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1  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Demostrar que todo conjunto de n vectores es una base, siendo LI : 16/08/2019, 01:39:42 pm
Demuestre que todo conjunto de [texx]n[/texx] vectores linealmente independiente del espacio vectorial [texx]V[/texx], es una base para [texx]V[/texx].

Revisa el enunciado, esa proposición es falsa. Sería cierta si se añade [texx]\dim V=n[/texx].

Hola fernando, si efectivamente tienes razon, aparece asi; [texx]\dim V=n[/texx], con esto ultimo iniciando.
2  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Demostrar que todo conjunto de n vectores es una base, siendo LI : 16/08/2019, 12:00:07 pm

Muy buenas amigos y compañeros del foro

Tengo este problema:

Demuestre que todo conjunto de [texx]n[/texx] vectores linealmente independiente del espacio
vectorial [texx]V[/texx], es una base para [texx]V[/texx].

Lo anterior (si no estoy mal) es un teorema pero su demostración no la encuentro.
Ahora si usamos la hipótesis de que es L.I. entonces existiran [texx]n[/texx] escalares tal que;
[texx]a_1(v_1)+a_2(v_2)+....+a_n(v_n)=0[/texx] donde [texx]v[/texx] es un vector de [texx]V[/texx]
y [texx]0[/texx] es el vector nulo. De aqui, ¿Como hago para afirmar que es una base de [texx]V[/texx]?

Quedo a la espera de sus comentarios :BangHead: :BangHead: :BangHead: :BangHead:
3  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Si [texx]K[/texx] es un campo entonces [texx]1_k[/texx][texx]\neq{0_k}[/texx] : 08/08/2019, 08:49:54 pm
Es suficiente con demostrar que [texx]x\cdot 0=0[/texx] para cualquier [texx]x\in K[/texx], ya que de otro modo tendríamos que [texx]K=\{0\}[/texx], pero la definición de grupo muestra que el conjunto vacío no puede ser un grupo abeliano, así que no es posible que [texx]\{0\}[/texx] sea un campo.

Para demostrar que, dado un [texx]x\neq 0[/texx] tienes que [texx]x\cdot 0=0[/texx] puedes empezar por [texx]x\cdot 0=x\cdot({\color{red}{0+0}})[/texx], etcétera.

CORRECCIÓN: el camino indicado originalmente no iba a funcionar, ya que para demostrar que [texx]x\cdot (x+(-x))=y\implies y=0[/texx] uno necesita previamente conocer que [texx]x\cdot 0=0[/texx], que es lo que tratamos de demostrar desde el inicio.

Hola, gracias por tu comentario, creo que quede en las mismas, me dices que tengo que empezar desde [texx]x\cdot (x+(-x))=y\implies y=0[/texx] , ahora pude ver en un apunte y lo adjuntare en una imagen y me podrás decir si es algo parecido a lo que me propones.
4  Matemática / Estructuras algebraicas / Si [texx]K[/texx] es un campo entonces [texx]1_k[/texx][texx]\neq{0_k}[/texx] : 08/08/2019, 06:57:52 pm
Estimados amigos, buenas tardes.

Tengo el siguiente problema:

Demuestre que si [texx]K[/texx] es un campo entonces [texx]1_k[/texx][texx]\neq{0_k}[/texx]

Nota del texto:
Se sabe que [texx]K[/texx] (en la suma) es un campo si es un grupo abeliano, ademas [texx](K-{0_k},\cdot{})[/texx]  es tambien un grupo
abeliano. Notaremos [texx]1_k[/texx] al neutro multiplicativo  y por [texx]x^{-1}[/texx] al inverso de  un elemento [texx]x\in K-\left\{0_k\right\}[/texx]

Luego la cuestión de mi duda, es que si ya [texx]K[/texx] es un campo como compruebo que  [texx]1_k[/texx][texx]\neq{0_k}[/texx]

Les agradezco su ayuda de antemano. Gracias  :BangHead: :BangHead: :BangHead:
5  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Teorema de Taylor para hallar la solución en serie : 31/07/2019, 09:00:53 pm

Tengo el siguiente problema de ecuaciones diferenciales:

Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de [texx]y^{\prime}[/texx]=[texx]y^2-x[/texx] con la condición inicial
[texx]y=1[/texx] en [texx]x=0[/texx]

Espero una manita (Manota)  :sonrisa_amplia: :sonrisa_amplia: :sonrisa_amplia: :¿eh?: :¿eh?: :BangHead: :BangHead:

saludos
6  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Serie de potencias, ejercicio : 31/07/2019, 08:00:22 pm

Hola a todos, tengo un problema de ecuaciones diferenciales para realizarlo por el método
de series de potencia, pero este ejercicio en particular no recuerdo como hacerlo ya que solo tiene
el termino [texx]y^{\prime}[/texx] y no tiene (en el mismo ejercicio) la [texx]y[/texx]

Problema:

[texx]y^{\prime}[/texx]=[texx]3x^2[/texx]

Se que tengo que encontrar una regla generar para el coeficiente, pero no recuerdo si esa [texx]x[/texx]
me puede representar un problema.

Muchas gracias!!

Esa parece ser una ODE si establecemos que [texx]y[/texx] es una función de [texx]x[/texx]. No conozco el método de la serie de potencias pero si como digo [texx]y[/texx] es una función en [texx]x[/texx] entonces integrando a ambos lados respecto de [texx]x[/texx] sale el conjunto de soluciones.



ACTUALIZACIÓN: ok, parece que ya entiendo lo que es el método de las series: debemos suponer que [texx]y[/texx] es analítica, entonces puede escribirse como una serie respecto de cualquiera de los puntos de su dominio, por ejemplo del cero, lo que nos deja [texx]y(x)=\sum_{k\ge 0} a_k x^k[/texx], entonces nuestra ecuación diferencial adquiere la forma

[texx]\displaystyle y'(x)-3x^2=\sum_{k\ge 1} a_kk x^{k-1}-3x^2=0[/texx]

de lo que deducimos que [texx]a_k=0[/texx] para todo [texx]k\in\Bbb N\setminus\{0,3\}[/texx], y que [texx]a_3=1[/texx], por tanto las soluciones son [texx]y(x)=x^3+a_0[/texx], para cualquier [texx]a_0\in\Bbb R[/texx].

Exactamente diste en el clavo!!, muchas gracias, aunque me gustaría saber, no recuerdo bien (estudie esto hace 10 años una única vez) lo de [texx]y[/texx] es analitica.
7  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Serie de potencias, ejercicio : 31/07/2019, 07:58:21 pm

Hola a todos, tengo un problema de ecuaciones diferenciales para realizarlo por el método
de series de potencia, pero este ejercicio en particular no recuerdo como hacerlo ya que solo tiene
el termino [texx]y^{\prime}[/texx] y no tiene (en el mismo ejercicio) la [texx]y[/texx]

Problema:

[texx]y^{\prime}[/texx]=[texx]3x^2[/texx]

Se que tengo que encontrar una regla generar para el coeficiente, pero no recuerdo si esa [texx]x[/texx]
me puede representar un problema.

Muchas gracias!!

Esa parece ser una ODE si establecemos que [texx]y[/texx] es una función de [texx]x[/texx]. No conozco el método de la serie de potencias pero si como digo [texx]y[/texx] es una función en [texx]x[/texx] entonces integrando a ambos lados respecto de [texx]x[/texx] sale el conjunto de soluciones.

No, en mi caso debe hacerse por el método que mencione, es decir, serie de potencia. Obviamente que
por el metodo sencillo de variables separables se resuelve fugaz, pero necesito es ese método en particular.
8  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Serie de potencias, ejercicio : 31/07/2019, 06:38:03 pm

Hola a todos, tengo un problema de ecuaciones diferenciales para realizarlo por el método
de series de potencia, pero este ejercicio en particular no recuerdo como hacerlo ya que solo tiene
el termino [texx]y^{\prime}[/texx] y no tiene (en el mismo ejercicio) la [texx]y[/texx]

Problema:

[texx]y^{\prime}[/texx]=[texx]3x^2[/texx]

Se que tengo que encontrar una regla generar para el coeficiente, pero no recuerdo si esa [texx]x[/texx]
me puede representar un problema.

Muchas gracias!!
9  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Re: Problema de Aplicación (Población) : 02/07/2019, 04:38:04 pm
Hola


No recuerdo como realizar este tipo de problemas, solo se que hay una ecuación de esta forma:
[texx]P\left(t\right)=P_0e^{kt}[/texx] ; el problema es el siguiente:

Un grupo de bacterias crece a un ritmo proporcional a la cantidad de bacterias existentes entre las 6:00 pm y las 7:00 pm
la población se triplica. ¿A que hora sera cien veces la que había a las  6:00 pm?

Espero su aporte, gracias.  :BangHead: :BangHead: :BangHead: :BangHead:

Que las bacterias crezcan propocionalmente a las existentes significa que:

[texx]p'(t)=kp(t)[/texx]

Resolviendo esa EDO:

[texx]p(t)=p_0\cdot e^{kt}[/texx]

Si situamos el tiempo [texx]0[/texx] a las [texx]6[/texx] tenemos que en una hora la población se triplica, es decir:

[texx]p(1)=3p(0)\quad \Leftrightarrow{}\quad p_0e^{k}=3p_0\quad \Rightarrow{}\quad e^k=3[/texx]

Por tanto:

[texx]p(t)=p_0\cdot 3^t[/texx]

Ahora resuelve:

[texx]p(t)=100p(0).[/texx]

Saludos.

Muchas gracias
10  Matemática / Ecuaciones diferenciales / Problema de Aplicación (Población) : 02/07/2019, 12:13:41 am

No recuerdo como realizar este tipo de problemas, solo se que hay una ecuación de esta forma:
[texx]P\left(t\right)=P_0e^{kt}[/texx] ; el problema es el siguiente:

Un grupo de bacterias crece a un ritmo proporcional a la cantidad de bacterias existentes entre las 6:00 pm y las 7:00 pm
la población se triplica. ¿A que hora sera cien veces la que había a las  6:00 pm?

Espero su aporte, gracias.  :BangHead: :BangHead: :BangHead: :BangHead:
11  Matemática / Topología (general) / \(f(A)\cap{\left(f\left(A\right)\right)'}=\emptyset\) ? : 28/05/2019, 02:04:45 pm
Otro problema para finalizar la mañana:

Sea [texx]f:X\rightarrow{Y}[/texx] un homeomorfismo y sea [texx]A\subset{X}[/texx]  tal que [texx]A\cap{A´=\emptyset}[/texx]
Entonces;  [texx]f(A)\cap{\left(f\left(A\right)\right)´}=\emptyset[/texx].

Ahora si mal no estoy, la propiedad topológica de [texx]A\cap{A´=\emptyset}[/texx] es un punto aislado. Creo que tiene la misma estructura de uno de los que ya están en alguno de los hilos de Topología General. 
Entonces como [texx]f[/texx] es un homeomorfismo, entonces la función es continua y  biyectiva. Entonces
[texx]A\cap{A´=\emptyset}[/texx]
[texx]f(A)\subset{Y}[/texx] y [texx]f(A´)\subset{Y}[/texx] de esto último, es claro que [texx]\left(f\left(A\right)\right)´\not\subset{Y}[/texx]
en consecuencia [texx]f(A)\cap{\left(f\left(A\right)\right)´}=\emptyset[/texx]
¿ Qué está mal?
12  Matemática / Topología (general) / Re: Demostrar que dos funciones son homeomorfismos : 28/05/2019, 01:20:12 pm
Muchas gracias, en el pdf que me compartiste, esta la idea que necesito de manera puntual, en inicio
la que tu me diste. Si tienes mas material bueno en donde encuentre teoremas, definiciones con ejemplos
claros me podrias ayudar.

Gracias
13  Matemática / Topología (general) / Demostrar que dos funciones son homeomorfismos : 28/05/2019, 12:56:59 pm

Tengo el siguiente problema:

Sean [texx]f:X\rightarrow Y\:[/texx] y [texx]g:Y\rightarrow Z[/texx] continuas. Demostrar que si [texx]g\circ \:f:X\rightarrow Z\:[/texx]
es un homeomorfismo, entonces el hecho de que [texx]g[/texx] sea inyectiva (o [texx]f[/texx] sobreyectiva) implica que [texx]f[/texx] y
[texx]g[/texx] son homeomorfismos.

Sabemos que una función (en este caso [texx]g\circ \:f:X\rightarrow Z\:[/texx]) es un homeomorfismo si es biyectiva y continua.
Ahora, ¿Es necesario saber que ambas funciones [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx] son biyectivas? ¿Como puedo usar la información de la hipótesis?
 :BangHead: :BangHead: :BangHead: :BangHead:
saludos
14  Matemática / Topología (general) / Re: Demostrar que una funcion es continua pero no es abierta ni cerrada : 27/05/2019, 10:34:41 pm

Tengo el siguiente problema:

Demostrar que la funcion [texx]f:\left\{0,\infty \right\}\rightarrow \left[-1,1\right]\:[/texx]  definida por [texx]f\left(x\right)=sen\left(\frac{1}{x}\right)[/texx] es continua pero no es abierta ni cerrada  cuando [texx]\left(0,\infty \right)[/texx] y [texx][-1,1][/texx]  poseen las topologias
 usuales relativizadas.

La verdad no se como abordarlo con la definición normal de continuidad.

 :BangHead: :BangHead: :BangHead:

saludos

Una idea: si no es abierta ni cerrada entonces existe un abierto (rel. cerrado) en el dominio de [texx]f[/texx] cuya imagen no es abierta (rel. cerrada) en el codominio de [texx]f[/texx]. Así que te basta buscar un abierto (y un cerrado) apropiado en el dominio de la función para demostrar que no es abierta (ni cerrada).

Lo de continuidad es sencillo: se puede demostrar que la composición de funciones continuas es una función continua. La demostración es sencilla y directa de la definición de continuidad de cada una de las funciones y de la composición.

No entiendo muy bien, no veo facil construir abiertos en el dominio cuya imagen no es abierta (¿intervalo abierto-cerrado?).
Para mi la cosa no esta tan sencilla.

saludos
15  Matemática / Topología (general) / [texx]\left\{f\left[B\right]:B\:\in \:\mathbb{B}\right\}[/texx] es base? : 27/05/2019, 08:03:55 pm

Tengo el siguiente problema para resolver.

Sea [texx]f:\left(X,\:T\right)\rightarrow \left(Y,\:T_y\right)[/texx] una función abierta y sobreyectiva, y sea
[texx]\mathbb{B}[/texx] una base de [texx]T[/texx]. Entonces [texx]\left\{f\left[B\right]:B\:\in \:\mathbb{B}\right\}[/texx]
es una base de [texx]T_y[/texx]

Aquí tengo los datos que por hipótesis el problema me entrega: Es una función abierta y sobreyectiva, esto ultimo me
garantiza que para todo abierto [texx]U\subset{Y}[/texx] siempre obtendré preimágenes, es decir, [texx]f^{_{-1}}\left(U\right)=A\:[/texx]
donde [texx]A[/texx] es un abierto en [texx]X[/texx]. Luego la otra que tenemos a disposición es que la función antes dada (en el problema)
es una base de [texx]T[/texx], esto implica que para cada elemento [texx]x\in{A}[/texx][texx]\subset{X}[/texx] , existe un[texx]B\in{\mathbb{B}}[/texx] tal que  [texx]x\in{B}[/texx][texx]\subset{A}[/texx].

Mi pregunta es, ¿Como articulo esa información para darle forma a la demostración?

Gracias por su ayuda de antemano.
Saludos.

16  Matemática / Topología (general) / Demostrar que una funcion es continua pero no es abierta ni cerrada : 27/05/2019, 01:34:31 pm
Tengo el siguiente problema:

Demostrar que la funcion función [texx]f:\left\{0,\infty \right\}\rightarrow \left[-1,1\right]\:[/texx]  definida por [texx]f\left(x\right)=sen\left(\frac{1}{x}\right)[/texx] es continua pero no es abierta ni cerrada  cuando [texx]\left(0,\infty \right)[/texx] y [texx][-1,1][/texx]  poseen las topologias
 usuales relativizadas.

La verdad no se como abordarlo con la definición normal de continuidad.

 :BangHead: :BangHead: :BangHead:

saludos
17  Matemática / Topología (general) / Re: Continuidad: Demostrar que X es un espacio discreto : 26/05/2019, 01:01:23 am
Para ver que [texx]X[/texx] tiene la topología discreta tienes que mostrar que todo subconjunto [texx]U[/texx] de [texx]X[/texx] es abierto. Como te dicen que cualquier función [texx]f:X\to \mathbf R[/texx] es continua, para ver que [texx]U[/texx] es abierto es suficiente construir una función [texx]f[/texx] tal que [texx]U=f^{-1}(A)[/texx] para algún conjunto abierto [texx]A[/texx] de [texx]\mathbf R[/texx].

Intenta construir una función [texx]f[/texx] que haga eso. (Recuerda, cualquier función que definas de [texx]X[/texx] en [texx]\mathbf R[/texx] es continua por hipótesis.)

Gracias por tu respuesta, se me ocurre lo siguiente para hacer, no se si puede ser correcto.

Dado un [texx]x\in{X}[/texx]  y se define  una función [texx]f:X\longrightarrow{R}[/texx] de la siguiente manera :
[texx]f(y) = \left \{ \begin{matrix} 1 & \mbox{si }y\mbox{ =x}
\\ 0 & \mbox{si }y\in{X},y\neq{x}\mbox{ }\end{matrix}\right. [/texx]

Entonces, el intervalo [texx]\left(\frac{1}{2},\:\frac{3}{2}\right)[/texx] es abierto en [texx]R[/texx]  luego la imagen inversa
de ese intevalo abierto seria abierto, eso deberia ser una topologia discreta en [texx]R[/texx]



18  Matemática / Topología (general) / Continuidad: Demostrar que X es un espacio discreto : 26/05/2019, 12:00:17 am

Tengo el siguiente problema:

Considere la recta real [texx]R[/texx] con la topología usal. Demostrar que si toda funcion [texx]f:X\longrightarrow{R}[/texx] es continua
entonces [texx]X[/texx] es un espacio discreto.

Tengo esta definicion pero no se si es la que necesito en particular para este problema.
Una funcion es continua si y solo si, la imagen inversa de todo conjunto abierto es un conjunto
abierto. ¿Como puedo llegar a un espacio discreto?

saludos
19  Matemática / Topología (general) / Probar que un conjunto es abierto sii la intersección de dos conjuntos lo es : 24/05/2019, 05:44:01 pm
 
Tengo el siguiente problema

Sean [texx]A,B[/texx] y [texx]C[/texx], subconjuntos de un espacio topológico [texx]X[/texx] tales que [texx]C\subset{A\cup{B}}[/texx].
Dadas las topologías relativas de [texx]A[/texx] , [texx]B[/texx] y [texx]A\cup{B}[/texx], demostrar que [texx]C[/texx] es abierto respecto
a [texx]A\cup{B}[/texx] si y solo si [texx]C\cap{A}[/texx] es abierta respecto a [texx]A[/texx] y [texx]C\cap{B}[/texx] es abierta respecto
 a [texx]B[/texx].

Tengo una idea que me no me convence, porque tengo que probar que un conjunto es abierto  respecto a una unión si y solo si
una intersección abierta. Esto me pone a pensar en topología de complementos finitos o estoy muy perdido, gracias.
Espero su ayuda.
20  Matemática / Topología (general) / Re: Demostración topologica : 24/05/2019, 12:37:44 pm
Hola

Tengo este problema bastante interesante, aqui se los dejo.

Sea[texx](Y,T_Y)[/texx] un  subespacio de [texx](X,T[/texx]. Para todo conjunto de [texx]A[/texx]  de [texx]Y[/texx]
sean [texx]\overline{A}[/texx] y [texx]Aº[/texx] la clausura y el interior con respecto a [texx]T[/texx], sean [texx](\overline{A}_Y)[/texx] y
[texx](Aº_Y)[/texx] y la clausura y en el interior de [texx]A[/texx] respecto a[texx]T_Y[/texx]. Demostrar [texx]i)[/texx][texx](\overline{A}_Y)[/texx]=[texx]\overline{A}\cap{Y}[/texx] ; [texx]ii[/texx]) [texx]Aº=(Aº)_y\cap{Yº}[/texx]

Te ayudo con uno e intenta el otro.

Recuerda que la clausura de un conjunto es el menor cerrado que lo contiene.

Entonces, dado [texx]A\subset Y[/texx], para probar que:

[texx]\bar{A}_Y=\bar A\cap Y[/texx]

hay que probar que [texx]\bar A\cap Y[/texx] es el menor cerrado de [texx]T_Y[/texx] que contiene a [texx]A[/texx].

Eso supone probar tres cosas:

i) Que [texx]\bar A\cap Y[/texx] es cerrado de [texx]T_Y.[/texx]
ii) Que [texx]\bar A\cap Y[/texx] contiene a [texx]A[/texx].
iii) Que si [texx]E[/texx] es otro cerrado de [texx]T_Y[/texx] que contiene a [texx]A[/texx], entonces [texx]\bar A\cap Y\subset E[/texx].

Usaremos además lo que probaste aquí: un conjunto [texx]E[/texx] es cerrado en [texx]T_Y[/texx] si y sólo si [texx]E=F\cap Y[/texx] con [texx]F[/texx] cerrado de [texx]T[/texx].

Veámoslo:

i) Como [texx]F=\bar A[/texx] es cerrado de [texx]T[/texx], entonces [texx]F\cap Y=\bar A\cap Y[/texx] es cerrado en [texx]T_Y[/texx].

ii) Como [texx]A\subset \bar A[/texx] y [texx]A\subset Y[/texx], entonces [texx]A\subset \bar A\cap Y[/texx].

iii) Sea [texx]E[/texx] cerrado de [texx]T_Y[/texx], tal que [texx]A\subset E[/texx]. Entonces existe [texx]F[/texx] cerrado de [texx]T[/texx] tal que[texx] E=F\cap Y[/texx] y por tanto [texx]A\subset E\subset F.[/texx] Como [texx]F[/texx] es cerrado en [texx]T[/texx] y [texx]A\subset F,[/texx] entonces [texx]\bar A\subset F[/texx]. Por tanto [texx]\bar A\cap Y\subset F\cap Y=E[/texx].

Saludos.

Muchas gracias, creo que ya lo veo un poco mas claro.
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