto, [texx]\left |{{\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}{\sqrt[ ]{(\triangle x_j)^2+(\triangle y_j)^2}}-\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt[ ]{f'(t)^2+g'(t)^2}dt}} \right |[/texx] [texx]<[/texx] [texx](\sqrt[ ]{2}(b-a)+1)\epsilon[/texx]

Muchas Gracias
12  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Longitud de arco de una curva plana. : 28/04/2019, 09:50:42 pm
Hola ciberalfil:

Trataré de hacer la demostración con los datos que me has dado. En todo caso, lo que señala Juan Pablo  se ve bastante corto y simple. Aun no he visto funciones de varias variables, pero si continuidad uniforme. Trataré de verlo así:

Sea [texx]x=f(t),y=g(t) [/texx]  y  sea [texx]f'(t)[/texx]  y [texx]g'(t)[/texx] continuas en [texx][a,b][/texx] y también uniformemente continuas en dicho intervalo. Dado [texx]\epsilon>0[/texx], tomar [texx]\delta[/texx], tal que si [texx]s,t\in{[a,b]}[/texx] con [texx]|s-t|<\delta[/texx],  [texx]|f'(s)-f'(t)|<\epsilon[/texx]  y  [texx]|g'(s)-g'(t)|<\epsilon[/texx].  Sea [texx]a=t_0<t_1<....<t_n=b[/texx]

tal que [texx]t_{j+1}-t_j<\delta[/texx] con [texx]x_j=f(t_j)[/texx] e [texx]y_j=g(t_j)[/texx]. Además sea, [texx]\triangle x_j=x_{j+1}-x_j[/texx], [texx]\triangle y_j=y_{j+1}-y_j[/texx], [texx]\triangle t_j=t_{j+1}-t_j[/texx].

Por el teorema del valor medio, se tiene, [texx]\triangle x_j=f'(c)\triangle t_j[/texx], donde [texx]c\in{[t_j,t_{j+1}]}[/texx], por tanto, [texx]|f'(c)-f'(t_j)|<\epsilon[/texx], entonces,

[texx]|\triangle x_j-f'(t_j)\triangle t_j|<\epsilon \triangle t_j[/texx]  y  [texx]|\triangle y_j-g'(t_j)\triangle t_j|<\epsilon \triangle t_j[/texx]   entonces

[texx]|\sqrt[ ]{(\triangle x_j)^2+(\triangle y_j)^2}-\sqrt[ ]{f'(t_j)^2+g'(t_j)^2}\triangle t_j|[/texx] [texx]\leq{}[/texx] [texx]\sqrt[ ]{(\triangle x_j-f'(t_j)\triangle t_j)^2+(\triangle y_j-g'(t_j)\triangle t_j)^2}[/texx]  [texx]<[/texx]  [texx]\sqrt[ ]{2}\epsilon \triangle t_j[/texx]

Aquí sé que tengo que tomar sumatoria, pero deseo saber si con lo que va de la demostración va por buen camino.

Gracias ciberalfil y Juan Pablo
13  Matemática / Cálculo 1 variable / Longitud de arco de una curva plana. : 28/04/2019, 07:22:38 pm
Hola, ¿cómo están?

Estoy estudiando longitud de arco de una curva plana, y tengo una duda con el siguiente teorema, en donde el autor del libro señala que su demostración no está al alcance de su libro. Sin embargo me interesa saber sobre ella y saber como se demuestra, bajo las condiciones dadas.

Si las funciones [texx]F[/texx]  y  [texx]G[/texx]  son continuas en el intervalo [texx][a,b][/texx] (por tanto la función [texx]\sqrt[ ]{F^2+G^2}[/texx]  también lo es), y si [texx]\triangle[/texx] es una partición del intervalo [texx][a,b][/texx] y si [texx]z_i[/texx] y [texx]w_i[/texx] son cualesquiera dos números de [texx](t_{i-1},t_i)[/texx], entonces [texx]\displaystyle\lim_{ \left\|{\triangle}\right\| \to{0}}{\displaystyle\sum_{i=1}^n{\sqrt[ ]{[F(z_i)]^2+[G(w_i)]^2}}\triangle_it}[/texx]   = [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt[ ]{[F(t)]^2+[G(t)]^2}dt[/texx].

Si reemplazamos [texx]F(z_i)[/texx] por [texx]f'(z_i)[/texx] y [texx]G(w_i)[/texx]  por [texx]g'(w_i)[/texx]  llegamos a que la suma de Riemann de arriba no es propiamente tal, ya que los valores [texx]z_i[/texx] y  [texx]w_i[/texx] no son necesariamente los mismos. ¿Cómo se puede probar el resultado dado que ésta no es una suma de Riemann?

Muchísimas gracias

Saludos.
14  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Producto infinito convergente : 19/04/2019, 05:59:13 pm
Don Luis, trataré de hacerlo mejor esta vez. Ha pasado una semana y he tenido más tiempo de leer acerca de este tema. Le doy las gracias por haber corregido la demostración anterior. Espero que esta vez salga mejor.

Demostración:

Supongamos que [texx]\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}{u_n}[/texx]  converge.

Escogemos un [texx]p\in{\mathbb{N}}[/texx] (fijo) de manera que [texx]u_n\neq{0}[/texx]    para todo  [texx]n\geq{p}[/texx] y suponemos que [texx]\displaystyle\lim_{q \to{+}\infty}{\displaystyle\prod_{n=p}^{q}{u_n}}[/texx]  [texx]=L[/texx]  [texx]\in{{\mathbb{R}}\  \neq{\{0\}} }[/texx].   Como [texx]L\neq{0}[/texx], existe un [texx]\delta>0[/texx], tal que [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{q}{u_n}|>\delta[/texx], para todo [texx]q\geq{p}[/texx]. La demostración de esto se puede ver en el siguiente spoiler.    

Entonces tenemos [texx]0<\delta<|\displaystyle\prod_{n=p}^{q}{u_n}|[/texx]  para todo [texx]q\geq{p}[/texx] o tambien [texx]0<1/|{\displaystyle\prod_{n=p}^{q}{u_n}}|<\displaystyle\frac{1}{\delta}[/texx] para todo [texx]q\geq{p}[/texx]. Dado [texx]\epsilon>0[/texx]. Por el criterio de Cauchy para sucesiones aplicado a la sucesión de productos parciales [texx]\{\displaystyle\prod_{n=p}^{q}{u_n}\}[/texx]  de [texx]q=p [/texx]  a  [texx]\infty[/texx], existe un [texx]N\in{\mathbb{N}}[/texx], tal que [texx]N>p[/texx] donde se cumple [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{r-1}{u_n}-\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}|<\delta\epsilon[/texx], siempre que [texx]s\geq{r\geq{N}}[/texx]. Si multiplicamos ambos lados por [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{r-1}{u_n}|^{-1}[/texx] obtenemos [texx]|1-\displaystyle\prod_{n=r}^{s}{u_n}|<|\displaystyle\prod_{n=p}^{r-1}{u_n}|^{-1}\delta\epsilon<\epsilon[/texx] siempre y cuando [texx]s\geq{r\geq{N}}[/texx]   
Con lo que se ha demostrado una parte de la demostración.


Supongamos que se cumple dado [texx]\epsilon>0[/texx], existe un [texx]N\in{\mathbb{N}}[/texx] tal que [texx]|1-\displaystyle\prod_{n=r}^{s}{u_n}|<\epsilon[/texx] siempre y cuando [texx]s\geq{r\geq{N}}[/texx].
Si tomamos [texx]\epsilon=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx] escojamos un [texx]N_0[/texx] que satisfaga la hipótesis con la condición [texx]N_0>p[/texx].

Se tendrá lo siguiente: [texx]\displaystyle\frac{1}{2}<|\displaystyle\prod_{n=r}^{s}{u_n}|<\displaystyle\frac{3}{2}[/texx]  para [texx]s\geq{r\geq{N_0}}[/texx]    y si asignamos el valor a [texx]r=N_0[/texx]   , [texx]\displaystyle\frac{1}{2}<|\displaystyle\prod_{n=N_0}^{s}{u_n}|<\displaystyle\frac{3}{2}[/texx], para [texx]s\geq{N_0}[/texx]

Sea [texx]m=\displaystyle\frac{1}{2}|\displaystyle\prod_{n=p}^{N_0-1}{u_n}|>0[/texx]  y   [texx]M=\displaystyle\frac{3}{2}|\displaystyle\prod_{n=p}^{N_0-1}{u_n}|>0[/texx]. Como [texx]u_n\neq{0}[/texx]  para  [texx]n\geq{p}[/texx] y además como [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{N_0-1}{u_n}|[/texx]  es un producto de un número finito de elementos distintos de cero, el valor absoluto debe ser mayor a [texx]0[/texx].

De lo anterior,  [texx]0<m=\displaystyle\frac{1}{2}|\displaystyle\prod_{n=p}^{N_0-1}{u_n}|<|\displaystyle\prod_{n=N_0}^{s}{u_n}|*|\displaystyle\prod_{n=p}^{N_0-1}{u_n}|=|\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}|[/texx]. De esta manera nos podemos dar cuenta que [texx]0<m<|\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}|[/texx] para todo [texx]s\geq{N_0}[/texx] por lo tanto el producto infinito no puede converger a [texx]0[/texx].

De manera similar para todo [texx]s\geq{N_0}[/texx]  se tiene [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}|=|\displaystyle\prod_{n=p}^{N_0-1}{u_n}|*|\displaystyle\prod_{n=N_0}^{s}{u_n}|<|\displaystyle\prod_{n=p}^{N_0-1}{u_n}|\displaystyle\frac{3}{2}=M[/texx].


Por lo tanto, [texx]0<m<|\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}|<M[/texx] para todo  [texx]s\geq{N_0}[/texx].

Para probar que el producto infinito converge, dado[texx]\epsilon>0[/texx]  y debido a la hipótesis podemos escoger un [texx]N>N_0[/texx] tal que [texx]|1-\displaystyle\prod_{n=r}^{s}{u_n}|<\displaystyle\frac{\epsilon}{M}[/texx]  siempre que se cumpla la condición [texx]s\geq{r\geq{N}}[/texx].

Si [texx]s\geq{r\geq{N}}[/texx] y si multiplicamos por [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{r-1}{u_n}|[/texx], obtenemos  [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{r-1}{u_n}-\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}|[/texx]  [texx]=[/texx]  [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{r-1}{u_n}|*|1-\displaystyle\prod_{n=r}^{s}{u_n}|[/texx]  [texx]<M*\displaystyle\frac{\epsilon}{M}=\epsilon[/texx].  Esto se puede hacer pues [texx]\displaystyle\prod_{n=p}^{r-1}{u_n}<M[/texx], ya que [texx]r\geq{N>N_0}[/texx]    y     [texx]r-1\geq{N_0}[/texx]    y dedujimos anteriormente que [texx]0<m<|\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}|<M[/texx] para todo  [texx]s\geq{N_0}[/texx].

Entonces se puede concluir que [texx]\{\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}\}[/texx]  donde [texx]s[/texx]  va de [texx]p [/texx]   a  [texx]\infty[/texx] es una sucesión de Cauchy y por tanto debe converger.

Finalmente, ni la convergencia ni el valor de [texx]\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}{u_n}[/texx]  se ve afectada por la elección particular de [texx]p[/texx]  para el cual [texx]u_n\neq{0}[/texx]  para  [texx]n\geq{p}[/texx].



Muchas Gracias
15  Matemática / Cálculo 1 variable / Producto infinito convergente : 11/04/2019, 12:01:36 am
Buenas noches:

Tengo una demostración, en donde tengo algunas dudas,me gustaría que me ayudaran a despejarlas.

Sea una sucesión [texx]a_i>0[/texx]  [texx]\forall{i\in{\mathbb{N}}}[/texx]

Teorema:

Para que el producto infinito [texx]\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}{a_k}[/texx] sea convergente, Es condición necesaria y suficiente que para todo [texx]\epsilon>0[/texx], exista un [texx]K>0[/texx], tal que para todo [texx]k>K[/texx] y para todo entero [texx]r\geq{1}[/texx]   [texx]|a_{k+1}a_{k+2}\cdot{\cdot{\cdot{\cdot{a_{k+r}}}}}-1|<\epsilon[/texx].

Demostración:

Si [texx]\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}{a_k}[/texx] es convergente. Entonces la sucesion de factores de un producto infinito convergente se aproxima a [texx]1[/texx].

Sea [texx]q_k=\displaystyle\frac{p_{k+r}}{p_k}[/texx]. Debido a que [texx]p_k[/texx] converge al límite [texx]P[/texx], [texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{q_k}=1[/texx], lo

que implica que dado un [texx]\epsilon>0[/texx], existe un [texx]K>0[/texx], tal que para todo [texx]k>K[/texx] entonces [texx]|q_k-1|<\epsilon[/texx]. Pero [texx]q_k=a_{k+1}a_{k+2}\cdot{\cdot{\cdot{\cdot{\cdot{}}}}}a_{k+r}[/texx], entonces [texx]|a_{k+1}a_{k+2}\cdot{\cdot{\cdot{\cdot{\cdot{}}}}}a_{k+r}-1|<\epsilon[/texx].


Por otro lado, si [texx]q_k=\displaystyle\frac{p_{k+r}}{p_k}[/texx] y [texx]\epsilon>0[/texx], existe un [texx]K>0[/texx], tal que para todo [texx]k>K[/texx] y todo [texx]r\in{\mathbb{N}}[/texx] entonces [texx]|q_k-1|<\epsilon[/texx]. Esta definición implica que [texx]q_k=\displaystyle\frac{p_{k+r}}{p_k}\rightarrow{1}[/texx], con lo que [texx]p_{k+r}\rightarrow{p_k}[/texx], y por definición de límite, [texx]\forall{\epsilon>0}[/texx],  [texx]|p_{k+r}-p_k|<\epsilon[/texx]. Esta ultima expresión es la condición de Cauchy para sucesiones. Por lo tanto el producto infinito converge.



Las dudas que tengo son las siguientes:  a) Cuando [texx]p_k[/texx] converge a [texx]P[/texx],  [texx]p_{k+r}[/texx] también converge a [texx]P[/texx] ¿funciona igual que en sucesiones?

b) Cuando [texx]\displaystyle\frac{p_{k+r}}{p_k}\rightarrow{1}[/texx], es correcto hacer lo siguiente para encontrar la condición de Cauchy: Si [texx]\displaystyle\frac{p_{k+r}}{p_k}\rightarrow{1}[/texx] entonces [texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{p_{k+r}}=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{p_k}[/texx], entonces [texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{p_{k+r}}-\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{p_k}=0[/texx]  entonces   [texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}({p_{k+r}-p_k)=0}[/texx]. De lo último, dado [texx]\epsilon>0[/texx], existe un [texx]K>0[/texx], tal que [texx]\forall{k>K}[/texx]  [texx]|(p_{k+r}-p_k)-0|<\epsilon[/texx] que es la condición de Cauchy?



Disculpen lo extenso.

Gracias
16  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie de potencias de función discontinua y discontinuidad removible. : 24/03/2019, 08:44:07 pm
Gracias Masacroso,

Viendo mi libro de Cálculo, una serie de potencias es una serie de la forma [texx]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{c_nx^n}[/texx] donde [texx]c_n[/texx] son constantes para cada [texx]n[/texx]. Si [texx]f(x)[/texx] es una función definida por  [texx]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{c_nx^n}[/texx], en un radio de convergencia [texx]R>0[/texx], entonces [texx]f(x)[/texx], es infinitamente diferenciable en [texx](-R,R)[/texx], de ahí que derivando y reemplazando en [texx]0[/texx], la función [texx]f(x)[/texx], cada [texx]c_n=\displaystyle\frac{f^{(n)}(0)}{n!}[/texx] con  [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx]. Y creo que esa es precisamente el desarrollo de Maclaurin entorno a [texx]0[/texx].

Como [texx]h(x)=h(0)+\displaystyle\frac{h'(0)x}{1!}+\displaystyle\frac{h''(0)x^2}{2!}+............[/texx],     


1) [texx]h(0)=1[/texx],     2) [texx]h'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{e^h-1}{h}-1}{h}}[/texx]   [texx]=  \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{e^h-1-h}{h^2}}[/texx]   [texx]=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{e^h-1}{2h}}=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]         donde  [texx]h'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{h(0+h)-h(0)}{h}}[/texx]


3)[texx]h''(0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{e^hh-e^h+1}{h^2}-\displaystyle\frac{1}{2}}{h}}[/texx]  [texx]=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{e^hh-e^h+1-\displaystyle\frac{1}{2}h^2}{h^3}}[/texx] [texx]=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{he^h-h}{3h^2}}[/texx] [texx]=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{e^h+he^h-1}{6h}}[/texx]   [texx]=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{e^h+he^h+e^h}{6}}=\displaystyle\frac{2}{6}=\displaystyle\frac{1}{3}[/texx]       donde  [texx]h''(0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{h'(0+h)-h'(0)}{h}}[/texx]


 Y así [texx]h(x)=1+\displaystyle\frac{1/2x}{1!}+\displaystyle\frac{1/3x^2}{2!}+..........=1+\displaystyle\frac{x}{2!}+\displaystyle\frac{x^2}{3!}+...............[/texx]


Esta es la única forma que tengo para resolver la serie, pero debiera hacer infinitos cálculos. La solución que aparece en el libro no logro entenderla, sobre todo al reemplazar la serie por cero. Bueno, siempre agradecido de cualquier comentario.

Muchísimas Gracias.




17  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie de potencias de función discontinua y discontinuidad removible. : 24/03/2019, 04:58:45 pm
Hola Masacroso, quería agradecerle por su respuesta,

busqué algunas páginas, pero me fue muy difícil encontrar material que se refiriera a series de Laurent, funciones holomorfas y meromorfas en Cálculo y Análisis Real. Mas bien encontré estos términos en cursos de Variable Compleja.

Voy a resolver el ejercicio ii) de acuerdo a como lo hacen en la respuesta del ejercicio.     [texx]\displaystyle\frac{e^x-1}{x}=\displaystyle\frac{1}{x}\cdot{}(x+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^3}{3!}+..........)=1+\displaystyle\frac{x}{2!}+\displaystyle\frac{x^2}{3!}+..............[/texx]   si   [texx]x\neq{0}[/texx]

                                                                                                                                 [texx]1=1+\displaystyle\frac{0}{2!}+\displaystyle\frac{0}{3!}+.....................[/texx]    si    [texx]x=0[/texx]



Por lo tanto, [texx]h(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{e^x-1}{x} & \text{si}& x\neq{0}\\1 & \text{si}& x=0\end{cases}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{x^{n-1}}{n!}}[/texx]     [texx]\forall{x\in{\mathbb{R}}}[/texx]


Quisiera saber ¿porqué en este tipo de función [texx]h(x)[/texx], basta con reemplazar [texx]0[/texx] en la serie donde [texx]x\neq{0}[/texx] para obtener el valor de [texx]1[/texx]?


Ojalá me puedan ayudar.

Muchísimas Gracias.
18  Matemática / Cálculo 1 variable / Serie de potencias de función discontinua y discontinuidad removible. : 23/03/2019, 08:29:31 pm
Hola ¿cómo están?   

Tengo algunas dudas con respecto a encontrar una representación en series de potencias de las dos funciones siguientes:

i) [texx]f(x)=\displaystyle\frac{e^x-1}{x}[/texx]


ii) [texx]h(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{e^x-1}{x} & \text{si}& x\neq{0}\\1 & \text{si}& x=0\end{cases}[/texx].

Mis dudas son las siguientes:

1) [texx]f(x)[/texx] tiene representación en serie de potencia para cada [texx]x\neq{0}[/texx], sin embargo esto contradice el hecho que si una serie converge para un número cualquiera [texx]x_0[/texx], debe converger absolutamente para todo [texx]|x|<|x_0|[/texx] y [texx]0[/texx] pertenece a este conjunto.

2)La serie de potencias de [texx]h(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{x^{n-1}}{n!}}[/texx]. Cuando [texx]h(0)=\displaystyle\frac{0^{1-1}}{1!}+\displaystyle\frac{0^{2-1}}{2!}+\displaystyle\frac{0^{3-1}}{3!}+...........=1[/texx], que es justamente el valor que toma [texx]h(x)[/texx] cuando [texx]x=0[/texx]. Y así el radio de convergencia de la serie de [texx]h(x)[/texx] es [texx]R=\infty[/texx].
¿Por qué ocurre esto último cuando hay este tipo de discontinuidad?


Desde ya muchísimas gracias

Saludos
19  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Supremo y Convergencia Uniforme. : 07/03/2019, 02:01:23 pm
Muchísimas Gracias.
20  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Supremo y Convergencia Uniforme. : 06/03/2019, 11:07:44 pm
Gracias por su página recomendada, encontré otra más que me sirvió. Así es que trataré de demostrar lo señalado al comienzo.

    Si una sucesión de funciones converge uniformemente a una determinada función en un conjunto [texx]x\in{X}[/texx] , entonces,

Para todo [texx] \epsilon>0[/texx], existe un [texx]n_0\in{\mathbb{N}}[/texx] tal que para todo [texx]x\in{X}[/texx], si [texx]n\geq{n_0}[/texx] entonces [texx]|f{_n}(x)-f(x)|<\displaystyle\frac{\epsilon}{2}[/texx].

Ahora sea [texx]s_n=sup|f_n(x)-f(x)|[/texx], para cualquier [texx]n\geq{n_0}[/texx] el conjunto de valores [texx]|f_n(x)-f(x)|[/texx] está acotado superiormente por [texx]\displaystyle\frac{\epsilon}{2}[/texx], por lo tanto dicho valor es cota superior del conjunto  [texx]|f_n(x)-f(x)|[/texx]. Como por definicion de mínima cota superior, el supremo [texx]s_n\leq{\displaystyle\frac{\epsilon}{2}}<{\epsilon}[/texx]. Dado este [texx]\epsilon[/texx] hemos encontrado un [texx]n_0[/texx] con lo que se concluye que [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{s_n}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{sup|f_n(x)-f(x)|=0}[/texx].


Por otra parte, si [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{s_n}=0[/texx], para todo [texx]\epsilon>0[/texx] existe un [texx]n_0\in{\mathbb{N}}[/texx], tal que si [texx]n\geq{n_0}[/texx], entonces [texx]s_n<\epsilon[/texx]. Dado cualquier [texx]n\geq{n_0}[/texx], si elijo arbitrariamente un [texx]x*\in{X}[/texx], entonces como cualquier elemento de un conjunto es menor o igual que el supremo del conjunto, por definición de supremo, [texx]|f_n(x*)-f(x*)|\leq{sup\{|f_n(x)-f(x)|:x\in{X}\}}=s_n[/texx]. Entonces [texx]|f_n(x*)-f(x*)|\leq{s_n}<\epsilon[/texx]. Por lo tanto, si [texx]n\geq{n_0}[/texx], entonces  [texx]|f_n(x)-f(x)|<\epsilon[/texx]  [texx]\forall{x\in{X}}[/texx]

ya que [texx]x*[/texx] ha sido elegido arbitrariamente de este conjunto. Y así en [texx]X[/texx], [texx]f_n[/texx] converge uniformemente a [texx]f[/texx].



¿por favor, podrían decirme si esta demostración está bien o no?

Muchísimas Gracias  y   Saludos.
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