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1  Matemática / Análisis Matemático / Re: Calcular matriz de paso : 30/06/2019, 09:10:13 pm
Pues bien, no sé como hallar la matriz de paso [texx]P[/texx] (como digo, en el caso NO diagonalizable) y quería saber si me echáis una mano para un caso general (matriz nxn) pues tengo ejercicios de matrices 3x3 otros de 4x4 etc.

Aquí tienes un método general y dos ejemplos (de órdenes 3 y 4): Cálculo de una base de Jordan.
 

Muchas gracias!
¿Y sabrías cómo calcular la matriz exponencial? He visto en internet algo suelto de [texx]e^{tA}[/texx] pero en los ejercicios también me piden a veces calcular [texx]e^A[/texx] y de esa no encuentro información, y desde la página que me pasaste vi un ejemplo de matriz exponencial, pero la calculas directamente y no sé digamos de dónde la sacas
Gracias de antemano!
2  Matemática / Análisis Matemático / Calcular matriz de paso : 30/06/2019, 04:16:32 am
Buenas a todos.
Estoy dando sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, y en un ejercicio tengo que resolver el sistema.
Sé que, tras análisis, la matriz que obtengo del sistema no es diagonalizable, y tengo que hallar la matriz de paso [texx]P[/texx] que verifique que [texx]A=P\cdot{}J\cdot{}P^{-1}[/texx] donde [texx]A[/texx] es la matriz inicial y [texx]J[/texx] la forma canónica de Jordan. Pues bien, no sé como hallar la matriz de paso [texx]P[/texx] (como digo, en el caso NO diagonalizable) y quería saber si me echáis una mano para un caso general (matriz nxn) pues tengo ejercicios de matrices 3x3 otros de 4x4 etc.
Gracias de antemano :guiño:
3  Matemática / Álgebra / Re: Libros de teoría de grupos y teoría de Galois : 20/06/2019, 07:47:00 pm
Para Galois te recomiendo el Galois Theory de David A. Cox y para grupos el Gallian (Contemporary Abstract Algebra - Joseph A. Gallian). Buscalos en library genesis.

Saludos, aun los sigo estudiando. :cara_de_queso:
Vale, muchas gracias :cara_de_queso:
4  Matemática / Álgebra / Libros de teoría de grupos y teoría de Galois : 16/06/2019, 02:13:19 pm
Buenas tardes!!
Queria saber si sabéis de libros (en español a poder ser) en los que se explique bien la teoría de grupos y teoría de galois ya que con los apunte de clase no entiendo nada porque está muy mal explicada  :enojado:
Los temas que tratamos fueron los siguientes:
Teoría de grupos:
Grupos simétricos y diedrales. Teorema de Lagrange
Grupos cíclicos.
Grupos finitos.
Grupos resolubles.
Grupos abelianos finitamente generados.
 

Teoría de galois:
Criterios de irreducibilidad de polinomios. Cuerpos de Fracciones. Característica de un cuerpo
Extensiones Algebraicas de cuerpos.
Cuerpos finitos
Cuerpos de descomposición y extensiones normales.
La correspondencia de Galois.
Resolución de ecuaciones algebraicas.
5  REGLAS, Herramientas, Tutoriales / Geogebra / Re: Trasladar problema real a geogebra : 09/11/2018, 11:15:55 am
Ah, sí perfecto, muchas gracias  :guiño:
Sin embargo, otra pequeña duda. He hecho el lugar geométrico y me ha salido una parábola cóncava hacia abajo. Sin embargo, me gustaría analizar esta parábola: ver cuál es el mínimo (aunque yo ya lo sepa por los cálculos que he hecho), dominio, recorrido, etc.
Sin embargo, con la herramienta Analizador de Funciones no me sale la opción de analizarla y no sé muy bien cómo hacerlo.  :¿eh?:
De nuevo, gracias de antemano ^^
6  REGLAS, Herramientas, Tutoriales / Geogebra / Re: Trasladar problema real a geogebra : 08/11/2018, 04:51:22 pm
Antes que todo muchas gracias! Me ha servido de ayuda^^
Pero como dije anteriormente el problema es cómo delimitar el tamaño máximo de la barra. Me explico:
Hemos supuesto la anchura del pasillo [texx]a[/texx] mayor que la de [texx]b[/texx], y al colocarlo en geogebra pues nos sale que la anchura de [texx]a=2[/texx] y la de [texx]b=1[/texx] (Pero se pueden tomar otras anchuras).
El caso es que utilizando el problema algebraico que he resuelto me sale que la longitud máxima de la barra de hierro ha de ser, aproximádamente, [texx]4.16[/texx] unidades para que pueda pasar de un pasillo a otro.
Sin embargo, en la animación que usaste, el tamaño de la barra [texx](\bar{IH})[/texx] puede tomar valores de hasta [texx]8.03[/texx] unidades, por ponerte alguna, y tanto visual como analíticamente, una barra de ese tamaño no puede pasar de uno a otro de los pasillos que hemos propuesto.
Y esta era la duda inicial que tenía (a parte de la de animación) ya que no sé como restringir la longitud del segmento que se forma entre los pasillos  :indeciso:
De nuevo, gracias  :sonrisa:
7  REGLAS, Herramientas, Tutoriales / Geogebra / Trasladar problema real a geogebra : 08/11/2018, 03:20:14 pm
Buenas!
A ver, tengo un problema bastante curioso que me está costando la vida resolver porque tiene muchos apartados que creo que sabré resolver, pero el problema es que el primero de ellos, que es representar el enunciado del ejercicio en geogebra, no me sale, y sin este no puedo hacer nada  :BangHead:
El enunciado dice así:
Dos pasillos de anchuras a y b forman un ángulo recto. Se tiene una barra recta de hierro. ¿Cuál debe ser la máxima longitud de esta barra para que pueda pasar de un pasillo a otro?


Ahí he puesto dos pasillos. El vertical es el pasillo de anchura a, que he supuesto que su anchura es mayor que la de b, la del pasillo horizontal.
Entonces mi barra de hierro es el segmento rojo que se distingue en la imagen. Esa barra de hierro tendré que girarla desde el punto E porque si nos fijamos el segmento hace de hipotenusa entre la intersección de los dos pasillos, por tanto en el punto E es donde mayor longitud podrá tener la barra.
¿Cuál es el problema? Que he de animar los dos puntos, y el problema que tengo es que no sé cómo, porque el inicio del segmento es el punto I y el final el punto H, pues no sé como hacer que este segmento vaya girando de manera que pase del pasillo vertical al horizontal, o al revés.
Y, además de esto, la barra, o sea, el segmento, va a llegar a tener una longitud máxima de manera que cuando alcance esa longitud no puede ser más grande, porque si lo fuese no podría pasar de un pasillo a otro, entonces tampoco sé cómo he de delimitar esto.

Algebraicamente lo tengo resuelto, y creo que está bien. Me sale que la longitud máxima de la barra ha de ser:
[texx]L=(a^{2/3}+b^{2/3})^{3/2}[/texx]

Pero vamos, que saber esto no me ayuda de mucho  :rodando_los_ojos:

Gracias de antemano  :guiño:
8  Matemática / Estructuras algebraicas / Ejercicio de verdadero y falso : 27/08/2018, 03:36:03 pm
Hola a todos. Tengo un ejercicio de verdadero y falso con tres cuestiones, y quisiera una ayudita:

(a) Toda factorización de [texx] -3+11i [/texx] en [texx]\mathbb{Z} [ i ][/texx] tiene 3 factores distintos.

Sé que en el caso de encontrar la factorización esta es una ya que [texx]\mathbb{Z}[ i ][/texx] es [texx]d.f.u.[/texx]
Sin embargo, para conseguir la factorización he seguido el proceso que se describe en esta web:

https://stackoverflow.com/questions/2269810/whats-a-nice-method-to-factor-gaussian-integers

y pese a que he llegado a buen puerto y al final he comprobado que el enunciado es verdadero, el proceso se me ha hecho largo y un tanto enrevesado, y es por eso por lo que me gustaría saber si existe alguna forma más sencilla y rápida de factorizar el número propuesto.

(b) [texx]2^{123}[/texx] es múltiplo de [texx]29[/texx]

Este enunciado es falso.
Para verlo, es lo mismo que probar:
[texx][2^{123}]_{29}=[0]_{29}[/texx]
Vamos a utilizar el pequeño Th. de Fermat. Para ello primero calculamos la phi de Euler de 29:
(Aquí disculpad, pero no sé cómo se escribe phi en Latex): Como 29 es primo: [texx]Phi(29)=29-1=28[/texx]
Ahora dividimos: [texx]123/28[/texx] que nos da como cociente [texx]4[/texx] y resto [texx]11[/texx]
Así: [texx]123=28\cdot{}4+11[/texx]

Luego [texx][2^{123}]_{29}=[2]_{29}^{123}=[2]_{29}^{28\cdot{4}+11}=([2]_{29}^{28})^4\cdot{[2]^{11}}[/texx] aplicamos ahora el teorema y obtendremos que:
[texx][2^{123}]_{29}=[2^{11}]_{29}=[18]_{29}[/texx]
Así vemos que es falso.
¿Lo he hecho bien o he fallado en algo?

Por último tenemos:
(c) Si [texx]I,J [/texx] son ideales de [texx]A[/texx], [texx]I\cup{J}[/texx] es ideal [texx]\Longrightarrow{I\subseteq{J}} \vee J\subseteq{I}[/texx]

Y aquí, a diferencia de los otros, no sé como resolverlo. Por más que aplico las propiedades de los ideales no llego a nada  :¿eh?:
Gracias de antemano.
9  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Probar y establecer isomorfismo de anillos : 27/08/2018, 02:25:10 pm

Diría que lo que se puede hacer es demostrar que no hay elementos nilpotentes.

Supón que existe [texx]a\in{\mathbb{Z_3}}\left[x\right][/texx] tal que:

[texx]\overline{a^n}=\overline{0}[/texx] [texx]\Rightarrow{}[/texx] [texx]a^n\in{\left<{2x^4+1}\right>}[/texx] Entonces [texx]a[/texx] debe ser divisible por todos los factores primos de [texx]2x^4+1[/texx], al tener todos ellos exponente [texx]1[/texx] tiene que ser [texx]a\in{\left<{2x^4+1}\right>}[/texx] (es decir, que [texx]a[/texx] es múltiplo de [texx]2x^4+1[/texx]) y entonces [texx]\overline{a}=\overline{0}[/texx]

Primero, gracias por responderme, me ha servido de mucho  :guiño:
Aunque de todo lo que me pusiste esto fue lo único que no me quedó claro.
Entiendo que si [texx]\overline{a^n}=\overline{0}[/texx] [texx]\Rightarrow{}[/texx] [texx]a^n\in{\left<{2x^4+1}\right>}[/texx]
pero lo que no comprendo es por qué dices que al tener todos exponente [texx]1[/texx] entonces [texx]a\in{\left<{2x^4+1}\right>}[/texx]
Además de en sí no entender eso que pusiste, ¿no hay un factor con exponente [texx]2[/texx]?
Ya que [texx]2x^4+1=(x+1)(x+2)(2x^2+2)[/texx]
10  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Probar y establecer isomorfismo de anillos : 25/08/2018, 07:14:59 pm
Yo diría que la potencia enésima del representante de un elemento nilpotente de [texx]A/I[/texx] debe ser múltiplo de [texx]2x^4+1[/texx].

¿Y habría alguna forma de encontrarlos sin tener que tantear? Porque ahora mismo solo se me ocurre eso.

Una cosa, no es por liar la cosa, pero otra pregunta interesante sobre este enunciado es si [texx]A/I[/texx] es isomorfo a [texx]\mathbb{Z_{81} }[/texx].

Los anteriores isomorfimos que propusiste los probé fácilmente probando primero que era aplicación, luego que era biyectiva y luego que era homomorfismo, pues solo había 3 elementos y era fácil relacionar las unidades con unidades, el 1 con el 1 y el 0 con el 0.
¿En este caso? Para establecer un isomorfismo ¿existe alguna pauta o es simplemente probar?
Lo pregunto porque esta parte el profesor la pasó por encima y no hizo ningún caso práctico.

Saludos
11  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Probar y establecer isomorfismo de anillos : 25/08/2018, 06:38:44 am
Ah vale. Ya sí te entendí; pero entonces si quiero conseguir (en el caso de que exista) un elemento nilpotente ¿se aplicaría la misma lógica?
Es decir,
[texx]a[/texx] es nilpotente si [texx]\exists{n\in{\mathbb{N}}}[/texx] tal que [texx]a^n=0[/texx]
Entonces, en este caso para que un elemento sea nilpotente en lugar del cero tendría que dar un elemento multiplo de alguno de los divisores del polinomio?
12  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Probar y establecer isomorfismo de anillos : 24/08/2018, 04:26:31 pm
Perdona, pero no entiendo bien el razonamiento que utilizaste.
Multiplicas los factores que obtuvimos al reducir nuestro polinomio principal, ¿pero a parte de ellos como sabes que no hay más?
¿Y por qué dices que, por poner un ejemplo, [texx]2x^2+2x+2[/texx] es cero? Porque visualmente no lo veo :¿eh?:
Gracias de nuevo
13  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Probar y establecer isomorfismo de anillos : 24/08/2018, 09:35:46 am
Perdón. Lo he escrito al revés. [texx]A/I[/texx] es no dominio de integridad, porque por proposición, si [texx]I[/texx] es ideal primo [texx]\Longleftrightarrow{A/I}[/texx] es dominio de integridad
Pero como anteriormente vimos que [texx]I[/texx] no es ideal primo, entonces [texx]A/I[/texx] es no d.i.
Entonces mi pregunta era, que siendo esto cierto, ¿cómo podría buscar divisores de cero? Porque el anillo tiene 81 elementos y no sé si habría que ir tanteando hasta encontrar uno; además, como los coeficientes pertenecen a un cuerpo [texx]\mathbb{Z_3}[/texx] no sé cómo voy a lograr que al multiplicar dos elementos me de el [texx]0[/texx]
Perdona por no haber sido más claro antes.
14  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Probar y establecer isomorfismo de anillos : 23/08/2018, 07:34:53 pm
Ah vale, perfecto entonces.
Por ahora eso de [texx]\mathbb{F_9}[/texx] no lo he oído nunca, pero igual es lo que tu dices y quiere introducirlo más adelante.
Pero una duda que me ha surgido ahora haciendo este ejercicio.
Anteriormente demostré que [texx]A/I [/texx] con [texx]I=(q(x))=2x^4+1[/texx] es dominio de integridad.
Por tanto van a existir divisores de cero (y por ende, elementos nilpotentes). Sin embargo, ¿cómo es posible? Lo que quiero decir es: al multiplicar dos elementos de este anillo cociente, ¿los coeficientes no pertenecen a [texx]\mathbb{Z_3}[/texx]? Es que no consigo obtener el [texx]0+I[/texx] al multiplicar elementos del anillo cociente.
Gracias de antemano.
De verdad, me estás ayudando a aclarar varias dudas que tengo con esta parte.
15  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Probar y establecer isomorfismo de anillos : 22/08/2018, 09:18:54 pm
Pero lo que no entiendo es lo siguiente:
me pide ver si [texx]A/J[/texx] es isomorfo a [texx]\mathbb{Z_n}[/texx] donde [texx]n[/texx] es la cardinalidad de [texx]A/I[/texx]
El número de elementos de [texx]A/I[/texx] si no me equivoco se obtiene de tomar la cardinalidad de [texx]A[/texx] y elevarla al grado del polinomio que genera [texx]I[/texx], es decir: [texx]3^4=81[/texx] por tanto lo que tengo que ver es si [texx]A/J[/texx] es isomorfo a [texx]\mathbb{Z_81}[/texx]
Y como luego el profe pregunta en el ejercicio que de ser así establezcamos un isomorfimo, da a entender que se va a poder hacer, pero mi duda
es que para establecer un isomorfismo ambos anillos han de tener la misma cantidad de elementos, pero tomando los ideales generados por los polinomios que hemos obtenido al reducir [texx]q(x)[/texx] esto no se cumple.
¿Estoy errado?
16  Matemática / Estructuras algebraicas / Probar y establecer isomorfismo de anillos : 22/08/2018, 09:42:04 am
Buenas tardes.
Tengo un ejercicio que se me complica bastante. El enunciado es:

Sea [texx]A=\mathbb{Z_3}[/texx][texx]\left[x\right][/texx] y [texx]q(x)=2x^4+1[/texx] con coeficientes en [texx]\mathbb{Z_3}[/texx] determina si [texx]I=(q(x))[/texx] es ideal maximal. En caso contrario, hallar un ideal [texx]J[/texx] que contenga a [texx]I[/texx]. ¿[texx]A/J[/texx] es isomorfo a [texx]\mathbb{Z_n}[/texx] donde n es la cardinalidad de [texx]A/I[/texx]? Establecer isomorfismo.

Bien. Sabemos que  [texx]q(x)=2x^4+1[/texx] no es irreducible, ya que se anula para [texx]1 [/texx] y [texx]2[/texx]
Además, sabemos que [texx]\mathbb{Z_3}[/texx] es cuerpo, por tanto es dominio de integridad.
Como [texx]\mathbb{Z_3}[/texx] es d.i. entonces [texx]A=\mathbb{Z_3}[/texx][texx]\left[x\right][/texx] es d.i.
y por tanto [texx]A=\mathbb{Z_3}[/texx][texx]\left[x\right][/texx] es dominio de ideales principales.
Así, podemos hacer uso de la proposición que dice:
Sea [texx]B[/texx] d.i.p. [texx]b\in{B}-[/texx]{[texx]0[/texx]}, [texx]b\not\in{B*}[/texx] entonces son equivalentes:
1.[texx] b[/texx] elemento irreducible
2. [texx](b)[/texx] ideal maximal
3. [texx](b)[/texx] ideal primo
4. [texx]b[/texx] elemento primo

Como las hipótesis de la proposición se cumplen, pues yo las he visto con anterioridad, podemos aplicar dicha proposición. Por tanto, como
[texx]q(x)[/texx] no es irreducible entonces [texx]q(x)[/texx] no es elemento primo e [texx]I=(q(x))[/texx] no es ideal maximal.

No obstante, no sé ahora cómo conseguir un [texx]J[/texx] que contenga a [texx]I[/texx] y luego poder establecer un isomorfismo con él, por lo que agradecería una mano  :lengua_afuera:
Gracias :sonrisa:
17  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Analizar si un polinomio es primo e irreducible en un anillo : 17/08/2018, 08:28:28 pm
Pero, para aplicar eso (lo de que no es irreducibe si el polinomio tiene raíces) en la proposición tengo que solo vale para polinomios de grado 2 ó 3, y mi polinomio en cuestión es de grado 4 :¿eh?:
Y ¿para las otras dos cuestiones que comenté?
1. ¿Es cierto [texx]B[/texx] es dominio de ideales principales [texx]\Longrightarrow{}[/texx] [texx]B(x)[/texx] es dominio de ideales principales?
2 ¿Y como podría ver que el polinomio es primo?
18  Matemática / Estructuras algebraicas / Analizar si un polinomio es primo e irreducible en un anillo : 17/08/2018, 12:03:07 pm
Buenas.
Tengo un ejercicio que me trae un poco de cabeza  :BangHead:
Tengo el polinomio [texx]q(x)=2x^4+1[/texx] con coeficientes en [texx]\mathbb{Z_3}[/texx]
Y me pide ver si es primo, irreducible, y de ser irreducible hallar su descomposición en irreducibles.
Sin embargo, para ver si es primo no sé cómo hacerlo, ya que iba a utilizar el criterio de Eisenstein, pero lo tengo para los polinomios en [texx]\mathbb{Z}[/texx] y no sé si se puede aplicar para anillos cocientes.
Por otro lado, para ver si es irreducible tengo una proposición que dice:
[texx]A[/texx] dominio de integridad ([texx]A[/texx] a.c.u), [texx]a\in{A}-{0_A}[/texx] y [texx]a\not\in{A*}[/texx] entonces
si [texx]a[/texx] es primo de [texx]A[/texx] [texx]\Longrightarrow{}[/texx] [texx]a[/texx] es irreducible en [texx]A[/texx]
Luego, mi polinomio verifica las condiciones necesarias para aplicar la prop. y como [texx]Z3[/texx] es cuerpo, sabemos que es dominio de integridad; no obstante, lo que no sé si es cierto es que (en un anillo general [texx]B[/texx]) si [texx]B[/texx] es cuerpo [texx]\Longrightarrow{}[/texx] [texx]B(x)[/texx] es cuerpo, ya que sería la otra condición necesaria.
En el caso de no ser así, y por tanto, no poder aplicar esta proposición: ¿Cómo podría ver si es irreducible?
Gracias de antemano.
19  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Anillo cociente : 20/06/2018, 12:05:11 pm
Muuuchas gracias  :cara_de_queso:
20  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Anillo cociente : 19/06/2018, 11:24:11 am
Hola

Es decir, por lo que me has dicho entiendo que mi polinomio no es unidad porque no es un polinomio constante, pero hay otros apartados del ejercicio que carecen de sentido si mi polinomio no es unidad :/

¿Exactamente qué apartado crees que carece de sentido por no ser unidad?. ¿Has entendido el porqué no es unidad? Fíjate que aunque yo te he dado un argumento general, también se puede hacer a mano.

Si tienes:

[texx](2x^4+1)p(x)=1[/texx]

y el término de mayor grado de [texx]p(x)[/texx] es [texx]ax^n[/texx] entonces el término de mayor grado del producto es [texx]2ax^{n+4}[/texx]; dado que en [texx]Z_3[/texx] si [texx]a\neq 0[/texx], [texx]2a\neq 0[/texx] es imposible por tanto que ese producto sea igual a [texx]1[/texx] (un polinomio de grado cero).

Saludos.

Vale, no. En el apartado que era necesario que fuese unidad era con otro polinomio.
Entonces, por lo que me has explicado, puedo también concluir (más o menos con un argumento similar al tuyo) que no será divisor de cero y por tanto como sabemos que si [texx]a [/texx] nilpotente [texx] \Rightarrow{a }[/texx] divisor de cero; y teniendo que [texx]a [/texx] no es divisor de cero [texx]\Rightarrow{a}[/texx] no es nilpotente.
Y por otro lado, sabemos que [texx]q(x)[/texx] es un no divisor de cero [texx]\Longleftrightarrow{}[/texx] [texx]q(x)[/texx] es cancelable
Luego como, [texx]q(x)[/texx] no es divisor de cero [texx]\Rightarrow{q(x)}[/texx] es cancelable
¿Sería así?
Por otro lado, ¿un elemento de un anillo puede no ser unidad ni divisor de cero? Pensaba que siempre un elemento tenía que ser una cosa u otra, por lo menos hasta ahora con los ejercicios que hemos trabajado en clase así ha sido.

Gracias de antemano.
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