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1  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Producto infinito convergente : 19/04/2019, 05:59:13 pm
Don Luis, trataré de hacerlo mejor esta vez. Ha pasado una semana y he tenido más tiempo de leer acerca de este tema. Le doy las gracias por haber corregido la demostración anterior. Espero que esta vez salga mejor.

Demostración:

Supongamos que [texx]\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}{u_n}[/texx]  converge.

Escogemos un [texx]p\in{\mathbb{N}}[/texx] (fijo) de manera que [texx]u_n\neq{0}[/texx]    para todo  [texx]n\geq{p}[/texx] y suponemos que [texx]\displaystyle\lim_{q \to{+}\infty}{\displaystyle\prod_{n=p}^{q}{u_n}}[/texx]  [texx]=L[/texx]  [texx]\in{{\mathbb{R}}\  \neq{\{0\}} }[/texx].   Como [texx]L\neq{0}[/texx], existe un [texx]\delta>0[/texx], tal que [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{q}{u_n}|>\delta[/texx], para todo [texx]q\geq{p}[/texx]. La demostración de esto se puede ver en el siguiente spoiler.    

Entonces tenemos [texx]0<\delta<|\displaystyle\prod_{n=p}^{q}{u_n}|[/texx]  para todo [texx]q\geq{p}[/texx] o tambien [texx]0<1/|{\displaystyle\prod_{n=p}^{q}{u_n}}|<\displaystyle\frac{1}{\delta}[/texx] para todo [texx]q\geq{p}[/texx]. Dado [texx]\epsilon>0[/texx]. Por el criterio de Cauchy para sucesiones aplicado a la sucesión de productos parciales [texx]\{\displaystyle\prod_{n=p}^{q}{u_n}\}[/texx]  de [texx]q=p [/texx]  a  [texx]\infty[/texx], existe un [texx]N\in{\mathbb{N}}[/texx], tal que [texx]N>p[/texx] donde se cumple [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{r-1}{u_n}-\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}|<\delta\epsilon[/texx], siempre que [texx]s\geq{r\geq{N}}[/texx]. Si multiplicamos ambos lados por [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{r-1}{u_n}|^{-1}[/texx] obtenemos [texx]|1-\displaystyle\prod_{n=r}^{s}{u_n}|<|\displaystyle\prod_{n=p}^{r-1}{u_n}|^{-1}\delta\epsilon<\epsilon[/texx] siempre y cuando [texx]s\geq{r\geq{N}}[/texx]   
Con lo que se ha demostrado una parte de la demostración.


Supongamos que se cumple dado [texx]\epsilon>0[/texx], existe un [texx]N\in{\mathbb{N}}[/texx] tal que [texx]|1-\displaystyle\prod_{n=r}^{s}{u_n}|<\epsilon[/texx] siempre y cuando [texx]s\geq{r\geq{N}}[/texx].
Si tomamos [texx]\epsilon=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx] escojamos un [texx]N_0[/texx] que satisfaga la hipótesis con la condición [texx]N_0>p[/texx].

Se tendrá lo siguiente: [texx]\displaystyle\frac{1}{2}<|\displaystyle\prod_{n=r}^{s}{u_n}|<\displaystyle\frac{3}{2}[/texx]  para [texx]s\geq{r\geq{N_0}}[/texx]    y si asignamos el valor a [texx]r=N_0[/texx]   , [texx]\displaystyle\frac{1}{2}<|\displaystyle\prod_{n=N_0}^{s}{u_n}|<\displaystyle\frac{3}{2}[/texx], para [texx]s\geq{N_0}[/texx]

Sea [texx]m=\displaystyle\frac{1}{2}|\displaystyle\prod_{n=p}^{N_0-1}{u_n}|>0[/texx]  y   [texx]M=\displaystyle\frac{3}{2}|\displaystyle\prod_{n=p}^{N_0-1}{u_n}|>0[/texx]. Como [texx]u_n\neq{0}[/texx]  para  [texx]n\geq{p}[/texx] y además como [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{N_0-1}{u_n}|[/texx]  es un producto de un número finito de elementos distintos de cero, el valor absoluto debe ser mayor a [texx]0[/texx].

De lo anterior,  [texx]0<m=\displaystyle\frac{1}{2}|\displaystyle\prod_{n=p}^{N_0-1}{u_n}|<|\displaystyle\prod_{n=N_0}^{s}{u_n}|*|\displaystyle\prod_{n=p}^{N_0-1}{u_n}|=|\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}|[/texx]. De esta manera nos podemos dar cuenta que [texx]0<m<|\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}|[/texx] para todo [texx]s\geq{N_0}[/texx] por lo tanto el producto infinito no puede converger a [texx]0[/texx].

De manera similar para todo [texx]s\geq{N_0}[/texx]  se tiene [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}|=|\displaystyle\prod_{n=p}^{N_0-1}{u_n}|*|\displaystyle\prod_{n=N_0}^{s}{u_n}|<|\displaystyle\prod_{n=p}^{N_0-1}{u_n}|\displaystyle\frac{3}{2}=M[/texx].


Por lo tanto, [texx]0<m<|\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}|<M[/texx] para todo  [texx]s\geq{N_0}[/texx].

Para probar que el producto infinito converge, dado[texx]\epsilon>0[/texx]  y debido a la hipótesis podemos escoger un [texx]N>N_0[/texx] tal que [texx]|1-\displaystyle\prod_{n=r}^{s}{u_n}|<\displaystyle\frac{\epsilon}{M}[/texx]  siempre que se cumpla la condición [texx]s\geq{r\geq{N}}[/texx].

Si [texx]s\geq{r\geq{N}}[/texx] y si multiplicamos por [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{r-1}{u_n}|[/texx], obtenemos  [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{r-1}{u_n}-\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}|[/texx]  [texx]=[/texx]  [texx]|\displaystyle\prod_{n=p}^{r-1}{u_n}|*|1-\displaystyle\prod_{n=r}^{s}{u_n}|[/texx]  [texx]<M*\displaystyle\frac{\epsilon}{M}=\epsilon[/texx].  Esto se puede hacer pues [texx]\displaystyle\prod_{n=p}^{r-1}{u_n}<M[/texx], ya que [texx]r\geq{N>N_0}[/texx]    y     [texx]r-1\geq{N_0}[/texx]    y dedujimos anteriormente que [texx]0<m<|\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}|<M[/texx] para todo  [texx]s\geq{N_0}[/texx].

Entonces se puede concluir que [texx]\{\displaystyle\prod_{n=p}^{s}{u_n}\}[/texx]  donde [texx]s[/texx]  va de [texx]p [/texx]   a  [texx]\infty[/texx] es una sucesión de Cauchy y por tanto debe converger.

Finalmente, ni la convergencia ni el valor de [texx]\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}{u_n}[/texx]  se ve afectada por la elección particular de [texx]p[/texx]  para el cual [texx]u_n\neq{0}[/texx]  para  [texx]n\geq{p}[/texx].



Muchas Gracias
2  Matemática / Cálculo 1 variable / Producto infinito convergente : 11/04/2019, 12:01:36 am
Buenas noches:

Tengo una demostración, en donde tengo algunas dudas,me gustaría que me ayudaran a despejarlas.

Sea una sucesión [texx]a_i>0[/texx]  [texx]\forall{i\in{\mathbb{N}}}[/texx]

Teorema:

Para que el producto infinito [texx]\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}{a_k}[/texx] sea convergente, Es condición necesaria y suficiente que para todo [texx]\epsilon>0[/texx], exista un [texx]K>0[/texx], tal que para todo [texx]k>K[/texx] y para todo entero [texx]r\geq{1}[/texx]   [texx]|a_{k+1}a_{k+2}\cdot{\cdot{\cdot{\cdot{a_{k+r}}}}}-1|<\epsilon[/texx].

Demostración:

Si [texx]\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}{a_k}[/texx] es convergente. Entonces la sucesion de factores de un producto infinito convergente se aproxima a [texx]1[/texx].

Sea [texx]q_k=\displaystyle\frac{p_{k+r}}{p_k}[/texx]. Debido a que [texx]p_k[/texx] converge al límite [texx]P[/texx], [texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{q_k}=1[/texx], lo

que implica que dado un [texx]\epsilon>0[/texx], existe un [texx]K>0[/texx], tal que para todo [texx]k>K[/texx] entonces [texx]|q_k-1|<\epsilon[/texx]. Pero [texx]q_k=a_{k+1}a_{k+2}\cdot{\cdot{\cdot{\cdot{\cdot{}}}}}a_{k+r}[/texx], entonces [texx]|a_{k+1}a_{k+2}\cdot{\cdot{\cdot{\cdot{\cdot{}}}}}a_{k+r}-1|<\epsilon[/texx].


Por otro lado, si [texx]q_k=\displaystyle\frac{p_{k+r}}{p_k}[/texx] y [texx]\epsilon>0[/texx], existe un [texx]K>0[/texx], tal que para todo [texx]k>K[/texx] y todo [texx]r\in{\mathbb{N}}[/texx] entonces [texx]|q_k-1|<\epsilon[/texx]. Esta definición implica que [texx]q_k=\displaystyle\frac{p_{k+r}}{p_k}\rightarrow{1}[/texx], con lo que [texx]p_{k+r}\rightarrow{p_k}[/texx], y por definición de límite, [texx]\forall{\epsilon>0}[/texx],  [texx]|p_{k+r}-p_k|<\epsilon[/texx]. Esta ultima expresión es la condición de Cauchy para sucesiones. Por lo tanto el producto infinito converge.



Las dudas que tengo son las siguientes:  a) Cuando [texx]p_k[/texx] converge a [texx]P[/texx],  [texx]p_{k+r}[/texx] también converge a [texx]P[/texx] ¿funciona igual que en sucesiones?

b) Cuando [texx]\displaystyle\frac{p_{k+r}}{p_k}\rightarrow{1}[/texx], es correcto hacer lo siguiente para encontrar la condición de Cauchy: Si [texx]\displaystyle\frac{p_{k+r}}{p_k}\rightarrow{1}[/texx] entonces [texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{p_{k+r}}=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{p_k}[/texx], entonces [texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{p_{k+r}}-\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{p_k}=0[/texx]  entonces   [texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}({p_{k+r}-p_k)=0}[/texx]. De lo último, dado [texx]\epsilon>0[/texx], existe un [texx]K>0[/texx], tal que [texx]\forall{k>K}[/texx]  [texx]|(p_{k+r}-p_k)-0|<\epsilon[/texx] que es la condición de Cauchy?



Disculpen lo extenso.

Gracias
3  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie de potencias de función discontinua y discontinuidad removible. : 24/03/2019, 08:44:07 pm
Gracias Masacroso,

Viendo mi libro de Cálculo, una serie de potencias es una serie de la forma [texx]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{c_nx^n}[/texx] donde [texx]c_n[/texx] son constantes para cada [texx]n[/texx]. Si [texx]f(x)[/texx] es una función definida por  [texx]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{c_nx^n}[/texx], en un radio de convergencia [texx]R>0[/texx], entonces [texx]f(x)[/texx], es infinitamente diferenciable en [texx](-R,R)[/texx], de ahí que derivando y reemplazando en [texx]0[/texx], la función [texx]f(x)[/texx], cada [texx]c_n=\displaystyle\frac{f^{(n)}(0)}{n!}[/texx] con  [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx]. Y creo que esa es precisamente el desarrollo de Maclaurin entorno a [texx]0[/texx].

Como [texx]h(x)=h(0)+\displaystyle\frac{h'(0)x}{1!}+\displaystyle\frac{h''(0)x^2}{2!}+............[/texx],     


1) [texx]h(0)=1[/texx],     2) [texx]h'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{e^h-1}{h}-1}{h}}[/texx]   [texx]=  \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{e^h-1-h}{h^2}}[/texx]   [texx]=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{e^h-1}{2h}}=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]         donde  [texx]h'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{h(0+h)-h(0)}{h}}[/texx]


3)[texx]h''(0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{e^hh-e^h+1}{h^2}-\displaystyle\frac{1}{2}}{h}}[/texx]  [texx]=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{e^hh-e^h+1-\displaystyle\frac{1}{2}h^2}{h^3}}[/texx] [texx]=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{he^h-h}{3h^2}}[/texx] [texx]=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{e^h+he^h-1}{6h}}[/texx]   [texx]=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{e^h+he^h+e^h}{6}}=\displaystyle\frac{2}{6}=\displaystyle\frac{1}{3}[/texx]       donde  [texx]h''(0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{h'(0+h)-h'(0)}{h}}[/texx]


 Y así [texx]h(x)=1+\displaystyle\frac{1/2x}{1!}+\displaystyle\frac{1/3x^2}{2!}+..........=1+\displaystyle\frac{x}{2!}+\displaystyle\frac{x^2}{3!}+...............[/texx]


Esta es la única forma que tengo para resolver la serie, pero debiera hacer infinitos cálculos. La solución que aparece en el libro no logro entenderla, sobre todo al reemplazar la serie por cero. Bueno, siempre agradecido de cualquier comentario.

Muchísimas Gracias.




4  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie de potencias de función discontinua y discontinuidad removible. : 24/03/2019, 04:58:45 pm
Hola Masacroso, quería agradecerle por su respuesta,

busqué algunas páginas, pero me fue muy difícil encontrar material que se refiriera a series de Laurent, funciones holomorfas y meromorfas en Cálculo y Análisis Real. Mas bien encontré estos términos en cursos de Variable Compleja.

Voy a resolver el ejercicio ii) de acuerdo a como lo hacen en la respuesta del ejercicio.     [texx]\displaystyle\frac{e^x-1}{x}=\displaystyle\frac{1}{x}\cdot{}(x+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^3}{3!}+..........)=1+\displaystyle\frac{x}{2!}+\displaystyle\frac{x^2}{3!}+..............[/texx]   si   [texx]x\neq{0}[/texx]

                                                                                                                                 [texx]1=1+\displaystyle\frac{0}{2!}+\displaystyle\frac{0}{3!}+.....................[/texx]    si    [texx]x=0[/texx]



Por lo tanto, [texx]h(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{e^x-1}{x} & \text{si}& x\neq{0}\\1 & \text{si}& x=0\end{cases}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{x^{n-1}}{n!}}[/texx]     [texx]\forall{x\in{\mathbb{R}}}[/texx]


Quisiera saber ¿porqué en este tipo de función [texx]h(x)[/texx], basta con reemplazar [texx]0[/texx] en la serie donde [texx]x\neq{0}[/texx] para obtener el valor de [texx]1[/texx]?


Ojalá me puedan ayudar.

Muchísimas Gracias.
5  Matemática / Cálculo 1 variable / Serie de potencias de función discontinua y discontinuidad removible. : 23/03/2019, 08:29:31 pm
Hola ¿cómo están?   

Tengo algunas dudas con respecto a encontrar una representación en series de potencias de las dos funciones siguientes:

i) [texx]f(x)=\displaystyle\frac{e^x-1}{x}[/texx]


ii) [texx]h(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{e^x-1}{x} & \text{si}& x\neq{0}\\1 & \text{si}& x=0\end{cases}[/texx].

Mis dudas son las siguientes:

1) [texx]f(x)[/texx] tiene representación en serie de potencia para cada [texx]x\neq{0}[/texx], sin embargo esto contradice el hecho que si una serie converge para un número cualquiera [texx]x_0[/texx], debe converger absolutamente para todo [texx]|x|<|x_0|[/texx] y [texx]0[/texx] pertenece a este conjunto.

2)La serie de potencias de [texx]h(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{x^{n-1}}{n!}}[/texx]. Cuando [texx]h(0)=\displaystyle\frac{0^{1-1}}{1!}+\displaystyle\frac{0^{2-1}}{2!}+\displaystyle\frac{0^{3-1}}{3!}+...........=1[/texx], que es justamente el valor que toma [texx]h(x)[/texx] cuando [texx]x=0[/texx]. Y así el radio de convergencia de la serie de [texx]h(x)[/texx] es [texx]R=\infty[/texx].
¿Por qué ocurre esto último cuando hay este tipo de discontinuidad?


Desde ya muchísimas gracias

Saludos
6  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Supremo y Convergencia Uniforme. : 07/03/2019, 02:01:23 pm
Muchísimas Gracias.
7  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Supremo y Convergencia Uniforme. : 06/03/2019, 11:07:44 pm
Gracias por su página recomendada, encontré otra más que me sirvió. Así es que trataré de demostrar lo señalado al comienzo.

    Si una sucesión de funciones converge uniformemente a una determinada función en un conjunto [texx]x\in{X}[/texx] , entonces,

Para todo [texx] \epsilon>0[/texx], existe un [texx]n_0\in{\mathbb{N}}[/texx] tal que para todo [texx]x\in{X}[/texx], si [texx]n\geq{n_0}[/texx] entonces [texx]|f{_n}(x)-f(x)|<\displaystyle\frac{\epsilon}{2}[/texx].

Ahora sea [texx]s_n=sup|f_n(x)-f(x)|[/texx], para cualquier [texx]n\geq{n_0}[/texx] el conjunto de valores [texx]|f_n(x)-f(x)|[/texx] está acotado superiormente por [texx]\displaystyle\frac{\epsilon}{2}[/texx], por lo tanto dicho valor es cota superior del conjunto  [texx]|f_n(x)-f(x)|[/texx]. Como por definicion de mínima cota superior, el supremo [texx]s_n\leq{\displaystyle\frac{\epsilon}{2}}<{\epsilon}[/texx]. Dado este [texx]\epsilon[/texx] hemos encontrado un [texx]n_0[/texx] con lo que se concluye que [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{s_n}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{sup|f_n(x)-f(x)|=0}[/texx].


Por otra parte, si [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{s_n}=0[/texx], para todo [texx]\epsilon>0[/texx] existe un [texx]n_0\in{\mathbb{N}}[/texx], tal que si [texx]n\geq{n_0}[/texx], entonces [texx]s_n<\epsilon[/texx]. Dado cualquier [texx]n\geq{n_0}[/texx], si elijo arbitrariamente un [texx]x*\in{X}[/texx], entonces como cualquier elemento de un conjunto es menor o igual que el supremo del conjunto, por definición de supremo, [texx]|f_n(x*)-f(x*)|\leq{sup\{|f_n(x)-f(x)|:x\in{X}\}}=s_n[/texx]. Entonces [texx]|f_n(x*)-f(x*)|\leq{s_n}<\epsilon[/texx]. Por lo tanto, si [texx]n\geq{n_0}[/texx], entonces  [texx]|f_n(x)-f(x)|<\epsilon[/texx]  [texx]\forall{x\in{X}}[/texx]

ya que [texx]x*[/texx] ha sido elegido arbitrariamente de este conjunto. Y así en [texx]X[/texx], [texx]f_n[/texx] converge uniformemente a [texx]f[/texx].



¿por favor, podrían decirme si esta demostración está bien o no?

Muchísimas Gracias  y   Saludos.
8  Matemática / Cálculo 1 variable / Supremo y Convergencia Uniforme. : 05/03/2019, 06:47:17 pm
Hola, ¿cómo están?.

Estoy estudiando series de potencias y series de Taylor, pero como tema previo, se trata algunas propiedades de sucesiones y series de funciones.

Mi pregunta consiste en demostrar que:

La sucesión de funciones [texx]\{f_n\}[/texx]  [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] converge uniformemente a la función [texx]f[/texx], sí y sólo sí [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{sup|f_n(x)-f(x)|=0}[/texx]. Donde el supremo se toma para los valores de la función [texx]|f_n(x)-f(x)|[/texx] en [texx]x\in{X}[/texx].

Muchísimas Gracias.
9  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie con notación ''o'' pequeña. : 16/02/2019, 04:43:00 pm
Muchas gracias Masacroso,

Saludos.
10  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie con notación ''o'' pequeña. : 14/02/2019, 07:04:21 pm
Gracias Masacroso, leí su demostración y está genial, pero hay una duda que tengo. ¿Qué significado tiene la función [texx]f(x)[/texx] que emplea?

Voy a escribir la demostración que tengo yo.

Tenemos que [texx]\displaystyle\frac{1}{cos(x)}=\displaystyle\frac{1}{1+(cos(x)-1)}=1-(cos(x)-1)+o(cos(x)-1)[/texx]  [texx]x\rightarrow{0}[/texx]  empleando la fórmula.

Ahora [texx]cos(x)=1-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+o(x^3)[/texx]. Reemplazando, [texx]\displaystyle\frac{1}{1+(1-\displaystyle\frac{x^2}{2}+o(x^3)-1)}=\displaystyle\frac{1}{1-\displaystyle\frac{x^2}{2}+o(x^3)}=1-(1-\displaystyle\frac{x^2}{2}+o(x^3)-1)+o(\displaystyle\frac{-x^2}{2}+o(x^3))[/texx] [texx]=1+\displaystyle\frac{x^2}{2}-o(x^3)+o(\displaystyle\frac{-x^2}{2})+o(f(x))[/texx]. Aquí me quiero detener y explicar que [texx]f(x)[/texx] es una función desconocida [texx]o(x^3)[/texx]. Vale decir [texx]f(x)[/texx] en un entorno de cero converge a cero más rápidamente que [texx]x^3[/texx], por lo tanto la expresión final es  [texx]o(\displaystyle\frac{-x^2}{2}+f(x))[/texx] y aplicando la propiedad [texx]o(f(x)+g(x))=o(f(x))+o(g(x))[/texx], tenemos finalmente que la expresión es igual a [texx]1+\displaystyle\frac{x^2}{2}-o(x^3)+o(\displaystyle\frac{-x^2}{2})+o(f(x))[/texx]. Repitiendo lo anterior, sea [texx]g(x)=o(f(x))[/texx], vale decir [texx]g(x)[/texx] converge a cero, en un entorno de cero más rápidamente que [texx]f(x)[/texx]. Por lo tanto [texx]g(x)=o(x^3)[/texx] también. La expresión es igual a [texx]1+\displaystyle\frac{x^2}{2}-o(x^3)+o(\displaystyle\frac{-x^2}{2})+o(x^3)[/texx]. Por las propiedades de [texx]o[/texx], [texx]-o(x^3)=o(x^3)[/texx], [texx]o(\displaystyle\frac{-x^2}{2})=o(x^2)[/texx], [texx]o(x^3)+o(x^3)=o(x^3)[/texx], y [texx]o(x^2)+o(x^3)=o(x^2)[/texx], se llega finalmente a [texx]\displaystyle\frac{1}{cos(x)}=1+\displaystyle\frac{x^2}{2}+o(x^2)[/texx]

Ojalá esté en lo correcto, agradezco cualquier comentario.

Saludos y muchísimas gracias.
11  Matemática / Cálculo 1 variable / Serie con notación ''o'' pequeña. : 13/02/2019, 07:20:02 pm
Hola: ¿cómo están?

Los últimos días he estado estudiando las series de Taylor con notación de [texx]o[/texx] pequeña de Landau.

Encontré en un libro de Cálculo un ejercicio en donde me piden la serie de [texx]\displaystyle\frac{1}{cos(x)}[/texx]. en ella se utiliza la siguiente fórmula:

[texx]\displaystyle\frac{1}{1+g(x)}=1-g(x)+o(g(x))[/texx]     si     [texx]g(x)\rightarrow{0}[/texx] cuando [texx]x\rightarrow{a}[/texx]

Utilizando el desarrollo de [texx]cos(x)[/texx]      [texx]\displaystyle\frac{1}{cos(x)}=\displaystyle\frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+o(x^3)}=1+\displaystyle\frac{1}{2}x^2+o(x^2)[/texx]    cuando [texx]x[/texx] tiende a [texx]0[/texx].

¿Podrían ayudarme cómo se llega al último paso?

Les agradezco enormemente.   Saludos.
12  Matemática / Cálculo 1 variable / Polinomio de Taylor : 26/01/2019, 09:30:30 pm
Hola:

El polinomio de Taylor de [texx]f(x)=e^{x^2}[/texx] de segundo orden es:

[texx]e^{x^2}=1+x^2+\displaystyle\frac{x^3}{3!}e^{z^2}(12z+8z^3)[/texx]  con  [texx]0<z<x[/texx].  Tomando [texx]x=0.5[/texx] dá [texx]z=0.1322032[/texx].


Sea [texx]e^y=1+y+\displaystyle\frac{y^2}{2!}e^z[/texx] y reemplacemos [texx]y=x^2[/texx].

Se tiene [texx]f(x^2)=e^{x^2}[/texx]   con [texx]e^{x^2}=1+x^2+\displaystyle\frac{x^4}{2!}e^z[/texx]  con [texx]0<z<x^2[/texx]  o bien si [texx]z=w^2[/texx]

 [texx]e^{x^2}=1+x^2+\displaystyle\frac{x^4}{2!}e^{w^2}[/texx]  con [texx]0<w<x[/texx].  Si [texx]x=0.5[/texx]  [texx]w=0.29169919[/texx].


¿Mi pregunta es si ambos métodos son válidos para calcular el error cometido al aproximar [texx]e^{x^2}[/texx] por un polinomio?


Muchas Gracias
13  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Teorema de Taylor e inducción matemática. : 10/01/2019, 11:03:22 pm
Buenas noches.

He estado estudiando hoy el problema, y creo saber en donde cometo el  error. El teorema tiene 3 condiciones como hipótesis, y obviamente no las estoy respetando. Es decir, estoy demostrando por inducción una propiedad, pero dicha propiedad se satisface si se cumplen las hipótesis del teorema.

Dado que se cumplen las hipótesis del teorema, es que puedo demostrar que dicha propiedad se cumple para todo [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] por inducción.

Por ejemplo para el paso inductivo se supone que el teorema es verdadero para [texx]n=k[/texx] (es decir, se cumplen todas las hipótesis del teorema). Por lo tanto es verdadero [texx]R_k=\displaystyle\int_{a}^{x}(x-t)^kf^{(k+1)}(t)dt[/texx]    y directamente se prueba que  [texx]R_{k+1}[/texx]  es verdadero. 



Por favor algún comentario.


Muchísimas gracias.                                                                                                                                                 
14  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Teorema de Taylor e inducción matemática. : 09/01/2019, 03:36:45 pm
Hola Masacroso:

Sabe que no contesté antes por falta de argumentos. Es primera vez que hago este tipo de demostración ya que en mi libro de Cálculo y en general en este tema no se hace referencia a vacuidad. De todas formas me interesa, así que voy a tratar de escribir lo que entiendo.

Demostrar por inducción que [texx]R_n(x)=\displaystyle\frac{1}{n!}\displaystyle\int_{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt[/texx] y supongamos que [texx]f[/texx] admite derivadas continuas hasta orden [texx]7[/texx].

El caso base [texx]R_1[/texx] es válido por lo demostrado anteriormente. Queda probar que  [texx]R_n[/texx] implica [texx]R_{n+1}[/texx] es verdadera para todo[texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx].

Tenemos que dado [texx]R_1[/texx] verdadero tenemos que [texx]R_2[/texx]   es verdadero. Dado que [texx]R_2[/texx] es verdadero  tenemos que [texx]R_3[/texx]  es verdadero. Dado que [texx]R_3[/texx]  es verdadero [texx]R_4[/texx]  es verdadero . Dado que [texx]R_4[/texx]  es verdadero [texx]R_5[/texx]  es verdadero. Dado que [texx]R_5[/texx]  es verdadero, [texx]R_6[/texx] es verdadero.   

El caso [texx]R_6[/texx], [texx]R_7[/texx]  tengo una confusión. [texx]R_7[/texx]  no existe pues toma derivada [texx]f^{(8)}[/texx]   la cual no es continua. ¿Qué hago aquí?

De aquí en adelante : Dado que [texx]R_8[/texx] es falsa, esto implica [texx]R_9[/texx]  verdadero por vacuidad. Dado que [texx]R_9[/texx]   es falsa, implica  [texx]R_{10}[/texx] verdadero por  vacuidad, y así en adelante.

Por lo tanto  todo natural cumple la propiedad [texx]R_n[/texx]    (A excepción del caso [texx]R_6[/texx]  [texx] R_7[/texx]    )     

No sé si está bien, pues hay conceptos que no había visto nunca, o puede ser que haya cosas buenas y otras malas.

Atento a comentarios por favor,

Muchísimas gracias.                                                                                                                                           
15  Matemática / Cálculo 1 variable / Teorema de Taylor e inducción matemática. : 06/01/2019, 09:08:40 pm

Hola, tengo una demostración que me genera algunas dudas así es que la voy a desarrollar.


Teorema de Taylor: Supóngase que [texx]f[/texx] es [texx]n[/texx] veces derivable en un intervalo [texx]I[/texx] que contiene a [texx]x_0[/texx], donde [texx]x\neq{x_0}[/texx] y [texx]f^{n+1}(x)[/texx] existe para todo[texx]x[/texx] de [texx]I[/texx], entre [texx]x[/texx], [texx]x_0[/texx]. Si [texx]T_n[/texx] y [texx]R_n[/texx] están bien definidos, entonces existe un [texx]t\in{I}[/texx]  tal que [texx]R_n(x)=\displaystyle\int_{x_0}^{x}{(x-t)^n}\displaystyle\frac{f^{n+1}(t)}{n!}dt[/texx].

Demostración: Se hará por inducción. Para [texx]n=1[/texx] [texx]R_1(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)[/texx] de donde      [texx]R_1(x)=\displaystyle\frac{1}{1!}((x-x)f'(x)-(x-x_0)f'(x_0)+\displaystyle\int_{x_0}^{x}f'(t)dt)[/texx], luego         [texx]R_1(x)=\displaystyle\frac{1}{1!}(((x-t)f'(t))|_{x_0}^{x}-\displaystyle\int_{x_0}^{x}f'(t)(-dt))[/texx]   y   
      [texx]R_1(x)=\displaystyle\frac{1}{1!}\displaystyle\int_{x_0}^{x}(x-t)f''(t)dt[/texx]     

Ahora se supondrá que es válido para un natural [texx]k[/texx], es decir      [texx]R_k(x)=\displaystyle\int_{x_0}^{x}(x-t)^k\displaystyle\frac{f^{k+1}(t)}{k!}dt[/texx]  y veremos si es válido para [texx]k+1[/texx]


[texx]\displaystyle\int_{x_0}^{x}(x-t)^{k+1}\displaystyle\frac{f^{k+2}(t)}{(k+1)!}dt[/texx]           [texx]=[/texx]   [texx]\displaystyle\frac{1}{(k+1)!}((((x-t)^{k+1}f^{k+1}(t))|_{x_0}^{x}+(k+1)\displaystyle\int_{x_0}^{x}(x-t)^{k}f^{k+1}(t)dt)[/texx]    [texx]=[/texx]             [texx]\displaystyle\frac{1}{(k+1)!}((x-x)^{k+1}f^{k+1}(x)-(x-x_0)^{k+1}f^{k+1}(x_0)+(k+1)\displaystyle\int_{x_0}^{x}(x-t)^{k}f^{k+1}(t)dt)[/texx]              [texx]=-\displaystyle\frac{(x-x_0)^{k+1}f^{k+1}(x_0)}{(k+1)!}+R_k[/texx]   

 [texx]=-\displaystyle\frac{(x-x_0)^{k+1}f^{k+1}(x_0)}{(k+1)!}+f(x)-T_{k}(x)[/texx]            [texx]=-\displaystyle\frac{(x-x_0)^{k+1}f^{k+1}(x_0)}{(k+1)!}+f(x)-\displaystyle\sum_{i=0}^k{\displaystyle\frac{f^{i}(x_0)}{i!}}(x-x_0)^{i}[/texx]    =          [texx]f(x)-\displaystyle\sum_{i=0}^{k+1}{\displaystyle\frac{f^{i}(x_0)}{i!}}(x-x_0)^{i}[/texx]    [texx]=[/texx]   
     
  [texx]f(x)-T_{k+1}(x)=R_{k+1}(x)[/texx]


Se ha probado por inducción que para cualquier natural el residuo cumple con la integral deseada. Pero lo que no comprendo es qué ocurre cuando una función determinada no posee derivada más allá de un [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] determinado. ¿Sigue siendo la inducción un método para demostrar que una propiedad se cumple hasta un determinado [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] finito?.

Por ejemplo la hipótesis del problema establece [texx]f[/texx] es [texx]n[/texx] veces derivable en [texx]I[/texx]. No sé si esto equivale a decir que [texx]f[/texx] tiene como mínimo la existencia de las primeras [texx]n[/texx] derivadas en [texx]I[/texx], como puede suceder que las haya de orden superior. Y aquí me vuelve a surgir la duda de si el método de inducción se puede utilizar para conjuntos finitos de numeros naturales.

A ver si me pueden ayudar por favor,

Muchísimas gracias.
16  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie de potencias con valor cero en un intervalo. : 02/01/2019, 01:19:20 pm
Muchas gracias Masacroso por revisar mi demostración.

Analizaré con mayor profundidad la demostración que Ud. plantea, ya que hay algunas cosas en las que tengo dudas.

Gracias nuevamente

Saludos
17  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie de potencias con valor cero en un intervalo. : 01/01/2019, 09:26:55 am
Gracias Don Fernando.

Hola Masacroso.

Investigué y encontré algo que me puede servir. Agregué algunas cosas para ver si estoy en lo correcto.

Suponga que [texx]f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{b_nx^n}[/texx]    converge para [texx](-R,R)[/texx] y además [texx]f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{b_nx^n}=0[/texx]  para [texx](-S,S)[/texx] con [texx]0<S<R[/texx]. Entonces [texx]b_n=0[/texx]   [texx]\forall{n}\in{\mathbb{N}}[/texx].


Asumamos por contradicción que existe un mínimo [texx]n[/texx] tal que [texx]b_n\neq{0}[/texx]. Es decir [texx]f(x)=\displaystyle\sum_{k=n}^\infty{b_kx^k}[/texx] converge en [texx](-R,R)[/texx],
 [texx]\displaystyle\frac{1}{x}\cdot{\displaystyle\sum_{k=n}^\infty{b_kx^k}}[/texx] [texx]=\displaystyle\sum_{k=n}^\infty{b_kx^{k-1}}[/texx]  [texx]=\displaystyle\sum_{k=n-1}^\infty{b_{k+1}x^k}[/texx]  converge en [texx](-R,R)[/texx].

Nuevamente, [texx]\displaystyle\frac{1}{x}\cdot{\displaystyle\sum_{k=n-1}^\infty{b_{k+1}x^k}}[/texx]  [texx]=\displaystyle\sum_{k=n-1}^\infty{b_{k+1}x^{k-1}}[/texx]  [texx]=\displaystyle\sum_{k=n-2}^\infty{b_{k+2}x^k}[/texx]    converge en [texx](-R,R)[/texx].

Procediendo de la misma manera [texx]\displaystyle\sum_{k=n-n}^\infty{b_{k+n}x^k}[/texx]     [texx]=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{b_{k+n}x^k}[/texx]    converge en [texx](-R,R)[/texx]


Sea [texx]h(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{b_{k+n}x^k}[/texx]

Tenemos entonces que [texx]f(x)=x^n\cdot{h(x)}[/texx]    y             [texx]f(x)=x^n\cdot{h(x)}=0[/texx]   en   [texx]0<|x|<S[/texx]    de esto último    [texx]h(x)=0[/texx]   en    [texx]0<|x|<S[/texx]


Por continuidad en el interior del intervalo de convergencia  de [texx]h(x)[/texx]  se tiene que [texx]h(0)=0[/texx]. Se concluye que [texx]b_n=0[/texx]. Produciéndose una contradicción y la no existencia de tal mínimo.


Me podrían decir por favor si es correcto.

Muchísimas gracias y un feliz año 2019.
18  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie de potencias con valor cero en un intervalo. : 29/12/2018, 08:05:32 pm
Hola Masacroso:

Investigaré lo que Ud. me señala. Si no tengo suerte le vuelvo a preguntar,

Muchísimas gracias

Saludos
19  Matemática / Cálculo 1 variable / Re: Serie de potencias con valor cero en un intervalo. : 29/12/2018, 05:00:45 pm
Hola Don Fernando:

Si [texx]f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{c_kx^k}[/texx]   [texx]R>0[/texx]

Entonces: [texx]f'(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{\displaystyle\frac{k!}{(k-1)!}c_kx^{k-1}}[/texx]  [texx]R>0[/texx],

y en general [texx]f^{(n)}(x)=\displaystyle\sum_{k=n}^\infty{\displaystyle\frac{k!}{(k-n)!}c_kx^{k-n}}[/texx]   [texx]R>0[/texx]



Ahora [texx]f(0)=c_0\cdot{0^0}=c_0[/texx]. Los términos restantes se cancelan pues cero está elevado a un natural distinto de cero.

[texx]f'(0)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty{\displaystyle\frac{k!}{(k-1)!}c_k\cdot{0}^{k-1}}[/texx]   [texx]=[/texx]  [texx]c_1[/texx]  Los términos restantes se cancelan para [texx]0^{k-1}[/texx] donde [texx]k\neq{1}[/texx]

En general [texx]f^{(n)}(0)=\displaystyle\sum_{k=n}^\infty{\displaystyle\frac{k!}{(k-n)!}c_k\cdot{0^{k-n}}}[/texx]   [texx]=[/texx]    [texx]n!c_n[/texx]  . Los demás términos se cancelan si[texx]k\neq{n}[/texx].





Ahora, como [texx]f(x)=0[/texx]   en [texx](-S,S)[/texx]   tenemos por lo tanto para cualquier derivada [texx]n[/texx],   [texx]f^{(n)}(x)=0[/texx]. Se deduce que los coeficientes [texx]c_n=0[/texx]   para todo [texx]n[/texx].

Como los coeficientes son cero en [texx](-S,S)[/texx], también son cero en [texx](-R,R)[/texx] por tratarse de la misma serie de potencias. Y también son cero en [texx]\mathbb{R}[/texx].   (Me podrían confirmar la última idea acerca de los coeficientes cero)

Atento a correcciones y comentarios

Muchísimas gracias.
20  Matemática / Cálculo 1 variable / Serie de potencias con valor cero en un intervalo. : 29/12/2018, 02:25:59 pm
Hola ¿qué tal?

Me gustaría que me ayudaran (o que me dieran alguna pista) de cómo probar lo siguiente:

Sea [texx]f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{c_kx^k}[/texx]  una serie de potencias con radio de convergencia [texx]R>0[/texx], y con la propiedad que [texx]f(x)=0[/texx]  para todo  [texx]|x|<S[/texx]   donde  [texx]0<S<R[/texx]  ( o   [texx]0<S\leq{R}[/texx] si es que influye). Probar que [texx]c_k=0[/texx],  para todo [texx]k[/texx].

A ver si me dan alguna pista por favor,

Muchas gracias.
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