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1  Matemática / Lógica / Re: Documento sobre Lógica Difusa (en español) : Ayer a las 06:14:41
Contesto por alusiones, aunque de lógica difusa nunca he sabido mucho, y además ahora sé menos que antes (ya he olvidado casi todo lo que una vez supe).

- ¿Para qué sirve la Lógica Difusa?

La lógica difusa sirve para tratar con razonamientos sobre conceptos imprecisos, es decir, que no están definidos. El ejemplo típico son las paradojas sorites.
Considera el siguiente razonamiento.
Una persona que mide [texx]1,50m[/texx] es baja.
Si una persona es baja, otra persona que mida un milímetro más sigue siendo baja.

Es fácil estar de acuerdo en que ambas proposiciones son ciertas. Pero, si aplicas modus ponens una cantidad suficiente de veces, concluirás que una persona que mide [texx]2m[/texx] es baja, lo cual es un sinsentido. El problema está en que el concepto "ser bajo" para una persona no está definido claramente. No hay una medida concreta a partir de la cual se pase de ser bajo a ser alto.

La lógica difusa trata de solucionar esto usando un contínuo (normalmente el intervalo [texx][0,1][/texx]) de valores de verdad, en lugar de los dos clásicos. La idea es permitir una transición gradual de "ser bajo" con seguridad (valor de verdad [texx]1[/texx]) a "no ser bajo" con seguridad (valor de verdad [texx]0[/texx]).

Cita
- ¿Qué definición formal tiene un Razonamiento Aproximado? ¿En qué órbita de la lógica clásica podría estar (de primer orden, de segundo orden, ...)?

Hay muchas formalizaciones de la idea de arriba. Esto es, no hay una única lógica difusa, sino familias de ellas.
Para dar un ejemplo concreto, una versión bastante conocida es la lógica de Łukasiewicz.
Esta es una lógica proposicional donde [texx]x \wedge y = min(x,y)[/texx], [texx]x \vee y = max(x,y) [/texx], [texx]x \to y = min(1,1-x+y)[/texx] y [texx]\neg x = 1-x[/texx], donde [texx]x,y[/texx] son proposiciones que identificamos con sus valores de verdad, así que son reales en [texx][0,1][/texx].

Cita
- ¿Qué es un Fuzzy Set?

Es la misma idea aplicada a conjuntos. En la teoría clásica, un elemento o bien pertenece a un conjunto o bien no pertenece, no hay posibilidades intermedias. En teoría de conjuntos difusa un elemento "pertenece con un cierto grado" a un conjunto. De nuevo esto es útil para conjuntos definidos por propiedades vagas como "el conjunto de las personas altas". Esto se consigue asignando a cada posible elemento del conjunto un número real entre [texx]0[/texx] y [texx]1[/texx].

Cita
- ¿Por qué la pertenencia [texx]\mu_A(x)[/texx] (grado de verdad de algo, [texx]\in[/texx] en lógica de primer orden) es una FUNCIÓN y NO una RELACIÓN?

Es una solución técnica para tener en cuenta lo de los grados de pertenencia. También puedes definir la pertenencia clásicamente como una función: [texx]\mu_A(x)=1[/texx] si [texx]x \in A[/texx] y [texx]\mu_A(x)=0[/texx] si [texx]x \notin A[/texx].
Esta manera de ver la pertenencia se generaliza fácilmente a los grados de pertenencia de los conjuntos difusos.

Cita
- ¿Quién es su inventor y cómo se popularizó?

No recuerdo quién la inventó, aunque seguro que es fácil de encontrar. La popularización en este caso creo que vino más por parte de informáticos que por matemáticos/lógicos. Tuvo bastante éxito en el tema de inteligencia artificial (entendido en sentido clásico, no lo que se oye ahora cuando se dice IA, que es básicamente algoritmos de aprendizaje estadístico). En particular, en sistemas de control y cosas así parece que tuvo éxito a la hora de modelizar algunos conceptos vagos, como frío-calor y cosas así.

Cita
- Nombrar ejemplos en donde intervenga un razonamiento aproximado con los símbolos clásicos, algo sobre predicados, etc.

Si tengo tiempo en otro momento pongo algo sobre esto.

Cita
- Referencias sobre Lógica Difusa y Razonamiento Aproximado.

Hay muchos libros y referencias. Un buen sitio donde empezar probablemente sea en la entrada para fuzzy logic de la enciclopedia de filosofía de Stanford online, los artículos suelen estar bien. Sobre libros más serios, hay uno de lógicas multivaluadas de Merrie Bergmann que tengo entendido que está muy bien (pero yo no lo he leído). También los capítulos del libro de lógicas no clásicas de Graham Priest estaban bastante bien (este sí lo leí hace algunos años y lo recomiendo).
2  Matemática / Probabilidad / Re: Intervalos de confianza : 13/02/2020, 07:30:47
Define [texx]Z_1= \frac{X_1}{\sqrt{\theta}}[/texx] y [texx]Z_2= \frac{X_2}{\sqrt{\theta}}[/texx]. Tanto [texx]Z_1[/texx] como [texx]Z_2[/texx] tienen una distribución normal estándar, [texx]N(0,1)[/texx]. Como [texx]X_1,X_2[/texx] son independientes, también lo son [texx]Z_1,Z_2[/texx]. Así pues, [texx]Z_1^2+Z_2^2[/texx] tiene una distribución chi cuadrado con [texx]2[/texx] grados de libertad.

Así pues,
[texx]2 \theta T(X_1,X_2)= \theta (X_1^2+X_2^2) = Z_1^2 + Z_2^2 \sim \chi^2_2.[/texx]

Para encontrar el intervalo de confianza, impones:
[texx]1- \alpha = P(\chi^2_{2,(1-\alpha)/2} \leq 2\theta T(X_1,X_2)\leq \chi^2_{2, \alpha/2}) = P\left(\frac{\chi^2_{2,(1-\alpha)/2}}{2T(X_1,X_2)} \leq \theta \leq \frac{\chi^2_{2,\alpha/2}}{2T(X_1,X_2)}\right)[/texx]

Así pues, el intervalo de confianza al nivel [texx]1-\alpha[/texx] es
[texx]\left(\frac{\chi^2_{2,(1-\alpha)/2}}{2T(X_1,X_2)} , \frac{\chi^2_{2,\alpha/2}}{2T(X_1,X_2)}\right)[/texx].
3  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Aplicaciones conformes y geometría : 12/02/2020, 13:25:46
¿Me puedes dar alguna referencia de lo que dices que has visto en varias variables complejas?
Sobre lo de la función meromorfa y demás lo siento pero no soy capaz de darle sentido.
4  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Aplicaciones conformes y geometría : 12/02/2020, 07:37:23
Pues de nuevo no estoy seguro de entender muy bien la duda, aunque sospecho que la respuesta es no.
Una aplicación conforme (de [texx]\Bbb C[/texx] en [texx]\Bbb C[/texx]) es lo mismo que una función holomorfa con derivada no nula en todas partes. Hay muchísimas funciones de este tipo que no son rotaciones (por ejemplo, [texx]f(z) = e^z[/texx]). Por tanto, no puedes identificar estas funciones con rotaciones. Sí es cierto que toda rotación en [texx]\Bbb C[/texx] es una aplicación conforme (de la forma [texx]f(z) = e^{i\theta}z[/texx] donde [texx]\theta[/texx] es un real fijado).
La clave está en que una aplicación conforme solamente tiene que preservar ángulos localmente, mientras que las rotaciones te preservan no únicamente ángulos sino también longitudes, pues son isometrías.

Esto me lleva a lo que no entiendo: por qué hablas de [texx]SO(4)[/texx]. Lo natural aquí es usar [texx]SO(2)[/texx], que son las rotaciones del plano y se pueden pensar por lo tanto como aplicaciones [texx]\Bbb C \to \Bbb C[/texx]. Se me ocurre que quizás estés pensando en algo del estilo ver una función compleja como su grafo (los puntos de la forma [texx](z,f(z)[/texx] en [texx]\Bbb C^2[/texx]) y considerar la acción de [texx]SO(4)[/texx] en [texx]\Bbb C^2[/texx], o quizás mejor el subgrupo isomorfo a [texx]SO(2)[/texx] de rotaciones isoclinas. Pero no veo claro qué ganas con eso ni cómo pretendes relacionarlo con la propiedad de ser conforme.

En cualquier caso, como ya te digo, ser una rotación es mucho más fuerte que ser una aplicación conforme, que no deja de ser una condición local. Así que no vas a poder identificar aplicaciones conformes con rotaciones.
5  Matemática / Probabilidad / Re: Distribución normal : 11/02/2020, 09:02:17
Un par de cosas. Primero creo que hay una errata, debería ser [texx]\bar{\sigma} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}[/texx].

Lo segundo es que a pesar de que lo que dice Luis es perfectamente válido, en el problema se especifica que [texx]X \sim N(\mu, \sigma)[/texx], es decir, tiene una distribución normal. En este caso se puede probar que [texx]P(X < \mu + 1) \leq P(\bar{X} < \mu +1) [/texx] siempre, con la desigualdad estricta para [texx]n>1[/texx], sin hacer uso del teorema central del límite.

Basta con observar que [texx]\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}})[/texx], y tipificar ambas variables para obtener:
[texx]P(X < \mu +1) = P(Z < \frac{1}{\sigma})[/texx]
[texx]P(\bar{X} < \mu + 1) = P(Z < \frac{\sqrt{n}}{\sigma})[/texx]
donde [texx]Z \sim N(0,1)[/texx] es la normal estándar. De aquí ya es evidente la desigualdad.
6  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad : 11/02/2020, 08:37:29
Yo creo que ambos tenéis parte de razón. Si entiendo bien lo que quiere decir, Luis dice que para el desarrollo de la teoría de funciones holomorfas (lo que se ve en un curso típico de variable compleja) las ecuaciones de Cauchy-Riemann son prácticamente anecdóticas. Es decir, es una condición sin duda interesante y que tiene su aplicación práctica para comprobar si una función dada es holomorfa o no, pero el desarrollo de la teoría no hace gran uso de las ecuaciones CR.
Lo que es verdad es que las ecuaciones CR tal como se escriben usualmente son un tanto ajenas a la teoría de variable compleja, ya que en variable compleja pensamos las funciones como funciones [texx]\Bbb C \to \Bbb C[/texx] y no como funciones [texx]\Bbb R^2 \to \Bbb R^2[/texx]. Pero de hecho hay una forma de escribir las ecuaciones CR que se aplica directamente a funciones [texx]\Bbb C \to \Bbb C[/texx] y es la que aparece normalmente en tratamientos más avanzados. La idea es que cualquier función [texx]f:\Bbb C \to \Bbb C[/texx], no necesariamente holomorfa, se puede escribir siempre como una función de las dos variables [texx]z, \bar{z}[/texx]. Entonces, las ecuaciones de CR se reducen a esta única ecuación compleja:
[texx]\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0.[/texx]

En contextos más avanzados, las ecuaciones de Cauchy-Riemann (en esta última forma) se usan bastante. Por ejemplo, en geometría compleja aparecen constantemente.

Por último, el hecho de que una función sea holomorfa si y solo si cumple las ecuaciones de CR tiene también un sentido bastante importante del que no se ha hablado aquí: la holomorficidad se puede caracterizar mediante EDPs. De hecho, gran parte de las propiedades típicas de las funciones holomorfas se pueden derivar (de forma bastante más complicada a la usual) usando teoría de EDPs. Esto da lugar a desarrollos y generalizaciones muy interesantes (y complicados) en geometría, aunque todo esto ya se sale bastante de lo que preguntas.
7  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Matrices y anillos : 09/02/2020, 07:06:38
¿Qué has intentado y qué problema tienes con el ejercicio? Es bastante rutinario, solamente tienea que ir verificando los axiomas. Por ejemplo, para ver que el producto es asociativo, tomas tres matrices arbitrarias [texx]A,B,C[/texx] y compruebas explícitamente que [texx](AB)C=A(BC)[/texx].

Sobre si es dominio íntegro: no lo es. Para comprobarlo, encuentra dos matrices concretas [texx]A,B[/texx] distintas de la matriz cero tales que [texx]AB=0[/texx].
8  Matemática / Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Anillos : 09/02/2020, 07:03:05
Cualquier anillo de característica [texx]2[/texx]. Por ejemplo, [texx]\Bbb Z/2 \Bbb Z[/texx].
9  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad : 07/02/2020, 20:52:10
Creo que estás confundiendo el hecho de que una función holomorfa sea [texx]\Bbb C[/texx]-lineal, que es falso como te ha dicho Luis, con que la diferencial de una función holomorfa en un punto es [texx]\Bbb C[/texx]-lineal. Esto último sí que es verdad y es equivalente a las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
10  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Demostrar que una extensión es separable : 27/01/2020, 20:23:51
Sí, cualquier extensión algebraica entre cuerpoa de característica [texx]0[/texx] es separable. Y por supuesto, [texx]\Bbb Q(a)[/texx], al igual cualquier extensión de [texx]\Bbb Q[/texx], tiene característica [texx]0[/texx]. Basta notar que un cuerpo es de característica [texx]0[/texx] (resp. de característica [texx]p[/texx]) si y solo si contiene a [texx]\Bbb Q[/texx] como subcuerpo (resp. contiene a [texx]\Bbb F_p[/texx] como subcuerpo).

Este último resultado es consecuencia de la definición de característica de un cuerpo. Si [texx]K[/texx] es de característica [texx]0[/texx] entonces el morfismo de anillos [texx]\Bbb Z \to K[/texx] es inyectivo (por definición de característica [texx]0[/texx]) y esto implica, teniendo en cuenta que [texx]\Bbb Q[/texx] es el cuerpo de fracciones de [texx]\Bbb Z[/texx], que también el morfismo [texx]\Bbb Q \to K[/texx] es inyectivo, así que [texx]\Bbb Q[/texx] es subcuerpo de [texx]K[/texx].
Recíprocamente, si [texx]\Bbb Q[/texx] es subcuerpo de [texx]K[/texx] entonces hay un morfismo [texx]\Bbb Q \to K[/texx] inyectivo, luego [texx]n \cdot 1 \neq 0[/texx] para todo [texx]n \neq 0[/texx] y [texx]char(K)=0[/texx].
El resultado para característica [texx]p[/texx] se prueba igual.
11  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Meromorfidad, proyección estereográfica y acción de SU(2) en la esfera : 27/01/2020, 10:18:11
Eso es, el que una función sea o no meromorfa o analítica no depende de las cartas que uses, y puedes usar cualquier conjunto de cartas que recubran la variedad para comprobar la meromorficidad/analiticidad.
12  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Meromorfidad, proyección estereográfica y acción de SU(2) en la esfera : 26/01/2020, 18:01:16
No te preocupes, no me mareas. Al contrario, pregunta tanto como quieras. Lo que pasa es que no acabo de comprender tus dudas y me da la sensación de estar dando palos de ciego.

Te sigo diciendo lo mismo que antes. Puedes usar cualquier sistema de cartas que sean compatibles (con cambios holomorfos) y que recubran a la esfera. Pero lo más sencillo y lo más natural es usar las proyecciones estereográficas, porque solamente son dos cartas y porque el cambio de cartas tiene una fórmula muy sencilla.
13  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Meromorfidad, proyección estereográfica y acción de SU(2) en la esfera : 26/01/2020, 15:12:16
Es que no sé qué pretendes hacer. Puedes considerar rotaciones en la esfera que dejen fijo el [texx]0[/texx], o el punto del infinito o ambos, pero ¿para hacer qué?

Por otro lado, si consideras únicamente rotaciones que fijan un par de puntos dados (por ejemplo, el [texx]0[/texx] y el infinito), el grupo que te interesa es [texx]SO(2)[/texx] y no [texx]SO(3)[/texx].
14  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Meromorfidad, proyección estereográfica y acción de SU(2) en la esfera : 26/01/2020, 14:08:12
Sí, las proyecciones estereográficas son las cartas más sencillas y las más naturales, pero si quisieras complicarte la vida podrías hacer la misma teoría con cualquier atlas holomorfo.

También, si tienes una función [texx]f: \Bbb C \to \Bbb C[/texx] o incluso [texx]f: \Bbb C \to \Bbb CP^1[/texx], por ejemplo holomorfas, muchas veces te interesa ver si se puede extender a una función holomorfa [texx]\tilde{f}: \Bbb CP^1 \to \Bbb CP^1[/texx]. En ese caso, te interesa considerar [texx]f(1/z)[/texx] para ver su comportamiento en un entorno del punto del infinito (que corresponde a tomar [texx]z=0[/texx] en [texx]f(1/z)[/texx]), que es el único punto que no queda cubierto por la carta [texx](\Bbb C, z)[/texx]. Pero de nuevo, si quisieras complicarte la vida podrías hacer lo mismo con cualquier otra carta que contuviera al punto del infinito.
15  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Meromorfidad, proyección estereográfica y acción de SU(2) en la esfera : 26/01/2020, 11:28:42
No sé si te acabo de entender.

Lo que quieres es comprobar que una función [texx]f: \Sigma \to \Bbb CP^1[/texx] es holomorfa ([texx]\Bbb CP^1[/texx] es la esfera de Riemann). Para ello, debes tomar un conjunto de cartas [texx]\phi_i: U_i \to \Bbb C[/texx] de una estructura compleja de la esfera de Riemann que recubran toda la esfera y comprobar que cada aplicación [texx]\phi_i \circ f[/texx] es holomorfa. Esto es lo mismo que harías para comprobar que una aplicación entre variedades diferenciables es diferenciable.
Para hacer esto puedes tomar cualquier conjunto de cartas [texx](U_i, \phi_i)[/texx] que recubran la esfera y cuyo cambio de cartas sea holomorfo. Lo más sencillo es tomar como cartas las dos proyecciones estereográficas, pero podrías usar cualquier otro atlas holomorfo.

Por otro lado, el tema de la orientación tampoco tiene nada que ver con las dos cartas de la proyección estereográfica en particular. Cualquier estructura compleja en la esfera te define de manera canónica una orientación en la esfera, dada por la base del espacio tangente [texx](\partial_z, i \partial_z)[/texx]. Es decir, las variedades complejas (en particular las superfícies de Riemann) no solamente son siempre orientables, sino que tienes una elección canónica de la orientación.

En cualquier caso, lo que no veo es para qué necesitas hablar de [texx]SO(3)[/texx] o de su recubridor, no veo que pinte nada para esta cuestión.
16  Matemática / Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Meromorfidad, proyección estereográfica y acción de SU(2) en la esfera : 26/01/2020, 05:52:38
No acabo de entender cuál es tu pregunta o duda.
En cualquier caso, a priori el homomorfismo [texx]SU(2) \rightarrow SO(3)[/texx] no pinta nada en la definición de función meromorfa, o de la esfera de Riemann.

Como bien dices, una aplicación meromorfa es una aplicación holomorfa de una superfície de Riemann en la esfera de Riemann.
Normalmente, para definir la estructura analítica en la esfera de Riemann se usan las dos cartas que mencionas, dadas por proyecciones estereográficas respecto a los dos polos, de manera que el cambio de carta corresponde a [texx]z \mapsto 1/z[/texx] que es analítico. Pero podrías tomar cualquier atlas en la esfera tal que todos los cambios de carta sean analíticos y tendrías definida la misma estructura compleja (aunque esto no es totalmente obvio, hay que probar que la esfera admite una única estructura compleja).

Otro tema es que puedes obtener cartas nuevas, compatibles con la estructura compleja de la esfera de Riemann componiendo cartas con funciones holomorfas. En particular, puedes obtener cartas nuevas precomponiendo una de las que ya tenías por un isomorfismo analítico de la esfera de Riemann, que son las transformaciones de Möbius, que como grupo es isomorfo a [texx]PSL(2, \Bbb C)[/texx]. Tienes un subgrupo que es isomorfo a [texx]SO(3)[/texx] (las transformaciones de Möbius que actúan como rotaciones de la esfera), y el homomorfismo [texx]SU(2) \to SO(3)[/texx] es la restricción del homomorfismo [texx]SL(2, \Bbb C) \to PSL(2, \Bbb C)[/texx] que es dos a uno ([texx]A,-A[/texx] corresponden a la misma transformación de Möbius).

En fin, no sé si esto te aclarará algo. Si tienes dudas, haz preguntas más concretas e intentaremos responderlas.
17  Matemática / Geometría Diferencial - Variedades / Re: Borde del cilindro con tapas : 26/01/2020, 03:29:16
Un cilindro con las tapas es una variedad (topológica) sin borde. De hecho, es homeomorfo a una esfera.

Un punto del extremo del cilindro tiene un entorno abierto homeomorfo a un disco de [texx]\Bbb R^2[/texx], tomando un trozo en el cilindro y otro en la tapa, así que ninguno de esos puntos pertenece al borde, y por otro lado es obvio que tanto los puntos del cilindro que no pertenecen a su borde como los del interior de las tapas tienen entornos homeomorfos a discos de [texx]\Bbb R^2[/texx].
18  REGLAS, Herramientas, Tutoriales / Libros / Re: Libro para introducirme antes de empezar la carrera de matemáticas : 23/01/2020, 05:34:30
Un consejo: cuanto antes empieces a leer libros de matemáticas en inglés mejor. A partir de un cierto nivel (tercero de carrera o así) es muy difícil encontrar literatura en castellano. Además, en inglés tienes una variedad enorme de libros mientras que a la que te salgas de lo básico (cálculo y álgebra lineal) encontrarás muy muy poquito en castellano. Por otro lado, el inglés de los libros de mates suele ser especialmente sencillo. Siempre es más fácil leer libros técnicos en un idioma que no conoces demasiado bien que novelas. Lo mismo pasa con el francés y otros idiomas.

Sobre el Calculus de Apostol, a mi me parece un libro excelente. Cuando empezaba aprendí muchas cosas de ese libro. El Análisis Matemático también está muy bien, pero es más avanzado y no es demasiado ortodoxo en algunas cosas, así que mejor dejarlo para más adelante.
Eso sí, el Calculus tiene algunas cosas curiosas, como introducir las integrales (definidas) antes que las derivadas, cosa que no se suele hacer en los cursos estándar.

Otro libro sobre análisis que es excelente es el Calculus de Spivak. Este además va más en línea con lo que suelen ser los cursos típicos de cálculo.

También te recomendaría para equilibrar que compaginaras un libro de análisis con uno de álgebra lineal. Yo aprendí álgebra lineal con el libro de Castellet y Llerena, que está en castellano (y catalán). Es un libro muy bueno pero quizá algo duro si lo miras por tu cuenta y no estás muy acostumbrado las demostraciones. Quizás alguien te pueda aconsejar otros libros sobre álgebra lineal.
19  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Conjunto de primos asociados unitario : 19/01/2020, 07:31:17
Bien, vamos a hacerlo con más detalle. Del teorema tenemos que [texx]P \subseteq \bigcap_{Q \in Ass(M)} Q[/texx]. Supongamos que existe algún [texx]Q[/texx] que es primo asociado y distinto de [texx]P[/texx]. Como [texx]P \subseteq \bigcap_{Q \in Ass(M)} Q[/texx], necesariamente tenemos [texx]P \subset Q[/texx].
Entonces existe un [texx]x \in Q - P[/texx], y por hipótesis tenemos que [texx]x_M[/texx] es inyectivo. Pero esto quiere decir que para todo [texx]x\in M[/texx] no nulo [texx]xm \neq 0[/texx], y esto contradice el hecho de que [texx]Q[/texx] es primo asociado (pues todo primo asociado es el anulador de algún elemento no nulo de [texx]M[/texx]).

Por tanto, el único primo que puede ser primo asociado de [texx]M[/texx] es [texx]P[/texx]. Pero [texx]P[/texx] es en efecto un primo asociado porque tenemos que [texx]P \subseteq \bigcap_{Q \in Ass(M)} Q[/texx] (en particular [texx]Ass(M) \neq \emptyset[/texx]) y acabamos de ver que ningún otro primo puede ser asociado.
20  Matemática / Estructuras algebraicas / Re: Caracteristica y unidades : 17/01/2020, 15:42:10
La unidad del anillo es la matriz identidad [texx]I[/texx]. Por tanto, la característica es el menor entero positivo [texx]n[/texx] tal que [texx]nI=0[/texx]. Como los coeficientes de la matriz están en [texx]\Bbb Z_5[/texx], tendrás que [texx]n=5[/texx], así que la característica de [texx]R[/texx] es [texx]5[/texx].

Para calcular las unidades, usa que una matriz con coeficientes en un cuerpo es invertible  (en el anillo de todas las matrices cuadradas de la dimensión que sea) si y solo si su determinante es distinto de cero. Si usas la fórmula explícita para la inversa de una matriz [texx]2 \times 2[/texx], verás que si existe la inversa de una matriz de [texx]R[/texx] (es decir, si su determinante es no nulo) la inversa está también en [texx]R[/texx].
Por tanto, basta encontrar las matrices de [texx]R[/texx] con determinante no nulo, que equivale a encontrar [texx]a,b \in \Bbb Z_5[/texx] con [texx]a^2+b^2 \neq 0[/texx]. Esto último te lo dejo a ti.
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