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1  Matemática / Teorema de Fermat / Re: Los casos n = 2m (m = impar) : 29/09/2015, 03:55:24 am
Hola,


Hola,




Si:  [texx]z^{2m}=x^{2m}+y^{2m}[/texx] ,  para:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] ,  coprimos 2 a 2, uno de ellos par y m = impar.

Entonces:  [texx]z^m=a^2+b^2[/texx] ,  para  [texx](a,b)=1\,\,\,\wedge\,\,\,(a\,\vee\,b)\,=\,\,par[/texx]

Como yo sé que entonces:  [texx]z^2\neq{x^2+y^2}[/texx]

Ocurrirá que:  [texx]\color{red}z\neq{c^2+d^2}\color{/red}[/texx]



Hola.

Ya me he perdido.

¿Cómo demuestras lo resaltado en rojo?

Un cordial saludo.


He seguido el siguiente razonamiento:

Si:  [texx]z^2=x^2+y^2[/texx]  implica necesariamente que:  [texx]z=c^2+d^2[/texx] .

Luego si: [texx]z^2\neq{x^2+y^2}[/texx] ,  entonces no puede darse que  [texx]z=c^2+d^2[/texx] .  Porque si esto se diera, yo siempre podría hallar un:  [texx]y=c^2-d^2[/texx]  "y" un:  [texx]x=2cd[/texx] ;  tal que:  [texx]z^2=x^2+y^2[/texx] .



Un saludo,
2  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n = 3 por descenso infinito : 04/05/2015, 05:03:31 am
Hola amigos,

Me habéis llegado al corazón, no esperaba respuesta de nadie. ¡Muchas gracias por vuestra atención! Os leo y me da pena dejarlo. La verdad es que me he marcado otros objetivos sí. Voy a intentar estudiar otra carrera, la de Filosofía se me ha quedado corta. Matemáticas no será, aunque pueda parecer lo contrario no me encuentro dotado para ella. Pero tomo nota de vuestro interés; si en algún momento decido volver os buscaré -hablo en serio-. No veo una mala idea el asociarme con alguno de vosotros para desde esa sociedad atacar Fermat. Quizás ésa sea la solución suficiente para lograrlo.


Si el problema es que se te ha acabado la "munición", yo puedo proporcionarte unas cuantas "cajas", de cuestiones que, aunque no he conseguido que lleguen a nada concreto (puede ser que sea por mi torpeza  :BangHead:), lleven a abrir nuevas lineas de pensamiento.

Siguiendo tu metáfora militar, mente oscura, te diré que no creo en tu torpeza como soldado. Me explico. Estoy seguro de la cantidad y calidad de tu "munición", lo has demostrado sobradamente, pero ¿y la artillería pesada o los blindados? Sin ellos no hay nada que hacer. Ésta es la conclusión a la que he llegado. Si puedes conectar de alguna manera el caso n = 3 con el caso n = 2, entonces tendrías esa artillería; pero se me antoja, al menos a día de hoy, algo realmente complicado. Sin eso tendrías antes que elaborar algo nuevo en aritmética, demostrarlo con carácter general y después aplicarlo a Fermat con éxito. Éstas son las dos únicas alternativas que veo posibles. Te las comento porque me encantaría que fueras tú el que lo lograras, lo digo sinceramente.


En esta pequeña despedida no me quiero olvidar de el_manco. Representa para mí lo mejor de las matemáticas. Gracias a él podemos estar los demás aquí. Si hubiera muchos como él repartidos en los Institutos y Universidades de España, reventaríamos los informes Pisa y seríamos la primera potencia mundial en matemáticas. ¡Muchas gracias por todo el_manco!!


Un saludo y hasta la próxima!!
3  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n = 3 por descenso infinito : 02/05/2015, 04:13:39 pm
Hola,

Bueno, pues se ha cumplido la peor de mis hipótesis, todo mal; hasta la intención, que es lo más importante.

Por mi parte creo que no me precipito si digo que ya no voy a continuar poniendo más propuestas en este hilo, no me ha quedado nada en la cartera. De hecho creo que por una temporada (larga) hasta aquí he llegado con la cuestión "Fermat". Mis conclusiones por lo menos son claras: El caso n = 3, al igual que el caso n = 4, sólo se puede abordar por el absurdo de sus propiedades infinitas, que hay que encontrarles. El caso n = 4 es relativamente sencillo debido al apoyo que tenemos en el caso n = 2, del que conocemos todo lo relativo a su solución por enteros. Si el caso n = 3 no puedo apoyarlo de alguna manera en el caso n = 2, no veo solución sencilla por ninguna parte; en todo caso a la que llegó Euler, pero para eso ya está la suya. Luego está la vía de Gauss, que es supongo la matemáticamente más correcta, pero eso ya se sale de la aritmética elemental, que es el caso. Lo mejor, como ocurre en casi todas las cosas de la vida, la gente que me he encontrado por el camino. Yo espero haber contribuido a despejarlo un pizca más.


Un saludo a tod@s,
F. Moreno
4  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n = 3 por descenso infinito : 02/05/2015, 05:27:59 am
Hola mente oscura,


1º)

[texx]x^3+y^3=z^3 \rightarrow{}x^6+y^6=z^6[/texx]

Eso no es correcto, es como si dices que:

[texx]a^2+b^2=c^2 \rightarrow{}a^4+b^4=c^4[/texx]

2º)

No estaría garantizado, que fuese un entero:

[texx]x^{\frac{3}{2}}[/texx]


Punto 1º): Efectivamente, no es correcto. Al acostarme anoche después de publicar el post, pensando en ello, me di cuenta, pero he esperado hasta ahora por la mañana para escribirlo. Alucino conmigo mismo. ¡Vaya error de bulto! jajaja No tengo argumentos para explicarlo. Disculpas.

Punto 2º): No lo veo mente oscura.  [texx]x^\frac{3}{2}[/texx] ,  no es un punto de partida que hay que satisfacer, es una consecuencia que es válida como entero para todos los  [texx]w^6[/texx] , por ejemplo, respecto de cualquier " [texx]w[/texx] " entero; luego entiendo que puedo utilizarlo como elemento de una terna pitagórica. Este punto sería importante para mí aclararlo.


Un saludo y gracias por contestar,
5  Matemática / Teorema de Fermat / El caso n = 3 por descenso infinito : 01/05/2015, 06:36:10 pm
Hola,

Después de mi experiencia con el caso n = 4 del Teorema de Fermat-Wiles, aquí va mi intento de demostración por descenso infinito del caso n = 3. Un saludo,



Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^3+y^3=z^3[/texx] ;  entonces:  [texx]x^6+y^6=z^6[/texx]  y existirá siempre un:  [texx]\pmb{Y^3=z^6-x^6}[/texx] ,  tal que podemos establecer que  [texx]Y^3[/texx]  sea el cubo menor posible diferencia de dos sextas potencias coprimas entre sí.


a)  Sin pérdida de generalidad, puedo expresar que:  [texx]x^3+y^3=z^3\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{(x^{\frac{3}{2}})^2+(y^{\frac{3}{2}})^2=(z^{\frac{3}{2}})^2}[/texx] .  Y de aquí deducir la terna pitagórica:  [texx]x^{\frac{3}{2}}=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^{\frac{3}{2}}=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^{\frac{3}{2}}=a^2+b^2[/texx] ,  para  [texx]b[/texx]  par. Y como:  [texx]x^3=4a^2b^2\,\,\,\wedge\,\,\,x= \sqrt[3]{4a^2b^2}[/texx] ;  entonces:  [texx]a=a_1^3\,\,\,\wedge\,\,\,b=4b_1^3[/texx] ;  para cualesquiera  [texx]a_1,b_1[/texx]  enteros.


b)  Tendremos entonces que:  [texx](y^{\frac{3}{4}})^2=a^2-b^2[/texx] .  Por lo que existirá la terna pitagórica:  [texx]a=c^2+d^2\,\,\,\wedge\,\,\,y^{\frac{3}{4}}=c^2-d^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2cd[/texx] ,  para  [texx]d[/texx]  par. Como:  [texx]4b_1^3=2cd[/texx] ;  entonces:  [texx]b_1^3=c\,\dfrac{d}{2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^3\,\,\,\wedge\,\,\,\dfrac{d}{2}=d_1^3}[/texx] .  De esta forma:  [texx]a=c^2+d^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{a_1^3=(c_1^3)^2+(2d_1^3)^2\,\,\,\wedge\,\,\,(a_1^{\frac{3}{2}})^2=(c_1^3)^2+(2d_1^3)^2}[/texx] .  De donde puedo deducir a su vez la terna pitagórica:  [texx]a_1^{\frac{3}{2}}=e^2+f^2\,\,\,\wedge\,\,\,c_1^3=e^2-f^2\,\,\,\wedge\,\,\,2d_1^3=2ef[/texx] ,  para  [texx]f[/texx]  par.


c)  Luego:  [texx]d_1^3=ef\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{e=e_1^3\,\,\,\wedge\,\,\,f=f_1^3}[/texx] .  Pero entonces:  [texx]\pmb{c_1^3=e_1^6-f_1^6}\,\,\,\wedge\,\,\,\pmb{c_1^3\,\,<\,\,Y^3}[/texx] .  Lo que establecimos que no era posible.
6  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n=4. Una demostración alternativa (III) : 23/04/2015, 03:53:36 pm
Gracias como siempre el_manco por tus observaciones !

Creo que está bien. Un único matiz. Debes de comenzar con la ecuación:

[texx]x^4+Y^2=z^4[/texx]

 y olvidarte de la otra [texx]y[/texx]. Por que sino [texx]Y^2[/texx] no sería el menor cuadrado diferencia de dos potencias cuartas sin más, sino que además le estarías exigiendo que [texx]Y[/texx] fuese el cuadrado de otro número.

En cuanto tenga tiempo traslado la demostración al <a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=80158.0">hilo</a> que tengo abierto para eso en La Revista del Foro con la corrección que me indicas y lo corrijo también en las otras demostraciones dónde repito el mismo fallo.


Un saludo,
7  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n=4. Una demostración alternativa (III) : 23/04/2015, 10:13:56 am
Hola,


Tengo una ligera intuición de por donde pueden ir los tiros de tu confusión. Así que voy a lanzar un comentario sobre lo que creo que estás pensando.

La cuestión es que cuando tu a partir de la ecuación inicial [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] vas construyendo ternas pitagóricas, me parece que razonas como si todas ellas tienen que ser genéricas. Pero eso no es así; nosotros partimos de una supuesta solución concreta de la ecuación de Fermat y razonamos la existencia de ternas pitagóricas concretas con sus particularidades.

Pongo un ejemplo de lo que quiero decir: si yo razonando llego a que un número [texx]n [/texx] es de la forma [texx]n=2k [/texx] y por otra parte llego a que ese número es de la forma [texx]n=3k'[/texx], pensando de manera general como creo que haces tu diría: contradicción, [texx]n[/texx] no puede representar al mismo tiempo a cualquier número par y a cualquier número múltiplo de [texx]3[/texx]... son "estructuras" distintas. ¡No!. Como dije antes [texx]n[/texx] es un número concreto y lo único que habríamos deducido es que simultáneamente múltiplo de [texx]2[/texx] y de [texx]3[/texx]. Y no hay nada contradictorio en eso (lo que ocurre es que es múltiplo de [texx]6[/texx]).


Si las ideas que están manejando no tienen que ver con esto de alguna manera, estoy totalmente perdido sobre como pretendes razonar.


Sí, la cosa va por ahí. Creo que de todas formas algo se podría sacar en claro, pero la verdad es que no vale la pena ni aportaría nada sustancioso, así que dejo el tema. La verdad es que me doy cuenta que con esta cuestión del caso n = 4 del UTF voy ya un poco pasado de vueltas.. Como punto final voy a exponer aquí una versión más -la última- de demostración de este caso del Teorema de Fermat por el argumento del descenso infinito. Creo que es correcta porque el fondo de la cuestión es similar a otras ya realizadas, pero nunca se sabe del todo. Un saludo,



Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces:  [texx]y^4=z^4-x^4\,\,\,\wedge\,\,\,\,\,\pmb{Y^2=z^4-x^4}[/texx] ,  para  [texx]Y=y^2[/texx] ;  siendo  [texx]Y^2[/texx] , sin pérdida de generalidad, el cuadrado menor posible diferencia de dos cuartas potencias coprimas entre sí.


(a)     [texx]x^4+y^4=z^4\,\,\Rightarrow\,\,{(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2}[/texx] .  De donde deduzco la terna pitagórica:  [texx]x^2=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2[/texx] ,  para  [texx]b[/texx]  par.   


(b)    Como:  [texx]x=\sqrt{2ab}\,\,\Rightarrow\,\,{a=a_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2b_1^2}[/texx] ;  entonces:  [texx]y^2=(a_1^2)^{2}-(2b_1^2)^{2}\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=(a_1^2)^{2}+(2b_1^2)^{2}[/texx] .  De donde se deducen, respectivamente, las ternas pitagóricas:  [texx]2b_1^2=2cd\,\,\,\wedge\,\,\,y=c^2-d^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_1^2=c^2+d^2[/texx] ,  para  [texx]d[/texx]  par;  - y - :  [texx]2b_1^2=2ef\,\,\,\wedge\,\,\,a_1^2=e^2-f^2\,\,\,\wedge\,\,\,z=e^2+f^2[/texx] ,  para [texx]f[/texx]  par.


(c)    De esta manera, una terna solución  [texx]\pmb{(x,y,z)}[/texx]  para este caso 4 del Teorema de Fermat quedaría como:  [texx]\pmb{(2\,a_1\,b_1\,,\,c^2-d^2\,,\,e^2+f^2)}[/texx] ;  para:  [texx]b_1^2\,=\,cd\,=\,ef\,\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\,a_1^2\,=\,c^2+d^2\,=\,e^2-f^2[/texx] .


(d)    Y como:  [texx]mcd(cd)=mcd(ef)=1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,d=d_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,e=e_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,f=f_1^2}[/texx] ;  entonces:  [texx]a_1^2=e^2-f^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\pmb{a_1^2=e_1^4-f_1^4}}[/texx] .  Pero:  [texx]\pmb{a_1^2\,<\,Y^2}[/texx] ,  lo que dijimos que era imposible.   
8  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n=4. Una demostración alternativa (III) : 22/04/2015, 12:35:42 pm
Hola,


Si sigues pensando que tu idea encierra un argumento correcto que lleva a una contradicción, tienes que desmenuzarla y explicitarla de forma que enlazando una cadena de igualdades (y no  equivalencias o expresiones de significado poco preciso) llegues a ese resultado contradictorio.

Lo intento.

Definición previa: Si  [texx]\alpha[/texx]  es "cualquier par", entonces:  [texx]\alpha\,=\,2^{k=n}\alpha'\,,\,\,para\,\,n\in{\mathbb{N}}\,\,\wedge\,\,\alpha'=\,Impar[/texx] .

Tendremos entonces:

a)  El elemento par de una terna pitagórica primitiva:  [texx]2pq\,\,\,=\,\,\,2^{k+1}pq'[/texx] ,  para  [texx]q'[/texx]  impar  [texx]\pmb{\Rightarrow\,\,\,2pq}}[/texx] ,  para  " [texx]\pmb{q}[/texx] "  cualquier par.

b)  [texx]x^2=2ab\,\,\,=\,\,\,(2^{k+1})^{2}ab'[/texx] ,  para  [texx]b'[/texx]  impar  [texx]\pmb{\Rightarrow\,\,\,4\,a_1^2\,b_1^2}}[/texx] ,  para  " [texx]\pmb{b_1}[/texx] "  cualquier par.

c)  [texx]b^2=2cd\,\,\,=\,\,\,(2^{2k+1})^{2}cd'[/texx] ,  para  [texx]d'[/texx]  impar  [texx]{\pmb{\Rightarrow\,\,\,4\,c_1^2\,{d_{11}^4}}^{(*)}[/texx] ,  para  " [texx]\pmb{d_{11}}[/texx] "  cualquier par.

(*)  Como:  [texx]b_1=\sqrt[ ]{c_1d_1}[/texx]  (Ver en el PD. de la Respuesta #22), entonces:  [texx]d_1=d_{11}^2[/texx] .


Por si van por ahí los tiros, que un elemento pueda escribirse como [texx]2^{k+1}p[/texx] con [texx]p[/texx] impar y también como [texx](2^{2k+1})^2c[/texx] con [texx]c[/texx] impar es totalmente compatible.

Evidentemente las dos "k"s que aperecen en los exponentes no tienen porque ser la misma: simplemente representan un número natural.

Entonces es obvio que puede ocurrir:

[texx]2^{n+1}=(2^{2k+1})^2[/texx]

sin más que tomar [texx]n+1=4k+2[/texx].


De esta forma, si:  " [texx](2^{2k+1})^2[/texx] "  representa la magnitud "par" de -por ejemplo-  [texx]\alpha[/texx] ; no podríamos decir que  [texx]\alpha[/texx]  representa "cualquier par", porque:  [texx]k=\displaystyle\frac{n-1}{4}[/texx] .

Luego ni el punto b) anterior -ni el punto c)- son equivalentes al punto a). Esto es -por ejemplo-:  [texx]x^2=4a_1^2b_1^2\,\,\neq\,\,{2pq}[/texx] ;  pues a lo que en el fondo es igual es a:  [texx](2pq)^2[/texx]  - [texx](2ab)^2[/texx] - , lo que generará posteriormente una paradoja por descenso infinito. Y toda la tesis que estoy planteando es que no hace falta llegar a esa paradoja si antes consideramos como una simple contradicción que lo que debería ser el elemento par de una terna pitagórica primitiva ([texx]2pq[/texx]) sea igual a:  [texx]4a_1^2b_1^2[/texx] ,  porque ni son lo mismo, ni son equivalentes, y una manera de explicitar esto es distinguiendo entre las propiedades "ser par" y "ser cualquier par" y descubrir, de esta manera, que ambas expresiones:  [texx]4a_1b_1\,\,\wedge\,\,2pq[/texx]  tienen en realidad distinta paridad, si se me permite esta última expresión.


Un saludo,
9  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n=4. Una demostración alternativa (III) : 20/04/2015, 06:24:32 pm
Hola,


No acabo de verlo.

De [texx]x=\sqrt{2ab}[/texx] con a impar lo que tienes es que la mayor potencia de dos que divide a [texx]b[/texx] es impar, es decir, [texx]b=2^{2k+1}b'[/texx] con [texx]b'[/texx] impar.

Eso es compatible con que [texx]b=\sqrt{2cd}[/texx] con [texx]c[/texx] impar. Tendrías:

[texx]2^{4k+2}b'^2=2cd[/texx]

con [texx]d[/texx] par. De donde [texx]d=2^{4k+1}d' [/texx] con [texx]d'[/texx] impar. ¿Dónde está el problema?.


Voy al grano. Lo que trato de decir en el fondo es muy simple y quizás sea ése el problema, eso y que -supongo- esté mal:


a) Tengo el elemento "par" de una terna pitagórica primitiva:  [texx]2pq[/texx] , para  [texx]p\vee q[/texx]  par.  Entonces:  [texx]2pq\,\,\Leftrightarrow\,\,{2^{k+1}p,q'}[/texx] ,  para  [texx]p,q'[/texx] ,  por ejemplo, impares.

b) Tenemos que:  [texx]x^2=2ab[/texx] ,  para  [texx]b[/texx]  par.. (y  [texx]b_1[/texx]  par). Entonces:  [texx]2ab\,\,\Leftrightarrow\,\,{(2^{k+1})^{2}a,b'}[/texx] ,  para  [texx]a,b'[/texx]  impares.

c) Tenemos también que:  [texx]b^2=2cd[/texx] ,  para  [texx]d[/texx]  par.. (y  [texx]d_1[/texx]  par).  Entonces:  [texx]2cd\Leftrightarrow{(2^{2k+1})^{2}cd'}[/texx] ,  para  [texx]c,d'[/texx]  impares.


Pues bien, lo que estoy queriendo decir es que como el elemento par de b) y c) no son estrictamente como la forma canóniga del elemento par de una terna pitagórica primitiva  ([texx]2^{k+1}[/texx]) ,  entonces no pueden ser considerados elementos pares de una terna pitagórica primitiva, lo que sería una contradicción. Por ejemplo, para  [texx]k=1[/texx]  tendremos ternas pitagóricas cuya mayor potencia de dos de su elemento par será de 4 ( -12,35,37- ó -204,253,325-), pero no así en los casos de  [texx]x^2\vee b^2[/texx] , donde para  [texx]k=1[/texx]  la mayor potencia de dos no será inferior en ningún caso de 16 y en el otro de 64, y eso será siempre así para  [texx]k=n[/texx] ,  de forma que podría hablarse en un caso de  [texx]8p'q'[/texx] ,  para  [texx]q'[/texx]  par, y en otro de  [texx]32p''q''[/texx] ,  para  [texx]q''[/texx]  par; lo que no es lo mismo que decir:  [texx]2pq[/texx] ,  para  [texx]q[/texx]  par .  Espero no haber herido la sensibilidad de nadie si he dicho una barbaridad muy gorda, pero este es un foro para aprender.


Un saludo,
10  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n=4. Una demostración alternativa (III) : 20/04/2015, 10:04:00 am
Hola,


PD.  Añadido el 18 de abril: Entonces el apartado c) de la demostración de la Respuesta #20 podría quedar como sigue:

c)    Y como:  [texx]x=\sqrt[ ]{2ab}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{a=a_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2b_1^2}\,\,\,\,\,-\,\wedge\,-\,\,\,\,\,b=\sqrt[ ]{2cd}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,d=2d_1^2}[/texx] .  Tendremos que  " [texx]\pmb{b}[/texx] " es a su vez:  [texx]2b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,2c_1d_1\,\,(b^2=4c_1^2d_1^2)[/texx] ;  para  [texx]b_1\,,\,d_1[/texx]  números pares;  por lo que:  [texx]2b_1^2=2c_1d_1\,\,\,\wedge\,\,\,b_1=\sqrt[ ]{c_1d_1}[/texx] ,  siendo siempre " [texx]b_1[/texx] "  par, como mínimo, de " 2 ",  y de esta manera siendo siempre " [texx]d_1[/texx] " par, como mínimo, de " 4 "; lo que quiere decir en realidad que:  [texx]d=8d_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b^2=\displaystyle\frac{cd}{2}[/texx] ,  siendo esto último una contradicción.


Perdón por autocitarme. Pero yo entiendo que la única solución a la contradición expuesta en esta cita de la respuesta anterior es que  [texx]b_1\,\,\wedge\,\,d_1[/texx]  sean impares.

Pero si esto es así, entonces tendríamos que:  [texx]x=2a_1b_1[/texx] , para  [texx]a_1,b_1[/texx]  impares; y no es difícil de demostrar que esto es, a su vez, una contradicción, como ya hice en el primer post del hilo:  " <a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=76842.0">El caso n=4. Una demostración alternativa-?</a> ", en septiembre del año pasado, donde llego a la consecuencia que:  [texx]x=2pq[/texx] ,  para " q " par. Por tanto, de ser así esto último, entiendo que estaríamos ante una demostración del caso n = 4 que no estaría basada estrictamente en una argumentación del tipo "descenso infinito" ¿no?


Un saludo,
11  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n=4. Una demostración alternativa (III) : 17/04/2015, 10:29:20 am
Hola,


c)    Y como:  [texx]x=\sqrt[ ]{2ab}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{a=a_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2b_1^2}\,\,\,\,\,-\,\wedge\,-\,\,\,\,\,b=\sqrt[ ]{2cd}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,d=2d_1^2}[/texx] .  Tendremos que el factor par de  [texx]x^2[/texx] :  " [texx]\pmb{b}[/texx] ", es a su vez:  [texx]2b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,2c_1d_1\,\,(b^2=4c_1^2d_1^2)[/texx] ;  para  [texx]b_1\,,\,d_1[/texx]  números pares y de la misma condición;  por lo que si:  [texx]2b_1^2=2c_1d_1[/texx] ,  entonces la magnitud par de:  [texx]b_1\,<\,d_1[/texx] ,  lo que es una contradicción.

¿Qué significa números pares de la misma condición?.
¿Qué quiere decir "la magnitud par" de algo?.
¿Dónde está la contradicción?.


Contestando a la última pregunta contesto a las demás. Yo estoy entendiendo lo siguiente:

[texx]2b_1^2=2c_1d_1\,\,\Rightarrow\,\,{b_1=\sqrt[ ]{c_1d_1}}[/texx] .  Como  [texx]d_1[/texx]  es par y entero ([texx]c_1[/texx] es impar), si es par de 4,  [texx]b_1[/texx]  será par de 2. El elemento "par" ([texx]2^n)[/texx]  de  [texx]b_1[/texx]  será siempre la raíz cuadrada del elemento par de  [texx]d_1[/texx] .  Y aquí es donde veo la contradicción. Tengo por una parte " [texx]x^2[/texx] " y por otra " [texx]b^2[/texx] ", los 2 representan el elemento par de una terna pitagórica primitiva: " [texx]2pq[/texx] "; pero mientras que para  [texx]x^2[/texx] ,  [texx]q=2v[/texx] -por ejemplo-, para  [texx]b^2[/texx] ,  [texx]q=2^{2}w[/texx] .  Y esto yo lo entiendo como una contradicción, a lo mejor indebidamente, no lo sé, ya empiezo a dudarlo. Porque si con carácter general en un caso "q" va a ser siempre como mínimo "4", entonces estaríamos hablando de "4pq" y no de "2pq", que es la representación canóniga que tiene que tener el elemento par de una terna pitagórica primitiva, y ése es precisamente el caso de:  " [texx]b^2=2cd\,\,\,\Leftrightarrow{\,\,\,b=2c_1d_1}[/texx] ".


Un saludo,



PD.  Añadido el 18 de abril: Entonces el apartado c) de la demostración de la Respuesta #20 podría quedar como sigue:

c)    Y como:  [texx]x=\sqrt[ ]{2ab}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{a=a_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2b_1^2}\,\,\,\,\,-\,\wedge\,-\,\,\,\,\,b=\sqrt[ ]{2cd}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,d=2d_1^2}[/texx] .  Tendremos que  " [texx]\pmb{b}[/texx] " es a su vez:  [texx]2b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,2c_1d_1\,\,(b^2=4c_1^2d_1^2)[/texx] ;  para  [texx]b_1\,,\,d_1[/texx]  números pares;  por lo que:  [texx]2b_1^2=2c_1d_1\,\,\,\wedge\,\,\,b_1=\sqrt[ ]{c_1d_1}[/texx] ,  siendo siempre " [texx]b_1[/texx] "  par, como mínimo, de " 2 ",  y de esta manera siendo siempre " [texx]d_1[/texx] " par, como mínimo, de " 4 "; lo que quiere decir en realidad que:  [texx]d=8d_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b^2=\displaystyle\frac{cd}{2}[/texx] ,  siendo esto último una contradicción.
12  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n=4. Una demostración alternativa (III) : 16/04/2015, 12:42:35 pm
Hola,

La cosa es que (independietemente del tono coloquial) no veo claro a donde quieres ir a parar con lo que has escrito.

Ok.

Lo que he querido decir es que detrás de lo que puse en la Respuesta #16 se esconde lo que sería -a mi entender- otra posible demostración del caso n = 4 del UTF.


Dados:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces:


a)    [texx](x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2[/texx] .  De donde puedo deducir la terna pitagórica:  [texx]x^2=2\,a\,b\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2[/texx] ,  para  [texx]b[/texx]  par.

b)    Como:  [texx]y^2\cdot{z^2}=(a^2-b^2)(a^2+b^2)\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,(yz)^2=a^4-b^4\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,{b^4=a^4-(yz)^2\,\,\,\wedge\,\,\,(b^2)^2=(a^2)^2-(yz)^2}[/texx] ;  puedo deducir la terna pitagórica:  [texx]b^2=2cd\,\,\,\wedge\,\,\,yz=c^2-d^2\,\,\,\wedge\,\,\,a^2=c^2+d^2[/texx] ,  para  [texx]d[/texx]  par.

c)    Y como:  [texx]x=\sqrt[ ]{2ab}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{a=a_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2b_1^2}\,\,\,\,\,-\,\wedge\,-\,\,\,\,\,b=\sqrt[ ]{2cd}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,d=2d_1^2}[/texx] .  Tendremos que el factor par de  [texx]x^2[/texx] :  " [texx]\pmb{b}[/texx] ", es a su vez:  [texx]2b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,2c_1d_1\,\,(b^2=4c_1^2d_1^2)[/texx] ;  para  [texx]b_1\,,\,d_1[/texx]  números pares y de la misma condición;  por lo que si:  [texx]2b_1^2=2c_1d_1[/texx] ,  entonces la magnitud par de:  [texx]b_1\,<\,d_1[/texx] ,  lo que es una contradicción.


Un saludo, 
13  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n=4. Una demostración alternativa (III) : 15/04/2015, 03:15:28 pm
Hola el_manco,


¡Vuelves a cometer un error en el qué has caído más veces e inaguras otro nuevo!.  :guiño:

Muchos errores ves tú ahí..   :guiño:


Lo que quiero decir es que la argumentación expuesta, aunque carece de la suficiente "certeza" como para ser demostrativa -en eso te doy la razón-, sí que es consecuencia directa de los argumentos de descenso infinito por los que se demuestra este caso del UTF.

Por ejemplo,  ¿Y si le doy la vuelta a 2 de las ecuaciones puestas?

Tendría esto:

[texx]x^4=z^4-y^4\,\,\,\wedge\,\,\,\,b^4=a^4-(yz)^2[/texx] .  O lo que es lo mismo:  [texx](x^2)^2=(z^2)^2-(y^2)^2\,\,\,\wedge\,\,\,(b^2)^2=(a^2)^2-(yz)^2[/texx]

De donde puedo deducir las ternas pitagóricas respectivas:

[texx]x^2=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2[/texx] ,  para  [texx]b[/texx]  par.

[texx]b^2=2cd\,\,\,\wedge\,\,\,yz=c^2-d^2\,\,\,\wedge\,\,\,a^2=c^2+d^2[/texx] ,  para  [texx]d[/texx]  par.

Y también que:  [texx]x^2=4\,a_1^2\,b_1^2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\,b^2=4\,c_1^2\,d_1^2[/texx] .

Pero entonces ¿cuál es la magnitud par de  " [texx]\pmb{b}[/texx] " :  " [texx]2\,b_1^2[/texx] "  ó  " [texx]2\,d_1[/texx] " ?

Pregunto (retóricamente):  ¿Existe alguna forma de averiguar cuál es el tamaño de la paridad de  " [texx]\pmb{x}[/texx] " ?



Un saludo,


___________________________

PD. Lo dicho arriba está redactado en tono coloquial. Quiero decir con esto que en modo alguno estoy cuestionando las indicaciones que me hace el_manco acerca de los errores cometidos en mi anterior post, los cuales asumo y además agradezco vivamente que se me indiquen, pues así tengo la oportunidad de aprender de ellos.
14  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n=4. Una demostración alternativa (III) : 14/04/2015, 12:06:48 pm
Hola,

Me gustaría saber si se puede razonar de la forma que expongo a continuación para demostrar el caso n = 4 del UTF como una variante más de las demostraciones ya hechas.



Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces:  [texx]y^4=z^4-x^4\,\,\,\wedge\,\,\,\,\pmb{Y^2=z^4-x^4}[/texx] ,  para  [texx]Y=y^2[/texx] .  Representanto  " [texx]Y^2[/texx] ", sin pérdida de generalidad, el máximo cuadrado posible diferencia de 2 cuartas potencias coprimas entre sí.


Como:  [texx](x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2[/texx] ,  tendremos entonces la terna pitagórica:

[texx]x^2=2\,a\,b\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2[/texx] .


Y ocurrirá que:  [texx]y^2\cdot{z^2}=(a^2-b^2)(a^2+b^2)\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\pmb{(yz)^2=a^4-b^4}[/texx] .


Pero:  [texx](yz)^2\,\,>\,\,Y^2[/texx] .



Un saludo,
15  REGLAS, Herramientas, Tutoriales / Dudas y sugerencias sobre el uso del foro / Re: Para los usuarios de Google Chrome : 02/04/2015, 05:44:11 pm
Hola,

Gracias a tu genialidad pabloN, voy a poder publicar quizás en estos días que estoy de vacaciones y en los que sólo dispongo de una tableta que no admite el firefox. Gracias por compartirlo. Un saludo!   :sonrisa:
16  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n=4. Una demostración alternativa (III) : 26/03/2015, 05:18:36 pm
Hola,


A ver qué os parece esta versión de la demostración del caso n = 4 del UTF por implicación al infinito. Mi objetivo no es éste, pues estoy buscando otro tipo de contradicciones para demostrar este caso del Teorema de Fermat. Son cosas que me voy encontrando por el camino y que trato que por lo menos sean bellas.



Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces:  [texx]\pmb{x^2}[/texx]  es infinito.


(a)    [texx]x^4+y^4=z^4\,\,\Rightarrow\,\,{(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2}[/texx]   

                 De donde deduzco la terna pitagórica:  [texx]\pmb{x^2=2\,a\,b}\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2[/texx] ,  para  [texx]b[/texx]  par.
     
                 Como:  [texx]x=\sqrt{2ab}\,\,\Rightarrow\,\,{a=a_1^2\,\,\wedge\,\,b=2b_1^2}[/texx]

(b)    Si:  [texx]z^2=a^2+b^2[/texx] ,  puedo deducir la terna pitagórica:

                 [texx]b=2cd\,\,\,\wedge\,\,\,a=c^2-d^2\,\,\,\wedge\,\,\,z=c^2+d^2[/texx] ,  para  [texx]d[/texx]  par.

                 Y como:  [texx]2b_1^2=2cd\,\,\Rightarrow\,\,{b_1^2=cd}\,\,\Rightarrow\,\,{c=c_1^2}\,\,\,\wedge\,\,\,d=d_1^2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,{\pmb{x^2=4\,a\,c\,d}}[/texx]

(c)    Como:  [texx]a=c^2-d^2\,\,\Rightarrow\,\,{a_1^2=(c_1^2)^2-(d_1^2)^2}[/texx]

                 Y puedo deducir la terna pitagórica:  [texx]d_1^2=2ef\,\,\,\wedge\,\,\,a_1=e^2-f^2\,\,\,\wedge\,\,\,c_1^2=e^2+f^2[/texx]  (para  [texx]f[/texx]  par) 
                 [texx]\,\,\,\,\Rightarrow\,\,{\pmb{x^2=8\,a\,c\,e\,f}}[/texx]

                 Entonces, como:  [texx]d_1=\sqrt{2ef}\,\,\Rightarrow\,\,{e=e_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,f=2f_1^2[/texx]

(d)    Si:  [texx]c_1^2=e^2+f^2[/texx] ,  puedo deducir la terna pitagórica:

                 [texx]f=2gh\,\,\,\wedge\,\,\,e=g^2-h^2\,\,\,\wedge\,\,\,c_1=g^2+h^2[/texx] ,  para  [texx]h[/texx]  par.

                 Y como:  [texx]2f_1^2=2gh\,\,\Rightarrow\,\,{f_1^2=gh}\,\,\Rightarrow\,\,{g=g_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,h=h_1^2}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,{\pmb{x^2=16\,a\,c\,e\,g\,h}}[/texx]

(e)   Como:  [texx]e=g^2-h^2\,\,\Rightarrow\,\,{e_1^2=(g_1^2)^2-(h_1^2)^2[/texx]      [texx]\pmb{. . .}[/texx]   Y así sucesivamente   [texx]\pmb{. . .}[/texx]



Un saludo,


_______________________________

PD. Pongo también esta demostración en la Revista del Foro (01 abril 2015)
17  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n=4. Una demostración alternativa (III) : 18/03/2015, 06:31:27 pm
Hola,

Ok el_manco y mente oscura. Efectivamente, este intento de demostración está mal. De hecho el mismo planteamiento es reiterativo, pues es lo mismo poner como condición que se cumpla para un  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  mínimo que para un  [texx]X^2+Y^2=Z^2[/texx]  mínimo, por lo que esto último sobra. Y también me he encontrado más adelante con alguna otra cosa solapada, por lo que de demostración simplificada tampoco. Me he precipitado sí.

Un saludo y gracias como siempre por vuestras indicaciones,
18  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n=4. Una demostración alternativa (III) : 17/03/2015, 07:08:08 pm
Hola mente oscura,

Gracias por contestar.

(3)    Y como:  [texx]a+b=(a-b)+2b[/texx] ;  tendremos la terna pitagórica:  [texx](A,B,C)[/texx] ,  para:  [texx]A^2=a+b\,\,\,\wedge\,\,\,B^2=a-b\,\,\,\wedge\,\,\,C^2=2b[/texx] .  Esto último porque como:  [texx]x^2=2ab[/texx] ,  entonces:  [texx]b=2b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,2b=4b_1^2[/texx] . Pero de esta manera la terna pitagórica:  [texx]\pmb{(A,B,C)\,<\,(X,Y,Z)}[/texx] .  Lo que dijimos que era imposible.

Hola, Proyecto.

No acabo de ver claro, esto que te indico.

Obtienes:

[texx]A^2=B^2+C^2[/texx]

pero, eso no implica que "A", "B" y "C", sean números elevados al cuadrado, para que nos generen una terna a la "cuarta".


Tienes razón. Tal y cómo lo he planteado parecería exigir que "A,B,C" fueran cuadrados, cosa que en principio, no son. De todas maneras, si en vez de decir: "..que será la terna pitagórcia menor posible que satisfaga la ecuación:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] " ;  dijera: <<..que será la terna pitagórica menor posible que satisfaga la ecuación:  [texx]X^2+Y^2=Z^2[/texx]>>, ¿no salvaría el escollo? Pregunto. Porque "X" es igual a "2ab", independientemente que "2ab" sea o no un cuadrado, y lo mismo "Y" y "Z". De hecho yo no sé si a lo mejor "A" no pudiera ser un cuadrado también, simplemente no necesitaría saberlo ¿no? ¿Cómo lo ves?


Un saludo,
19  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n=4. Una demostración alternativa (III) : 17/03/2015, 03:48:00 pm
Hola,

Esta versión que pongo a continuación de la demostración del caso n = 4 del UTF por el absurdo del descenso infinito, me gusta especialmente por su simplicidad. A ver qué os parece.

Un saludo,


Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  será que:  [texx]X^2+Y^2=Z^2[/texx] ,  para:  [texx]X=x^2\,\,\,\wedge\,\,\,Y=y^2\,\,\,\wedge\,\,\,Z=z^2[/texx] ;  y entonces tendremos la terna pitagórica:  [texx](X,Y,Z)[/texx] , que para los valores mínimos de estas [texx]X,Y,Z[/texx] ,  será la terna pitagórica menor posible que satisfaga la ecuación:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] .


(1)    [texx]x^4+y^4=z^4\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2}[/texx] . De donde deducimos la terna pitagórica:  [texx]{(x^2,y^2,z^2)\in{(2ab,a^2-b^2,a^2+b^2)}}[/texx] , para  [texx]a,b[/texx] coprimos y  [texx]b[/texx]  par. Y entonces:  [texx]x^2=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2[/texx] .  De donde se deduce a su vez que:  [texx]z^2+x^2=(a+b)^2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,z^2-x^2=(a-b)^2[/texx] .


(2)    Yo sé por otra parte que:  [texx]y^4=(z^2+x^2)(z^2-x^2)[/texx] ;  y que como ambos factores son coprimos, ambos representarán dos cuartas potencias. Por lo que: 

[texx]z^2+x^2=(a+b)^2=A^4\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{a+b=A^2}[/texx]

[texx]z^2-x^2=(a-b)^2=B^4\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{a-b=B^2}[/texx]
 

(3)    Y como:  [texx]a+b=(a-b)+2b[/texx] ;  tendremos la terna pitagórica:  [texx](A,B,C)[/texx] ,  para:  [texx]A^2=a+b\,\,\,\wedge\,\,\,B^2=a-b\,\,\,\wedge\,\,\,C^2=2b[/texx] .  Esto último porque como:  [texx]x^2=2ab[/texx] ,  entonces:  [texx]b=2b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,2b=4b_1^2[/texx] . Pero de esta manera la terna pitagórica:  [texx]\pmb{(A,B,C)\,<\,(X,Y,Z)}[/texx] .  Lo que dijimos que era imposible.
20  Matemática / Teorema de Fermat / Re: El caso n=4. Una demostración alternativa (III) : 12/03/2015, 03:45:25 pm
Hola,

Así acabo de ponerlo todo en la Sección de la <a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=80158.0">Revista del Foro</a>. Un saludo,



<<    Abstract:

Buscando una demostración alternativa a las conocidas del Teorema de Fermat para exponente cuatro, me encuentro con que no puedo llegar más allá de unas cuantas variantes de la demostración clásica por descenso infinito, que expongo a continuación -incluyo a la del mensaje anterior-. ¿Sería posible encontrar una reducción al absurdo por otros motivos que sirviera también como demostración de este caso del Teorema de Fermat? Es una cuestión que para mí sigue abierta.
 

Un saludo,

Fernando Moreno


 
(A)   (10 de marzo de 2015. <a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=80736.0">Aquí en el Foro</a>)


Punto de partida:

Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces existirán siempre soluciones para:  [texx]x^4+y^4=Z^2[/texx] ,  para  [texx]Z=z^2[/texx] , siendo  [texx]Z^2[/texx]  el cuadrado con el valor mínimo posible de la suma:  [texx]x^4+y^4[/texx] .


Desarrollo:


(1)    [texx]x^4+y^4=z^4\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{x^4=z^4-y^4\quad\wedge\quad x^4=(z^2+y^2)(z^2-y^2)}[/texx]

    a) Como:  [texx]x\,,\,\,z^2+y^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,z^2-y^2[/texx]  son pares.

Entonces, de entrada:  [texx]x=2u[/texx]

    b) Demostración que  [texx]z^2+y^2[/texx] es par de la forma: 2v .

Si:  [texx]y=2a-1\,\,\,\wedge\,\,\,\,z=2b-1[/texx] ;  entonces:

[texx]z^2+y^2=2(2b^2-2b+2a^2-2a+1)[/texx]

    c) Demostración que  [texx]z^2-y^2[/texx]  es par, como mínimo, de la forma:  [texx]8w[/texx] .

Si:  [texx]y=2a-1\,\,\,\wedge\,\,\,\,z=2b-1[/texx] ;  entonces:  [texx]z^2-y^2=4(b^2-a^2-b+a)[/texx]

E independientemente de la paridad de  [texx]a\vee b[/texx] ,  la suma de las cantidades contenidas en el paréntesis será siempre par.


(2)    De esta manera:  [texx]16u^4=2v\cdot{8w}\quad\wedge\quad u^4=v\cdot{w}[/texx]

    a)  Si  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,\,w[/texx]  son coprimos deberán ser entonces a su vez potencias cuartas. Demostración:

[texx]z^2+y^2=2v\,\,\,\wedge\,\,\,z^2-y^2=8w[/texx]

[texx]z^2=2v-y^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,y^2=z^2-8w\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{z^2=v+4w}[/texx]

[texx]y^2=2v-z^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,z^2=8w+y^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{y^2=v-4w}[/texx]

De esta forma, si  [texx]v\,\,\,\wedge\,\,\,w[/texx]  tuvieran un factor común ([texx]l[/texx]); entonces:  [texx]z^2=l(v^{'}+4w^{'})\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=l(v^{'}-4w^{'})[/texx] ,  y  " [texx]l[/texx] "  dividiría a  [texx]z^2\,\,\,\wedge\,\,\,y^2[/texx] ,  lo que no es posible al ser ambos coprimos.

Tenemos entonces que:  [texx]v=p^4\,\,\,\wedge\,\,\,w=q^4[/texx] .

    b) Como sabemos que:  [texx]y^2=p^4-4q^4\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=p^4+4q^4[/texx] ,  y que además:  [texx]x^4=z^4-y^4[/texx] ;  podemos ahora despejar  " [texx]x[/texx] "  en función de  [texx]p\,\,\,\wedge\,\,\,q[/texx] :

[texx]x^4=(p^4+4q^4)^2-(p^4-4q^4)^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{x=2pq}[/texx]

Donde:  [texx]p,q\in{\mathbb{Z^*}}\,,\,\,p>q\,\,\,\wedge[/texx]  [texx]p[/texx] = impar, pues es la única manera para que se cumpla que  [texx]y^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2[/texx]  sean impares.

    c) Demostremos ahora que  " [texx]q[/texx] "  es, a su vez, par.

Como:  [texx]z^2=p^4+4q^4\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{q^4=\dfrac{z^2-p^4}{4}}[/texx]

Si:  [texx]z=2b-1\,\,\,\wedge\,\,\,p=2c-1[/texx] ; entonces:  [texx]q^4=-4c^4+8c^3-6c^2+b^2+2c-b[/texx]

Y como todos los términos de la suma son pares menos  [texx]b^2\,\,\,\wedge\,\,\,-b[/texx] .  Sea  " [texx]b[/texx] " par o impar, el resultado será siempre par.


(3)    Es obvio que:  [texx]p^2+2q^2=(p^2-2q^2)+4q^2[/texx] .  Y como:  [texx]p^2+2q^2[/texx]  es un cuadrado ([texx]A^2[/texx]), puesto que  [texx]y^2=(p^2+2q^2)(p^2-2q^2)[/texx]  y ambos factores son coprimos;  [texx]p^2-2q^2[/texx]  es un cuadrado ([texx]B^2[/texx]) -por la misma razón- y  [texx]4q^2[/texx]  también representará un cuadrado ([texx]C^2[/texx]). Al ser  [texx]mcd(4q^2\,,\,p^2-2q^2\,,\,p^2+2q^2)=1[/texx] , entonces podré decir que:  [texx]A^2=B^2+C^2[/texx] ,  y obtener la terna pitagórica:  [texx](C,B,A)\,\in\,{(2ab\,,\,a^2-b^2\,,\,a^2+b^2)}[/texx] ,  para  [texx]a,b[/texx] coprimos y  [texx]b[/texx]  par. De donde:  [texx]2q=2ab\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{q=ab}[/texx] ;  [texx](p^2-2q^2)^{\frac{1}{2}}=a^2-b^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{p^2-2q^2=(a^2-b^2)^2}[/texx] ;  y:  [texx](p^2+2q^2)^{\frac{1}{2}}=a^2+b^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{p^2+2q^2=(a^2+b^2)^2}[/texx] .


(4)    De esta manera:

[texx]p^2-2q^2=(a^2-b^2)^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{p^2-2a^2b^2=(a^2-b^2)^2\,\,\,\wedge\,\,\,\,p^2+2q^2=(a^2+b^2)^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{p^2+2a^2b^2=(a^2+b^2)^2}[/texx] . De donde:  [texx]2a^2b^2=(a^2+b^2)^2-p^2\,\,\,\wedge\,\,\,p^2-(a^2+b^2)^2+p^2=(a^2-b^2)^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\pmb{p^2=a^4+b^4}}[/texx] .  Pero entonces tendremos un cuadrado impar:  " [texx]p^2[/texx] ", que siendo igual a la suma de dos números cuartas potencias primos entre sí, es menor que  [texx]Z^2[/texx] ,  que es igual a:  [texx](p^4+4q^4)^2[/texx]  y que sería, como quedamos, el cuadrado menor posible suma de dos cuartas potencias coprimas entre sí:  [texx]x^4+y^4[/texx] ;  lo que es una contradicción; que hará inviable que  [texx]Z^2[/texx]  sea una solución y que impedirá, además, que  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  pueda tenerla.

 

(B)  (11 de marzo de 2015. <a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=80736.0#lastPost">Aquí en el Foro</a>)


Si:  [texx]x,y,z\in{\mathbb{Z^*}}[/texx] , para x = par;  [texx]x,y,z[/texx]  son coprimos 2 a 2  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx] ;  entonces:  [texx]Z^2=x^4+y^4[/texx] ,  para:  [texx]Z=z^2[/texx] . Representando  " [texx]Z^2[/texx] ", sin pérdida de generalidad, el mínimo cuadrado posible suma de 2 cuartas potencias coprimas entre sí.


Sabemos pues que:  [texx]Z^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx] . De donde se deduce la terna pitagórica:  [texx]{(x^2,y^2,Z)\in{(2ab,a^2-b^2,a^2+b^2)}}[/texx] , para  [texx]a,b[/texx] coprimos y  [texx]b[/texx]  par.

Entonces:  [texx]x^2=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,Z=a^2+b^2[/texx]

Y como  [texx]x^2[/texx]  es un cuadrado,  [texx]a\,\,\wedge\,\,b[/texx]  son coprimos y  [texx]b[/texx]  es par; entonces " [texx]a[/texx] "  será de la forma:  [texx]a_1^2[/texx]  y  " [texx]b[/texx] "  será de  la forma:  [texx]2b_1^2[/texx]

Luego tendremos que:  [texx]y^2=(a_1^2)^2-(2b_1^2)^2[/texx]

Y la terna pitagórica:  [texx](2b_1^2,y,a_1^2)\in{(2a_2b_2,a_2^2-b_2^2,a_2^2+b_2^2)}[/texx] ,  para  [texx]a_2,b_2[/texx]  coprimos y  [texx]b_2[/texx]  par.

Entonces:  [texx]2b_1^2=2a_2b_2\,\,\,\wedge\,\,\,y=a_2^2-b_2^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_1^2=a_2^2+b_2^2[/texx]

Y como:  [texx]b_1^2=a_2b_2[/texx]  y  [texx]a_2,b_2[/texx]  son coprimos; será:  [texx]a_2=a_3^2\,\,\,\wedge\,\,\,b_2=b_3^2[/texx] .

Pero ahora:  [texx]a_1^2=a_3^4+b_3^4[/texx] .  Y dado que:  [texx]Z^2=x^4+y^4=(a^2+b^2)^2=\left({(a_3^4+b_3^4)^2+(2a_3^2b_3^2)^2}\right)^2[/texx]

Tendremos que el cuadrado:  [texx]\pmb{a_1^2\,<\,Z^2}[/texx] .  Lo que es imposible.    >>
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